Trước hết chúng ta khảo sát lại công thức (3.3-5) dựa trên các tập mức. Chúng ta biết rằng có một tương ứng 1-1 giữa tập mờ A trên U và họ đơn điệu giảm các tập mức {Aα : α∈ (0, 1]}, t.l. α < β ⇒ Aα ⊇Aβ. Vì vậy thay vì tính trực tiếp hàm thuộc của một tập mờ, ta tính họ các tập mức. Đặc biệt trong trường hợp rời rạc hóa, số tập mức như vậy chỉ hữu hạn. Để cho gọn, ta ký hiệu giá của tập mờ A là A(0), t.l. A(0) = {u∈U: µA(u) > 0}.
Giả thiết rằng ta chỉ xét các tập mờ mà hàm thuộc của chúng liên tục.
Để phân tích công thức (3.3-5) trên quan điểm tập mức một cách cụ thể, ta giả thiết phép * là phép + số học trên R. Ta sẽ chứng tỏ rằng
Cα = Aα + Bα = {a + b: a∈Aα & b∈Bα} (3.3-6)
Thực vậy, giả sử t∈Cα, t.l. µC(t) ≥α. Từ (3.3-5), ta suy ra µA(a) ≥α và µB(b) ≥α với ít nhất một cặp (a, b) sao cho a + b = t. Nghĩa là, ta có Cα ⊆ {a + b: a∈Aα & b∈Bα}. Ngược lại, dễ dàng thấy rằng với mọi cặp (a, b) sao cho a∈Aα & b∈Bα, thì µA(a) ∧µB(b) ≥α và do đó, theo (3.3-5), với t = a + b, ta có µC(t) ≥α hay a + b∈Cα. Như vậy chúng ta đã chứng minh công thức (3.3-6) là đúng.
Tương tự như vậy chúng ta có thể thiết lập các công thức tương tự như (3.3-6) cho các phép tính số học khác.
Với giả thiết các hàm thuộc của các tập mờ được xét A là chuẩn, tức là high(A) = 1 hay A1 ≠∅, và liên tục, các tập mức đều là các đoạn thẳng. Khi đó, công thức (3.3-6) có nghĩa đoạn
Cα là tổng của 2 đoạn Aα và Bα. Như vậy, (3.3-6) dẫn đến việc nghiên cứu số học các khoảng đóng.
Xét họ các khoảng đóng, giới nội trên tập số thực R, ký hiệu là họ Intvl(R).
Ta định nghĩa các phép tính số học trên các khoảng như vậy như sau. Gọi * là phép tính 2-ngôi bất kỳ trên số thực R, t.l. * có thể là phép cộng (+), phép trừ (–), phép nhân (.) và phép chia (/) số học, thì nó sẽ cảm sinh một phép tính trên Intvl(R) cũng được ký hiệu là phép * và được định nghĩa như sau:
[a, b] ∗ [c, d] = {u∗v : u∈ [a, b] & v∈ [c, d]} (3.3-7)
với giả thiết rằng nếu ∗ là phép chia thì ta giả thiết đoạn [c, d] không chứa phần tử 0 của R. Từ (3.3-7) ta dễ dàng suy ra các công thức sau
[a, b] + [c, d] = [a + b, c + d] [a, b] – [c, d] = [a – b, c – d] [a, b] / [c, d] = [a, b] . [1/d, 1/c]
[a, b] . [c, d] = [e, f], với e = min {ac, ad, bc, bd} còn f = max {ac, ad, bc, bd} Lưu ý rằng vì mỗi số a, b, c và d có thể âm hoặc dương nên ta phải tính min, max để xác định đầu mút của khoảng kết quả của phép nhân.
Trở lại với nguyên lý thác triển đối với ánh xạ xác định bởi phép tính số học ∗ trên số thực với tập mờ cảm sinh được tính trên các tập mức như ở dạng công thức (3.3-6). Nếu các tập mờ A và B là chuẩn và liên tục, thì tất cả các tập mức Aα và Bα đều là các khoảng đóng giới nội, t.l. chúng là các phần tử của Intvl(R) và do đó các công thức ở dạng (3.3-6) đều được tính toán dựa trên số học các khoảng.