Bài 6. Đường Parabol 59 BÀI 6. ĐƯỜNG PARABOL I. CÁC DẠNG PARABOL VÀ ĐẶC ĐIỂM TĐX Trục thực Hình dạng Hypecbol Phương trình và các yếu tố trong Parabol O (0; 0) Ox 2 2 y px = ; Tiêu điểm ( ) ; 0 2 p F ∈ Ox. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 p x = − Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M p M P MF x ∈ ⇔ = + O (0; 0) Ox 2 2 y px = − ; Tiêu điểm ( ) ;0 2 p F − ∈ Ox. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 p x = Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M p M P MF x ∈ ⇔ = − O (0; 0) Oy 2 2 x py = ; Tiêu điểm ( ) 0; 2 p F ∈ Oy. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 p y = − Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M p M P MF y ∈ ⇔ = + O (0; 0) Oy 2 2 x py = − ; Tiêu điểm ( ) 0; 2 p F − ∈ Oy. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 p y = Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M p M P MF y ∈ ⇔ = − S(a; b) y = b Phương trình: ( ) ( ) 2 2 y b p x a − = − ; Tiêu điểm ( ; ) 2 p F a b + ∈ (y = b) // Ox. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 p x a = − Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M p MF a x = − + S(a; b) x = a Phương trình: ( ) ( ) 2 2 x a p y b − = − ; Tiêu điểm ( ; ) 2 p F a b + ∈ (x = a) // Oy. Tâm sai e = 1. Đường chuẩn (∆): 2 p y b = − Bán kính qua tiêu điểm: ( ) 2 M p MF b y = − + x y X b O F S Y a F S x y X Y a b O p /2 2 p − F O ( ∆ ) x y p /2 F O ( ∆ ) x − p /2 y 2 p 2 p − F O ( ∆ ) x y 2 p 2 p − F O y ( ∆ ) x Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 60 II. XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA PARABOL Bài 1. VPT chính tắc của (P) với đỉnh là gốc tọa độ O và biết: Tiêu điểm F(4; 0) Tiêu điểm F(0; 2) Đường chuẩn x = 3 Đường chuẩn y = 1/2 Đi qua A( − 2; 1) và nhận O y làm trục đối xứng. Nhận O x làm trục ĐX và chắn trên y = x đoạn 2 2 Bài 2. Lập phương trình chính tắc của Parabol (P) đỉnh O biết (P) có: Trục O x , khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 2. Trục O y , tiêu điểm F(0; − 1) Trục O y và (P) đi qua A( − 1; 1) Trục O x và (P) đi qua ( ) A 2; 2 2 − Đường chuẩn là 2 x − 7 = 0 Bài 3. Trong mặt phẳng O xy , lập PT của Parabol (P) Tiêu điểm F(3; 2), đường chuẩn là trục O x . Đỉnh S(2; 1), đường chuẩn là trục O y . Tiêu điểm ( ) 3 F ;2 2 − , đường chuẩn là: y + 1 = 0. Tiêu điểm O(0; 0), đường chuẩn: 3 x − 4 y − 10 = 0. Bài 4. Trong mặt phẳng O xy , lập PT của Parabol (P) Đỉnh S( − 1; 1), tiêu điểm F(2; 1) Tiêu điểm F(2; − 4), đường chuẩn: y − 4 = 0 Đỉnh S( − 1; 2), đường chuẩn O y . Đỉnh S(1; − 2), đi qua O; trục cùng phương trục tọa độ. Trục là đường x = 1, đỉnh S ∈ đường y + 1 = 0 và (P) chắn trên y = x − 2 một đoạn có đọ dài 4 2 Trục O x , (P) chắn O y một đoạn 2 b và khoảng cách từ đỉnh đến gốc O bằng a . Đỉnh S ∈ (D): x − 1 = 0, trục cùng phương O x , (P) đi qua A(2; − 3) và B(5; 3) Bài 6. Đường Parabol 61 Bài 5. Lập phương trình của Parabol (P) có: Tiêu điểm là O, đường chuẩn: x − y − 2 = 0 Đỉnh S(2; 1), tiêu điểm F(3; 2) Đỉnh S(1; 3), đường chuẩn (D): x − 2 y = 0 Đỉnh O, trục O y , tiêu điểm F, dây AB = 1 ⊥ O y tại I là trung điểm OF. Bài 6. Trong mặt phẳng O xy cho (P): 2 4 y x = Tìm M ∈ (P) có bán kính qua tiêu điểm MF = 10; y M > 0 Tìm thêm N ∈ (P) sao cho ∆ OMN vuông tại O. Tìm A, B ∈ (P) sao cho ∆ OAB đều. Bài 7. Trong mặt phẳng O xy cho Parabol (P): ( ) 2 2 0 y px p = > Tính độ dài dây MN ⊥ O x tại tiêu điểm F. Tìm 2 điểm A, B ∈ (P) sao cho ∆ OAB đều. Bài 8. VPT các cạnh của một tam giác nội tiếp Parabol (P): 2 8 y x = , biết 1 đỉnh là gốc tọa độ O và trực tâm của tam giác là tiêu điểm của (P) Bài 9. Cho (P): 2 4 x y − và (D): 2 4 0 x y − + = Tìm tọa độ giao điểm A, B của ( ) ( ) P D ∩ Tìm M trên cung AB của (P) sao cho tổng diện tích hai phần hình phẳng giới hạn bởi (P) và hai dây MA, MB là nhỏ nhất. Bài 10. Tìm điểm M ∈ (P): 2 64 y x = sao cho khoảng cách từ M đến (D): 4 3 86 0 x y + + = nhỏ nhất. Bài 11. Cho (P): 2 y x = và (D): y = mx ( m ≠ 0) Đường (D) cắt (P) tại M ≠ O. Đường (D’) ⊥ (D) cắt (P) tại N ≠ O. Chứng minh rằng: Đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định ∀ m . Bài 12. Cho (D): 0 Ax By C + + = với 2 2 0 A B + > và (P): ( ) 2 2 0 y px p = > . Biện luận theo A , B , C , p số giao điểm của (D) với (P). Bài 13. Cho (P): 2 y x = và A( − 1; 1), B(3; 9). Tìm M ∈ (P) sao cho diện tích ∆ ABM đạt Max. Bài 14. Trong mặt phẳng O xy cho hình vuông ABCD có cạnh AB nằm trên (d): x − y − 8 = 0 còn 2 đỉnh C, D ∈ (P): 2 y x = . Tính cạnh hình vuông ABCD. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 62 III. TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH CỦA PARABOL III.1. Tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc Parabol 1. M( x 0 , y 0 ) ∈ (P 1 ): 2 2 y px = ⇒ (t): ( ) 0 0 yy p x x = + 2. M( x 0 , y 0 ) ∈ (P 2 ): 2 2 y px = − ⇒ (t): ( ) 0 0 yy p x x = − + 3. M( x 0 , y 0 ) ∈ (P 3 ): 2 2 x py = ⇒ (t): ( ) 0 0 xx p y y = + 4. M( x 0 , y 0 ) ∈ (P 4 ): 2 2 x py = − ⇒ (t): ( ) 0 0 xx p y y = − + III.2. ĐK cần và đủ để ( ∆ ∆∆ ∆ ): 0 Ax By C + + = tiếp xúc (P) 1. ( ∆ ) tiếp xúc (P 1 ): 2 2 y px = ⇔ 2 2 . pB A C = 2. ( ∆ ) tiếp xúc (P 2 ): 2 2 y px = − ⇔ 2 2 . pB A C = − 3. ( ∆ ) tiếp xúc (P 3 ): 2 2 x py = ⇔ 2 2 . pA B C = 4. ( ∆ ) tiếp xúc (P 4 ): 2 2 x py = − ⇔ 2 2 . pA B C = − Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (P): 2 4 0 y x + = tại các giao điểm của (P) với (C): 2 2 5 2 4 0 x y x y + + + − = Bài 2. Viết PT tiếp tuyến của (P): 2 8 y x = // (D): 2 x − y = 0 Bài 3. Viết PT tiếp tuyến của (P): 2 2 0 x y + = với hệ số góc k = 2. Bài 4. Viết PT tiếp tuyến của (P): 2 36 x y = đi qua điểm A(9; 2) Bài 5. Viết PT tiếp tuyến chung của (P): 2 12 y x = và elip (E): 2 2 1 8 6 y x + = Bài 6. Viết PT tiếp tuyến chung của (P): 2 4 y x = và (C): 2 2 2 3 0 x y x + − − = Bài 7. Cho (P): ( ) 2 2 0 0 y px p + = > . CMR : m ∀ ∈ » từ , 2 p A m luôn kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm và chứng minh nó đi qua một điểm cố định. Bài 8. Cho (P): 2 4 y x = . Viết PT các tiếp tuyến của (P) kẻ từ điểm A ( − 1; 2). Chứng minh rằng 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Bài 6. Đường Parabol 63 IV. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Cho (P): 2 2 y px = và M ∈ (P). Đường ( ∆ ) đi qua M cắt O x tại A, cắt tiếp tuyến tại đỉnh ở B và cắt (P) tại M, N. CMR : 2 . BA BM BN = Giải Kẻ MH và NK vuông góc O y ⇒ BN BA BM OA MH NK = = ⇒ 2 2 . . BM BN BA MH NK OA = (1) Đặt ; ; M N A x m x n m x a = = ≠ = ⇒ 2 2 2 , 2 M N y pm y pn = = . Do AM ~ AN m n ∆ ∆ suy ra M N m a n a y y − − = ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 m a n a m n mn a pm pn − − = ⇔ − − = . Do m ≠ n ⇒ 2 mn a = ⇒ 2 . MH NK OA = (2). Suy ra 2 . BA BM BN = Bài 2. Cho (P): ( ) 2 2 0 y px p = > có ; 0 2 p F và đường chuẩn ( ∆ ): 2 p x = − . Tiếp tuyến (D) của (P) tại M cắt O x , O y tại N, I. a. CMR : I là trung điểm MN; FI ⊥ (D) và điểm đối xứng của F qua (D) thuộc ( ∆ ) b. Gọi ( ) ( ) K D ≡ ∆ ∩ . Đường thẳng qua F và ⊥ O x cắt (D) tại L. CMR : FK = FL Giải Kẻ MG ⊥ ( ∆ ) ⇒ MG = NF. Theo định lý Pascal thì FMN FNM = ⇒ FM FN = ⇒ MFNG là hình thoi. Mà G, F cách đều O y 1 khoảng 2 p nên tâm hình thoi I ∈ O y Ta có LF ⊥ O x ⇒ IFL IGK = ⇒ ∆ IFL = ∆ IGK ⇒ FL = GK mà K ∈ (D) chính là trung trực của GF nên GK = FK ⇒ FK = FL A O x y B M N n m H K F O x y B M N p /2 I K − p /2 G L ( ∆ ) Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 64 Bài 3. Cho (P) có tiêu điểm F. Từ điểm I vẽ 2 tiếp tuyến IM, IN đến (P) a. CMR : 2 . FI FM FN = và 2 2 IM FM FN IN = b. Một tiếp tuyến (d) tuỳ ý của (P) tiếp xúc (P) tại T và cắt IM, IN tại Q, Q’ CMR : . FQ FQ FT ′ không phụ thuộc vị trí của (d) Giải Chọn hệ O xy sao cho (D): 2 2 y px = ( p > 0) Theo định lý Pascal ⇒ M KMH KMF KMH KML MH ML x = ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = = Mà 2 M p MF x MH OF MF MH OF = + = + ⇒ − = FL OF ⇒ = FKO KFL ⇒ ∆ = ∆ 90 KFL KFO MKF OKF KMF ⇒ = ⇒ = ° ⇒ = . Tương tự ta có: và FJ IN FNJ FJO ⊥ = a. FKI FJI 90 = = ° ⇒ IKFJ nội tiếp ⇒ FKJ FIJ = , KIF KJF = ⇒ FMI FIN , FIM FNI = = ⇒ ∆ FIM ~ ∆ FNI ⇒ 2 2 2 . và FI FM IM IM FI FM FM FI FM FN FN FI IN FN FI FN IN = = ⇒ = = ⋅ = b. Coi d và d 1 là 2 tiếp tuyến xuất phát từ Q, Q’ ⇒ 2 2 . và . FQ FM FT FQ FN FT ′ = = ⇒ 2 2 2 2 2 . . . . . . FQ FQ FQ FQ FM FN FT FI FT FQ FQ FI FT FI FT ′ ′ ′ = = ⇒ = ⇒ = Bài 4. Cho parabol (P): ( ) 2 2 0 y px p = > . Giả sử chùm đường thẳng ( ) luôn đi qua tiêu điểm F và luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. CMR: Tích các khoảng cách từ M, N đến trục hoành O x không phụ thuộc vào vị trí của ( ∆ ) Giải Xét ( ∆ ) đi qua ; 0 2 p F và cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N theo 2 khả năng: F x y M I K H L N J Bài 6. Đường Parabol 65 i ( ) : 2 p x ∆ = ; ( ) ( ) P ∆ ∩ tại M ; , N ; 2 2 p p p p − ⇒ ( ) ( ) 2 ; . ; d M Ox d N Ox p = i ( ) : 2 p y k x ∆ = − , 0 k ≠ . Tọa độ của M 1 1 ( , ) x y , 2 2 N( , ) x y là nghiệm của hệ: 2 2 2 y px kp y kx = = − ⇔ 2 2 2 2 2 0 y x p ky py kp = − − = ⇒ 2 2 1 2 kp y y p k − = = − Ta có ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 , , . . d M Ox d N Ox y y y y p p = = = − = . Bài 5. Cho parabol (P) 2 2 y px = . Giả sử trên (P) lấy điểm A cố định và hai điểm B, C di động có tung độ lần lượt là a, b, c sao cho AB ⊥ AC. CMR: Đường thẳng nối B, C luôn đi qua một điểm cố định. Giải Các điểm A, B, C lần lượt có tọa độ là 2 2 2 ; , ; , ; 2 2 2 a b c A a B b C c p p p . 2 2 ; // ; 1 2 2 b a b a AB b a u p p − + = − ; 2 2 ; // ; 1 2 2 c a c a AC c a v p p − + = − . Do AB ⊥ AC nên . 0 AB AC = ⇔ ( ) ( ) 2 1 0 4 b a c a p + + + = 2 4 p c a a b − ⇒ = − + (1). Đường thẳng nối B, C có phương trình ( ) ( ) 2 2 px c b c y b c c − = + − + (2) Thay (1) vào (2) ta có: 2 2 4 4 2 0 p p px b a y b a a b a b − − − − + = + + ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 4 0 p a b x b a p y ba a b p b + − − − − + − = (3) Giả sử họ (3) luôn đi qua điểm định ( ) , I x y với mọi b . Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 0 , b y a b px p a pax a y p y b − + + − − + + + = ∀ ⇔ 2 2 2 2 2 0 2 4 0 2 2 2 4 0 y a y a px p a a x p p pax a y p y + = = − = − = ⇔ = + + + = ⇒ điểm cố định 2 2 ; 2 a U p a p + − Bài 6. Giả sử hai parabol 2 y ax b = + ; ( ) 2 0 x cy d ac = + ≠ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. Chứng minh rằng: Các giao điểm này nằm trên một đường tròn. Giải Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 66 Giả sử 2 y ax b = + ; ( ) 2 0 x cy d ac = + ≠ cắt nhau tại ( ) ( ) ; 1, 4 k k k M x y k = . Ta có 2 2 k k k k y ax b x cy d = + = + ⇔ ( ) ( ) 2 2 1 2 k k k k y b x a a x d y c c = + = + . Cộng các vế của (1), (2) với nhau: 2 2 2 2 0 k k k k k k k k y x x y b d b d x y x y a c a c c a a c + = + + + ⇒ − + − + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 k k b d x y c a a c c a ⇒ − + − = + − − . Do hai parabol cắt nhau tại bốn điểm phân biệt nên 2 2 1 1 0 2 2 b d a c c a + − − > . Từ đó ( ) ( ) ; 1, 4 k k k M x y k = nằm trên đường tròn tâm ( ) 1 1 ; 2 2 I c a và bán kính 2 2 1 1 2 2 b d R a c c a = + − − . Bài 7. Viết PT các cạnh tam giác nội tiếp trên parabol (P): 2 8 y x = biết một đỉnh là tâm O và trực tâm là tiêu điểm của (P) HD: Trực tâm F(2; 0), Vì OF ⊥ AB ⇒ A, B đối xứng nhau qua O x . Gọi A( x , y ); B( x ; − y ) ⇒ OA FB ⊥ ⇒ ( ) ( ) 10; 4 5 , 10; 4 5 A B − Bài 8. Cho (P): ( ) 2 2 0 y px p = > ; (D) đi qua tiêu điểm F của (P) cắt (P) tại M, N. Đặt ( ) [ ] O , FM 0; 2 x = α π . a. Tính FM, FN theo p , α . b. CMR : 1 1 const FM FN + = c. CMR : FM.FN nhỏ nhất khi (D) ⊥ O x . HD: a. ; 1 cos 1 cos p p FM FN= = − α + α Bài 9. Cho (P): ( ) 2 2 0 y px p = > . Lấy M ∈ (P) ≠ O. Gọi N, K là hình chiếu của M lên O x , O y . CMR : Đường thẳng đi qua K và ⊥ OM luôn đi qua một điểm cố định. Đường thẳng đi qua K và ⊥ NK luôn đi qua 1 điểm cố định. Đường thẳng NK luôn tiếp xúc với một parabol cố định. Bài 10. Cho (P): ( ) 2 4 0 y ax a = > tiêu điểm F. Gọi M ∈ (P). Tiếp tuyến (d) của (P) tại M cắt O y tại N. Đường thẳng ( ∆ ) qua M ⊥ (d); K là hình chiếu của F lên ( ∆ ). CMR : FN ⊥ MN và 2 FN const FM = và K ∈ Parabol cố định.