1 = Điều này chứng tỏ g là phép trung bình cộng có trọng số
3.4.3.Quan hệ mờ 2-ngô
Một lớp các quan hệ mờ quan trọng là quan hệ mờ 2-ngôi, chẳng hạn quan hệ “bạn thân”, “bạn hàng gần gũi”, “học giỏi hơn”, ...
Quan hệ 2-ngôi R trên U×U, hay gọi là quan hệ trên không gian U, có những tính chất đặc biệt mà các quan hệ khác không có. Trong những quan hệ này có quan hệ đơn vị E được định nghĩa bởi hàm thuộc sau:
µE(u, u) = 1, với ∀u∈U và µR(u, v) = 0, với ∀u, v∈U, u≠v.
Định nghĩa 3.4-3. Cho R là quan hệ mờ 2-ngôi trên U×U. Khi đó ta nói R là:
Phản xạ nếu và chỉ nếu µR(u, u) = 1, với ∀u∈U hay E⊆R;
Phản phản xạ nếu và chỉ nếu µR(u, u) = 0, với ∀u∈U;
Đối xứng nếu và chỉ nếu µR(u, v) = µR(v, u), với ∀u, v∈U;
°-Bắc cầu nếu và chỉ nếu µR(u, v) ≥µR(u, w) °µR(w, v), ∀u, v, w∈U;
*-Bắc cầu đối ngẫu nếu và chỉ nếu µR(u, v) ≤µR(u, w) * µR(w, v), ∀u, v, w∈U, trong đó * là phép tính đối ngẫu đối với °.
Một quan hệ mờ có cả 3 tính chất phản xạ, đối xứng và °-bắc cầu được gọi là quan hệ tương tự (similarity) hay quan hệ tương đương mờ.
Một quan hệ mờ có 3 tính chất phản phản xạ, đối xứng, *-bắc cầu đối ngẫu được gọi là
Ví dụ quan hệ “bạn thân”, quan hệ “lớn hơn rất nhiều” là những quan hệ tương đương mờ vì chúng đều là các quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Trong thực tế chúng ta dễ dàng xây dựng được quan hệ mờ phản xạ và đối xứng, nhưng khó có thể có ngay tính chất °-bắc cầu. Quan hệ mờ R có 2 tính chất phản xạ và đối xứng được gọi là quan hệ giống nhau (resemblance) hay quan hệ gần gũi (proximity). Để có được tính °- bắc cầu của quan hệ mờ R ta thực hiện phép lấy bao đóng °-bắc cầu, ký hiệu là R^, được định nghĩa là quan hệ °-bắc cầu nhỏ nhất chứa R, nghĩa là
R^ = {S:S is °−transitive&R⊆S}.
Ta sử dụng ký hiệu như sau: R2 = RoR; Rk+1 = RkoR, với k = 1, 2, …
Định lý 3.4-2. Giả sử R là quan hệ gần gũi. Khi đó, ta có (i) R^ = R∪R2∪ … ∪Rk∪ … = ∞k=1
k
R
(ii) Nếu U hữu hạn và có n phần tử, thì ta có R^ = nk k R 1 = (iii) Nếu ∃l, Rl = Rl+1, thì ta có R^ = lk k R 1 =
(iv) R là tương tự nếu R2⊆R và khi đó R^ = R.
Ví dụ: Để mô tả sừ gần gũi giữa các giá trị mô tả mầu mắt của con người ta có thể xây dựng một quan hệ mờ gần gũi như sau. Giả sử U = {đen, nâu, xanh, xanh hơi xẫm, nâu đen,
đen nâu, xanh nhạt}. Có nhiều bài taons thực tế đòi hỏi so sánh, tìm kiếm và chúng ta có thể giải quyết bài toán này dựa trên việc xây dựng quan hệ tương tự, và trước hết xấy dựng quan hệ gần gũi. Chẳng hạn quan hệ sau:
R đe n nâu đen đen nâu nâ u
xanh xanh hơi
xẫm xanh nhạt đen 1,0 0,7 0,85 0,6 0,0 0,3 0,0 nâu đen 0,7 1,0 0,92 0,8 6 0,0 0,4 0,0 đen nâu 0,8 5 0,92 1,0 0,82 0,0 0,2 0,0 nâu 0,6 0,86 0,82 1,0 0,0 0,25 0,0 xanh 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,9 0,84 xanh hơi xẫm 0,3 0,4 0,2 0,2 5 0,9 1,0 0,65 xanh nhạt 0,0 0,0 0,0 0,0 0,84 0,65 1,0
Dễ dàng kiểm chứng nó là quan hệ gần gũi: nó là phản xạ vì nó đồng nhất bằng 1 trên đường chéo chính; nó là đối xứng vì các giá trị đối xứng qua đường chéo chính.