bài 6: Đường Tròn

Bài 6 ĐƯỜNG TRÒN I/ Phương trình đường tròn + Trong mặt phẳng, cho đường tròn C có tâm Ia;b, có bán kính R... Vậy tâm của đường tròn là I1;1... Vậy tâm của đườnh tròn là T... c Tìm tập

Bài 6 ĐƯỜNG TRÒN I/ Phương trình đường tròn

+ Trong mặt phẳng, cho đường tròn ( C ) có tâm I(a;b), có bán kính R

M(x;y) (C) khi và chỉ khi : IM = R ∈

⇔ (x−a)2 +(y−b)2 =R2

⇔ (x – a) 2 + (y - b) 2 = R 2

Từ đó ta có PT của đường tròn tâm I(a;b) , bán kính

R là : (x – a)2 + (y – b)2 = R2

+ Ngược lại PT : x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0

⇔ x 2 + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b 2 = a 2 + b 2 - c

⇔ (x - a) 2 + (y - b) 2 = a 2 + b 2 – c Khi a 2 + b 2 – c > 0 đây là PT của đường tròn tâm

I(a;b) , bán kính R = a2 +b2 −c

+ Như vậy PT của đường tròn còn có dạng :

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với a 2 + b 2 – c > 0

II/ Ví dụ :

1 Viết PT đường tròn biết :

a) Đường tròn có đường kính AB , với A(-5;1) , B(3; - 7) b) Đường tròn có tâm I( 3 ; - 5 ) và tiếp xúc với đường thẳng (d) : 4x – 3y - 2 = 0

c) Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1)

Giải

a) + Tâm I là trung điểm của AB : I(-1;-3)

+ Bán kính R = AB2 = 642+64 =822 =4 2

Vậy PT của đường tròn là : (x + 1) 2 + (y + 3) 2 = 32

b) + Tâm I (3;- 5)

+ Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d) :

4x – 3y - 2 = 0

5 5

2 5) 3.(

4.3 d[I/(d)]

⇔

Vậy PT đường tròn là : (x – 3) 2 + (y + 5) 2 = 25 c) + PT đường tròn có dạng : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 + Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1)

















= +

−+ + =

= + +

−

⇔

0 c 2b

19 6a c 0

0 c 2b 6a

10

















==−

−

⇔

1 9

1 c

-2b c

6a























−

=

−

=

−

=

⇔

3

206

1718

7 c

b a

Vậy PT đuờng tròn là :

0 3

20 3

17 9

7 2

2 +y − x− y− =

x

2 Cho đường cong (C) có PT :

x 2 + y 2 + 2(m – 1)x – 6my + 9m 2 + 4 = 0

Tìm m để (C) là một đường tròn , xác định tâm và

bán kính của (C)

Giải

Ta có : a = m – 1 ; b = - 3m ; c = 9m 2 + 4

(C) Là đường tròn khi : a 2 + b 2 – c > 0

⇔ (m – 1) 2 + 9m 2 – 9m 2 - 4 > 0

⇔ m 2 – 2m - 3 > 0 ⇔ m < - 1 ; m > 3

Vậy với m < - 1 hoặc m > 3 thì (C) là một đường tròn có tâm I(- m + 1 ; 3m ) và bán kính R = m2 −2m−3

3 Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau : a) x 2 + y 2 – x + 3y – 4 = 0

b) - x 2 – y 2 + 4x – 6y + 5 = 0

c) 2x 2 + 2y 2 – 3x – y - 1 = 0

Giải

4 c

;

2

3 b

;

21

a : có Ta

Vậy tâm I(21;-23) và bán kính R = 41 +49 +4 = 226

b) – x 2 – y 2 + 4x – 6y + 5 = 0

x 2 + y 2 - 4x + 6y - 5 = 0

a = - 2 ; b = 3 ; c = - 5

⇔

Ta có :

Vậy tâm I(2;-3) và bán kính R = 4+9+5 =3 2

c) 2x 2 + 2y 2 - 3x - y - 1 = 0

⇔ x 2 + y 2 - 3/2 x - 1/2 y - 1/2 = 0

2

1 c

;

4

1

b

;

4

3

Ta có :

Vậy tâm I(43;41) và bán kính R = 169 +161 +21 =342

III/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0

và điểm M(x 0 ;y 0 )

P (M/(C)) = IM 2 - R 2

= (x 0 + a) 2 + (y + b) 2 - a 2 - b 2 + c

+ (C) có tâm I(-a;-b) , bán kính R =

+ ta có :

c b

a2 + 2 −

= x 0 2 + y

0 2 + 2ax + 2by + c IV/ Trục đẳng phương của hai đường tròn

P (M/(C)) = x 0 2 + y 0 2 + 2ax + 2by + c Vậy

Cho hai đường tròn không đồng tâm :

(C 1 ) : x 2 + y 2 + 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 = 0

(C 2 ) : x 2 + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 = 0

M(x;y) thuộc trục đẳng phương khi và chỉ khi :

P (M/(C 1 )) = P (M/(C 2 ))

⇔ x 2 + y 2 + 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 = x 2 + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2

⇔ 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 - 2a 2 x - 2b 2 y - c 2 = 0

⇔ 2(a 1 - a 2 )x + 2(b 1 - b 2 ) y + c 1 - c 2 = 0 (1)

Vì a 1 – a 2 và b 1 – b 2 không đồng thời bằng 0 nên (1)

là phương trình của đường thẳng

Như vậy PT của trục đẳng phương là :

2(a 1 - a 2 )x + 2(b 1 - b 2 ) y + c 1 - c 2 = 0

Bài 1: Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau :

a) x2 + y2 - 2x- 2y- 2 = 0

b) 16x2 +16y2 +16x -8y = 11.

c)

GIẢI

Ta có: -2a = -2 a = 1.

-2b =-2 b = 1.

c = -2.

Vậy tâm của đường tròn là I(1;1).

Bán kính đường tròn là R =

4

) 2

3 (

) 2

5

⇔

2 2

1 1

2

a

⇔

BÀI TẬP

b)16x2 + 16y2 + 16x - 8y = 11

x2 + y2 + x -

ta có : -2a = -1

-2b =

Vậy tâm của đườnh tròn là T ( )

Bán kính của đường tròn là : R =

c)

Vậy tâm của đường tròn I(5;-3) Bán kính của đường tròn : R = = 4

⇔

0 16

11 2

1

=

−

y

2

1

−

=

⇒ a

4

1 2

1

=

⇒

16

11

−

=

c

4

1

; 2

1

−

1 16

11 16

1 4

1

= +

+

4

) 2

3 (

) 2

5

16

16 )

3 (

) 5 ( − 2 + + 2 =

4 4

) 3

( 4

) 5

=

− +

x

• Bài 2 Viết pt đường tròn biết:

a) Qua A(1;2) và có tâm I(-3;1)

• b) Qua ba điểm A(1;2), B(-3;0), C(3;-2)

• c) Tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng d :x+2y-3 =0

• d) Qua A(1;2);B(3;1), có tâm nằm trên đường thẳng :7x+2y-3=0 GIẢI

a)Viết pt đ tròn qua A(1;2) và có tâm I(-3;1)

Vì đường tròn tâm I(-3;1) và qua A(1;2) nên có bán kính

R = IA =

Pt đường tròn tân I(-3;1) có bán kính R= là:

(x+3)2 +(y-1)2 = 17

b) Viết pt đtròn qua 3 điểm A(1;2), B(-3;0), C(3;-2)

Cách 1 Gọi đ tròn ( C) : x2 +y2 -2ax -2by +c = 0

Vì ( C) qua 3 điểm A(1;2) ,B(-3;0) , C(3 ;-2) nên

∆

17 )

1 2 ( )

3 1

17

1+4 -2a -4b +c =0

9 +6a +c =0

9 +4 -6a +4b +c =0

Vậy ( C) : x2 +y2 +2x -9 =0

C2) Gọi tâm đ tròn I(a;b) Vì đ tròn đi qua A,B,C nên

IA = IB IA2 = IB2

IA = IC IA2 = IC2

(1-a)2 + (2-b)2 = (-3-a)2 + b2

(1-a)2 + ( 2-b)2 = (3-a)2+( -2-b)2

2a +b = -1 a=0

a-2b = 2 b=-1

Vậy tâm I(0;-1) , bán kính R = IA =

do đó ptđt : (x-0)2 + ( y + 1 )2 = 10

{

{

{

{

⇔

⇔

⇔

10

0

6

0 4

6

−

= +

−

−

=

+

= +

+

−

c b

1 9

=

−

=

−

=

a b c

⇔

c) Viết pt đ tròn tâm I ( 6; 1) và t xúc với đường thẳng d: x+2y-3=0

Vì đường tròn tâm I(6;1) tiếp xúc với d: x+2y-3 = 0 nên

R= d(I’d) =

Ta có IA = IB

I ( )

IA2 = IB2

I(a,b) : 7x-2y-2 = 0

(1-a)2 + (2-b)2 = (3-a)2 + (1-b)2

7a -2b -2 = 0

4a -2b – 2 = 5 a = -1

7a -2b = 2 b = -9/2

Vậy tâm I(-1;-9/2) , bán kính R = IA =

Do đó pt đ tròn

4 1

3 2

6

+

−

+

5

=

⇔

4

169

4 +

4

185

=

4

185 )

2

9 (

) 1 ( x + 2 + y + 2 =

⇔

Bài 3 : Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 -4x +8y -5 =0 và 2 điểm A ( -1;0), B(3;-11)

a) Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn

b) tính , Suy ra vị trí tương đối của A và B đối với (C) c) Viết pttt của đường tròn đi qua điểm A(-1;0)

d) Viết pttt của đường tròn đi qua điểm B(3;-11)

e) Viết pttt của đường tròn biết t.tuyến song song với d: 2x-y = 0

GIẢI

a)Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn:

( C) x2 + y2 - 4x+8y - 5 =0

Tâm đường tròn : I (2;-4)

Bán kính đường tròn : R = = =5

b) = 1 + 4 – 5 = 0 A( -1;0) ( C)

= 9 + 121 – 12 – 88 – 5 = 25 > 0

nên B nằm ngoài đường tròn

)

/(c

A

5 16

)

/(c

A

)

/(c

B

ρ

c)Viết pttt của đường tròn ( C) đi qua A( -1;0)

Vì A(-1;0) ( C) nên

Pttt của ( C) qua A(-1;0) có VTPT = (3;-4) là

3(x+1) -4( y-0) = 0 3x -4y +3 = 0

d) Viết pttt củ ( C) qua B (3;-11)

Vì B(3;-11) nằm ngoài đ tròn nên đương thẳng qua B có dạng: A(x-3) + B ( y+11 ) = 0 Ax + By -3A +11 B = 0

Do tiếp xúc với ( C)

d(I; ) = R = 5

=5 A2 -14AB + 49 B2 = 25A2 + 25B2

24A2 + 14 AB - 24 B2 = 0

Chọn B = 1 : 24 A2 +14A -24 = 0 A =

Vậy

∈

∆

⇔

∆

11 3

4 2

B A

B A

B

A

+

−

−

−

⇔

2

A +

⇔

4

3

ν A = − 3 4

0

11 4

9 4

3 : :

1

; 4

3

∆

=

A

3x+4y +35 = 0

Bài 4 Gọi ( ) là đường có pt :

x2 + y2 - 2(m+2) x + 4my +19m -6 = 0

a) tìm m để( ) là đường tròn

b)Tìm m để ( ) là đường tròn có bán kính bằng 10

c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn ( )

GIẢI

a) ( ) :x2 + y2 - 2(m+2 )x + 4my+ 19m - 6 = 0

Ta có :-2a = - 2(m+2) a = m+2

-2b = 4m b = -2m ; c = 19m -6

( ) là đường tròn a2 + b2 –c2 > 0

(m+2)2 +4m2 -19m +6 > 0 5m2 -15m +10 > 0 m< 1 v m>2 Vậy m<1 v m>2 thì ( ) là đường tròn

⇔

⇔

0 11

4 4

3 :

: 1

, 4

3

∆

=

−

= B x y

m

C

⇔

⇔

⇔

m

C

m

C

m

C

m

C

m

C

m

C

⇔

b)Tìm m để ( ) là đường tròn có bán kính bằng 10:

Khi m<1 v m> 2 thì ( ) là đường tròn có bán kính

Để ( ) có bán kính bằng 10

R = 10 = 10

5m2 -15m + 10 = 100

m2 – 3m -18 = 0

m = 6 v m = - 3

Vậy m = 6 v m = - 3 thì ( ) có bán kính R = 10

c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn ( )

Với m <1 v m>2 thì ( ) là đường tròn tâm I (m+2;-2m)

Do

⇔

⇔

c b

a

R = 2 + 2 − = ( m + 2 )2 + 4 m2 − 19 m + 6 = 5 m2 − 15 m + 10

m

C

m

C

m

C

10 15

5m2 − m +

⇔

⇔

⇔

m

C

m

C

m

C

2

+

=

−

=

m

) 2 (

2

−

=

−

=

⇒ I

I I

x

m

x

0 4 2

−

=

=

− +

⇒ I

I I

x

m

y

x

2

<

>

m

m [ 2 1

2 2

<

−

>

−

I I

x

x [ 3

4

<

>

I I

x x

⇔

⇔

Vậy tập hợp các tâm đường tròn là phần đường thẳng

2x + y – 4 = 0

x < 3 v x > 4

H E ÁT

- - - @ - - - @ - - - @ - - - @

{