Giáo trình Logic mờ dành cho Học viên cao học

L.A. Zadeh là người sáng lập ra lý thuyết tập mờ với hàng loạt bài báo mở đường cho sự phát triển và ứng dụng của lý thuyết này, khởi đầu là bài báo “Fuzzy Sets” trên Tạp chí Information and Control, 8, 1965. Ý tưởng nổi bật của khái niệm tập mờ của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ, không chắc chắn như trẻ, nhanh, cao, thấp, xinh đẹp …, ông đã tìm ra cách biểu diễn nó bằng một khái niệm toán học, được gọi là tập mờ, như là một sự khái quát trực tiếp của khái niệm tập hợp kinh điển.

Chương III Lôgic cho môi trường thông tin không chắc chắn Mở đầu Trong Chương I và II, chúng ta đã nghiên cứu lôgic mệnh đề và lôgic vị từ, trong đó các mệnh đề có giá trị chân lý hoặc “đúng”, ký hiệu là I, hoặc “sai”, ký hiệu là O. Tuy nhiên, trong lập luận hàng ngày của chúng ta các mệnh đề không chỉ nhận các giá trị chân lýchính xác I hoặc O như vậy. Chẳng hạn khi chúng ta mới nhận được một tin tức nói rằng “Cháu bé Nguyễn Trường An là thần đồng” vì mới 2 tuổi đã biết đọc và nhận biết các chữ số. Câu này khổng thể nói nó có giá trị chân lý I hay O và chắc rằng sẽ có nhiều chính kiến khác nhau về sự kiện cháu An có thực sự là thần đồng hay không. Có một điều chắc chắn rằng cháu An có những nhăng lực khác biệt với các cháu bé cùng lứa tuổi và do đó ta có thể gán cho câu trên một độ tin cậy hay mức độ chân lý đúng hay sai nhất định, chẳng hạn cấu đó có giá trị chân lý “rất có thể đúng”, một khái niệm có ngữ nghĩa “mờ” (vague), không chính xác, không chắc chắn. Như vậy, chúng ta thấy trong ngôn ngữ tự nhiên có những thông tin, khái niệm (concepts) có ngữ nghĩa không chính xác, mơ hồ, không chắc chắn. Những thông tin hay khái niệm tuy không chính xác như vậy nhưng lại có vai trò quan trọng trong hoạt động tồn tại và phát triển của con người. Chúng ta đều nhận thấy, trong nhận thức thực tiễn và tư duy, con người nhận biết, trao đổi thông tin, lập luận bằng ngôn ngữ của mình. Ngôn ngữ của bất kỳ một dân tộc nào, dù phong phú đến đâu, cũng chỉ chứa đựng một số hữu hạn các ký hiệu (âm thanh, ký tự, …), nhưng lại phải phản ảnh một số vô hạn các sự vật hiện tượng trong tự nhiên và trong xã hội. Như là một hệ quả, rất nhiều khái niệm trong một ngôn ngữ tự nhiên phải biểu thị nhiều sự vật, hiện tượng khác nhau nhưng tương tự nhau, t.l. ngữ nghĩa của nó không xác định duy nhất hay không chính xác. Như vậy, một cách tất yếu là trong ngôn ngữ hàm chứa những thông tin, khái niệm được gọi là mờ (vague) không chính xác (imprecise), không chắc chắn (uncertainty). Ví dụ, trong một điều kiện cụ thể nào đó ta có thể nói, tốc độ của xe máy là nhanh hay chậm. Khái niệm nhanh hay chậm có ngữ nghĩa không chính xác vì, chẳng hạn, khái niệm nhanh sẽ biểu thị vô số các giá trị tốc độ thực của xe máy, chẳng hạn từ 45 – 65 km/giờ, đối với tốc độ của xe mô tô, được cộng đồng hiểu là nhanh. Khái niệm này không chỉ chỉ một giá trị tốc độ thực. Nhưng, nếu nói đến tốc độ như vậy của một cụ 70 tuổi lái mô tô thì có thể được hiểu là quá nhanh. Hoặc nếu nói về tốc độ của xe máy điện, thì khái niệm nhanh có thể được hiểu là tố độ thực chỉ khoảng từ 20 – 30 km/giờ. Một bạn đọc nào đó có thể chưa đồng tình với cách hiểu như trên về khái niệm nhanh, và chính điều đó chỉ ra rằng nhanh có ngữ nghĩa mơ hồ, không chính xác hay không chắc chắn. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu ngôn ngữ tự nhiên của chúng ta chỉ chứa những khái niệm chính xác, chắc chắn? Khi đó chúng ta chỉ nhận thức và phản ánh được một phần nhỏ của thế giới thực chúng ta đang sống. Điều đó chứng tỏ tầm quan trọng của những thông tin, khái niệm mờ, không chính xác hay không chắc chắn, và để cho gọn chúng ta gọi chúng là các khái niệm mờ hoặc không chắc chắn. Khái niệm mờ và không chắc chắn trong giáo trình này được hiểu là hai khái niệm đồng nghĩa. 1 Đối tượng nghiên cứu của chương này chính là các câu có chứa những khái niệm mờ được gọi là các mệnh đề mờ. Hệ lôgic như là cơ sở toán học của các phương pháp lập luận dựa trên các mệnh đề mờ được gọi là lôgic mờ. Vì sự tồn tại của khái niệm mờ trong ngôn ngữ tự nhiên là một thực tế khách quan và do bản thân các khái niệm như vậy chưa được hình thức hóa thành một đối tượng toán học, nên trước hết chúng ta hãy nghiên cứu các cách mô hình hóa toán học các khái niệm mờ. Hay, nói khác đi, các khái niệm mờ sẽ được biểu diễn bằng các đối tượng toán học nào. Sau đó, chúng ta sẽ thiết lập cấu trúc toán học của các đối tượng như vậy. Trên các cấu trúc như thế, chúng ta hy vọng sẽ xây dựng các cấu trúc lôgic mờ và các phương pháp lập luận xấp xỉ, không chính xác, để mô phỏng các cách thức mà con người vẫn lập luận. III.1. TẬP MỜ VÀ THÔNG TIN KHÔNG CHẮC CHẮN L.A. Zadeh là người sáng lập ra lý thuyết tập mờ với hàng loạt bài báo mở đường cho sự phát triển và ứng dụng của lý thuyết này, khởi đầu là bài báo “Fuzzy Sets” trên Tạp chí Information and Control, 8, 1965. Ý tưởng nổi bật của khái niệm tập mờ của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ, không chắc chắn như trẻ, nhanh, cao, thấp, xinh đẹp …, ông đã tìm ra cách biểu diễn nó bằng một khái niệm toán học, được gọi là tập mờ, như là một sự khái quát trực tiếp của khái niệm tập hợp kinh điển. Để dễ hiểu chúng ta hãy nhớ lại cách nhìn nhận khái niệm tập hợp kinh điển như là các hàm số đặc biệt. Cho một tập vũ trụ U. Tập tất cả các tập con của U, ký hiệu là P(U), là một đại số tập hợp với các phép tính hợp ∪, giao ∩, hiệu \ và phép lấy phần bù –, (P(U), ∪, ∩, \, –). Với một cách nhìn khác, mỗi tập hợp A ∈ P(U) có thể được xem như là một hàm số λ A : U → {0, 1} được xác định như sau:      ∉ ∈ = Axkhi Axkhi x A 0 1 )( λ Mặc dù hàm số λ A và tập A là hai đối tượng toán học hoàn toàn khác nhau, nhưng chúng đều biểu diễn cùng một khái niệm về tập hợp: x ∈ A iff λ A (x) = 1, hay x thuộc vào tập A với “độ thuộc vào” bằng 1. Vì vậy, hàm λ A được gọi là hàm đặc trưng của tập A. Như vậy tập hợp A có thể được biểu thị bằng một hàm mà giá trị của nó là độ thuộc về (membership degree) hay đơn giản là độ thuộc của một phần tử trong U vào tập hợp A: Nếu λ A (x) = 1 thì x ∈ A với độ thuộc là 1 hay 100% thuộc vào A, còn nếu λ A (x) = 0 thì x ∉ A hay x ∈ A với độ thuộc là 0 tức là độ thuộc 0%. Trên cách nhìn như vậy, chúng ta hãy chuyển sang việc tìm kiếm cách thức biểu diễn ngữ nghĩa của khái niệm mờ, chẳng hạn, khái niệm “trẻ” về lứa tuổi. Giả sử tuổi của con người nằm trong khoảng U = [0, 120], tính theo năm. Theo ý tưởng của Zadeh, khái niệm trẻ có thể biểu thị bằng “một tập hợp” như sau: Xét “một tập hợp” A trẻ gồm những người được xem là 2 0 1 U a λ A (a) = 1 b λ A (b) = 0 trẻ. Vậy, một câu hỏi là “Một người x có tuổi là n được hiểu là thuộc tập A trẻ như thế nào?” Một cách chủ quan, chúng ta có thể hiểu những người có tuổi từ 1 – 25 hầu chắc chắn sẽ thuộc vào tập hợp A trẻ , tức là với độ thuộc bằng 1; Nhưng một người có tuổi 30 có lẽ chỉ thuộc vào tập A trẻ với độ thuộc 0,6 còn người có tuổi 50 sẽ thuộc vào tập này với độ thuộc 0,0 … Với ý tưởng đó, ngữ nghĩa của khái niệm trẻ sẽ được biểu diễn bằng một hàm số µ trẻ : U → [0, 1], một dạng khái quát trực tiếp từ khái niệm hàm đặc trưng λ A của một tập hợp kinh điển A đã đề cập ở trên. Một câu hỏi tự nhiên xuất hiện là tai sao người có tuổi 30 có lẽ chỉ thuộc vào tập A trẻ với độ thuộc 0,6 mà không phải là 0,65? Trong lý thuyết tập mờ chúng ta không có ý định trả lời câu hỏi kiểu như vậy mà ghi nhận rằng tập mờ của một khái niệm mờ phụ thuộc mạnh mẽ vào chủ quan của người dùng hay, một cách đúng đắn hơn, của một công đồng, hay của một ứng dụng cụ thể. Khía cạch này cũng thể hiện tính không chính xác về ngữ nghĩa của các khái niệm mờ. Tuy nhiên, thực tế này không ảnh hưởng đến khả năng ứng dụng của lý thuyết tập mờ vì mỗi giải pháp dựa trên lý thuyết tập mờ cũng chỉ nhằm vào một miền ứng dụng cụ thể trong đó các khái niệm mờ trong ứng dụng (hay trong cộng đồng sử dụng ứng dụng đó) sẽ có ý nghĩa chung thống nhất. 3.1.1. Khái niệm tập hợp mờ Định nghĩa 3.1-1. Cho một tập vũ trụ U. Tập hợp A ∼ được xác định bởi đẳng thức A ∼ = { )( ~ u A µ /u : u ∈ U, µ A ∼ (u) ∈ [0, 1]} (3.1-1) được gọi là một tập hợp mờ trên tập U. Biến u lấy giá trị trong U được gọi là biến cơ sở và vì vậy tập U còn được gọi là tập tham chiếu hay miền cơ sở. Hàm ~ A µ : U → [0, 1] được gọi là hàm thuộc (membership function) và giá trị )( ~ u A µ tại u được gọi là độ thuộc về tập hợp mờ A ∼ của phần tử u. Nếu không gây nhầm lẫn, hàm thuộc ~ A µ cũng được ký hiệu là A ∼ (.), nếu biến cơ sở u không biểu thị hiển, hay A ∼ (u), nếu biến u xuất hiện hiển. Lưu ý rằng vế phải của (3.1-1) là một tập kinh điển và do đó định nghĩa trên là chỉnh. Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U được ký hiệu là F(U), t.l. F(U) = { ~ A µ : U → [0, 1]} = [0, 1] U Trường hợp đặc biệt, tập rỗng ∅ có hàm thuộc là ∅(u) ≡ 0 và U là tập mờ đồng nhất bằng 1 trên U. Có nhiều cách biểu diễn hình thức một tập mờ. Tùy trường hợp U là một tập hữu hạn hay đếm được hay vô hạn liên tục, tập mờ (3.1-1) có thể được biểu diễn bằng các biểu thức hình thức khác nhau như sau: - Trong trường hợp U hữu hạn, U = {u i : 1 ≤ i ≤ n}, tập mờ A ∼ có thể được viết như sau A ∼ = µ A ∼ (u 1 )/u 1 + µ A ∼ (u 2 )/u 2 + + µ A ∼ (u n )/u n hay A ∼ = ∑ ≤≤ ni ii A uu 1 /)( ~ µ 3 Trong trường hợp này, tập mờ A ∼ được gọi là tập mờ rời rạc (discrete fuzzy set). - Trong trường hợp U là vô hạn đếm được, U = {u i : i = 1, 2, …}, ta có thể viết A ∼ = ∑ ∞<≤i ii A uu 1 /)( ~ µ - Trong trường hợp U là vô hạn liên tục, U = [a, b], ta có thể biểu diễn tập mờ A ∼ bằng A ∼ = ∫ b a A uu /)( ~ µ Cần lưu ý rằng các biểu thức trên chỉ có tính hình thức, các phép cộng +, phép tổng Σ và phép lấy tích phân đều không có nghĩa theo quy ước thông thường. Tuy nhiên cách biểu diễn như vậy sẽ rất tiện dụng khi định nghĩa và thao tác các phép tính trên các tập mờ sau này. 1) Tập lát cắt và giá của tập mờ Ở trên chúng ta thấy khái niệm tập mờ là một sự khái quát trực tiếp, đẹp đẽ của khái niệm tập kinh điển. Điều này cho phép chúng ta hy vọng nó sẽ đặt cơ sở cho việc thiết lập mối liên hệ chặt chẽ giữa hai khái niệm tập hợp này. Để có thể nghiên cứu mối liên hệ này, trước hết chúng ta đưa ra khái niệm tập lát cắt α của một tập mờ. Định nghĩa 3.1-2. Cho một tập mờ A ~ trên tập vũ trụ U và α ∈ [0, 1]. Tập lát cắt α (hoặc tập lát cắt α +) của tập A ~ là một tập kinh điển, ký hiệu là ~ α A (hoặc ~ + α A ), được xác định bởi đẳng thức sau: ~ α A = {u ∈ U : αµ ≥ )( ~ u A } (hoặc ~ + α A = {u ∈ U : αµ > )( ~ u A }). Về thuật ngữ, nó cũng thường gọi là tập mức α (hoặc tập mức α +). Như vậy, mỗi tập mờ A ~ sẽ cảm sinh một họ các tập kinh điển, t.l. ta có ánh xạ h : A ~ ∈ F(U) → { ~ α A ∈ P(U): 0 ≤ α ≤ 1} (3.1-2) Để đơn giản ký hiệu, ta viết họ các tập kinh điển như vậy bằng h(A ~ ) = { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1}, A ~ ∈ F(U). Họ các tập hợp như vậy có các tính chất sau: Định lý 3.1-1. Cho A ~ , B ~ ∈ F(U), h là ánh xạ được cho trong (3.1-2) và h(A ~ ) = { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1}, h(B ~ ) = { ~ α B : 0 ≤ α ≤ 1}. Khi đó, (i) Họ h (A ~ ) là dãy đơn điệu giảm, t.l. nếu α < β , thì ~ α A ⊇ ~ β A ; (ii) Nếu A ~ ≠ B ~ thì { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1} ≠ { ~ α B : 0 ≤ α ≤ 1}. Nghĩa là h là một song ánh từ họ các tập mờ F(U) vào họ của những họ tập kinh điển P(U) ở dạng (3.1-2). Chứng minh: Tính chất (i) dễ dàng rút ra từ tính chất (A ∼ (u) ≥ β ⇒ A ∼ (u) ≥ α ). 4 Để chứng minh (ii), giả sử A ∼ ≠ B ∼ , t.l. ∃u∈U(A ∼ (u) ≠ B ∼ (u)). Để định ý, ta giả sử rằng có u 0 ∈ U sao cho A ∼ (u 0 ) > B ∼ (u 0 ). Chọn α ∈ [0, 1] sao cho A ∼ (u 0 ) > α > B ∼ (u 0 ). Điều này khẳng định u 0 ∈ ~ α A nhưng u 0 ∉ ~ α B hay ~ α A ≠ ~ α B . Vậy, { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1} ≠ { ~ α B : 0 ≤ α ≤ 1}. Hiển nhiên là nếu A ~ = B ~ thì { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1} = { ~ α B : 0 ≤ α ≤ 1}. Vậy, ánh xạ h là song ánh.  2) Một số đặc trưng của tập mờ Định nghĩa 3.1-3. (i) Giá của tập mờ: Giá của tập mờ A ~ , ký hiệu là Support(A ~ ), là tập con của U trên đó )( ~ u A µ ≠ 0, t.l. Support(A ~ ) = {u : )( ~ u A µ > 0} = ~ 0+ A . (ii) Độ cao của tập mờ: Độ cao của tập mờ A ~ , ký hiệu là hight(A ~ ), là cận trên đúng của hàm thuộc ~ A µ trên U, t.l. hight(A ~ ) = sup{ )( ~ u A µ : u ∈ U}. (iii) Tập mờ chuẩn (normal): Tập mờ A ~ được gọi là chuẩn nếu hight(A ~ ) = 1. Trái lại, tập mờ được gọi là dưới chuẩn (subnormal). (iv) Lõi của tập mờ: Lõi của tập mờ A ~ , ký hiệu là Core(A ~ ), là một tập con của U được xác định như sau: Core(A ~ ) = {u ∈ U: )( ~ u A µ = hight(A ~ )}. Bây giờ chúng ta sẽ lấy một số ví dụ về việc biểu diễn ngữ nghĩa của các khái niệm mờ thuộc các lĩnh vực khác nhau bằng tập mờ. Ví dụ 3.1-1. Giả sử U là tập vũ trụ về số đo nhiệt độ thời tiết, chẳng hạn U = [0, 50] tính theo thang độ C. Chúng ta sẽ xác định tập mờ biểu thị khái niệm mờ thời tiết NÓNG và LẠNH. Trong ví dụ này ta sử dụng một hàm số mẫu, gọi là S-hàm vì đồ thị của nó có hình chữ S. Chúng ta ký hiệu hàm này là S(u, a, b, c), trong đó a, b và c là các tham số. Nó là hàm từng khúc bậc 2 và được định nghĩa như sau: S(u, a, b, c) = 0 đối với u ≤ a = 2 2       − − ac au đối với a ≤ u ≤ b = 1 − 2 2       − − ac cu đối với b ≤ u ≤ c (3.1-3) = 1 đối với c ≤ u Hàm thuộc µ A~ (u) = S(u, 15, 25, 35) là khái niệm thời tiết NÓNG của người Lạng Sơn ở cực Bắc nước ta, còn hàm thuộc µ B~ (u) = S(u, 25, 35, 45) là khái niệm NÓNG của người Sài Gòn (xem Hình 3-1). Với hai tập mờ này ta có: Support(A ~ ) = [15, 50], Support(B ~ ) = [25, 50], Hight(A ~ ) = Hight(B ~ ) = 1, Core(A ~ ) = [35, 50] và Core(B ~ ) = [45, 50]. Hàm thuộc biểu thị khái niệm mờ LẠNH được xác định qua hàm thuộc NÓNG bằng biểu thức sau: µ A’~ (u) = 1 − µ A~ (u) và µ B’~ (u) = 1 − µ B’~ (u) 5 Ví dụ này thể hiện tính chủ quan về ngữ nghĩa của khai niệm mờ và do đó thể hiện tính tự do trong việc xây dựng các hàm thuộc. Một vài tình huống tương tự như vậy cũng xảy ra khi ta nói đến khái niệm cao của giới nữ và giới nam, hay khái niệm cao của người Việt Nam và người Châu Âu … Ví dụ 3.1-2. Tập mờ hình chuông: Người ta có thể biểu diễn ngữ nghĩa của khái niệm mờ trời mát mẻ hay dễ chịu bằng hàm dạng hình chuông như sau: exp (− ((u − u 0 )/b) 2 ) Chúng ta có thể chấp nhận hàm chuông trong Hình 3-1 là biểu thị ngữ nghĩa của khái niệm nhiệt độ DỄ CHỊU và khi đó tập mờ D ~ có dạng: µ D~ (u) = exp (− ((u − 24)/10) 2 ) Ví dụ 3.1-3. Ta sẽ đưa ra một ví dụ về tập mờ rời rạc. Xét U là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh về môn Toán, U = {1, 2, …, 10}. Khi đó khái niệm mờ về năng lực học giỏi môn toán có thể được biểu thị bằng tập mờ G ~ sau: G ~ = 0,1/4 + 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 +1,0/10 (3.1-4) ở đây các giá trị của miền U không có mặt trong biểu thức (3.1-4) có nghĩa độ thuộc vào tập mờ G ~ của chúng là bằng 0. Trong trường hợp tập mờ rời rạc ta có thể biểu diễn tập mờ bằng một bảng. Chẳng hạn, tập mờ G ~ ở trên có thể biểu thị bằng bảng sau: U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 G ~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 Ví dụ 3.1-4. Trong ví dụ này chúng ta sẽ xây dựng tập mờ biểu thị ngữ nghĩa của khái niệm già và trẻ của thuộc tính lứa tuổi. Giả sử tập vũ trụ biểu thị tuổi tính theo đơn vị năm là U = {u : 0 ≤ u ≤ 120}, chẳng hạn tuổi của cháu x là 8,37 năm. Khi đó khái niệm già có thể được biểu thị bằng tập mờ với hàm thuộc như sau: µ già (u) = ∫ − −       − + 120 0 1 2 /} 6 60 1{ u u 6 1,0 0 5045 35 25 15 Hình 3-1: Hàm thuộc của tập mờ NÓNG và LẠNH µ A~ (u) µ B~ (u) µ B’~ (u) µ A’~ (u) 1,0 0 5045 35 25 15 Hình 3-2: Hàm thuộc của tập mờ DỄ CHỊU µ D~ (u) µ trẻ (u) = 1 − µ già (u) = ∫ − −       − +− 120 0 1 2 /}} 6 60 1{1{ u u Cần nhấn mạnh một lần nữa rằng đây là công thức hình thức biểu diễn các tập mờ. Dấu tích phân chỉ có nghĩa miền xác định U của hàm thuộc là vô hạn continuum, t.l. tập hợp có lực lượng tương đương với đoạn [0, 1]. Ví dụ 3.2-5. Tập rời rạc trên miền phi số: Trong thực tế ứng dụng người ta cũng hay sử dụng tập mờ trên miền phí số, chẳng hạn, miền giá trị ngôn ngữ. Ví dụ, ta xét biến ngôn ngữ NHIỆT ĐỘ có thể xem như xác định trên miền 3 giá trị ngôn ngữ U = {Thấp, Trung-bình, Cao}. Khi đó, một tập mờ rời rạc T ~ trên miền U có thể được biểu thị như sau: T ~ = µ 1 /Thấp + µ 2 /Trung-bình + µ 3 /Cao Chẳng hạn Trời-mát có thể biểu thị bằng tập mờ như sau: Trời-mát = 0,7/Thấp + 0,8/Trung-bình + 0,2/Cao Đối với tập hợp kinh điển A chúng ta có khái niệm số lượng các phần tử của một tập hợp, trong trường hợp A là hữu hạn, hay lực lượng của tập hợp, trong trường hợp A là vô hạn. Hai tập hợp A và B có lực lượng bằng nhau nếu có tồn tại một ánh xạ 1-1 từ A lên B. Đối với tập mờ A ~ , khái niệm lực lượng được khái quát hóa bằng định nghĩa sau: Quan hệ bao hàm: Mối quan hệ tự nhiên giữa các tập mờ trên cùng khônh gian tham chiếu U là quan hệ bao hàm. Cho hai tập mờ A ~ và B ~ trên U. Ta nói A ~ bao hàm tập mờ B ~ hay B ~ bị bao hàm trong tập mờ A ~ , và kí hiệu là B ~ ⊆ A ~ , nếu (∀u ∈ U){B ~ (u) ≤ A ~ (u)}. Hiển nhiên ta có, nếu B ~ ⊆ A ~ và A ~ ⊆ B ~ , thì B ~ = A ~ . Ngoài ra, với mọi tập mờ A ~ , ta cũng có các quan hệ bao hàm sau đây: ∅ ⊆ A ~ ⊆ U và tập tất cả các tập mờ trên U với quan hệ bao hàm, (F(U), ⊆) trở thành tập sắp thứ tự một phần (partially ordered set hay poset). Định nghĩa 3.1-4. Lực lượng của tập mờ: Cho A ~ là một tập mờ trên U. (i) Lực lượng vô hướng (scalar cardinality): Lực lượng hay bản số thực của tập A ~ , ký hiệu là Count(A ~ ), được tính theo công thức đếm sau (đôi khi được gọi là sigma count) Count(A ~ ) = ∑ ∈ arith Uu A u)( ~ µ , nếu U là tập hữu hạn hay đếm được = ∫ arith U A duu)( ~ µ , nếu U là tập vô hạn continuum ở đây ∑ arith và ∫ arith là tổng và tích phân số học. (ii) Lực lượng mờ (fuzzy cardinality): Lực lượng hay bản số mờ của tập A ~ là một tập mờ trên tập các số nguyên không âm N được định nghĩa như sau: 7 Card(A ~ ) = ∫ N ACard dnn)( )( ~ µ trong đó )( )( ~ n ACard µ được xác định theo công thức sau, với | ~ t A | là lực lượng của tập mức ~ t A , )( )( ~ n ACard µ = suppremum {t ∈ [0,1]: | ~ t A | = n}  Có thể xem công thức tính Count(A ~ ) ở trên như là công thức “đếm” số phần tử trong U. Thực vậy, nếu tập A ~ trở về tập kinh điển thì µ A~ (u) ≡ 1 trên U và do đó công thức Count(A ~ ) trên chính là bộ đếm số phần tử. Khi µ A~ (u) ≠ 1, thì u chỉ thuộc về tập A ~ với tỷ lệ phần trăm bằng µ A~ (u) và do đó phần tử u chỉ được “đếm” vào số lượng các phần tử một đại lượng bằng µ A~ (u). Lưu ý rằng, khác với trường hợp tập kinh điển, dù tập U là vô hạn đếm được hay vô hạn continuum, thì lực lượng của tập mờ A ~ vẫn có thể là hữu hạn, tùy theo dáng điệu của hàm µ A~ (u). 3.2. BIẾN NGÔN NGỮ Trong cơ sở dữ liệu quan hệ, các quan hệ hay các bảng dữ liệu chứa các thuộc tính hay các tên cột. Nó chỉ tính chất của đối tượng. Các thuộc tính này cũng thể hiện trong ngôn ngữ để mô tả tính chất đối tượng là con người. Chẳng hạn, trong ngôn ngữ tự nhiên chúng ta có những thuộc tính TUỔI, CHIỀU CAO, LƯƠNG, NĂNG LỰC … . Các thuộc tính như vậy có thể nhận giá trị ngôn ngữ như trẻ, già, rất trẻ, …, được mô tả các đối tượng hay hiện tượng trong thé giới thực. Vì lý do như vậy, Zadeh gọi các thuộc tính kiểu như vậy là biến ngôn ngữ với miền giá trị của chúng là miền giá trị ngôn ngữ hay gọi là miền ngôn ngữ (linguistic domain hay term-domain). Tuy nhiên, như chúng ta đã đề cập trong Mục 3.1, vì bản thân giá trị ngôn ngữ không phải là đối tượng toán học, ngữ nghĩa của chúng được biểu thị bằng các tập mờ hay hàm thuộc. Để khái niệm biến ngôn ngữ trở thành một khái niệm toán học, Zadeh hình thức hóa khái niệm này như sau: Một biến ngôn ngữ X được đặc trưng bởi một bộ 5 sau: X = ( X , T( X ), P, U, M( X )) trong đó: - X là tên biến ngôn ngữ; - T( X ) là tập các từ ngôn ngữ của biến X ; - P là tập các quy tắc cú pháp sinh các từ trong T( X ); - U là tập vũ trụ hay còn gọi là miền cơ sở của biến X . Nhớ rằng F(U) là tập tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U, t.l. F(U) = { µ : U → [0,1]} = [0,1] U ; - M( X ) là ánh xạ T( X ) → F(U, [0,1]) với ý nghĩa là M( X ) gán ngữ nghĩa biểu thị bằng tập mờ cho các từ ngôn ngữ trong T( X ). 8 Như vậy, để xác định một biến ngôn ngữ, ta cần xác định (i) tập các quy tắc sinh P, có thể chọn nó là một văn phạm phi ngữ cảnh, (ii) xác định miền cơ sở U, (iii) xác định ánh xạ gán ngữ nghĩa M( X ). Ví dụ. Ta xét biến ngôn ngữ LỨA TUỔI, với tên biến kí hiệu là L. Khi đó, ta có thể xác định ra một biến ngôn ngữ cho lứa tuổi như sau: - Một văn phạm phi ngữ cảnh sinh tập T(L) = {trẻ, già, rất trẻ, rất già, khá trẻ, khá già, ít-nhiều-là trẻ, ít-nhiều-là già, hoàn toàn trẻ, ít già, , khá già HOẶC ít-nhiều-là già, khá già VÀ ít-nhiều-là già, } với các gia tử được lấy trong một tập H các gia tử cho trước. Chẳng hạn H = {rất, hoàn toàn, khá, ít-nhiều-là, ít}. Tập T(L) như vậy bao gồm các từ không quá phức tạp, nhưng cũng không đơn giản và nó có thể sinh được từ một văn phạm G gồm có các luật sản xuất sau với tập các kí hiệu non-terminal N = {S, T, A}, S là kí hiệu xuất phát, và tập các kí hiệu terminal TR = {già, trẻ, rất, hoàn toàn, khá, ít-nhiều-là, ít, HOẶC, VÀ}: S ⇒ AT, S ⇒ AT HOẶC AT, S ⇒ AT VÀ AT, T ⇒ già, T ⇒ trẻ, A ⇒ AT, A ⇒ h, A ⇒ hA, với h là kí pháp không thuộc văn phạm G được dùng để trình bày cho gọn khỏi phải liệt kê tất cả các luật sản xuất cùng dngj với h ∈ H; - Miền tham chiếu hay miền cơ sở U được chọn là khoảng tuổi [0, 65] tính theo năm; - Ánh xạ gán ngữ nghĩa được xác định như sau: (i) Các khái niệm nguyên thủy trẻ và già được gán một tập mờ được xây dựng trong Ví dụ 3.1-4. (ii) Một cách đệ quy, nếu h ∈ H và một từ t trong T(L) có dạng hx với x là một từ đã được gán nghĩa bằng tập mờ A ~ , thì từ hx được gán tập mờ (A ~ ) α h , với α h = 2 cho h = hoàn toàn, α h = 1,6 cho h = rất, α h = ½ cho h = khá, α h = 1/3 cho h = ít-nhiều-là và α h = ¼ cho h = ít (xem thêm phép co và phép dãn trong Mục 3.1.5 và 3.1.6). Như vậy, mọi từ trong T(L) đều được gán ngữ nghĩa và do đó ánh xạ M(L) đã được hoàn toàn xác định. 3.3. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TẬP MỜ Xét một biến ngôn ngữ X như đã được định nghĩa ở trên. Trước hết, chúng ta có nhận xét rằng, nhìn chung, tập ảnh của tập T( X ) qua ánh xạ M( X ) không có cấu trức đại số, t.l. trên đó chúng ta không định nghĩa được các phép tính đối với tập mờ. Một lý do nữa làm cho chúng ta không quan tâm đến điều này là cấu trúc đại số của tập gốc T( X ) cũng chưa được phát hiện. Trong khi chúng ta chưa phát hiện ra cấu trúc đại số của miền T( X ), trong mục này chúng ta sẽ định nghĩa trên tập F(U, [0,1]) một cấu trúc giải tích rất phong phú. Cũng cần nhấn mạnh rằng mục tiêu của lý thuyết tập mờ là việc mô hình hóa toán học ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và, quan trọng nhất, là việc mô hình hóa phương pháp lập 9 luận của con người. Đây là một vấn đề cực kỳ khó và phức tạp vì những vấn đề loại này thuộc vào loại có cấu trúc yếu, hay khó có thể có một cấu trúc toán duy nhất có thể mô hình hóa trọn vẹn những vấn đề nêu trên. Như là một hệ quả, khó lòng chúng ta tìm được một cấu trúc toán học chặt chẽ, đẹp của tập F(U, [0,1]). Chính vì vậy chúng ta không có một ràng buộc chặt chẽ, minh bạch trong định nghĩa các phép toán trong F(U, [0,1]). Như chúng ta sẽ thấy dưới đây, chúng ta có nhiều cách khác nhau để định nghĩa các phép tính và do đó nó tạo ra tính mềm dẻo, đa dạng trong tiếp cận, khả năng thích nghi với các bài toán ứng dụng khác nhau, miễn là nó cho phép giải quyết được các bài toán ứng dụng, đặc biệt các bài toán thuộc lĩnh vực trí tuệ nhân tạo. Trước khi định nghĩa các phép tính trong F(U, [0,1]), chúng ta hãy xem đoạn [0,1] như là một cấu trúc dàn L [0,1] = ([0,1], ∨, ∧, –) với thứ tự tự nhiên trên đoạn [0,1]. Khi đó, với mọi a, b ∈ [0, 1], ta có: a ∨ b = max {a, b}, a ∧ b = min {a, b} và – a = 1 − b. Chúng ta có thể kiểm chứng rằng L [0,1] = ([0,1], ∨, ∧, –) là một đại số De Morgan, hơn nữa nó có các tính chất sau: (i) Các phép tính hợp ∨ và giao ∧ có tính giao hoán, t.l. a ∨ b = b ∨ a và a ∧ b = b ∧ a (ii) Các phép tính hợp ∨ và giao ∧ có tính chất phân phối lẫn nhau, t.l. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) và a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) (iii) Tính chất nuốt (absorption) và nuốt đối ngẫu (dual absorption): - Tính chất nuốt: a ∨ (a ∧ b) = a, - Tính chất nuốt đối ngẫu: a ∧ (a ∨ b) = a. (iv) Tính lũy đẳng a ∨ a = a và a ∧ a = a (v) Tính chất ?? –(–a) = a (vi) Tính đơn điệu giảm(?): a ≤ b ⇒ –a ≥ –b (vii) Tính chất De Morgan: –(a ∨ b) = –a ∧ –b và –(a ∧ b) = –a ∨ –b. Dựa trên cấu trúc L [0,1] chúng ta sẽ định nghĩa các phép tính trên tập mờ nhờ các phép tính của dàn L [0,1] . 3.3.1. Phép hợp ~ ∪ Cho hai tập mờ A ~ và B ~ trên tập vũ trụ U. Hợp của hai tập mờ này là một tập mờ ký hiệu là A ~ ~ ∪ B ~ , mà hàm thuộc của nó được định nghĩa theo điểm (pointwise) như sau: )()()( ~~ ~ ~ ~ uuu BA BA µµµ ∪= ∪ Với định nghĩa như vậy, ta có các biểu thức sau: - Trong trường hợp U là hữu hạn hay đếm được, A ~ ~ ∪ B ~ = ∑ ∞<≤i ii A uu 1 /)( ~ µ ~ ∪ ∑ ∞<≤i ii B uu 1 /)( ~ µ = ∑ ∞<≤ ∪ i ii B i A uuu 1 /)]()([ ~~ µµ 10 [...]... u < 1/3 với 1/3 ≤ u < 3 Phương trình số học mờ Cũng như trong số học, khi chúng ta có số học các số mờ thì chúng ta có thể giải các phương trình số học Chúng ta sẽ thấy với biểu diễn tập mờ qua họ các tập mức, chứng ta có thể dẽ dàng giải các phương trình số học mờ Chúng ta hãy lấy một ví dụ Xét phương trình mờ A+X=B (3.3-8) trong đó A và B là các tập mờ còn X là tập mờ ẩn Ta hãy tìm nghiệm X và sẽ... Cao là 0,18 Như vậy, việc mờ hóa sẽ đưa việc biểu diễn tập mờ A~ trên U thành tập mờ trên tập các giá trị ngôn ngữ T sau: NHIỆT_ĐỘ(A~) = 0,54/Thấp + 0,82/Tr-bình + 0,18 /Cao (3.3-1) 3.3.10 Phép khử mờ Trong điều khiển mờ cũng như trong lập luận trong các hệ chuyên gia với các luật tri thức mờ, dữ liệu đầu ra nhìn chung đều là những tập mờ Thực tế chúng ta cũng thường gặp nhu cầu chuyển đổi dữ liệu mờ. .. chặt đối với việc xây dựng các tập mờ để biểu thị ngữ nghĩa của các khái niệm ngôn ngữ Tuy nhiên, để đơn giản trong xây dựng các tập mờ và trong tính toán trên các tập mờ, người ta đưa ra khái niệm tập mờ có dạng đặc biệt, gọi là số mờ để biểu thị các khái niệm mờ về số như gần 10, khoảng 15, lớn hơn nhiều so với 10, … Số mờ là tập mờ có các đặc điểm sau: - Nó là tập mờ chuẩn, tức là high(A) = 1; - Mọi... µ A~ (u ) ∧ (1 − µ B ~ (u )) Tính mờ của tập mờ: Có thể xem tính không chính xác, không chắc chắn hay tính mờ của các từ ngôn ngữ là nguồn cuội của sự ra đời lý thuyết tập mờ Vì vậy, khái niệm tính mờ có vai trò ý tưởng rất quan trọng cho sự phát triển các phương pháp luận tiếp cận đến việc xử lý, thao tác các thông tin mờ, không chắc chắn Tuy nhiên, trong giáo trình này chúng ta không đề cập nhiều... bởi phép tính số học ∗ trên số thực với tập mờ cảm sinh được tính trên các tập mức như ở dạng công thức (3.3-6) Nếu các tập mờ A và B là chuẩn và liên tục, thì tất cả các tập mức Aα và Bα đều là các khoảng đóng giới nội, t.l chúng là các phần tử của Intvl(R ) và do đó các công thức ở dạng (3.3-6) đều được tính toán dựa trên số học các khoảng 3.3.11.3 Số mờ và số học các số mờ Xét tập mờ A trên tập các... cách định nghĩa độ đo tính mờ trực tiếp trên ngôn ngữ Vì mô hình toán học của ngữ nghĩa các từ ngôn ngữ của một biến ngôn ngữ lại được biểu thị qua tập mờ, cho nên chúng ta buộc phải định nghĩa độ đo tính mờ trên các tập mờ Tất nhiên, có những đòi hỏi tự nhiên, một cách trực giác về các điều kiện mà một độ đo tính mờ cần phải thỏa mãn như chúng ta thấy dưới đây Một độ đo tính mờ là một ánh xạ fm : F(U,... 3.3.11 Nguyên lý thác triển và số học các số mờ 3.3.11.1 Nguyên lý thác triển Vấn đề được đặt ra là cho một tập mờ A trên không gian U và một quan hệ kinh điển ρ trên U × V (hay nó cũng là một ánh xạ đa trị từ U sang V), liệu tập mờ A sẽ cảm sinh một tập mờ B nào trên V nhờ “thông tin” từ quan hệ ρ? Nguyên lý thác triển (extension principle) cho ta một quy tắc xác định tập mờ B dựa trên các thông tin mà... niệm tính mờ mà, với lí do trên, chúng ta chỉ xem xét sơ bộ cách nhìn tính mờ trong phạm vi lý thuyết tập mờ Tính mờ bắt nguồn trong ngôn ngữ Tính mờ sinh ra khi các sự kiện phản ánh ngữ nghĩa của một từ của một biến ngôn ngữ không có ranh giới rõ ràng với các sự kiện phản ánh ngữ nghĩa của các từ còn lại Tuy nhiên, chúng ta chưa có cách nào định nghĩa một cách hình thức toán học được tính mờ như vậy... như vậy được gọi là phương pháp khử mờ (defuzzification) Nhu cầu này thường gặp nhất trong điều khiển mờ vì đầu ra đòi hỏi là giá trị thực để tác động vào một quá trình thực nào đó 1 Thấp Tr-bình Giả sử dữ liệu đầu ra được biểu diễn ở dạng (3.3-1) với các tập mờ của các giá trị ngôn ngữ 0,5 A~ được biểu thị trong Hình 3-4 Trước khi trình bày một số phương pháp khử Cao mờ, chúng ta hãy đưa ra phương pháp... bên phải với chiểu cao là 0,18 Hình 3-6 biểu thị kết quả của phép OR của 3 1 hạng tử với ngữ nghĩa được biểu thị trong Hình 3-5 Như vậy, bất kỳ một tập mờ nào được cho ở 0,5 dạng công thức (3.3-1) chúng ta đều có thể biển đổi về tập mờ có dạng ở Hình 3-6 21 100 0,0 Hình 3-6 Hàm thuộc hợp của 3 hạng tử trong (3-5) Bây giờ bài toán khử mờ được cụ thể hóa bằng bài toán cho trước một tập mờ với hàm thuộc . tin, khái niệm mờ, không chính xác hay không chắc chắn, và để cho gọn chúng ta gọi chúng là các khái niệm mờ hoặc không chắc chắn. Khái niệm mờ và không chắc chắn trong giáo trình này được. những khái niệm mờ được gọi là các mệnh đề mờ. Hệ lôgic như là cơ sở toán học của các phương pháp lập luận dựa trên các mệnh đề mờ được gọi là lôgic mờ. Vì sự tồn tại của khái niệm mờ trong ngôn. cao của tập mờ: Độ cao của tập mờ A ~ , ký hiệu là hight(A ~ ), là cận trên đúng của hàm thuộc ~ A µ trên U, t.l. hight(A ~ ) = sup{ )( ~ u A µ : u ∈ U}. (iii) Tập mờ chuẩn (normal): Tập mờ