4 Xem chú thích ngay trước.
3.6.5.3. Phương pháp lập luận xấp xỉ đa điều kiện, nhiều biến
Trong mục các trên chúng ta đã nghiên cứu các phương pháp lập luạn xấp xỉ trong đó phần tiền tố của luật (mệnh đề nếu-thì) chí có một biến ngôn ngữ. Trong mục này chúng ta sẽ đề cập đến phương pháp lập luận trên các luật mà phần tiền tố có nhiều biến ngôn ngữ tham gia và chúng được liên kết lôgic bằng các phép VÀ hay HOẶC. Như vậy, chúng ta có thể có các trường hợp sau:
Dạng tiền tố hội: NẾU X1 là A1 VÀ … VÀ Xm là Am THÌ Y là B
Phương pháp lập luận đối với dạng này ta có thể được xây dựng bằng việc đưa về phương pháp đối với trường hợp tiền tố chỉ có một biến, nhờ thay tiền tố nhiều biến bằng mệnh đề X* là A*, với
A* = A*1∩A*2∩ … ∩A*m (3.6-77)
trong đó, A*i là mở rộng hình trụ của tập mờ Ai trong tích Đề-các U1 × … ×Um, nghĩa là A*i
là một tích Đề-các chỉ có riêng thành phần thứ i là Ai còn các thành phần còn lại là toàn không gian Uj, j ≠ i, và hàm thuộc của nó là
A*(u1, u2, …, um) = min{A1(u1), A2(u2), …, Am(um)}.
Dạng tiền tố tuyển: NẾU X1 là A1 HOẶC … HOẶC Xm là Am THÌ Y là B Tương tự như trên, nhưng A* được tính theo công thức
A* = A*1∪A*2∪ … ∪A*m (3.6-78)
A*(u1, u2, …, um) = max{A1(u1), A2(u2), …, Am(um)}.
Mệnh đề với NẾU KHÔNG và TRỪ KHI
Những mệnh đề điều kiện có chứa NẾU KHÔNG hay TRỪ KHI có cấu trúc lôgic cho phép chuyển về dạng quen biết và do đó chugs ta có thể sử dụng các phương pháp lập luận xấp xỉ đã trình bày ở trên.
(1) Mệnh đề
NẾU X là A THÌ (Y là B1 NẾU KHÔNG B2)
có thể phân tách thành các mệnh đề điều kiện quen biết được liên kết với nhau bằng HOẶC như sau: NẾU X là A THÌ Y là B1 HOẶC NẾU X là KHÔNG A THÌ Y là B2 (2) Mệnh đề NẾU X là A1 THÌ Y là B TRỪ KHI X là A2
cũng như trên, có thể phân tách thành các mệnh đề điều kiện quen biết được liên kết với nhau bằng HOẶC như sau:
NẾU X là A1 THÌ Y là B
HOẶC
NẾU X là A2 THÌ Y là KHÔNG B
(3) Mệnh đề
NẾU X1 là A1 THÌ Y là B NẾU KHÔNG (NẾU X2 là A2 THÌ Y là B2) có thể phân tách thành
NẾU X là A1 THÌ Y là B
HOẶC
NẾU X là KHÔNG A1 VÀ X2 là A2 THÌ Y là B2
Dạng mệnh đề điều kiện kết tổ
NẾU X1 là A1 THÌ (NẾU X2 là A2 THÌ Y là B) có thể viết thành mệnh đề dạng sau
NẾU X1 là A1 VÀ X2 là A2 THÌ Y là B 3.6.5.4. Phương pháp lập luận xấp xỉ bằng đồ thị
Phương pháp lập luận bằng đồ thị không có ý nghĩa trong tính toán máy tính nhưng nó có ý nghĩa cho việc chúng ta trực tiếp tính toán bằng tay trong việc thiết lập các ví dụ để kiểm tra tính đúng đắn của lôgic chương trình máy tính và cho chính việc trình bày và lĩnh hội nội dung của giáo trình này.
Xét một mô hình mờ nhiều biến hay còn gọi là một hệ luật sau (để đơn giản trong trình bày chúng ta giới hạn chỉ 2 biến đầu vào):
NẾU X1j là A1j VÀ X2j là A2j THÌ Y là Bj, j = 1, 2, …, n. (3.6-79) Chúng ta giới hạn phương pháp lập luận đồ thị với những giả thiết sau:
- Các tập mờ đều ở dạng tam giác hay hình thang;
- Các luật trong (3.6-79) liên kết bằng phép tuyển hoặc hội; - Quan hệ mờ được định nghĩa dựa trên phép kéo theo Mamdani; - Phép hợp thành là sup-min.
Với những giả thiết trên ta có thể xây dựng một phương pháp lập luận đồ thị khá đơn giản và dễ dàng thực hiện tính toán trực tiếp bằng tay.
Trước hết, chúng ta hãy thiết lập công thức tính tập mờ kết luận khi cho biết tập mờ đầu vào A1’ và A2’.
Với phép hợp thành sup-min:
B’(v) = (A1’×A2’) oR(u1, u2, v)
= supu1∈U1, u2∈U2 min{min[A1’(u1), A2’(u2)], max1≤j≤nRj(u1, u2, v)} = supu1∈U1, u2∈U2 max1≤j≤n min{min[A1’(u1), A2’(u2)], Rj(u1, u2, v)} = max1≤j≤n supu1∈U1, u2∈U2 min{min[A1’(u1), A2’(u2)], Rj(u1, u2, v)}
= max1≤j≤n (A1’×A2’) oRj(u1, u2, v) = max1≤j≤nB’j (3.6-80)
Công thức (3.6-80) chứng tỏ rằng, với những điều kiện phép hợp thành là sup-min và liên kết các luật là tuyển, thì kết luận B’ có thể được tính theo kết quả lập luận đối với từng luật:
B’j = (A1’ ×A2’) o Rj(u1, u2, v), trong đó Rj(u1, u2, v) là quan hệ mờ biểu diễn ngữ nghĩa của luật thứ j.
Ta hãy viết tường minh biểu thức giải tích của (3.6-80) với Rj tính theo Mamdani:
B’(v) = max1≤j≤n supu1∈U1, u2∈U2 min{min[A1’(u1), A2’(u2)], min[A1j(u1), A2j(u2), Bj(v)]} = max1≤j≤nsupu1∈U1, u2∈U2 min{min[A1’(u1), A1j(u1)], min[A2’(u2), A2j(u2)], Bj(v)} = max1≤j≤n supu1∈U1 supu2∈U2 min{min[A1’(u1), A1j(u1)], min[A2’(u2), A2j(u2)], Bj(v)} = max1≤j≤n min{supu1∈U1 min[A1’(u1), A1j(u1)], supu2∈U2 min[A2’(u2), A2j(u2)], Bj(v)}
(3.6-81)
Phân tích biểu thức chứa sup trong vế phải của đẳng thức cuối cùng trong (3.6-80) ta thấy, biểu thức supu1∈U1min[A1’(u1), A1j(u1)] xác định chiều cao của tập mờ A1’∩A1j, high(A1’∩A1j). Một cách tương tự, supu1∈U1min[A2’(u1), A2j(u1)] xác định chiều cao high(A2’∩A2j) của tập mờ
A2’∩A2j. Do vậy, (3.6-81) trở thành biểu thức sau
B’(v) = max1≤j≤n min{min[high(A1’∩A1j), high(A2’∩A2j)], Bj(v)} (3.6-82)
Ký hiệu hj = min[high(A1’∩A1j), high(A2’∩A2j)], biểu thức min[hj, Bj(v)], với ∀v ∈ V, xác định phần của tập mờ Bj, Bj, bị cắt cụt ngọn, có chiều cao còn lại là hj. Vậy, B’ được tính theo công thức sau
B’ = B1∪B2∪ … ∪Bn (3.6-83)
Vì các tập mờ ở dạng tam giác hay hình thang, biểu thức (3.6-83) cho ta một phương pháp lập luận bằng đồ thị có thể tính trực tiếp bằng tay như sau:
Bước 1. Với mỗi j = 1, …, n,
(i) Tính chiều cao của các hình tam giác hay hình thang A1’∩A1j và A2’∩A2j. Lấy hj là chiều cao thấp nhất trong các chiều cao đã tính.
(ii) Cắt phần ngọn của hình tam giác hay hình thang Bj sao cho phần còn lại Bj của nó có chiều cao là hj.
Hình 3.6-4 là một ví dụ giải tích cách tính tập mờ kết quả dựa trên phương pháp lập luận đồ thị. Ở ví dụ này, hệ luật (3.6-79) có 2 luật và dữ liệu đầu vào của hệ là cặp tập mờ tam giác (A’1, A’2). Ứng với Bước 1, đối với j = 1, ta lấy giao của hai tam giác A11 và A’1 và giao của A12 và A’2, và min của chiều cao của hai tam giác thu được là h1. Cắt ngọn tam giác B1 ta thu được hình thang có chiều cao là h1 được tô bằng các đường gạch song song với hai đáy. Một cách tương tự, đối với j = 2, ta thu được hình thang với chiều cao là h2 bằng cách cắt ngọn tam giác B2. Hợp của hai hình thang kết quả là hình được đánh dấu bằng các đường gạch song song với cạnh đáy. Nếu cần thiết biến đổi tập mờ kết quả về giá trị thức, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp khử mờ được trình bày trong Mục 3.3.10.
Chú ý: Trong trường hợp dữ liệu đầu vào là các tam giác (A’1, A’2) suy biến thành các giá trị thực, t.l. hàm thuộc của chúng là hàm đặc trưng chỉ khác không tại giá trị thực đó thì các bước của phương pháp lập luận đồ thị vẫn vận dụng được đúng đắn.
A11 A’1 A12 A’2 B A’1 A12 A’2 B 1 min A21 A’1 A22 A’2 B2 min B1 B2 Hình 3.6-4 h1 h2