1 = Điều này chứng tỏ g là phép trung bình cộng có trọng số
3.5.1. T-norm và t-conorm
Trong định nghĩa các phép tính hợp và giao trên tập mờ trong Mục 3.3 (?), chúng ta đã sử dụng hai cặp phép tính 2-ngôi trên [0;1] là cặp min (∧) và max (∨) và cặp phép tính tích đại số a.b (.) và tổng đại số (⊕) a⊕b = a + b – a.b. Dễ dàng kiểm chứng chúng là những cặp đối ngẫu De Morgan.
Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một họ các cặp đối ngẫu t-norm và t-conorm.
Định nghĩa 3.5-1. Một hàm 2-biến T : [0;1] × [0;1] → [0;1] được gọi là phép t-norm nếu nó thỏa các tính chất sau với ∀a, a’, b, c∈ [0;1]:
(T1) Tính chất điều kiện biên : T(a, 1) = a
(T2) Tính chất giao hoán: T(a, b) = T(b, a)
(T3) Tính chất đơn điệu: a≤a’ ⇒ T(a, b) ≤T(a’, b)
(T4) Tính chất kết hợp: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c))
Chúng ta dễ dàng kiểm chứng rằng phép min (∧) và phép tích đại số (.) là các phép t- norm và chúng được ký hiệu tương ứng là Tm và Tp. Phép t-norm Tm (∧) được gọi là phép giao mờ chuẩn (fuzzy standard intersection).
Một tính chất khá hay của phép toán hai ngôi T nào đó là tính lũy đẳng (idempotency) nói rằng T(a, a) = a, với ∀a∈ [0;1]. Tuy nhiên, sau đây chúng ta chỉ ra một tính chất “độc tôn” của phép giao tiêu chuẩn.
Định lý 3.5-0. Phép giao tiêu chuẩn là phép t-norm duy nhất có tính chất lũy đẳng.
Chứng minh: Tất nhiên ta thấy Tm có tính chất lũy đẳng, min{a, a} = a, với ∀a ∈ [0;1]. Bây giờ ta xét bất kỳ phép t-norm nào mà T(a, a) = a, với ∀a∈ [0;1]. Khi đó, với ∀a, b∈ [0;1] và không mất tính tổng quát ta giả sử a≤b, theo tính chất đơn điệu và tính chất về điều kiện biên ta có
a = T(a, a) ≤T(a, b) ≤T(a, 1) = a, Do vậy, T(a, b) = a = min{a, b}.
Định lý này giải thích lý do tại sao chúng ta không xem tính chất lũy đẳng là tiên đề của phép t-norm.
Một số tính chất quan trọng của phép t-norm mà chúng ta cần đòi hỏi cần phải có trong nhiều ứng dụng, khi cần thiết cũng có thể được coi là các tiên đề, được phát biểu sau đây.
(T5) T là hàm hai biến liên tục (Tính liên tục);
(T6) T(a, a) < a (Tính lũy đẳng dưới (subidempotency)); (T7) a < a’ và b < b’ ⇒ T(a, a’) < T(b, b’) (Tính đơn điệu chặt). Ví dụ về những phép t-norm hay được sử dụng là các phép sau:
Phép giao mờ tiêu chuẩn: Tm(a, b) = min{a, b};
Phép tích đại số: a.b;
Phép hiệu giới nội: TL(a, b) = max{0, a + b− 1};
Phép giao chặt1: T*(a, b) = ≠ ≠ = = 1 & 1 0 1 1 b a khi a khi b b khi a Chúng ta có các bất đẳng thức sau: T* ≤ TL ≤ Tp ≤ Tm (3.5-1) và, với mọi T-norm T:
T* ≤ T ≤ Tm (3.5-2)
Một phép tính “đối ngẫu” với phép t-norm được gọi là phép t-conorm và được định nghĩa như sau,
Định nghĩa 3.5-2. Một hàm 2-biến S : [0;1] × [0;1] → [0;1] được gọi là phép t-conorm, hay còn gọi là S-norm, nếu nó thỏa các tính chất sau với ∀a, a’, b, c∈ [0;1]:
(S1) Tính chất giới nội : S(a, 0) = a
(S2) Tính chất giao hoán: S(a, b) = S(b, a)
(S3) Tính chất đơn điệu: a≤a’ ⇒ S(a, b) ≤S(a’, b)
(S4) Tính chất kết hợp: S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c))
Như vậy, chỉ có tính chất (T1) và (S1) làm nên sự khác biệt giữa hai họ phép tính T-norm và S-norm.
1 Phép giao chặt tiêng Anh là drastic intersection. Nếu dịch theo nghĩa đen thì gọi là phép giao mạnh. Chúng tôi cho rằng chữ “chặt” trong tiếng Việt trong ngữ cảnh này có nghĩa phù hợp hơn. cho rằng chữ “chặt” trong tiếng Việt trong ngữ cảnh này có nghĩa phù hợp hơn.
Dưới đây là một vài S-norm: Sm(a, b) = max{a, b} SL(a, b) = min{1, a + b} Sp(a, b) = a + b – a.b S*(a, b) = a nếu b = 0 = b nếu a = 0 = 1 nếu a≠ 0 & b≠ 0.
Về mặt ý nghĩa lôgic, phép T-norm được sử dụng để mở rộng ngữ nghĩa của phép lôgic AND, còn phép S-norm để mở rộng ngữ nghĩa của phép OR.
Bây giờ chúng ta mở rộng ngữ nghĩa của phép phủ định (negation). Giá trị chân lý trong đoạn [0, 1] chúng ta sử dụng phép “1−” để mô ta ngữ nghĩa phép phủ định. Dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra một họ phép phủ định như sau:
Định nghĩa 3.5-3. Hàm N : [0;1] → [0;1] được gọi là phép phủ định nếu nó có các tính chất sau, với mọi ∀a, a’∈ [0;1]:
(N1) Tính đơn điệu giảm: a≤a’ ⇒ N(a) ≥N(a’)
(N2) Tính lũy đẳng: N(N(a)) = a
Có thể suy ra rằng hàm N trong định nghĩa trên phải là ánh xạ 1-1.
Định nghĩa 3.5-4. Ba phép tính T-norm T, S-norm S và phép phủ định N được gọi là một hệ đối ngẫu (T, S, N) nếu chúng thỏa điều kiện sau:
N(S(a, b)) = T(N(a), N(b)) (3.5-3)
Chúng ta có thể kiểm chứng các hệ sau là hệ đối ngẫu:
(∧, ∨, 1-), (⊗, ⊕, 1-), (TL, SL, 1-) và (T*, S*, 1-)