Cũng với ý tưởng trực quan này nhưng không nhất thiết hai phép kéo theo là giống nhau, chẳng hạn ta có thể định nghĩa quan hệ sau để biểu diễn luật:
Rzg = (A×V →z U ×B) ∪ (¬A×V)→g (U׬B), hay
Rgz = (A×V →g U ×B) ∪ (¬A×V)→z (U׬B). v.v…
3.6.4.2. Việc lựa chọn phép kéo theo mờ cho phương pháp lập luận xấp xỉ
1) Đối với quy tắc cắt đuối tổng quát hóa
Để thấy rõ vai trò của phép kéo theo mờ, dựa vào (3.6-20*) công thứ (3.6-21*) có thể viết cụ thể như sau, trong đó B’(v), A(u) và R(u, v) là các hàm thuộc tương ứng của các tập mờ B,
A và R,
B’(v) = ∨u’∈ UT[A’(u’), J(A(u’), B(v))], ∀v∈V (3.6-24)
Một câu hỏi đặt ra là một phương pháp lập luận khi nào được xem là tốt hay phù hợp. Một tiêu chuẩn đánh giá mức độ phù hợp là khi quay trở về lập luận kinh điển, tức là khi A’
= A thì ta cần có B’ = B3, hay ta cần có
B(v) = ∨u’∈ UT[A(u’), J(A(u’), B(v))], ∀v∈V (3.6-25) Để trả lời cho câu hỏi này, ta có định lý sau
Định lý 3.6.4-1. Giả sử rằng phép t-norm T là hàm liên tục, phép kéo theo mờ được chọn là phép JT, t.l. JT(s, t) = supu {u : T(s, u) ≤ t}. Khi đó, nếu A là tập mờ chuẩn thì phương pháp lập luận xấp xỉ thỏa điều kiện (3.6-25).
Chứng minh: Theo định nghĩa của phép JT(s, t), ta có T(s, JT(s, t)) ≤t. Với s = A(u) và t
= B(v) ta thu được biểu thức T(A(u), JT(A(u), B(v))) ≤ B(v), với mọi u ∈ U và v ∈ V. Mặt khác, do A là tập mờ chuẩn, t.l. tồn tại u0∈U sao cho A(u0) = 1, ta suy ra T(A(u0), JT(A(u0),
B(v))) = JT(1, B(v))) = B(v) và điều này chứng tỏ phép kéo theo mờ JT thỏa (3.6-25).
Định lý 3.6.4-2. Nếu tập mờ A có miền trị phủ toàn đoạn [0, 1], thì các phép kéo theo mờ sau thỏa điều kiện (3.6-25) đối với bất kỳ phép t-norm T nào:
(i) Phép kéo theo Gaines-Rescher Jg-r;
3 Bạn đọc có thể suy nghĩ trên quan điểm của mình về mức độ hợp lý của tiêu chuẩn này trước khi xem đoạn chú thích tiếp theo. Ý kiến các tác giả cuốn sách này là, chúng ta đang dùng lý thuyết tập mờ, một lý thuyết cho chú thích tiếp theo. Ý kiến các tác giả cuốn sách này là, chúng ta đang dùng lý thuyết tập mờ, một lý thuyết cho phép thao tác chính xác dựa trên các đối tượng toán học và các phép tính trên chúng, để mô phỏng các phương pháp lập luận “áng chừng” của con người bằng các phương pháp lập luận được gọi là xấp xỉ. Vì vậy việc áp đặt rứt khoát B’ = B là một ràng buộc quá chặt. Một tiêu chuẩn kiểu xấp xỉ B’≈B theo một nghĩa nào đó có thể mềm dẻo và hợp lý hơn.
(ii) Phép kéo theo Goedel Jg; (iii) Phép kéo theo Wu Jwu.
Chứng minh: Trước hết chúng ta chứng minh trường hợp khó hơn trước.
(iii) Với mỗi v ∈ V, ta tính biểu thức sau và nhớ rằng miền trị của A phủ toàn bộ đoạn [0;1]:
supu∈UT(A(u), Jwu(A(u), B(v))) = sups∈[0, 1]T(s, Jwu(s, B(v)))
= max{sups≤B(v)T(s, Jwu(s, B(v))), sups > B(v)T(s, Jwu(s, B(v)))} = max{sups≤B(v)T(s, 1), sups > B(v)T(s, min(1-s, B(v))}
= max{B(v), sups > B(v)T(s, min(1-s, B(v))} = B(v),
vì, do T đơn điệu tăng theo từng biến, T(s, min(1-s, B(v)) ≤ T(1, B(v)) = B(v). Đều này nói rằng (3.6-25) đúng đối với phép kéo theo mờ Wu.
Đới với trường hợp (i) và (ii) ta chứng minh hoàn toàn tương tự nhưng việc tính toán đơn giản hơn. Chẳng hạn, đối với trường hợp (i), ta thấy
supu∈UT(A(u), Jg-r(A(u), B(v))) = sups∈[0, 1]T(s, Jg-r(s, B(v)))
= max{sups≤B(v)T(s, Jg-r(s, B(v))), sups > B(v)T(s, Jg-r(s, B(v)))} = max{sups≤B(v)T(s,1), sups > B(v)T(s, 0)}
= max{B(v), 0} = B(v), vì, T(s, 0) ≤T(1, 0) = 0.
Để dễ so sánh, chúng ta cho các kết quả nghiên cứu về vấn đề này đối với các phép kéo theo đã đề cập ở trên trong Bảng 3.6-1.
Bảng 3.6-1: Quy tắc cắt đuôi tổng quát hóa (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tên phép kéo theo
t-norm min
t-norm tích đại số
t-norm hiệu giới nội
t-norm giao chặt
Gaines-Rescher B B B B
Goedel (Jg) B B B B
Goguen (J∆) B1/2 B B B
Kleene-Dienes max{1/2, B} max{1/4, B} B B
Lukasiewicz (Ja) 21(1+B) 2
4
Reichenbach (Jr) B − 2 1 max{B,4−4min(1 B,1/2)} B B Wu (Jwu) B B B B
2) Đối với quy tắc modus tollens tổng quát hóa
Tương tự như đối với trường hợp nghiên cứu về việc lựa chọn phép kéo theo mờ đối với phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên quy tắc suy luận cắt đuối tổng quát hóa ở trên, một tiêu chuẩn lựa chọn phép kéo theo mờ là khi sự kiện đầu vào B’ := ¬B thì kết luận hay đầu ra của quy tắc suy luận phải là A’ = ¬A4, hay chúng ta phải có
N(A(u)) = supv∈VT(N(B(v)), J(A(u), B(v))) (3.6-26)
Tương tự như việc nghiên cứu đối với quy tắc cắt đuôi tổng quát hóa ở trên, kết quả lập luận A’ khi sử dụng quy tắc modus tollens tổng quát hóa với giá trị đầu vào B’ = B được cho trong Bảng 3.6-2.
3.6.4.3. Xây dựng phương pháp lập luận dựa trên phương trình quan hệ mờ
Trong hai Mục 3.6.4.2 chúng ta đã trình tiêu chuẩn lựa chọn phép kéo theo mờ J để xác định quan hệ R sao cho nó thỏa biểu thức
B = A oR (3.6-27)
đối với quy tắc cắt đuôi tổng quát hóa, và thỏa biểu thức
N(A) = R oN(B) (3.6-28)
đối với quy tắc modus tollens tổng quát hóa.
Như vậy, bản chất của việc tìm một phương pháp lập luận xấp xỉ là việc xác định quan hệ mờ R một cách phù hợp. Tuy nhiên, khi quan sát hai biểu thức (3.6-27) và (3.6-28), chúng ta có thể coi chúng như là các phương trình quan hệ mờ và bài toán xây dựng một phương pháp lập luận xấp xỉ trở thành việc giải phương trình quan hệ mờ (3.6-27) hay (3.6-28) đển tìm lời giải R khi cho biết các “quan hệ mờ” A và B.
Bây giờ chúng ta đi nghiên cứu một số phương pháp giải các phương trình quan hệ ở hai dạng nếu trên.
Bảng 3.6-2: Quy tắc modus tollens tổng quát hóa
Tên
phép kéo theo t-norm min t-norm tích đại số
t-norm hiệu giới nội
t-norm giao chặt
Gaines-Rescher ¬A ¬A ¬A ¬A (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});