CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG

CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNGCHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG

Trang 1

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

I - LÝ THUYẾT:

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Vectơ a 0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của

vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d

2 Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Đường thẳng d đi qua M x y z và có 1 vectơ chỉ phương 0 0; 0; 0 aa a a1; ;2 3

+ Phương trình tham số của đường thẳng d là:

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng

0 1

0 3:

Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương bb b b 1; ;2 3

Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của a và b

Điều kiện 1: a và b không cùng phương

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:

Kết luận: d1 cắt d2 tại điểm M x0 0a t y1 0; 0a t z2 0; 0a t3 0

d a'

a

M0a

Trang 2

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra t k và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì 0; 0

t k , ngược lại thì không) 0; 0

 TH2: d1 và d2 chéo nhau

Điều kiện 1: a và b không cùng phương

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:

 TH3: d1 song song với d2

Điều kiện 1: a và b cùng phương

Điều kiện 2: Chọn điểm M x y z0( ;0 0; )0 d1 Cần chỉ rõ M0d2

 TH4: d1 và d2 trùng nhau

Điều kiện 1: a và b trùng nhau

Điều kiện 2: Chọn điểm M x y z0 0; 0; 0 Cần chỉ rõ d1 M0d2

Đặc biệt: d1 d2 a b  0 a b1 1a b2 2a b3 3  0

- Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u d vµ M0d

- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương / vµ 0/

,,

Trang 3

II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

LOẠI 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

+ Vectơ a 0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d

+ Nếu a là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì ka k ,( 0) cũng là 1 vectơ chỉ phương của d

+ Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d Nếu có 2 vectơ a b, không cùng phương và

 thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u  a b,  hoặc u k a b  , , k0

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1 1 2; ;  , B 2 3 1; ; , C 4 2 0; ; ; các đường thẳng 1  

1

2 3

3 4:

d) Đường thẳng d2qua B và song song vớiOy

e) Đường thẳng d3qua C và vuông góc với ( )P

f) Đường thẳng d4quaB , vuông góc với Ox và 1

g) Đường thẳng d5 ( )Q qua O và vuông góc với 2

h) Đường thẳng d6là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ),( )P Q

i) Đường thẳng d7 qua B vuông góc với 2và song song với mặt phẳng (Oxy)

j) Đường thẳng d8 quaA , cắt và vuông góc với trục Oz

Bài giải:

a) Đường thẳng 1có 1 vectơ chỉ phương là a ( ;0 3 4 ; )

b) Đường thẳng 2có 1 vectơ chỉ phương là b ( ;3 3 2 ; ) Ta có: d1/ /2 nên b ( ;3 3 2 ; )

cũng là 1 vectơ chỉ phương của d1

c) Đường thẳng AB có 1 vectơ chỉ phương là AB ( ; ;1 4  1)

d) Đường thẳng d2 / /Oy nên có 1 vectơ chỉ phương là j ( ; ; )0 1 0

e) Mặt phẳng ( )P có 1 vectơ pháp tuyến là n 1 ( ; ;1 3 2 ) Đường thẳng d3 ( )P nên có 1 vectơ chỉ phương là n 1 ( ; ;1 3 2 )

f) Gọi u4 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d4

Trang 4

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : x3ky z   và 2 0

  : kx y 2z   Tìm k để giao tuyến của 1 0     , 

Trang 5

LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu viết phương trình đường thẳng thì ta viết phương trình tham số hay

phương trình chính tắc của đường thẳng đều đượ C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A2 0; ; , 1 B2 3; ; , 3 C1 2 4; ; ,

 1 2 1; ; 

D  ; đường thẳng thẳng 1 1

2:

trình của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) Qua A và có 1 vectơ chỉ phương u   1 3 5; ; 

b) Qua 2 điểm ,B C c) QuaM01 2 3; ;  và song song với trục tung

d) Qua C và song song với 1 e) Qua B và vuông góc với Oxz 

f) Qua D và vuông góc với  

Trang 6

Bài giải:

a) Đường thẳng d qua A2 0; ; và có 1 vectơ chỉ phương 1 u   1 3 5; ; , có phương trình tham số là:

23

1 5

3 7

c) Đường thẳng d qua M01 2 3; ; Ox và song song với trục Ox nên nhận i 1 0 0; ;  làm

1 vectơ chỉ phương, có phương trình tham số:

123

y z

Đường thẳng d vuông góc với Oxz nên nhận  j ( ; ; )0 1 0 làm 1 vectơ chỉ phương Vậy

phương trình tham số của đường thẳng d là:

233

n   Đường thẳng d vuông góc với   nên nhận n 3 5; ; làm 1 vectơ chỉ phương 1

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là: 1 2 1

a) Qua A và vuông góc với các đường thẳng 1, AB

b) Qua B và vuông góc với đường thẳng AC và trục Oz

Trang 7

c) Qua O và song song với 2 mặt phẳng    , Oyz

d) Qua C , song song với   và vuông góc với 2

e) d là giao tuyến của hai mặt phẳng     , 

y z

c) Đường thẳng d qua O0 0 0; ; ; n 1 1 2; ; là 1 vectơ pháp tuyến của 1   ; i 1 0 0; ; 

là 1 vectơ pháp tuyến của Oyz Ta có: ; n i1,   0; 1 2; 

Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d Ta có: u n1

d) Đường thẳng d qua C1 2 2; ; ; n 2 1 1 2; ;  là 1 vectơ pháp tuyến của   ; u 2 2 1 1; ; 

là 1 vectơ chỉ phương của 2;Ta có: n u2, 2   ( 1 3; ;1).Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d Ta

x y

  

 

 A5 2 0; ;  d + Xác định vectơ chỉ phương của d : Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của D Ta có: 1

Trang 8

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua

Suy ra: B1 2 1; ;  Đường thẳng d đi qua A2;1 1;  và có 1 vectơ chỉ phương là AB 1 1 0; ; 

nên có phương trình tham số là:

211

Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua A và song song với mp(P):

Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q),  AB

Trang 9

http://tailieugiangday.com – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất

A



P

Vớ dụ 8: (Khối A- 2007) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trỡnh đường thẳng

d vuụng gúc với mp(P), đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1, d2 với

Bư ớ c 1: Viết phư ơng trình mp( ) chứa d và vuông góc vớ i (P)

Bư ớ c 3: Đ ư ờng thẳng cần tìm là giao tuyến của mp( ) và mp( )

Bư ớ c 2: Xá c định giao điểm A của d và mp( )

Bư ớ c 3: Đ ư ờng thẳng cần tìm đi qua A và vuông góc vớ i mp(P)

Kiểm tra sự cắt nhau (



Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phư ơng)

Cỏch 3: Sử dụng kỹ năng khỏi niệm “thuộc” (Tỡm ra 2 giao điểm M, N)

Trang 10

Bài giải:

Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là u 2 1 3; ; 

Mặt phẳng   đi qua A3;2 1;  và vuông góc với  nên nhận u 2 1 3; ; làm 1 vectơ pháp tuyến, có phương trình: 2x 3 1 y2 3 z  1 0 2x y 3z  1 0

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp  và mặt cầu ( )S có phương trình như sau:     2 2 2

          a)Chứng minh:   cắt ( )S theo một đường tròn có tâm H

b)Gọi I là tâm mặt cầu ( )S Viết phương trình đường thẳng IH

Bài giải:

a)Mặt cầu ( )S có tâm I( ;2 1 0 ; ), bán kính R  Ta có: 5 6

3( ,( ))

d I    R   cắt ( )S

theo một đường tròn có tâm H

b)Đường thẳng IH đi qua I( ;2 1 0 ; ) và nhận VTPT của   là n ( ; ; )1 1 1 làm vectơ chỉ

phương nên có phương trình chính tắc: 2 1

y

x    z

LOẠI 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết

Ví dụ 11: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

2 21

;

/ / /

1 2d) ;

/ / /

a) Đường thẳng 1 đi qua điểm M1 0 3; ;  và có 1 vectơ chỉ phương a 1 2; ; 1

Đường thẳng 2 đi qua điểm N2 3 5; ;  và có 1 vectơ chỉ phương b 2 4; ; 2

Ta có: a b,   0,MN 1 3 2; ; ,a MN,   7;3 1;   0 1/ /2

b) Đường thẳng 1 đi qua điểm M3 4 5; ;  và có 1 vectơ chỉ phương a   1 1 2; ; 

Đường thẳng 2 đi qua điểm N2 5 3; ;  và có 1 vectơ chỉ phương b   3 3; ; 6

Ta có: a b,   0,MN   1 1 2; ; ,a MN,       0 1 2

c) Đường thẳng 1 đi qua điểm M1 2; ; và có 1 vectơ chỉ phương 3 a 1 3; ; 1

Trang 11

Đường thẳng 2 đi qua điểm N2;2 1;  và có 1 vectơ chỉ phương b   2 1 3; ; 

Ta có: a b,   10;1 7; 0,MN 1 4 4; ; ,a b MN,  35   0 1, 2 chéo nhau

d)Đường thẳng 1 đi qua điểm M0;1 0;  và có 1 vectơ chỉ phương a 2 3 1; ; 

Đường thẳng 2 đi qua điểm N1 2 1; ;  và có 1 vectơ chỉ phương b 3 2 2; ; 

Ta có: a b,   4;  1 5;  0,MN 1 1 1; ; ,a b MN,     0 1, 2 cắt nhau

Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng

sau theo A4 2 2; ;  , B 0 0 7; ;  với

12

1 3

:

Đường thẳng dm qua điểm A1; ;m1m và có 1 vectơ chỉ phương là d2

Đường thẳng d/m qua điểm B m ; ;0 1m và có 1 vectơ chỉ phương là u2   2; ;m1

d chéo nhau

Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1

5:2

Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương là u11; ; 1a  

Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là u 2 2; 4; 2 

a) d1 vuông góc với d2 u1 u2 u u1 2   0 2 4a    2 0 a 1

b) d1 song song với d2 u u1, 2 cùng phương u u1, 2     2a 4; 0; 0  0 a 2

Trang 12

Kiểm tra lại: Với a  thì 2 1

5: 22

/

1 2: 2 4

5 1 2

0 2 4

2 2 2

t t t

Vậy khi a  thì 2 d1 song song với d2

Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1

1: 23

Đường thẳng 1 qua điểm A1; 0; 3 và có 1 vectơ chỉ phương là u 1 1; 2; 1 

Đường thẳng 2 qua điểm B2; 3; 5 và có 1 vectơ chỉ phương là u 2 2; 4; 2 

Trang 13

Đường thẳng 1 qua điểm A2; 2;1  và có 1 vectơ chỉ phương là u 1 1; 3; 1 

Đường thẳng 2 qua điểm A2; 2;1  và có 1 vectơ chỉ phương là u  2  2;1; 3

a) Ta có: u u1, 2  10; 1; 7 0 và    1 2  A

Từ đó suy ra, 1 và 2 cắt nhau

b) Gọi n P là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm

a) Chứng minh 1 và 2 chéo nhau

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 và song song với 2

Bài giải:

Đường thẳng 1 qua điểm A3;1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u  1  7; 2; 3

Đường thẳng 2 qua điểm B8; 5; 8 và có 1 vectơ chỉ phương là u 2 1; 2; 1 

a) Ta có: u u1, 2      8; 4; 160 và AB 5; 4;7

Xét u u1, 2.AB  40 16 112  168 0 Từ đó suy ra, 1 và 2 chéo nhau

b) Gọi n P là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với d1và d2

c) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2

Bài giải:

Đường thẳng d1 qua điểm A8; 5; 8 và có 1 vectơ chỉ phương là u 1 1; 2; 1 

Trang 14

Đường thẳng d2 qua điểm B3;1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u  2  7; 2; 3

a) Ta có: u u1, 2  8; 4;160 và AB     5; 4; 7

Xét u u1, 2.AB  40 16 112  168 0 Từ đó suy ra, d1 và d2 chéo nhau

b) Gọi n P là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm

a) Đường thẳng d1 qua điểm A1; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương là u 1 1; 2; 2 

Đường thẳng d2 qua điểm B2; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương là u 2 2; 4; 4 

a) Ta có: u u1, 2  0 và AB 1; 0; 0 Xét u AB1,   0; 2; 2   0 Từ đó suy ra, d1 và d2

song song, tức là d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng

Gọi n P là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm Ta có: P 1

Trang 15

(P): 0x 1 2 y2 2 z0     0 y z 2 0b) Ta có 3 , 4

2 221

Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng  CD

Đường thẳng  qua D4; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương là 2  

2;1; 13

55

Trang 16

Kết luận: Mặt phẳng (P): x2y z  2 0 là mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán

LOẠI 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

+Nếu (1) vô nghiệm thì d/ /( )P

+Nếu (1) có nghiệm duy nhất t t 0thì d cắt ( )P tại M x 0a t y1 0; 0a t z2 0; 0a t3 0

+Nếu (1) có vô số nghiệm thì d ( )P

Chú ý: Nếu VTCP của d cùng phương với VTPT của ( )P thì d ( )P

Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , và 3 đường thẳng d1: 1 2

Trang 17

http://tailieugiangday.com – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất

, ta thấy hệ cú vụ số nghiệm Suy ra d3 ( )P

Vớ dụ 21: Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x y 3z 4 0 và đường

thẳng : 1 3

y x

z



a) Xỏc định giao điểm A của đt  và mặt phẳng  

b) Viết phương trỡnh đường thẳng d qua A nằm trong mp  và vuụng gúc với 

Bài giải:

a) Ta cú:

1 2: 3 4

2  1 2t   3 4t    3t 4 0 3t    3 0 t 1 A 1;1;1

b) Mặt phẳng   cú 1 vectơ phỏp tuyến là n 2; 1; 3 

Đường thẳng  cú 1 vectơ chỉ phương là u 2; 4;1

Gọi u d là 1 vectơ chỉ phương của D Ta cú: d

b) Viết phương trỡnh đường thẳng  nằm trờn mp(P), đồng thời cắt d1 và d2

Bài giải:

1

2

Bư ớ c 1: Xá c định giao điểm A của d và mp(P)

Bư ớ c 2: Xá c định giao điểm B của d và mp(P)

Kết luận: Đ ư ờng thẳng cần tìm là đư ờng thẳng AB.

Trỡnh bày:

Trang 18

Ta có: 1 2

4: 3 2 ; :

Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng  CD

Đường thẳng  qua C  2; 7; 5 và có 1 vectơ chỉ phương là CD 5; 8; 4  , có phương trình

LOẠI 5: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho điểm A x y z A; A; A và đường thẳng

Gọi H là hình chiếu của A lên d

+) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A và vuông góc với d

+) Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa  H  ( )d P

Ví dụ 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  1; 0; 0  và đường thẳng

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng 

b)Tìm tọa độ điểm A  đối xứng với A qua đường thẳng 

d

d u

A

H

d u d

P

Trang 19

Bài giải:

a)Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là u 1; 2;1

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng 

1

A

A A

A A A

x

x y

y z z

.Vậy A  2; 0; 1  

LOẠI 6: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG

Cho điểm M x M;y M;z M và mặt phẳng ( ) :P Ax By Cz D   0

Gọi H là hình chiếu của A lên mp P( )

+)Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mp P( )

+)Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa  H  ( )d P

Ví dụ 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  1; 4; 2  và mặt phẳng

   

( ) : P x y z 1 0

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( ) P

b)Tìm tọa độ điểm M  đối xứng với M qua mặt phẳng ( ) P

Bài giải:

a) Mặt phẳng ( ) P có 1 vectơ pháp tuyến là n 1;1;1

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( ) P

+) Đường thẳng d qua M  1; 4; 2  và vuông góc với ( ) P nhận n 1;1;1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

P

M

H

( )P n d

P



M

Trang 20

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm M   3; 0; 2  

Ví dụ 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( ) : P x y z     5 0 và mặt cầu

2 2 2

( ) : S x y z 2 x 4 y 2 x 10 0

a) Chứng minh mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu ( ) S theo một đường tròn ( ) C

b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn ( ) C

+) Tìm tọa độ tâm H của đường tròn ( ) C

Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vuông góc điểm I lên mặt phẳng ( )P

a) Chứng minh mặt phẳng ( ) P tiếp xúc với mặt cầu ( ) S

b) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng ( ) P và mặt cầu ( ) S

Bài giải:

a) Mặt cầu ( )S có tâm I1; 2;1 , bán kính R 4

Ta có: d I P ;   3  R   cắt ( )S theo một đường tròn ( ) C

b) Gọi H tiếp điểm của mặt phẳng ( ) P và mặt cầu ( ) S

Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vuông góc điểm I lên mặt phẳng ( )P

Trang 21

Ví dụ 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết các phương trình hình chiếu vuông góc của

đường thẳng : 1 2 3

y x

d      trên mỗi mặt phẳng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) và z

  :x y z    7 0

Bài giải:

Ta có:

1 2: 2 3

+ Hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) là A11; 2; 0 

Hình chiếu vuông góc của B trên mp(Oxy) là B13;1; 0

Lúc đó, hình chiếu d/ của d trên mp(Oxy) là đường thẳng A B1 1

Đường thẳng d/ qua A11; 2; 0  và có 1 vectơ chỉ phương là A B 1 1 2; 3; 0, có phương trình:

/

1 2: 2 3

- Ta chọn A1; 2; 3  (Sử dụng thuật toán hình chiếu vuông góc điểm trên mặt phẳng) d

+ Đường thẳng d đi qua A1; 2; 3 , vuông góc với   nên d nhận n 1;1;1 làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình

1: 23

(4)

123

Trang 22

1 5:

Nhận xét: Trong cách giải trên, chúng tôi lấy thêm giao điểm (trong trường hợp cắt nhau) của d và  

cho nhanh gọn, còn nếu thông thường (và dễ hiểu) thì chọn 2 điểm và nếu như vậy thì bài giải tương đối dài dòng! Thuật toán như sau:

+ Xác định A’ là hình chiếu của A trên  

+ Xác định B’ là hình chiếu của B trên  

+ Đường thẳng d/ A B/ /

d' A' B'

B A

d



Ví dụ 28: (HVBCVT-2000) (Bài toán hình chiếu theo phương bất kì)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : x y z    và hai đường thẳng: 3 0

Trang 23

- Tọa độ hình chiếu A/ của A là nghiệm của hệ phương trình:

(1) (2) (3) (4)

LOẠI 7: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Cho điểm A và đường thẳng   A    đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho 2 đường thẳng chéo nhau d d ,

+) d đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u

+) d đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương  u

Trang 24

z a) Chứng minh 2 đường thẳng d và  d chéo nhau

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và  d

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d

Bài giải:

a)Đường thẳng d đi qua điểm M1; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương u  1; 2; 3

Đường thẳng d đi qua điểm M1; 3;1 và có 1 vectơ chỉ phương u 1; 2; 0 

z t

và  2 2 2 20( ) :( 1)

9

a) Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại tiếp điểm H Tìm tọa độ điểm H

b) Chứng minh đường thẳng d cắt mặt cầu ( )S tại 2 điểm phân biệt A B Tính độ dài ,

đoạn AB và tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB

Bài giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M1; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương u  1; 2; 2

Đường thẳng d đi qua điểm M1;1; 0 và có 1 vectơ chỉ phương u 2; 2;1 

Trang 25

 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng d d có các vectơ chỉ phương lần lượt , 

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u  1;1;1

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u 2; 1;1 

Trang 26

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u 1; 1;1 

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u 0; 2; 2

z

LOẠI 9: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG

+ Điểm M nằm trên đường thẳng

x x a t

d y y a t

z z a t

thì M x 0a t y1 ; 0 a t z2 ; 0a t3  + Từ điều kiện ta tìm được  t ? M ?

Ví dụ 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A2;1; 3, đường thẳng

Trang 27

a)Tìm tọa độ điểm M thộc đường thẳng d sao cho AM 11

b)Tìm tọa độ điểm N thộc đường thẳng d sao cho   1

a)Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm , ,A B C

b)Tìm tọa độ điểm M thộc mặt phẳng ( ) : 2P x2y z  3 0 sao cho MA MB MC  

b)Ta có: 2     2        2 

4 9 1 14, 4 1 1 6, ( 4; 2; 0) 20

Do đó: 2  2 2  

BC AB AC ABC vuông tại A

Vì MA MB MC nên M nằm trên đường thẳng vuông góc với   ABC tại tâm I đường tròn 

ngoại tiếp ABC

Ta có I là trung điểm của BCI0; 1;1 

Đường thẳng MI đi qua điểm I0; 1;1  và nhận n 1; 2; 4 

làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình tham số:

n

Trang 28

Nhận xét: Câu b có thể làm như sau: M(x;y;z) thuộc (P) nên 2x2y z  3 0; MA = MB = MC ta được thêm 2 phương trình theo x, y, z Giải hệ 3 phương trình ta tìm được x, y, z Cách này dễ hiểu hơn Độc giả làm thử nhé

HỆ THỐNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

Dạng toán: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và d 

Phương pháp:

+ Đường thẳng d đi qua A

+ Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương là

Trang 29

+ Đường thẳng d đi qua A (giải hệ 2 phương

d



III- BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN:

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A1; 2; 1 ,  B 3;1;1 , C 2;1; 5,

Trang 30

   ( ) :P x 2y z 1 0, ( ) : 2Q x y 2z 1 0. Viết phương trình đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

a) Qua trung điểm của đoạn AB và song song với đường thẳng d

b) Qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( )P

c) Qua A và vuông góc với mặt phẳng ( Oxy )

d) Qua B và song song với trục hoành

e) Qua C và song song với đường thẳng AD

f) Qua D và vuông góc với 2 đường thẳng d d , 

g) Qua A , vuông góc với đường thẳng d và trục tung

h) Qua B và song song với 2 mặt phẳng ( ),( ) P Q

i) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ),( )P Q

j) Qua C, song song với 2 mặt phẳng (Oxz Q ),( )

k) Qua O, song song với mặt phẳng ( )P và vuông góc với đường thẳng ( )P

l) Vuông góc với mặt phẳng ABC tại trọng tâm của tam giác ABC

Bài 2: (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A   4; 2; 4 và:

d:

3 21

Bài 3: (Khối D 2006 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng

d qua A1; 2; 3, vuông góc với d1 và cắt d2, với     

1

Trang 31

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d với mp  Viết phương trình mp 

qua điểm I và vuông góc với đường thẳng d

b) Cho điểm A0;1;1 Hãy tìm tọa độ điểm B sao cho mp  là mặt phẳng trung trực

a) Tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng  P

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và nằm trong  P

Bài 10: (Khối A_2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A2; 5; 3 và đường

a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

b) Viết phương trình mp() chứa d sao cho khoảng cách từ A đến () lớn nhất

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm phương trình hình chiếu vuông góc của

đường thẳng d lên mặt phẳng ( ) trong mỗi trường hợp sau:

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,viết phương trình đường vuông góc chung của 2

đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

Trang 32

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S x: 2y2z2–6x2y2z 7 0

và mặt phẳng P :x2y2z 3 0 Chứng minh mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu

 S và tìm tọa độ tiếp điểm

Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d và mặt

phẳng ( ) trong mỗi trường hợp sau:

a)Tìm tâm và bán kính của mặt cầu  S

b)Viết phương trình mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S và song song với 2 đường

b) Tìm toạ độ M thuộc đường thẳng  sao cho MA2MB2 nhỏ nhất

Bài 17: (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0;1; 2 và 2 đường

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2

b) Tìm toạ dộ điểm N thuộc d1 và điểm M thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng

Trang 33

Bài 19: (Dự bị Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A4; 2; 2 , B 0; 0; 7 và

Bài 20: (Khối A_2002) Cho hai đường thẳng: 1

Bài 21: Cho 3 điểm A1; 2; 5 ,  B 3; 1; 4 ,  C 4;1; 3 Viết phương trình: 

a) CạnhBC b) Đường trung tuyến AM

c) Đường cao AH của tam giác ABC d) Đường trung trực của cạnhBC

e) Đường phân giác giác trong của góc A

IV- CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:

Trang 34

3 2

Trang 35

A H  3 ;  1 4 ;  B H   5 7 0 ; ; 

C H   1 3 2 ; ;  D H   13 15 ; ;  4 

Hướng dẫn:

Vì H d   H    5 2 7 t ;  2 t t ;   AH     9 2 6 2 t ;  t ;   6 t 

Trang 36

1 2 :

và phương trình mặt phẳng    : x  3 y z    1 0 Trong các khẳng

định sau, tìm khẳng định đúng?

Trang 37

6835/ / ;( ) ;( ) m

Trang 38

1

1 3

2 2:

M  N ( ; ; )1 2 1 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường

thẳng  sao cho khoảng cách từ N đến đường thẳng d là lớn nhất là

A

21

2 4:

Trang 39

; ;:

Viết phương trình đường thẳng 

đi qua A , vuông góc và cắt d

Trang 40

Vì B d B t 1, ,t t 1 ABt t t, ,2 3

Vì A B,  AB là một vectơ chỉ phương của 

Theo đề bài,  vuông góc d nên ABu (với u 1 1 2; ;  là vectơ chỉ phương của d )

Suy ra n n P, Q  4; 7; 3 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 

Ngoài ra, M1 2; ;  nên phương trình 1

Câu 18 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  đi qua điểm M1 1 2; ; , 

song song với mặt phẳng  P :x y z    và cắt đường thẳng 1 0

2 y1 1

x    z

Hướng dẫn:

Định dạng
Số trang	92
Dung lượng	4,06 MB