bài 6: Đường Tròn

1 Bài 6 ĐƯỜNG TRÒN I/ Phương trình đường tròn + Trong mặt phẳng, cho đường tròn ( C ) có tâm I(a;b), có bán kính R . M(x;y) (C) khi và chỉ khi : IM = R ∈ ⇔ 222 Rb)(ya)(x =−+− ⇔ (x – a) 2 + (y - b) 2 = R 2 Từ đó ta có PT của đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R là : (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 + Ngược lại PT : x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 ⇔ x 2 + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b 2 = a 2 + b 2 - c ⇔ (x - a) 2 + (y - b) 2 = a 2 + b 2 – c Khi a 2 + b 2 – c > 0 đây là PT của đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R = cba 22 −+ 2 + Như vậy PT của đường tròn còn có dạng : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 với a 2 + b 2 – c > 0 II/ Ví dụ : 1. Viết PT đường tròn biết : a) Đường tròn có đường kính AB , với A(-5;1) , B(3; - 7) . b) Đường tròn có tâm I( 3 ; - 5 ) và tiếp xúc với đường thẳng (d) : 4x – 3y - 2 = 0 c) Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1). Giải a) + Tâm I là trung điểm của AB : I(-1;-3) + Bán kính R = 24 2 28 2 6464 2 == + = AB Vậy PT của đường tròn là : (x + 1) 2 + (y + 3) 2 = 32 3 b) + Tâm I (3;- 5) + Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d) : 4x – 3y - 2 = 0 5 5 25)3.(4.3 d[I/(d)]R = −−− ==⇔ Vậy PT đường tròn là : (x – 3) 2 + (y + 5) 2 = 25 c) + PT đường tròn có dạng : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 + Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1).          =+− =++ =++− ⇔ 0c2b1 0c6a9 0c2b6a10          = −=+ =−− ⇔ 1 9 1 c-2b c6a 0c2b6a            − = − = − = ⇔ 3 20 6 17 18 7 c b a Vậy PT đøng tròn là : 0 3 20 3 17 9 7 22 =−−−+ yxyx 4 2. Cho đường cong (C) có PT : x 2 + y 2 + 2(m – 1)x – 6my + 9m 2 + 4 = 0 Tìm m để (C) là một đường tròn , xác đònh tâm và bán kính của (C) Giải Ta có : a = m – 1 ; b = - 3m ; c = 9m 2 + 4 (C) Là đường tròn khi : a 2 + b 2 – c > 0 ⇔ (m – 1) 2 + 9m 2 – 9m 2 - 4 > 0 ⇔ m 2 – 2m - 3 > 0 ⇔ m < - 1 ; m > 3 Vậy với m < - 1 hoặc m > 3 thì (C) là một đường tròn có tâm I(- m + 1 ; 3m ) và bán kính 32mmR 2 −−= 5 3. Xác đònh tâm và bán kính của các đường tròn sau : a) x 2 + y 2 – x + 3y – 4 = 0 b) - x 2 – y 2 + 4x – 6y + 5 = 0 c) 2x 2 + 2y 2 – 3x – y - 1 = 0 Giải 4c ; 2 3 b; 2 1 a : có Ta a) −== − = Vậy tâm 2 26 4 4 9 4 1 R kính bánvà ) 2 3- ; 2 1 I( =++= b) – x 2 – y 2 + 4x – 6y + 5 = 0 x 2 + y 2 - 4x + 6y - 5 = 0 a = - 2 ; b = 3 ; c = - 5 ⇔ Ta có : Vậy tâm 23594 =++=R kính bánvà I(2;-3) c) 2x 2 + 2y 2 - 3x - y - 1 = 0 ⇔ x 2 + y 2 - 3/2 x - 1/2 y - 1/2 = 0 6 2 1 c ; 4 1 b; 4 3 a −=−=−= Ta có : Vậy tâm 4 2 2 1 16 1 16 9 R kính bánvà ) 4 1 ; 4 3 I( 3 =++= III/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . Cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 và điểm M(x 0 ;y 0 ) . P (M/(C)) = IM 2 - R 2 = (x 0 + a) 2 + (y + b) 2 - a 2 - b 2 + c + (C) có tâm I(-a;-b) , bán kính R = + ta có : cba 22 −+ = x 0 2 + y 0 2 + 2ax + 2by + c IV/ Trục đẳng phương của hai đường tròn . P (M/(C)) = x 0 2 + y 0 2 + 2ax + 2by + c Vậy 7 Cho hai đường tròn không đồng tâm : (C 1 ) : x 2 + y 2 + 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 = 0 (C 2 ) : x 2 + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 = 0 M(x;y) thuộc trục đẳng phương khi và chỉ khi : P (M/(C 1 )) = P (M/(C 2 )) ⇔ x 2 + y 2 + 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 = x 2 + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 ⇔ 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 - 2a 2 x - 2b 2 y - c 2 = 0 ⇔ 2(a 1 - a 2 )x + 2(b 1 - b 2 ) y + c 1 - c 2 = 0 (1) Vì a 1 – a 2 và b 1 – b 2 không đồng thời bằng 0 nên (1) là phương trình của đường thẳng . Như vậy PT của trục đẳng phương là : 2(a 1 - a 2 )x + 2(b 1 - b 2 ) y + c 1 - c 2 = 0 8 8 Bài 1: Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau: a) x 2 + y 2 - 2x- 2y- 2 = 0 b) 16x 2 +16y 2 +16x -8y = 11. c) . GIẢI a) x 2 + y 2 -2x -2y -2 = 0 . Ta có: -2a = -2 a = 1. -2b =-2 b = 1. c = -2. Vậy tâm của đường tròn là I(1;1). Bán kính đường tròn là R = 4) 2 3 () 2 5 ( 22 = + + − yx ⇔ 2211 22 =++=−+ cba ⇔ BÀI TẬP 9 9 b)16x 2 + 16y 2 + 16x - 8y = 11. x 2 + y 2 + x - . ta có : -2a = -1 . -2b = . . Vậy tâm của đườnh tròn là T ( ). Bán kính của đường tròn là : R = . c) . . . Vậy tâm của đường tròn I(5;-3) . Bán kính của đường tròn : R = = 4. ⇔ 0 16 11 2 1 =−y 2 1 −=⇒ a 4 1 2 1 =⇒− b 16 11 −= c 4 1 ; 2 1 − 1 16 11 16 1 4 1 =++ 4) 2 3 () 2 5 ( 22 = − + − yx 16 16)3()5( 22 =++−⇔ yx 4 4 )3( 4 )5( 22 = − + − yx 10 10 • Bài 2 Viết pt đường tròn biết: a) Qua A(1;2) và có tâm I(-3;1) • b) Qua ba điểm A(1;2), B(-3;0), C(3;-2) • c) Tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng d :x+2y-3 =0 • d) Qua A(1;2);B(3;1), có tâm nằm trên đường thẳng :7x+2y-3=0 GIẢI a)Viết pt đ tròn qua A(1;2) và có tâm I(-3;1). Vì đường tròn tâm I(-3;1) và qua A(1;2) nên có bán kính R = IA = Pt đường tròn tân I(-3;1) có bán kính R= là: (x+3) 2 +(y-1) 2 = 17 b) Viết pt đtròn qua 3 điểm A(1;2), B(-3;0), C(3;-2) Cách 1 Gọi đ tròn ( C) : x 2 +y 2 -2ax -2by +c = 0 Vì ( C) qua 3 điểm A(1;2) ,B(-3;0) , C(3 ;-2) nên ∆ 17)12()31( 22 =−++ 17 [...]... ∈∆ ⇔ { 4 Do đó pt đ tròn 9 2 185 ( x + 1) + ( y + ) = 2 4 4 2 12 Bài 3 : Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 -4x +8y -5 =0 và 2 điểm A ( -1;0), B(3;-11) a) Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn b) tính A /(c ) , ρ B /(c ) Suy ra vò trí tương đối của A và B đối với (C) c) Viết pttt của đường tròn đi qua điểm A(-1;0) d) Viết pttt của đường tròn đi qua điểm B(3;-11) e) Viết pttt của đường tròn biết t.tuyến song... biết t.tuyến song song với d: 2x-y = 0 GIẢI a)Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn: ( C) x2 + y2 - 4x+8y - 5 =0 Tâm đường tròn : I (2;-4) Bán kính đường tròn : R = 4 + 16 + 5 = 25=5 A /(c ) = 1 + 4 – 5 = 0 ⇒ A( -1;0) b) ( C) ρ B /(c ) = 9 + 121 – 12 – 88 – 5 = 25 > 0 nên B nằm ngoài đường tròn ρ ρ ∈ 13 c)Viết pttt của đường tròn ( C) đi qua A( -1;0) Vì A(-1;0) ( C) nên Pttt của ( C) qua A(-1;0) có... − x + y + 4 + 11 = 0 4 4 Bài 4 Gọi ( C m ) là đường có pt : ⇔ − 4 x + 3 y + 45 = 0 x2 + y2 - 2(m+2) x + 4my +19m -6 = 0 a) tìm m để( C m) là đường tròn b)Tìm m để ( C m) là đường tròn có bán kính bằng 10 c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn ( C m ) GIẢI a) ( C m ) :x2 + y2 - 2(m+2 )x + 4my+ 19m - 6 = 0 Ta có :-2a = - 2(m+2) a = m+2 -2b = 4m b = -2m ; c = 19m -6 ( C m) là đường tròn ⇔ a2 + b2 –c2 > 0 ⇔... C) là đường tròn 15 m ⇔ ⇔ b)Tìm m để ( C m ) là đường tròn có bán kính bằng 10: Cm) là đường tròn có bán kính 2 2 2 2 2 R = a + b − c = (m + 2) + 4m − 19m + 6 = 5m − 15m + 10 Để ( C m ) có bán kính bằng 10 Khi m 2 thì ( ⇔ R = 10 ⇔5m − 15m + 10 ⇔ 5m -15m + 10 = 100 ⇔ m – 3m -18 = 0 ⇔ m=6 v m= -3 2 = 10 2 2 Vậy m = 6 v m = - 3 thì ( C m có bán kính R = 10 ) c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (... +y2 +2x -9 =0 C2) Gọi tâm đ tròn I(a;b) Vì đ tròn đi qua A,B,C nên IA = IB ⇔ IA2 = IB2 IA = IC IA2 = IC2 (1-a)2 + (2-b)2 = (-3-a)2 + b2 ⇔ (1-a)2 + ( 2-b)2 = (3-a)2+( -2-b)2 2a +b = -1 ⇔ a=0 a-2b = 2 b=-1 Vậy tâm I(0;-1) , bán kính R = IA = 10 do đó ptđt : (x-0)2 + ( y + 1 )2 = 10 11 { { ⇔ { { { c) Viết pt đ tròn tâm I ( 6; 1) và t xúc với đường thẳng d: x+2y-3=0 Vì đường tròn tâm I(6;1) tiếp xúc với... ( C m có bán kính R = 10 ) c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn ( C m) Với m 2 thì (C m) là đường tròn tâm I (m+2;-2m) ⇒ Do { [ xI = m + 2 y I = −2 m m< 1 m> 2 ⇒ ⇔ { [ m = xI − 2 y I = 2( xI − 2) ⇒ xI − < 2 1 x − > 2 2 ⇔ { m = xI − 2 2 xI + y I − 4= 0 [ xI < 3 16 Vậy tập hợp các tâm đường tròn là phần đường thẳng 2x + y – 4 = 0 x4 { - @ -@ -@ -@ HẾT -@ -@ -@ -@ 17 ... pttt của đường tròn ( C) đi qua A( -1;0) Vì A(-1;0) ( C) nên Pttt của ( C) qua A(-1;0) có VTPT = (3;-4) là 3(x+1) -4( y-0) = 0 3x -4y +3 = 0 d) Viết pttt củ ( C) qua B (3;-11) Vì B(3;-11) nằm ngoài đ tròn nên đương thẳng qua B có dạng: A(x-3) + B ( y+11 ) = 0 Ax + By -3A +11 B = 0 Do ∆ tiếp xúc với ( C) 2 A − 4 B − 3 A −11B d(I; ∆ ) = R =5 ∈ n ⇔ ∆ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − A + 7B ⇔ IA A2 + B 2 =5 A + B A2 -14AB + . : 1. Viết PT đường tròn biết : a) Đường tròn có đường kính AB , với A(-5;1) , B(3; - 7) . b) Đường tròn có tâm I( 3 ; - 5 ) và tiếp xúc với đường thẳng. 1 Bài 6 ĐƯỜNG TRÒN I/ Phương trình đường tròn + Trong mặt phẳng, cho đường tròn ( C ) có tâm I(a;b), có bán kính R