Chuyờn HèNH GI I TCH TRONG KHễNG GIAN Luyn thi i hc 2012 Ch s nhng ai khụng chu c gng ! Cũn cỏc em? Ch 3 : PHNG TRèNH NG THNG I- Lí THUYT: 1. Vect ch phng ca ng thng : ( ) 1 2 3 ; ; a a a a l 1 vect ch phng ca t 0 // . a d a d ỡ ạ ớ ợ 2. Phng trỡnh tham s: ng thng d i qua 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z v cú 1 vect ch phng ( ) 1 2 3 ; ;a a a a . 0 1 0 2 0 3 : ( ) x x a t d y y a t t R z z a t = + ỡ ù = + ẻ ớ ù = + ợ (1) 3. Phng trỡnh chớnh tc : ng thng d i qua ( ) 0 0 0 0 ; ;M x y z v cú 1 vect ch phng ( ) 1 2 3 ; ;a a a a . 0 0 0 1 2 3 : x x y y z z d a a a - - - = = (2) ( ) 1 2 3 . . 0 a a a ạ * Gii thiu thờm: 4. Phng trỡnh tng quỏt : ng thng d trong Oxyz c xem l giao tuy n ca 2 mt phng (P), (Q) . 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : 0; ( ) : 0P a x b y c z d Q a x b y c z d+ + + = + + + = 1 1 1 1 2 2 2 2 0 ( ) ( ) : 0 a x b y c z d d P Q d a x b y c z d + + + = ỡ = ầ ớ + + + = ợ (3) Chỳ ý: Xỏc nh xỏc nh vect ch phng ca d nh sau: + G i a l 1 vtcp c a d . + Mp (P) cú 1 vtp P n Mp (Q) cú 1 vtp Q n + Ta cú: chọn , ^ ỡ ù ộ ự ị = ớ ở ỷ ^ ù ợ P P Q Q a n a n n a n 5 . Thut toỏn : LP PHNG TRèNH NG THNG Thut toỏn 1 : Bc 1: Xỏc nh ( ) 0 0 0 0 ; ; .M x y z dẻ Bc 2: Xỏc nh 1 vect ch phng ( ) 1 2 3 ; ;a a a a ca d . B c 3: p dng cụng thc (1 ) ho c (2 ). 0 1 0 2 0 3 : ( ) x x a t d y y a t t R z z a t = + ỡ ù = + ẻ ớ ù = + ợ 0 0 0 1 2 3 : x x y y z z d a a a - - - = = Thut toỏn 2: Da vo phng trỡnh tng quỏt, xỏc nh hai mt phng (P) v (Q) cú giao tuy n l ng thng d cn tỡm. (Theo yờu cu bi toỏn) d a' a M 0 a d Q P d Q P Chuyên đề HÌNH GI ẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng ! Còn các em?” II- LUYỆN TẬP: D ạng 1 : Xác định vectơ chỉ phương và chuyển đổi các phương trình đường thẳng. Phương pháp: * Vectơ ch ỉ phương : 0 // . a a d ì ¹ í º î - P hương trình của đt dạn g (1), (2 ) thì đường th ẳng có 1 vtcp ( ) 1 2 3 ; ;a a a a . - Đ ối với phương trình dạng (3), thuật toán xác định vtcp đã có ở trên. * Chuy ển đổi giữa các loại phương trình: 1. T ừ tham s ố sang chính t ắc và ngư ợc l ại: 0 1 0 0 0 0 2 1 2 3 0 3 : ( ) x x a t x x y y z z d y y a t t a a a z z a t = + ì - - - ï = + Û = = = í ï = + î 2. T ừ tham s ố sang t ổng quát: 0 0 1 1 0 2 0 3 (4) : (5) (6) x x x x a t t a d y y a t z z a t - ì = + Û = ï ï ï = + í ï = + ï ï î Thay t t ừ (4 ) vào phương tr ình (5), (6 ). 3. T ừ t ổng quát sang tham s ố : Bước 1: Ch ọn 1 đ i ểm 0 0 0 0 ( ; ; ) . M x y z dÎ ( VD: T ừ ph ươn g trình (1) cho 0z = và gi ải ra , x y ) Bước 2: Xác định 1 vect ơ ch ỉ ph ươ ng c ủa d . BÀI TẬP: 1) Xác định vectơ chỉ phương của các đường thẳng cho bởi phương trình sau: 1 2 3 5 6 1 0 3 2 0 a) : 2 3 ( ) b) : c) : 3 6 0 4 2 1 0 3 4 2 5 0 1 d) : e) : 2 2 3 0 3 2 x x y x y z y t t R x y z x y z z t x y z x y z x z = ì - = + + = ì ì ï D = - Î D D í í í + + + = + + + = î î ï = + î - + + = ì - D D = = + í - + = î 2) Viết phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau: 3 5 2 0 4 0 a) : b) : 2 7 1 0 2 3 1 0 x y z x y d x y z x y z - + - = + = ì ì D í í - + + = - - + + = î î 3) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng: 1 1 1 a) : 2 3 ( ) b) : 3 c) : 1 2 ( ) 2 3 2 2 x t x t x y d y t t R d z d y t t R z t z = - + = - + ì ì - ï ï = - Î = = - = + Î í í ï ï = = î î 4) Cho đư ờng th ẳng : 1 2 2 y d x z- = = - và đ i ểm (1;0;1) A . T ìm trên d : a) Đ i ểm M sao cho 2AM = . Chuyên đề HÌNH GI ẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 “Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng ! Còn các em?” b) Đ i ểm B, C sao cho tam giác ABC đều . c) Đ i ểm B, C sao cho tam gi ác ABC vuông cân t ại A. d) Đ i ểm M sao cho M cách đều A và mp ( ) : 3 4 1 0x y a - + = . 5) Cho đư ờng th ẳng 1 : 2 3 2 x t y t z t = + ì ï D = - í ï = î và đ i ểm (1;2;3) A . X ác đ ịnh to ạ đ ộ : a) Đ i ểm H l à hình chi ếu vu ông góc c ủa A l ên đư ờng th ẳn g D . b) Đ i ểm / A là đ i ểm đố i x ứng v ới A qua đường th ẳng D . 6) Cho hai m ặt ph ẳng ( ) : 3 2 0 x ky z a + - + = v à ( ) : 2 1 0 kx y z b - + + = . T ìm k đ ể giao tuy ến c ủa ( ), ( ) a b : a) Vuông góc v ới m ặt ph ẳng ( ) : 2 5 0 P x y z- - + = . b) Song song v ới m ặt ph ẳng ( ) : 2 5 0 P x y z- - + = . Dạng 2 : L ẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1) Vi ết phương trình tham số v à chính t ắc c ủa đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: a. Qua ( ) 2;0; 1 A - và có 1 vectơ chỉ phương ( 1;3;5)u - . b. Qua ( ) 2;3; 1A - và ( ) 1;2;4B . c. Các đường th ẳng qua đ i ểm ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ; ; . . 0 M x y z x y z ¹ v à song song v ới m ỗi tr ục to ạ đ ộ . 2) Viết phương trình đường thẳng d : a) Qua ( ) 4;3;1 A và song song với đt 1 2 : 3 ( ) 3 2 x t y t t R z t = + ì ï D = - Î í ï = + î b) Qua ( ) 1;2; 1A - và song song v ới đt: 1 : 2 3 x z y + D = = 3) Viết phương trình đường thẳng d qua ( ) 2;1;0M - và: a) Vuông góc v ới c ác m ặt ph ẳng to ạ đ ộ (Oxy), (Oyz), (Oxz). b) V uông góc với mp ( ) : 2 2 1 0.x y z a + - + = 4) Vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d đ i qua (2; 1;1)A - và vuông góc v ới hai đường th ẳng : 1 2 : 1 ( ) : 1 2 ( ) 2 0 x t x t y t t R y t t R z t z = = ì ì ï ï D = - - Î D = - Î í í ï ï = = î î 5 ) Vi ết phương trình mặt phẳng ( ) a đi qua ( ) 3; 2;1A - và vuông góc với : 1 2 3 x z yD = - = - . 6) Cho hai m ặt ph ẳng ( ) : 2 1 0x y z a + - + = và ( ) : 2 3 0x y z b + + + = . Ch ứng t ỏ r ằng hai m ặt ph ẳng ( ), ( ) a b c ắt nhau và vi ết ph ươ ng trình tham s ố c ủa giao tuy ến gi ữa hai m ặt ph ẳng đó . 7 ) Cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1; 2;5 , 3; 1;4 , 4;1; 3 A B C- - - . Viết phương trình: a) Cạnh BC. b) Đường trung tuyến AM. c) Đư ờng cao AH của tam giác ABC. d) Đư ờng trung trực của cạnh BC. e) Đường phân giác giác trong của góc A . Chuyờn HèNH GI I TCH TRONG KHễNG GIAN Luyn thi i hc 2012 Ch s nhng ai khụng chu c gng ! Cũn cỏc em? 8*) Vi t cỏc phng tr ỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng 1 2 : 3 2 3 x y d z - + = = - lờn m i m t ph ng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) v ( ) : 7 0x y za + + - = 9*) Cho m t ph ng ( a ): 2 3 4 0x y z- + - = v ng th ng 1 3 : 2 4 x y z + + D = = . a) Xỏc nh giao i m A c a t D v mp ( ) a . b) Vi t ph ng tr ỡnh ng th ng d qua A n m trong mp ( ) a v vuụng gúc v i D . 10*) (Kh i A_2008) Trong khụng gian v i h to Oxy ,cho im ( ) 2;5;3A v ng thng 1 2 : 2 1 2 x y z d - - = = a ) Tỡm to hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn ng thng d. b ) Vit phng trỡnh mp( a ) cha d sao cho khong cỏch t A n ( a ) ln nht . 11*) (Kh i B_2007 ) Trong khụng gian v i h to Oxyz, cho hai im , ( ) 1;4;2 ,A v ( ) 1;2;4 B - ng thng 1 2 : 1 1 2 x y z - + D = = - . a ) Vit phng trỡnh ng thng d i qua tõm G ca tam giỏc OAB v vuụng gúc V i mt phng (OAB) b ) Tỡm to M thuc ng thng D sao cho 2 2 MA MB+ nh nht. 12*) (Khi B_2006 ) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im ( ) 0;1;2A v hai ng thng: 1 2 1 1 1 : 1 2 : 2 1 1 2 . x t x y z d y t d z t = + ỡ - + ù = - - = = ớ - ù = + ợ a) ) Vi t phng trỡnh mt phng (P) qua A , ng thi song song vi d 1 v d 2 . b ) Tỡm to d im N thuc d 1 v im M thuc d 2 sao cho ba im A, M, N thng hng . 13*) (Khi B_2006 ) Trong khụng gian Oxyz cho im ( ) ; ;A - -4 2 4 v: d: . x t y t z t = - + ỡ ù = - ớ ù = - + ợ 3 2 1 1 4 Vi t phng trỡnh ng thng i qua im A, ct v vuụng gúc vi dng thng d. 14*) (D b Khi B_2006 ) Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ) ; ; , ; ; A B4 2 2 0 0 7 và đờng thẳng: 3 6 1 : 2 2 1 x y z d - - - = = - .Chứng minh rằng hai đờng thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đờng thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A . 15*) (Kh i A_2002 ) Trong khụng gian v i h to Oxyz cho hai ng thng : : x y z d x y z - + - = ỡ ớ + - + = ợ 1 2 4 0 2 2 4 0 : . x t d y t z t = + ỡ ù = + ớ ù = + ợ 2 1 2 1 2 a) Vi t phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d 1 v song song vi ng thng d 2 . b) Cho im ( ) ; ;A 2 1 4 . Tỡm to im H thuc ng thng d 2 sao cho on thng MH cú di nh nht. . của các đường thẳng sau: 3 5 2 0 4 0 a) : b) : 2 7 1 0 2 3 1 0 x y z x y d x y z x y z - + - = + = ì ì D í í - + + = - - + + = î î 3) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng: . ( ) : 2 5 0 P x y z- - + = . Dạng 2 : L ẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1) Vi ết phương trình tham số v à chính t ắc c ủa đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: a. Qua ( ) 2;0; 1 A. gian Oxyz cho ( ) ( ) ; ; , ; ; A B4 2 2 0 0 7 và đờng thẳng: 3 6 1 : 2 2 1 x y z d - - - = = - .Chứng minh rằng hai đờng thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đờng thẳng