Các mô hình và phần mềm tối ưu hóa và ứng dụng trong nông nghiệp

Mô hình tối ưu một mục tiêu tuyến tính và phi tuyến Dạng chính tắc của bài toán tối ưu toàn cục một mục tiêu được biểu diễn như sau: Nếu ký hiệu D là miền các phương án miền ràng buộc c

Trường Đại học Nông nghiệp I Hà Nội

Khoa Công nghệ thông tin

PGS.TS NGUYỄN HẢI THANH

CÁC MÔ HÌNH VÀ PHẦN MỀM

tối ưu hoá và ứng dụng trong nông nghiệp

(bài giảng điện tử trong khuôn khổ dự án CNTT)

HÀ NỘI, THÁNG 10 NĂM 2007

MỤC LỤC

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG NÔNG NGHIỆP 3

1.1 Mô hình tối ưu một mục tiêu (tuyến tính và phi tuyến) 3 1.2 Các ví dụ minh hoạ bài toán tối ưu một mục tiêu 4

2 MÔ HÌNH QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN 8

2.2 Các khái niệm cơ bản của bài toán tối ưu đa mục tiêu 9 2.3 Các ví dụ minh hoạ bài toán quy hoạch đa mục tiêu 10

CHƯƠNG II GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

23

1 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BTQHTT DẠNG CHÍNH TẮC 23

1.1 Ví dụ 23

2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH HAI PHA GIẢI BTQHTT TỔNG QUÁT 28

2.1 Ví dụ 28 2.2 Thuật toán đơn hình hai pha giải BTQHTT dạng tổng quát 30

1 PHƯƠNG PHÁP RST2ANU GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

1 3 Một số nhận xét về phiên bản nâng cấp của phần mềm 43

2.1 Bài 1: Bài toán xác định tham số sàng phân loại 44 2.2 Bài 2: Bài toán xác định cơ cấu đầu tư chăn nuôi cá 46

3 TÍCH HỢP RST2ANU VỚI MATLAB 48

2 GIẢI BTQHTT ĐA MỤC TIÊU BẰNG CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH

MULTIOPT

59

2.1 Ví dụ 59

2.3 Bài toán quy hoạch đất xã Trâu Quỳ 70

CHƯƠNG V MÔ HÌNH VÀ PHẦN MỀM TỐI ƯU PHI TUYẾN ĐA MỤC TIÊU 71

1 BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN TRONG MÔI TRƯỜNG MỜ / NGẪU NHIÊN 71

1.4 Sử dụng thông tin pay-off để đoán nhận e , k d~j 77

2 THUẬT GIẢI TƯƠNG TÁC LẶP PRELIME VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 80

2.1 Phát biểu thuật giải 80

2.3 Bài toán xác định cơ cấu đầu tư cho các hộ chăn nuôi cá 87 2.4 Bài toán quy hoạch sử dụng đất trên địa bàn huyện Trùng Khánh 88

CHƯƠNG VI KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU 92

2 NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG VÀ ĐỀ XUẤT CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 92

4 XÂY DỰNG HỆ HỖ TRỢ RA QUYẾT ĐỊNH CÀI ĐẶT TRÊN MẠNG

Chương I

ỨNG DỤNG MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG NÔNG NGHIỆP

Tối ưu hoá là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực, trong đó có nông nghiệp Trong thực tế, việc tìm ra giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng Phương án tối ưu là những phương án tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, sức lực mà lại cho hiệu quả cao

Có thể phát biểu mô hình (bài toán) tối ưu tổng quát như sau:

F(X) ÆMax (Min) với X ∈D được gọi là miền ràng buộc

F ở đây có thể là một hàm vô hướng hay hàm véc tơ, tuyến tính hay phi tuyến Trong trường hợp F là hàm vô hướng thì ta có mô hình quy hoạch (tối ưu) đơn mục tiêu, còn nếu F là véc tơ thì có mô hình quy hoạch (tối ưu) đa mục tiêu X có thể là một biến đơn lẻ hay một tập hợp nhiều biến tạo thành một vectơ hay thậm chí là một hàm của nhiều biến khác Biến có thể nhận các giá trị liên tục hay rời rạc D là miền ràng buộc của X, thường được biểu diễn bởi các đẳng thức, bất đẳng thức, và được gọi là miền phương án khả thi hay phương án chấp nhận được

1 MÔ HÌNH QUY HOẠCH ĐƠN MỤC TIÊU

1.1 Mô hình tối ưu một mục tiêu (tuyến tính và phi tuyến)

Dạng chính tắc của bài toán tối ưu toàn cục một mục tiêu được biểu diễn như sau:

Nếu ký hiệu D là miền các phương án (miền ràng buộc) cho bởi các ràng buộc

(i), (ii) và/hoặc (iii) thì bài toán trên đây có thể viết gọn hơn như sau: f(X) → Max (Min) với X ∈ D Lúc này, X* ∈ D được gọi là phương án tối ưu toàn cục nếu ∀ X∈D ta luôn có: f(X*) ≤ f(X) Trong trường hợp f(X*) ≤ f(X) chỉ đúng với ∀X∈D trong một lân cận của X* thì X* được gọi là phương án tối ưu địa phương

Trong trường hợp có ít nhất một trong các hàm mục tiêu hay ràng buộc là hàm phi tuyến, chúng ta có bài toán quy hoạch phi tuyến Trong các bài toán tối ưu phi tuyến ứng dụng nói chung, và trong nông nghiệp nói riêng, lời giải tối ưu toàn cục có một ý

nghĩa quan trọng Chẳng hạn trong thiết kế máy nông nghiệp, sau khi dùng phương pháp phân tích hồi qui nhiều chiều, ta thường thu được hàm mục tiêu f(X) có dạng phi tuyến Các bài toán tối ưu toàn cục cũng có thể nảy sinh trong quy hoạch kinh tế - sinh thái vùng, hay xác định cơ cấu đất canh tác - cây trồng Bài toán đặt ra là phải tìm được phương án tối ưu toàn cục Có rất nhiều phương pháp giải các lớp bài toán tối ưu phi tuyến, nhưng chưa có phương pháp nào tỏ ra hữu hiệu cho mọi bài toán tối ưu phi tuyến, đặc biệt là các bài toán có các biến nhận các giá trị liên tục cũng như nguyên

Trong trường hợp tất cả các hàm mục tiêu cũng như ràng buộc đều là các hàm tuyến tính, chúng ta có BTQHTT Trái với bài toán quy hoạch phi tuyến, BTQHTT có thể giải bằng một số phương pháp tối ưu quen biết (như phương pháp đơn hình cải biên, phương pháp hai pha, phương pháp điểm trong v.v…) và được sử dụng rộng rãi trong quy hoạch sử dụng đất cũng như nhiều lĩnh vực của kinh tế và quản trị kinh doanh nông nghiệp Đặc biệt, khi các ràng buộc đều cho ở dạng bất đẳng thức với dấu ≤ thì ta có

mô hình tối ưu (quy hoạch tuyến tính) một mục tiêu sau:

Min CX với ràng buộc X ∈ , trong đó: D

C là véc tơ ∈ R n

D = { X R∈ n : AX ≤ B, X ≥ 0 } với A là ma trận cấp m × n và B R∈ m

1.2 Các ví dụ minh hoạ bài toán tối ưu một mục tiêu

Bài toán quy hoạch sử dụng đất

(Mô hình tối ưu tuyến tính một mục tiêu giải bài toán quy hoạch sử dụng đất trên địa bàn xã Đông Dư, huyện Gia Lâm, tỉnh Hà Nội)

Chúng ta xét mô hình tối ưu một mục tiêu với mục tiêu cần cực đại hoá là hiệu quả kinh tế Để thiết lập mô hình, trước hết chọn các biến quyết định Dựa vào kết quả các dữ liệu đã thu được, ta chọn các biến quyết định như sau: xj với j = 1, 2, …, 18 là diện tích các loại cây trồng ( theo thứ tự là: lúa xuân, lúa mùa, ngô xuân, ngô đông, ngô bao tử đông, lạc xuân, đậu xanh xuân, đậu tương đông đất chuyên màu, đậu tương đông đất ba vụ, dưa chuột xuân, dưa chuột bao tử, mướp đắng xuân, rau mùi tàu, rau gia vị, đậu cô ve đông, ớt xuân, cà chua xuân, cà chua đông), x19 là diện tích ao hồ thả cáao cá,

xj với j = 20, …, 24 là số đầu vật nuôi trong năm (trâu, bò, lợn, gia cầm) x24 là số công lao động thuê ngoài, x25 là lượng tiền vốn vay ngân hàng Lúc đó chúng ta có bài toán tối ưu tuyến tính một mục tiêu với 33 ràng buộc (chưa kể điều kiện không âm của các biến) như sau:

Hiệu quả kinh tế: f(X) = 4306,14 x1 + 4168,73 x2 + 3115,21 x3 + 3013,11 x4 + 4158,68 x5+ 4860,91 x6 + 4295,31 x7 + 3706,11 x8 + 3788,25 x9+ 12747,31 x10+ 12752,96 x11 + 12064,81 x12 + 79228,88 x13 + 35961,31 x14 + 10823,91 x15+ 7950,16 x16 + 7928,06 x17 +5738, 46 x18 + 11129,50 x19 + 429,00 x20 + 674,00 x21+ 219,50 x22+ 11,10 x23– 15,50 x24 – 0,12 x25 → Max

Với các ràng buộc sau đây :

x1 ≤ 80,88; x2 ≤ 75,78; x3 ≤ 64,89; x4 ≤ 64,89; x5≤ 10,50; x6 ≤ 64,89; x7 ≤ 64,89; x8 ≤ 16,50; x9 ≤ 45,30; x10 ≤ 5,50; x11 ≤ 8,5; x12 ≤ 6,80; x13≤ 13,70; x14 ≤ 14,50; x15 ≤ 4,80; x16 ≤ 4,50; x17 ≤ 4,20; x18 ≤ 10,20; x19 ≤ 33,11; x20 ≤ 40,00; x21 ≤ 180,00; x22 ≤ 4280; x23 ≤ 18800;

x5 + x9 + x11 + x13 + x18 ≤ 45,30; x3 + x6 + x7 + x10 + x 12 + x16 + x17 ≤ 64,89; x4 + x8 + x14+ x15 ≤ 64,89; x1 + x13 ≤ 80,88; x2 + x13 ≤ 75,88;

205,5x1 + 150x3 + 75,75x4 + 75x5 + 225,5x6 + 221,5x7 + 102,7x8+ 100,75x9 +360 x10 +140x11 + 385x 12 + 1833,6x13 + 1446,3x14+210,25 x15 + 410,5x16 +360,5 x17 + 176x18 + 67x19 +20x20 + 16x21 + 9x22 + 0,3x23 - x24 ≤ 226149,00;

201,5x2 + 150x3 + 75,25x4 + 102,7x8+ 100,75x9 + 140x11 + 2475,4x13 + 1446,3x14+ 210,25x15 + 176x18 + 58x19 + 16x20 + 12x21 + 7x22 + 0,2x23 - x24 ≤ 152190,00;

2871,89x1 +2691,89 x2 + 2243,62x3 + 2243,66x4 + 3630,89x5 + 4780,06x6 + 2229,11x7 + 2401,41x8+ 2326,88x9 + 16440,61x10 + 16058,39x11 +15960,61x 12 + 68494,59x13 + 23146,11x14+ 13676,26x15 +6061,76x16 + 11083,11x17 + 10391,89x18 + 18058x19 + 1223x20 + 1098,5x21 + 624,5x22 + 12x23 - x24 ≤ 3881500;

3,5x5 + 8x6 + 3,5x7 +4,1x8+ 3,5x9 + 4,16x10 + 3,5x11 + 4x 12 + 12,1x13 + 14,4x14+ 3,42x15 + 11,58x16 + 8x17 + 7,5x18 -3 x20 –2x21 - 0,95x22 – 0,0052x23 ≤ 0;

5,1x1 + 4,96x2 + 3,85x3 + 3,8x4 ≥ 921,25;

Điều kiện không âm của các biến: ∀xj ≥ 0 ( j = 1, 2, …, 25)

Bằng phần mềm thương phẩm thích hợp có sẵn Lingo hay sử dụng Solver của Excel (xem chương II) có thể tìm được phương án tối ưu của bài toán trên như sau:

x1=67,18, x2=62,08, x3=25,32, x4=45,59, x5=10,50, x6=3,37, x9=2,40, x10=6,50, x11=8,50, x12=6,50, x13=13,70, x14=14,50, x15=4,80, x16=4,50, x17=4,20, x18=10,20, x19=33,11, x20=40,00, x21=180, x22=4280, x23=18800, x25=230701010,78 Hiệu quả kinh

tế cực đại đạt được là 4270,36

Bài toán tối ưu hoá giá trị sản xuất

(Mô hình tối ưu phi tuyến một mục tiêu giải bài toán tối ưu hoá giá trị sản xuất trên một héc ta nuôi cá tại huyện Văn Giang, tỉnh Hưng Yên)

Sử dụng số liệu điều tra 112 hộ nuôi cá vùng đồng trong đê thuộc 4 xã Văn Giang, Hưng Yên, chúng tôi chạy mô hình hồi quy tương quan trong Excel và nhận đư-

ợc kết quả hàm sản xuất Cobb – Douglas như sau (cần cực đại hoá):

Z = f(X) = 19,375 x10,236 x20,104 x30,096 x40,056 x50,056 e0,168 x6 e0,066 x7 →Max

trong đó:

z : Giá trị sản xuất bình quân triệu/ ha/năm (GO),

x1 : Chi phí giống bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),

x2 : Chi phí thức ăn bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),

x3 : Chi phí lao động bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),

x4 : Chi phí khấu hao và thuê đất bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),

x5 : Các chi phí khác bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),

x6 , x7: Biến giả định về hình thức nuôi,

x6 = 1 đối với nuôi chuyên canh,

x6 = 0 đối với nuôi tổng hợp,

x7 = 1 với hình thức nuôi 1 loại cá chính kết hợp với các loại cá khác,

x7 = 0 với hình thức nuôi 2 loại cá chính kết hợp với các loại cá khác

Với từng mức đầu tư/ tổng chi phí TC ta có các ràng buộc:

- Với mức đầu tư dưới 40 tr đ/ ha: TC < 40

- Với mức đầu tư 40 - 50 tr đ/ ha: 40 ≤ TC < 50

- Với mức đầu tư 50 – 60 tr đ/ ha: 50 ≤ TC < 60

- Với mức đầu tư 60 - 70 tr đ/ ha: 60 ≤ TC < 70

- Với mức đầu tư trên 70 tr đ/ ha: TC ≥ 70

trong đó: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = TC

Với hình thức nuôi ta có: x6+ x7 = 1 (x6 , x7 chỉ nhận các giá trị 0 hoặc 1)

Trên đây là bài toán tối ưu phi tuyến, với 5 biến liên tục và 2 biến nguyên Sử

dụng phần mềm RST2ANU (xemchương III) để giải bài toán tối ưu phi tuyến toàn cục

hỗn hợp nguyên đã thiết lập trên đây ta có kết quả trong bảng I.1

Bảng I.1 Kết quả cơ cấu đầu tư tối ưu vùng đồng

Kết quả áp dụng phần mềm RST2ANU (xem chương III) tại mức đầu tư 50

triệu đồng/ha cho phương án tối ưu sau: zmax=88,360733với x1=21,498072,

x2=9,528987, x3=8,758034, x4=5,138906, x5=5,076000, x6=1,000000, x7=0,000000

Bài toán tối ưu thông số sàng phân loại

(Mô hình tối ưu phi tuyến một mục tiêu giải quyết vấn đề tính toán một số thông

số hình học và động học của cơ cấu sàng phân loại dao động)

Trong ví dụ này chúng tôi chỉ xin nêu vắn tắt một ứng dụng của mô hình tối ưu

phi tuyến một mục tiêu trong việc tìm nghiệm của hệ phương trình phi tuyến sau phát

sinh trong việc tính toán một số thông số hình học và động học của cơ cấu sàng phân loại dao động (cần chú ý rằng nhiều phương pháp tính toán thông dụng khác của giải tích số đã tỏ ra không hiệu quả):

r cosϕ1 + l cosϕ2 + l’’ 3 cosϕ3 + l4 cosϕ4 – xC1 = 0;

r sinϕ1 + l sinϕ2 + l’’ 3 sinϕ3 + l4 sinϕ4 – yC1 = 0;

r cosϕ1 + l cosϕ2 + l’ 3 cos(ϕ3 - α)+ l5 cosϕ5 – xD1 = 0;

r sinϕ1 + l sinϕ2 + l’ 3 sin(ϕ3 - α)+ l5 sinϕ5 – yD1 = 0

Trong hệ phi tuyến trên các thông số đã biết là: r = 0,05m; l=0,30m; l’’3 = 0,15m;

l’3 = 1,075m; l3 = 1,025m; l4 = 0,50m; l5 = 0,40m; xC1 = 0,365m; yC1 = 0,635m; xD1 = 1,365m; yD1 = 0,635m; α = π/8

Để sử dụng phần mềm tính toán tối ưu phi tuyến RST2ANU giải hệ phương trình phi tuyến cho ϕ = kπ/8 (k=0,…, 9), trước hết chúng ta cần thiết lập cực tiểu hoá hàm mục tiêu sau:

z = (r cosϕ1 + l cosϕ2 + l’’ 3 cosϕ3 + l4 cosϕ4 – xC1) 2 + (r sinϕ1 + l sinϕ2 + l’’ 3 sinϕ3 + l4 sinϕ4 – yC1)2+ (r cosϕ1 + l cosϕ2 + l’ 3cos(ϕ3 - α)+ l5 cosϕ5 – xD1) 2 + (r sinϕ1 +

l sinϕ2 + l’ 3sin(ϕ3 - α)+ l5sinϕ5 – yD1) 2 Æ Min

Kết quả được cho trong bảng I.2 với zmin = 0

Bảng I.2 Kết quả tính toán giá trị các thông số của sàng phân loại

2 MÔ HÌNH QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN 2.1 Giới thiệu bài toán quy hoạch đa mục tiêu

Trong các bài toán kỹ thuật, công nghệ, quản lý kinh tế, nông nghiệp v.v nảy sinh từ thực tế, chúng ta thường phải xem xét đồng thời một lúc nhiều mục tiêu Các mục tiêu này thường là khác về thứ nguyên, tức là chúng được đo bởi các đơn vị khác nhau Những tình huống như vậy tạo ra các bài toán đa mục tiêu Người kỹ sư / người ra quyết định lúc này cần phải tối ưu hoá (cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá tuỳ theo tình huống thực tế) không phải là chỉ một mục tiêu nào đó, mà là đồng thời tất cả các mục tiêu đã đặt ra

Tuy nhiên, các mục tiêu này thường đối chọi cạnh tranh với nhau Việc làm tốt hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu đi một số mục tiêu khác Vì vậy việc giải các bài toán tối ưu đa mục tiêu, tức là tìm ra một phương án khả thi tốt nhất theo một nghĩa nào đó, thực chất chính là một bài toán ra quyết định Có thể thấy lại ở đây một lần nữa khẳng định " Tối ưu hoá chính là một công cụ định lượng chủ yếu nhất của quá trình ra quyết định"

Hiện tại các tài liệu, sách chuyên khảo, tạp chí cập nhật về các lĩnh vực liên ngành giữa Toán, Vận trù học, Khoa học Quản lý, Tin học, Công nghệ, Kinh tế, Nông nghiệp đề cập rất nhiều tới bài toán tối ưu đa mục tiêu Vấn đề nghiên cứu cơ sở lý thuyết, thuật toán, lập mô hình, xây dựng hệ máy tính trợ giúp quyết định, và áp dụng các mô hình tối ưu đa mục tiêu cho các quá trình công nghệ, quản lý là một vấn đề

liên ngành được rất nhiều nhà nghiên cứu khoa học và kĩ sư thực hành quan tâm

Mô hình tối ưu đa mục tiêu có dạng sau đây:

Trong mô hình này, ta có p mục tiêu cần tối ưu hoá, các hệ số của các hàm mục

tiêu và ràng buộc nói chung được giả sử là các giá trị thực xác định (cũng gọi là giá trị rõ) Trong trường hợp có ít nhất một trong các hàm mục tiêu hay các hàm ràng buộc là hàm phi tuyến, chúng ta có bài toán quy hoạch đa mục tiêu phi tuyến Còn nếu tất cả các hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc đều là hàm tuyến tính, chúng ta có mô hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu với dạng chính tắc như sau:

Min CX với ràng buộc X ∈ , trong đó: D

C là ma trận cấp p×m

D = { X R∈ n : AX ≤ B, X ≥ 0 }

với A là ma trận cấp m x n và B R∈ m

2.2 Các khái niệm cơ bản của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Khái niệm then chốt trong tối ưu hoá đa mục tiêu là khái niệm phương án tối

ưu Pareto

Định nghĩa 1: Một phương án tối ưu Pareto X* có tính chất sau đây:

i) Trước hết nó phải thuộc vào miền các phương án khả thi của bài toán, tức là phải thoả mãn tất cả các ràng buộc: X* ∈ D

ii) Với mọi phương án khả thi khác X ∈ D mà có một mục tiêu nào đó tốt hơn (tồn tại chỉ số i sao cho fi(X) tốt hơn fi(X*)) thì cũng phải có ít nhất một mục tiêu khác xấu hơn (tồn tại j ≠ i sao cho fj(X) xấu hơn fj (X*))

Nói một cách khác, không tồn tại một phương án khả thi nào X ∈ D có thể trội

Định nghĩa 2: Giải bài toán tối ưu toàn cục đa mục tiêu là chọn ra từ tập hợp P

các phương án tối ưu Pareto của bài toán một (một số) phương án tốt nhất theo một nghĩa nào đó dựa trên cơ cấu ưu tiên của người ra quyết định Các phương án như vậy còn được gọi là phương án thoả dụng

Cách 1: Bằng một phương pháp tối ưu toán học thích hợp tìm ra tập hợp P tất cả

các phương án tối ưu Pareto Người ra quyết định sẽ đề ra cơ cấu ưu tiên của mình đối với tập P Lúc này các phương pháp toán chẳng hạn như giải tích phân loại, các phương pháp lọc v.v… được áp dụng để tìm ra phương án tối ưu cho bài toán đa mục tiêu ban đầu

Cách 2: Việc tìm tập hợp P trong trường hợp các bài toán tối ưu phi tuyến là

khá khó, nếu không nói là không thể tìm được Vì vậy, so với cách 1, cách 2 sẽ tiến hành theo trình tự ngược lại Trước hết người ra quyết định sẽ đề ra cơ cấu ưu tiên của mình Dựa vào cơ cấu ưu tiên đó, các mục tiêu sẽ được tổ hợp vào một mục tiêu duy nhất, tiêu biểu cho hàm tổng tiện ích của bài toán Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu tổ hợp này sẽ được giải bằng một phương pháp tối ưu toán học thích hợp, để tìm ra một (hoặc một số) phương án tối ưu Pareto Lúc này, người ra quyết định sẽ chọn ra trong

số các phương án tối ưu Pareto đó một phương án tốt nhất

Chúng ta sẽ tiếp tục phân tích cách thứ 2 Rõ ràng, người ra quyết định không thể đề ra cơ cấu ưu tiên của mình một cách chính xác ngay từ đầu Trong quá trình giải bài toán, trong mỗi bước lặp, sau khi xem xét lại cơ cấu ưu tiên đã đề ra, cũng như phương án tối ưu trung gian, người ra quyết định có thể dựa vào các thông tin đó để thay đổi lại cơ cấu ưu tiên của mình Sau đó, quá trình giải lại được tiếp tục, cho tới khi một phương án tối ưu cuối cùng được đưa ra

Định nghĩa 3: Phương pháp giải bài toán tối ưu dựa trên sự trợ giúp của hệ máy

tính, nhằm giúp người ra quyết định từng bước thay đổi các quyết định trung gian một cách thích hợp để đi tới một phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất, được gọi là phương pháp tương tác người - máy tính

Cho tới thời điểm hiện nay, hàng chục phương pháp giải tương tác bài toán tối

ưu đa mục tiêu đã được đề cập tới trong các tạp chí chuyên ngành, và đa số chúng đều

có những ứng dụng rất thành công trong nhiều lĩnh vực Một trong các lớp phương pháp quan trọng và khá thuận tiện cho người sử dụng là phương pháp tương tác người - máy tính giải bài toán tối ưu đa mục tiêu với các yếu tố cấu thành sau:

- Cơ cấu ưu tiên của người ra quyết định và hàm tổ hợp tương ứng

- Kiểu tương tác người - máy tính: các thông tin nào máy tính phải đưa ra lại trong các bước lặp trung gian, và cách thay đổi các thông số của cơ cấu ưu tiên từ phía người ra quyết định

- Kỹ thuật tối ưu toán học được xây dựng dựa trên lý thuyết tối ưu hoá nhằm tìm

ra các phương án tối ưu Pareto cho các bài toán cần giải trong các bước lặp trung gian

2.3 Các ví dụ minh hoạ bài toán quy hoạch đa mục tiêu

Bài toán xác định cơ cấu cây trồng

(Mô hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu giải quyết vấn đề đánh giá hiệu quả sử dụng đất và xác định cơ cấu cây trồng xã Nhân Chính, huyện Lý Nhân, tỉnh Hà Nam)

Trong nhiều mô hình quy hoạch đất, cũng như xây dựng cơ cấu cây trồng hợp lý các mô hình tối ưu được sử dụng rộng rãi Ở nước ngoài, cũng như ở Việt Nam các phương pháp mô hình toán như vậy đã đem lại hiệu quả cao trong việc quản lý sử dụng đất cũng như việc bố trí một cơ cấu cây trồng thích hợp Tuy nhiên đa số các mô hình tối ưu đó là mô hình một mục tiêu

Ngày nay, mô hình toán tối ưu nhiều mục tiêu được áp dụng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt trong lĩnh vực quản lý kinh tế, thiết kế chế tạo Ví dụ này trình bày một cách áp dụng mô hình tối ưu nhiều mục tiêu cho bài toán xác định cơ cấu cây trồng - sử dụng đất trên địa bàn một xã vùng đồng bằng sông Hồng

Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu nhằm đạt tới việc tối ưu hoá (cực đại hoá ) các mục tiêu sau :

- Hiệu quả kinh tế của việc bố trí cơ cấu cây trồng và sử dụng đất

- Độ thích hợp tổng thể của cơ cấu cây trồng

- Hiệu quả môi trường

Bài toán có những điều kiện ràng buộc như sau về mặt sử dụng đất và cơ cấu cây trồng: Qua nghiên cứu về đất, toàn bộ diện tích canh tác được chia ra làm M loại Còn kết quả nghiên cứu về trồng trọt cho phép áp dụng trên các loại đất đó N công thức luân canh, được đánh giá ở hai mức thích hợp Độ thích hợp là 1 nếu công thức luân canh là thích hợp và là 2 nếu công thức luân canh ít thích hợp

Ký hiệu diện tích đất loại k là bk với k = 1, 2, M ; còn xijk (các biến quyết

định) là diện tích luân canh công thức i (i = 1, 2, , N) với độ thích hợp j (j = 1, 2) trên đất loại k

Đặt a ịjk là hệ số của x ijk trong ràng buộc về diện tích đất loại k, ta sẽ có a ijk = 0 nếu ta không áp dụng công thức luân canh i cho đất loại k; và a ijk = 1 nếu công thức

luân canh i được áp dụng cho đất loại k

Vậy các điều kiện ràng buộc của bài toán là :

M k

b x a

k j j

k k j k j N

i

, , 0

) , , 2 , 1 (

2 1 1

Ký hiệu c ịjk là hệ số lợi nhuận trên một đơn vị diện tích của công thức luân canh

i trên đất loại k với độ thích hợp j, thì mục tiêu về hiệu quả kinh tế được viết như sau :

1 j

k j k j k j N

i

M k

Max x

a c

(Mục tiêu 1 : Cực đại hoá lợi nhuận tổng)

Để cực đại hoá độ thích hợp tổng thể, cần cực đại hoá tổng diện tích công thức luân canh có độ thích hợp loại 1 Vậy ta có mục tiêu sau :

Max x

a i k i k

N i

M k

(Mục tiêu 2 : Cực đại hoá độ thích hợp tổng thể)

Một mục tiêu nữa cần xem xét, như trên đã nói, là hiệu quả môi trường của cơ cấu cây trồng - sử dụng đất Đây là một vấn đề thực tiễn, tuy nhiên các đánh giá về môi trường rất khó định lượng Để xác định hệ số môi trường cho các công thức luân canh, chúng tôi dùng phương pháp tổng hợp ý kiến chuyên gia Mỗi chuyên gia sẽ đưa ra đánh giá của mình về hiệu quả môi trường cho các công thức luân canh ở các mức : Tốt, khá, trung bình, xấu Sau đó các mức đó sẽ được định lượng bởi các số 100, 75, 50 và

25 Tỉ lệ % các ý kiến cho từng mức đánh giá sẽ được coi là xác suất thực nghiệm của các giá trị trên Và do đó mỗi công thức luân canh thứ i sẽ ứng với một cặp số mi (kỳ vọng) và σi (độ lệch tiêu chuẩn) của phân phối thực nghiệm thu được Thay cho các phân phối xác suất thực nghiệm, ta sẽ xem xét hệ số mờ m~ = ( mi - 3σi, mi , mi + 3σ) icủa hiệu quả môi trường cho công thức luân canh thứ i

Do đó mục tiêu hiệu quả môi trường là mục tiêu mờ được viết như sau:

~

j

k j k j i N

i

M k

Max x

a m

(Mục tiêu 3 : Cực đại hoá hiệu quả môi trường)

Tóm lại ta có mô hình tối ưu (mờ) ba mục tiêu sau đây :

1 j j k j k j k

N i

M k

Max x

a c

Max x

a i k i k

N i

M k

~

j

k j k j i N

i

M k

Max x

a m

M k

b x a

k j j

k k j k j N

i

,,0

) ,,2,1(

2 1 1

Việc xử lý mục tiêu mờ (mục tiêu cực đại hoá hiệu quả môi trường) được tiến hành bằng cách cực đaị hoá hiệu quả môi trường với hệ số rõ mi và có thể kèm thêm một ràng buộc bổ sung :

)(

N i

M k

e x a

Ở đây εi được tuỳ ý chọn thoả mãn điều kiện : 0 < εi < 3σi Thông thường ta

chọn εi = 90% × 3σi hay εi = 2,7 σi Còn số e là một số được lựa chọn thích hợp từ những thông tin có thể khai thác từ bài toán trên (chẳng hạn từ thông tin của bảng pay-off), thường gọi là ngưỡng tối thiểu có thể chấp nhận của mục tiêu

Mô hình tối ưu (mờ) ba mục tiêu chính là một mô hình ra quyết định nhiều mục tiêu, và được giải bằng phương pháp đối thoại người ra quyết định - máy tính, nhằm giúp người ra quyết định từng bước tìm hiểu và thích nghi với các thông tin nội tại của

mô hình, để cuối cùng đi tới một lời thoả mãn nhất Các mục tiêu của mô hình được chuyển sang các mục tiêu mờ phản ánh độ thoả dụng của người ra quyết định Đây là một cách làm rất hợp lý, bởi vì các đơn vị đo khác nhau của các mục tiêu được chuyển vào đơn vị thống nhất đo độ thoả dụng của người ra quyết định Đây cũng là một lợi thế của tối ưu mờ (Fuzzy Optimization) bên cạnh rất nhiều ưu điểm khác

Số liệu thực tế qua khảo sát cơ cấu cây trồng, sử dụng đất ở địa phương

Qua khảo sát thực tế các số liệu về các mặt sau được thu thập:

- Hiệu quả kinh tế của một số công thức luân canh (bảng I.3)

- Bố trí cơ cấu cây trồng theo các đơn vị đất (bảng I.4)

- Số liệu về 15 loại đơn vị đất với các đặc tính đã được khảo sát (bảng I.5)

- Tổng hợp các phiếu đánh giá hiệu quả môi trường một số công thức luân canh

áp dụng cho vùng đồng bằng sông Hồng (bảng I.6)

Bảng I.3 Hiệu quả kinh tế một số công thức trồng trọt luân canh

Công thức

trồng trọt

Giá trị SX (ngànđ/ha)

Năng suất (tạ/ha)

Chi phí trung gian (ngàn đ)

Yêu cầu lao động

(công/ha)

Giá trị tăng thêm (ngàn/ha) I.Bí xanh

Bảng I.4 Bố trí cơ cấu cây trồng theo các đơn vị đất

1 (92,87 ha) VII Lúa xuân - Lúa mùa - Khoai tây (2)

VIII Cà chua - Lúa mùa - Bắp cải (1)

X Bí xanh - Lúa mùa - Bắp cải (1)

I Bí xanh - Cà chua - Su hào (1) III Bí xanh - Bí xanh - Bắp cải (1)

3, 4, 13, 14 (41,52) II Bí xanh - Cà chua - Bắp cải (1)

I Bí xanh - Cà chua - Su hào (1)

XI Bí xanh - Lúa mùa - Khoai tây (2)

5, 6, 7 (163,15 ha) IX Lúa xuân - Lúa mùa - ải (2)

8, 15 (16,49) VII Lúa xuân - Lúa mùa - Khoai tây (2)

V Lúa xuân - Lúa mùa - Hành tây (2)

X Bí xanh - Lúa mùa - Bắp cải (1)

9, 10, 11 (85,02ha) VII Lúa xuân - Lúa mùa - Khoai tây (1)

V Lúa xuân - Lùa mùa - Hành tây (1)

IV Lúa xuân-Lúa mùa-Su hào-Su hào (2)

12 (48,49) III Bí xanh - Bí xanh - Bắp cải (1)

X Bí xanh - Lúa mùa - Bắp cải (2)

Thiết lập mô hình đa mục tiêu xác định cơ cấu cây trồng

Để có thể chọn những công thức trồng trọt phù hợp với điều kiện đất đai, đồng thời đảm bảo đạt hiệu quả mong muốn, cần xét ba mục tiêu sau:

i) Hiệu quả kinh tế, ii) Độ thích hợp đất đai, iii) Hiệu quả môi trường

Tiến hành thiết lập mô hình, trước hết chọn các biến quyết định Dựa vào kết quả các dữ liệu đã thu được, đặt tên các biến như sau:

x1 (x112): diện tích trồng các loại cây công thức 1, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (2)

x2 (x113): diện tích trồng các loại cây công thức 1, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (3)

x3 (x213): diện tích trồng các loại cây công thức 2, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (3)

x4 (x312): diện tích trồng các loại cây công thức 3, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (2)

x5 (x317): diện tích trồng các loại cây công thức 3, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (7)

x6 (x516): diện tích trồng các loại cây công thức 5, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (6)

x7 (x716): diện tích trồng các loại cây công thức 7, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (6)

x8 (x811): diện tích trồng các loại cây công thức 8, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (1)

x9 (x914): diện tích trồng các loại cây công thức 9, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (4)

x10 (x10,11): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (1) x11 (x10,15): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (5) x12 (x426): diện tích trồng các loại cây công thức 4, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (6) x13 (x525): diện tích trồng các loại cây công thức 5, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (5) x14 (x721): diện tích trồng các loại cây công thức 7, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (1) x15 (x725): diện tích trồng các loại cây công thức 7, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (5) x16 (x10,22): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (2) x17 (x10,27): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (7) x18 (x11,23): diện tích trồng các loại cây công thức 1, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (3)

Với các số liệu thực tế thu được qua khảo sát, chúng tôi có mô hình tối ưu (mờ) sau đây : Mục tiêu 1: z1 = 72279(x112 + x113) + 71201x213 + 59972 (x312 + x317) + 34934 x426 + 33875 (x516 + x525 ) + 35086 (x716 + x721 + x725) + 23730 x811 + 15898 x914 + 46312 (x10, 11 + x10, 15 + x10, 22 + x10, 27) + 54623 x11, 23 → Max

Mục tiêu 2 : z2 = x112 + x113 + x213 + x312 + x317 + x516 + x716 + x811 + x914 + x10, 11 + x10, 15 → Max

Mục tiêu 3 : z3 = m~1(x112 + x113) + m~2x213 + m (x~3 312 + x317) + m~4x426 + m (x~5 516 + x525 ) + m (x~7 716 + x721 + x725) + m x~8 811 + m x~9 914 + m (x~10 10, 11 + x10, 15 + x10, 22 + x10, 27) + m~11x11, 23 → Max

Với các ràng buộc sau đây :

2 27,3% 50 45,4% 75 m25

%3,

Sau đó có : m~1 = (m1 - 3σ1 , m1 , m1 + 3σ1 ) Tương tự có thể tính được các hệ

số mờ khác Do đó mục tiêu 3 được được thay bởi:

Mục tiêu 3 : z3 = 54,525(x112 + x113) + 52,25x213 + 52,3(x312 + x317) + 90,9 x426 + 84,075(x516 + x525 ) + 95,375(x716 + x721 + x725) + 75x811 + 81,8x914 + 77,275(x10, 11 + x10,

15 + x10, 22 + x10, 27) + 77,275x11, 23 → Max

Các bước giải bài toán tối ưu cơ cấu cây trồng

Tiến hành giải bài toán trên bằng phần mềm MULTIOPT (xem chương IV) theo các bước sau: Trước hết, nhằm giúp người ra quyết định xác định hàm thoả dụng, bài toán tối ưu cho từng mục tiêu riêng rẽ (như vậy có ba bài toán tối ưu một mục tiêu) sẽ được giải quyết Riêng mục tiêu về hiệu quả môi trường sẽ lấy mi thay thế cho m~ đối ivới mọi công thức canh tác i

Màn hình máy tính sẽ thông báo về ba lời giải tối ưu cho ba bài toán, ký hiệu là

X1, X2, và X3

X1 : x112 = 27,62; x113 = 41,52 ; x312 = 48,49 ; x716 = 85,02 ; x914 = 163,15; x10, 11

= 92,87 và x10, 15 = 16,49 (các biến khác có giá trị bằng 0)

X2 : x112 = 27,62 ; x113 = 41,52 ; x317 = 48,49 ; x516 = 85,02 ; x811 = 92,87; x914 = 163,15; x10, 15 = 16,49 (các biến khác có giá trị bằng 0)

X3 : x716 = 85,02 ; x721 = 92,87 ; x725 = 16,49 ; x914 = 163,15 ; x10, 22 = 27,62; x10,

23 = 48,49 và x11, 23 = 41,52 (các biến khác có giá trị bằng 0)

Lúc này ta có thông tin pay- off cho ở bảng I.7

Bảng I.7 Thông tin pay- off

1

B 1

w 1 1

ZZ

ZZ

−

− → Max Với z1B (tốt nhất) = 18544625,75

Bảng I.8 Kết quả lựa chọn phương án tối ưu

chọn

1 1 92.,8

7

Bí xanh (xuân) –

LM – bắp cải

Cà chua (đông) – LM – bắp cải

Lúa xuân (TQ) - LM (TQ) – khoai tây

Bí xanh (xuân) – LM – bắp cải

2 2 27,6

2 Bí xanh (xuân) – cà

chua (hè thu)- su hào

Bí xanh (xuân) – cà chua (hè thu)-

su hào

Bí xanh (xuân) – LM – bắp cải

Bí xanh (xuân) – cà chua (hè thu)- su hào

Bí xanh (xuân) – cà chua (hè thu)-

su hào

Bí xanh (xuân) – LM – khoai tây

Bí xanh (xuân) – cà chua (hè thu)- su hào

Lúa xuân – lúa mùa

Lúa xuân – lúa mùa

Lúa xuân – lúa mùa

9

Bí xanh (xuân) –

LM – bắp cải

Bí xanh (xuân) – LM – bắp cải

Lúa xuân (TQ) - LM (TQ)– khoai tây

Bí xanh (xuân) – LM – bắp cải (6.51234 ha)

LX TQ) – LM (TQ)– khoai tây

(9.97766 ha) 9;

Bí xanh (xuân) – LM – bắp cải

Lúa xuân (TQ) - LM (TQ)– khoai tây

Lúa xuân (TQ)

- LM (TQ)– khoai tây

12 7 48,4

9

Bí xanh (xuân)- bí xanh (mùa)- bắp cải

Bí xanh (xuân) - bí xanh (mùa)- bắp cải

Bí xanh (xuân) – LM – bắp cải

Bí xanh (xuân)- bí xanh

mùa)- bắp cải Trong bảng I.8, chúng ta có:

Phương án 1: Các công thức trồng trọt cho hiệu quả kinh tế cao nhất

Phương án 2: Các công thức trồng trọt cho hiệu quả cao nhất về mức độ thích nghi đất đai

Phương án 3: Các công thức trồng trọt cho hiệu quả môi trường cao nhất

Phương án cho ở cột phương án chọn là phương án thoả dụng ứng bộ giá trị các trọng số: w1 = 0.4, w2 = 0.2, w3 = 0.4 khi sử dụng phần mềm MULTIOPT

Bài toán đánh giá hiệu quả sử dụng đất và lao động

(Mô hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu giải quyết vấn đề đánh giá hiệu quả sử dụng đất và lao động trên địa bàn xã Trâu Quỳ, huyện Gia Lâm, tỉnh Hà Nội)

Để quy hoạch sử dụng đất, đồng thời đảm bảo đạt hiệu quả môi trường, cần xem xét năm mục tiêu sau:

i) Tổng lợi nhuận, ii) Hiệu quả sử dụng vốn, iii) Giá trị ngày công lao động, iv)

Số công lao động, vi) Hiệu quả môi trường

Để tiến hành giải bài toán, trước hết phải chọn các biến quyết định Dựa vào cơ cấu cây trồng xã năm 1999, các biến sau được lựa chọn:

x1 : Diện tích trồng lúa xuân (ha), x2 : Diện tích trồng lúa mùa (ha), x3 : Diện tích trồng ngô (ha), x4 : Diện tích trồng đậu tương (ha), x5 : Diện tích trồng khoai tây (ha), x6 : Diện tích trồng rau (ha), x7 : Diện tích trồng mùi (ha), x8 : Diện tích trồng táo (ha), x9 : Diện tích trồng nhãn (ha), x10 : Diện tích trồng xoài (ha)

Các mục tiêu cần cực đại hoá là:

z1 = 4,48 x1 + 4,2 x2 + 2,59 x3 + 0,98 x4 + 5,8 x5 + 15,61 x6 + 29,67 x7 + 39,21 x8 + 116,58 x9 + 105,13 x10

z2 = 0,6205 x1 + 0,5915 x2 +0,465 x3 + 0,1583 x4 + 0,7065 x5 + 0,5864 x6 + 1,2996 x7 + 1,2735 x8 + 1,1726 x9 + 1,756 x10

z3 = 0,0217 x1 + 0,0206 x2 + 0,0154 x3 + 0,0045 x4 + 0,0248 x5 + 0,0109 x6 + 0,0241 x7 + 0,0349 x8 + 0,09 x9 + 0,0811 x10

z4 = 206 x1 + 204 x2 + 168 x3 + 216 x4 + 234 x5 + 1428 x6 + 1232 x7 + 1124 x8 +

1296 x9 + 1296 x10

z5 = 0,7 x1 + 0,778 x2 + 1,273 x3 + 1,75 x4 + x5 + 0,368 x6 + 0,875 x7 + 3 x8 + 3 x9 + 3 x10

Với các ràng buộc sau (về cơ cấu diện tích đất canh tác): x1≤ 189,6407; x2 ≤ 189,6407; x3 ≤ 17,4931; x4 ≤ 17,4931; x5 ≤17,4931; x6 ≤189,6407; x7 ≤ 17,4931; x8

≤18; x9 ≤18; x10 ≤ 18

Diện tích trồng rau trên cả đất ba vụ và đất chuyên màu: x6 ≥ 26,4

Diện tích đất trồng cây vụ đông trên đất ba vụ: x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 43,8931 Diện tích đất trồng các cây ăn quả trên đất trồng cây hàng năm khác: x8 + x9 + x10 = 18

Điều kiện để có lợi nhuận là:

4,48 x1 + 4,2 x2 + 2,59 x3 + 0,98 x4 + 5,8 x5 + 15,61 x6 + 29,67 x7 + 39,21 x8 + 116,58 x9 + 105,13 x10 > 0

Điều kiện về sản lượng lương thực:

Các cây lương thực của xã gồm lúa xuân, lúa mùa và ngô:

Bảng I.9 So sánh kết quả sử dụng đất canh tác

189,64 189,64 2,53 0,82 0,91 27,73 12,4 9,27 4,85 3,88

189,64( x1) 189,64(x2) 0,00 0,00 0,00 26,40(x6) 17,49(x7) 0,00 0,00 18,00(x10)

154462 9,74 360,72

9364,92 4895,38 4469,54(z1) 299,67(z2) 160331(z3) 10,19(z4) 359,31(z5)

( Giá trị các trọng số: w1= 0,1; w2 = 0,1; w3 = 0,2; w4 = 0,2; w5 = 0,4 )

Tối ưu hoá kết quả và hiệu quả kinh tế chăn nuôi cá (Mô hình quy hoạch phi tuyến đa mục tiêu giải quyết vấn đề tối ưu hoá kết quả và hiệu quả kinh tế chăn nuôi cá của các hộ nông dân nuôi cá tại huyện Văn Giang, tỉnh Hưng Yên)

Việc các hộ nuôi cá quyết định nên sản xuất như thế nào, mức đầu tư bao nhiêu phụ thuộc chủ yếu vào những lợi thế và tiềm lực kinh tế của từng nông hộ Những nông

hộ có nhiều lao động dư thừa chú trọng đến thu nhập hỗn hợp hơn thu nhập ròng, còn những hộ có sẵn nguồn thức ăn tận dụng trong gia đình mà không mất tiền mua thì lại xem trọng giá trị sản xuất hơn Chính vì vậy, cần không chỉ quan tâm đến giá trị sản xuất mà còn cần quan tâm cả đến thu nhập hỗn hợp và thu nhập ròng Do đó, phải giải quyết bài toán tối ưu ba mục tiêu sau:

i) Tối đa hoá giá trị sản xuất cá trên một ha (z1 → Max),

ii) Tối đa hoá thu nhập ròng trên một ha (z2 →Max),

iii) Tối đa hoá thu nhập hỗn hợp trên một ha(z3 → Max)

z1 = 19,387 x10,236 x20,103 x30,096 x40,056 x5 0,056 e0,168x6 e0,066x7 → Max

Trong bài toán đa mục tiêu trên, các ràng buộc là:

- Với điều kiện thực tế tại địa phương và kết quả tính toán cho thấy mức đầu tư trên 75 triệu/ha sẽ không đem lại hiệu quả kinh tế cao Do vậy tổng chi phí giới hạn ở mức 75 triệu/ha hay: 0 < TC ≤ 75

- Việc phân tích các kết quả tính toán cho thấy, với mức đầu tư tối ưu thì chi phí giống x1 không thể vượt quá 40% tổng chi phí, tương tự chi phí thức ăn x2, chi phí lao động x3, chi phí khấu hao x4 và chi khác x5 không thể vượt quá 30%, 20%, 15% và 15%

so với tổng chi phí Vì vậy, các ràng buộc cần xem xét là:

Bảng I.10 Kết quả tối ưu hoá từng mục tiêu đơn lẻ vùng đồng

Tỉ lệ đầu tư(triệu/ha) Biến giả Giá trị Max (triêụ/ha)

đ-và cơ cấu đầu tư khác nhau làm cho KQ đ-và HQKT thu được của các hộ cũng khác nhau

Trên tập {X1 , X2 , X3} ta thu được giá trị tốt nhất của GO, NI và MI lần lượt là: GOMax = 110,2, NIMax = 38,4, MIMax = 54,5 và giá trị thấp nhất của GO là 71,8, NI là 18,1, MI

là 30,8 Từ đó ta xác định được các giải giá trị thích hợp cho GO, NI và MI tương ứng là: [71,8 - 110,2], [18,1 - 38,4] và [30,8 - 54,5] Với các thông tin thu được, phần mềm PRELIME (xem bài báo của C Mohan và Nguyen Hai Thanh,“An interactive satisficing

method for solving multiobjective mixed fuzzy-stochastic programming problems”,

International Journal for Fuzzy Sets and Systems, Vol 117, No.1, pp 61-79, 2001) sẽ cho biết:

Đối với từng mục tiêu z1 (GO), z2 (NI) và z3 (MI) các hàm thoả dụng lần lượt là μ1, μ2 và μ3 với các mức đạt được được thể hiện trên các đồ thị

- Đối với hàm thoả dụng về giá trị sản xuất:

1 nếu z3 ≥ 54,5 = c3

Chúng ta có thể hiểu ý nghĩa của các hàm thoả dụng trên như sau: Đối với hàm z1 (GO) thì một phương án X = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) với giá trị z1 ≤ 110,2 triệu/ha = c1 cho ta độ thoả dụng μ1 = 1; với giá trị z1 ≥ 71.8 triệu/ha = a1 thì độ thoả dụng μ1 = 0; với z1 = 80,0 triệu/ha lại cho ta độ thoả dụng μ1 = 0,5 Các giá trị khác của z1 cho các độ thoả dụng được nội suy căn cứ vào các đồ thị trên Giá trị z1 = 80,0 triệu/ha = b1 (tương ứng với độ thoả dụng 0,5) được gọi là giá trị chốt và được xác định cho bước lặp đầu tiên trong quá trình giải bài toán tối ưu đa mục tiêu ở các bước sau giá trị chốt b1 có thể được thay đổi căn cứ vào thông tin nội tại của bài toán do máy tính đưa ra Tương tự ta có thể giải thích ý nghĩa của các hàm thoả dụng μ2 và μ3 ứng với các mục tiêu z2 (NI) và z3 (MI)

Một phương án X như vậy cho ta độ thoả dụng ứng với ba mục tiêu z1 (GO), z2 (NI), z3 (MI) là μ1, μ2 và μ3 Từ ba hàm thoả dụng này ta thiết lập được hàm thoả

dụng tổng hợp (Aggregation Utility Function) cho đồng thời ba mục tiêu như sau: μ =

Max { Min [μ1 , μ2 , μ3 ] }

Trong quá trình giải bài toán qua các bước lặp nếu thu được phương án X với μ

> 0,5 thì điều đó có nghĩa là tất cả ba hàm thoả dụng μ1, μ2 và μ3 lớn hơn 0,5 Từ đó ta thấy các giá trị chốt b1, b2, b3 đã đặt ra là thấp nên ta có thể tăng (ít nhất) một trong ba giá trị chốt này, việc ưu tiên mục tiêu nào (z1, z2 hay z3) tuỳ thuộc vào sự quan tâm của nông hộ nhằm sử dụng có hiệu quả nhất nguồn lực của mình Ngược lại, nếu μ < 0,5, thì

ta giảm ít nhất một trong ba giá trị ưu tiên b1, b2 hay b3

Như vậy, trong quá trình giải các giá trị ưu tiên này sẽ được thương lượng với nhau để điều chỉnh sao cho thu được phương án X* thoả mãn nhất với độ thoả dụng tổng hợp μ gần với 0,5

Kết quả tính toán bài toán đa mục tiêu ở vùng đồng khi sử dụng phần mềm PRELIME được thể hiện trong bảng I.11 Có thể thấy rằng, tuỳ vào mục đích của người

ra quyết định mà có sự lựa chọn khác nhau về GO, NI hay MI Đối với vùng đồng, các hộ đều lựa chọn hình thức nuôi chuyên canh (x6 = 1), còn mức và cơ cấu đầu tư tối ưu lại phụ thuộc vào mục đích của hộ sẽ chọn GO, NI hay MI yếu tố nào là quan trọng Chẳng hạn, người thứ nhất quan tâm nhiều đến GO thì cần đầu tư ở mức 62,7 triệu/ha, tương ứng với cơ cấu đầu tư x1 : x2 : x3 : x4 : x5 = 25,0 : 11,2 : 14,3 : 6,3 : 6,0 Nhìn chung, giá trị lớn nhất đồng thời của ba mục tiêu không có sự thay đổi lớn qua các sự lựa chọn; GOMax đạt từ 95,4 đến 99,6 triệu/ha, NIMax đạt 35,6 đến 36,9 triệu/ha và MIMax đạt từ 52,1 đến 53,4 triệu/ha

Tổng mức đầu tư cũng không có sự biến động lớn, chúng chỉ dao động từ 58,8 đến 62,6 triệu/ha, ứng với các tỉ lệ cơ cấu cũng không có sự biến đổi nhiều

Bảng I.11 Kết quả bài toán đa mục tiêu vùng đồng

Tỉ lệ đầu tư (triệu/ha) Biến giả Giá trị max

8

Đưa BTQHTT dạng chuẩn tắc trên về dạng chính tắc bằng các biến bù không

âm x3 và x4 như sau:

Chú ý BTQHTT có dạng chính tắc là BTQHTT với các biến không âm, các ràng

buộc có dấu “=”, hệ số vế phải của các ràng buộc không âm Ngoài ra, mỗi phương trình bắt buộc phải có một biến đứng độc lập với hệ số +1

Cách lập và biến đổi các bảng đơn hình

Để giải BTQHTT dạng chính tắc trên đây, cần lập một số bảng đơn hình như trong bảng II.1 Trước hết, cần điền số liệu của bài toán đã cho vào bảng đơn hình bước 1:

– Cột 1 là cột hệ số hàm mục tiêu ứng với các biến cơ sở đã chọn Phương án xuất phát có thể chọn là x1 = x2 = 0 (đây chính là điểm gốc toạ độ O(0, 0) trên hình II.1),

do đó x3 = 60, x4 = 48 Như vậy tại bước này chúng ta chưa bước vào sản xuất, nên trong phương án chưa có đơn vị sản phẩm loại I hay loại II nào được sản xuất ra (chỉ

“sản xuất” ra các lượng nguyên liệu dư thừa, ta cũng nói là các “sản phẩm” loại III và IV), và giá trị hàm mục tiêu z tạm thời bằng 0 Các biến bù có giá trị lớn hơn 0 có nghĩa

là các nguyên liệu loại tương ứng chưa được sử dụng hết Ta gọi các biến x3 và x4 là các biến cơ sở vì chúng có giá trị lớn hơn 0 còn x1 và x2 là các biến ngoài cơ sở vì chúng có giá trị bằng 0 Với bài toán có hai ràng buộc, tại mỗi bước chỉ có hai biến cơ sở

– Cột 2 là cột các biến cơ sở Trong cột 3 (cột phương án) cần ghi các giá trị của các biến cơ sở đã chọn

– Các cột tiếp theo là các cột hệ số trong các điều kiện ràng buộc tương ứng với các biến x1, x2, x3 và x4 của bài toán đã cho

Bảng II.1 Các bảng đơn hình giải BTQHTT

–1/6 1/3

Phân tích bảng đơn hình bước 1

– Hệ số ứng với biến x1 trên hàng thứ nhất là a11 = 4 có nghĩa là tỷ lệ thay thế

riêng giữa một đơn vị sản phẩm loại I và một đơn vị sản phẩm loại III là 4 (giải thích:

xét phương trình (hay ràng buộc) thứ nhất 4x1 + 2x2 + x3 = 60, x1 tăng một đơn vị thì x3

phải giảm bốn đơn vị nếu giữ nguyên x2) Tương tự ta có thể giải thích được ý nghĩa của

các hệ số aij khác cho trên hàng 1 và hàng 2 trong bảng đơn hình bước 1

– Chúng ta xét hàng z của bảng đơn hình Để tính z1, cần áp dụng công thức

z1 = (cột hệ số của hàm mục tiêu)× (cột hệ số của biến x1) = 0×4 + 0×2 = (giá một đơn

vị sản phẩm loại III)×(tỷ lệ thay thế riêng loại I / loại III) + (giá một đơn vị sản phẩm

loại IV)×(tỷ lệ thay thế riêng loại I / loại IV) = tổng chi phí phải bỏ ra khi đưa thêm một

đơn vị sản phẩm loại I vào phương án sản xuất mới = 0 Các giá trị zj, với j = 1, 2, 3, 4,

được tính tương tự và chính là các chi phí khi đưa một thêm một đơn vị sản phẩm loại xj

vào phương án sản xuất mới Còn z0 là giá trị của hàm mục tiêu đạt được tại phương án

đang xét: z0 = (cột hệ số của hàm mục tiêu)× (cột phương án) = 0×60 + 0 × 48 = 0

– Trên hàng Δj cần ghi các giá trị Δj , j = 1, 2, 3, 4, tính theo công thức Δj = cj –

zj = lợi nhuận / đơn vị sản phẩm – chi phí / đơn vị sản phẩm Vậy Δj là "lãi biên" / một

đơn vị sản phẩm khi đưa một thêm một đơn vị sản phẩm loại xj vào phương án sản xuất

mới Nếu Δj > 0 thì hàm mục tiêu còn tăng được khi ta đưa thêm các sản phẩm loại j vào

phương án sản xuất mới Có thể chứng minh được Δj chính là đạo hàm riêng ∂ ∂ z / xj

của hàm mục tiêu z theo biến xj Như vậy, x1 tăng lên 1 thì z tăng lên 8 còn x2 tăng lên

1 thì z tăng lên 6

Do Δ1 và Δ2 đều lớn hơn 0 nên vẫn còn khả năng cải thiện hàm mục tiêu khi

chuyển sang (hay “xoay sang”) một phương án cực biên kề tốt hơn

Thủ tục xoay (pivotal procedure)

Bước 1: Chọn cột xoay là cột bất kỳ có Δj > 0 Lúc đó biến xj tương ứng với cột xoay được chọn làm biến cơ sở mới do xj tăng kéo theo hàm mục tiêu tăng Ở đây ta chọn đưa x1 vào làm biến cơ sở mới

Bước 2: Chọn hàng xoay để xác định đưa biến nào ra khỏi tập các biến cơ sở (vì

tại mỗi bước số biến cơ sở là không thay đổi) Để chọn hàng xoay, ta thực hiện quy tắc

“tỷ số dương bé nhất” bằng cách lấy cột phương án (60, 48)T chia tương ứng cho cột xoay (4, 2)T để chọn tỷ số bé nhất Một điều cần chú ý là ta chỉ xét các tỷ số có mẫu số dương

Vì Min {60/4, 48/2} = 60/4 đạt được tại hàng đầu, nên hàng xoay là hàng đầu (hàng tương ứng với biến x3) Do đó cần đưa x3 ra khỏi tập các biến cơ sở

Bước 3: Chọn phần tử xoay nằm trên giao của hàng xoay và cột xoay

Bước 4: Xoay sang bảng đơn hình mới, xác định các biến cơ sở mới để điền vào

cột biến cơ sở, đồng thời thay các giá trị trong cột hệ số hàm mục tiêu Sau đó, tính lại các phần tử của hàng xoay bằng cách lấy hàng xoay cũ chia cho phần tử xoay để có hàng mới tương ứng

Bước 5: Các phần tử còn lại của bảng đơn hình mới tính theo quy tắc “hình chữ

nhật”: (1)mới = (1)cũ – (2)cũ× (4)cũ/(3)cũ, trong đó (3) là đỉnh tương ứng với phần tử xoay

Giải thích Các bước xoay trên đây chỉ là phép biến đổi tương đương hệ phương trình

4x1 + 2x2 + x3 = 60 (2.1) 2x1 + 4x2 + x4 = 48 (2.2)

để có hệ

x1 + (1/2)x2 + (1/4)x3 = 15 (2.1’) 0x1 + 3x2 – (1/2)x3 + x4 = 18 (2.2’) bằng cách lấy phương trình (2,1) chia cho 4 (phần tử xoay) để có (2,1’), rồi lấy (2,2) trừ bớt 2× (2.1)/4 để có (2,2’) Đây chính là nội dung của bước 4 và bước 5 Còn việc thực hiện bước 3 sẽ đảm bảo rằng giá trị của các biến cơ sở mới không âm (x1 = 15, x4 = 18)

Áp dụng thủ tục xoay cho các phần tử nằm trên hàng 1 và 2 của bảng đơn hình bước 1, sau đó tính các giá trị trên hàng zj và Δj tương tự như khi lập bảng đơn hình bước 1, chúng ta sẽ nhận được bảng đơn hình bước 2

(1)

(4)

Chẳng hạn: nếu (1)cũ = 4,(2)cũ = 2, (3)cũ = phần tử xoay = 4, (4)cũ = 2 thì (1)mới = 4 – 2×2/4 =3

Quy tắc hình chữ nhật

Phân tích bảng đơn hình bước 2

Bảng bước 2 có thể được phân tích tương tự như bảng bước 1 Lúc này giá trị của hàm mục tiêu là z0 = 120 đã được cải thiện hơn so với bước 1 Ta thấy Δ2 = 2 > 0 nên còn có thể cải thiện hàm mục tiêu bằng cách đưa biến x2 vào làm biến cơ sở mới Thực hiện các bước xoay sang phương án cực biên kề tốt hơn, chúng ta sẽ có bảng đơn hình bước 3

Phân tích bảng đơn hình bước 3

Tại bảng đơn hình bước 3 ta thấy điều kiện tối ưu đã được thoả mãn (Δj ≤ 0, ∀j

=1,4) nên không còn khả năng cải thiện phương án Phương án tối ưu đã đạt được tại x1

= 12, x2 = 6, x3 = 0, x4 = 0, tức là tại điểm cực biên B(12, 6) với giá trị zmax = 132

Một số chú ý

– Điều kiện tối ưu cho các BTQHTT dạng Max là Δj ≤ 0, ∀j

– Đối với các BTQHTT cần cực tiểu hoá hàm mục tiêu thì điều kiện tối ưu (hay tiêu chuẩn dừng) là Δj ≥ 0, ∀j (nếu ∃ j* sao cho Δj*< 0 thì cần tiếp tục cải thiện hàm mục tiêu bằng cách chọn cột j* làm cột xoay)

– Trong thực tiễn giải các BTQHTT dạng tổng quát có thể xảy ra trường hợp không tìm được phương án xuất phát (tức là không có phương án khả thi) Lúc này có thể kết luận mô hình đã thiết lập có các điều kiện ràng buộc quá chặt chẽ, cần xem xét nới lỏng các điều kiện này

– Trong trường hợp ta tìm được cột xoay mà không tìm được hàng xoay thì kết luận hàm mục tiêu không bị chặn trên (đối với các BTQHTT dạng Max) hoặc không bị chặn dưới (đối với các BTQHTT dạng Min)

Trong các trường hợp trên cũng phải dừng lại và kết luận mô hình quy hoạch tuyến tính đã thiết lập không phù hợp với thực tế

Khung thuật toán đơn hình

Sau đây là khung thuật toán của phương pháp đơn hình được phát biểu cho BTQHTT cực đại hóa dạng chính tắc

Bước khởi tạo

– Tìm một phương án cực biên ban đầu (nếu không tìm được thì dừng và in ra thông báo “BTQHTT không có phương án”)

– Tính Δj = cj – zj, ∀j = 1,n, trong đó n là số biến của bài toán đang xét

ta tìm được cột xoay mà không tìm được hàng xoay thì kết luận hàm mục tiêu không bị chặn, in / lưu trữ kết quả của bài toán và chuyển sang bước kết thúc)

Bước kết thúc. Dừng

1.2 Thuật toán đơn hình cho BTQHTT dạng chính tắc

Xét BTQHTT sau (xem thêm giáo trình của Nguyễn Hải Thanh, Tối ưu hoá,

Nxb Bách Khoa, 2007):

z = f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn → Max (Min), với các điều kiện ràng buộc

a11x1 + a12x2 + + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + + a2nxn ≤ b2

am1x1 + am2x2 + + amnxn ≤ bm

x1, x2, , xn ≥ 0 (điều kiện không âm)

Đưa BTQHTT trên về dạng chính tắc:

z = f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn + 0xn+1 + …+ 0xn+m → Max (Min), với các điều kiện ràng buộc

a11x1 + a12x2 + + a1nxn + xn+1 = b1

a21x1 + a22x2 + + a2nxn + xn+2 = b2

am1x1 + am2x2 + + amnxn + xn+m = bm

x1, x2, , xn+m ≥ 0 (điều kiện không âm)

Bước khởi tạo

– Nhập các hệ số hàm mục tiêu c, ma trận ràng buộc A và các hệ số vế phải b

– Tín ại(để ch yển san bản đơn hìn mới):bq = bq/aqs,aqj = aqj/aqs,∀j ∀

≠ q ín ạibi = bi – bq*ais và ai = ai – aqj*ais,∀j

– Đặt ạichỉsố c c biến cơ sở:rq) = s,dq = cs,và xri) = bi i= 1, m.Quay về bư c 1

Bư c 3: Nếu Δj ≤ 0,∀j∈ N hìđặtflag = 1 và ch yển san bước kếtth c

Bước kết húc: Ghilạidữ iệu đầu vào của BTQHTT và kếtq ả cu icù g.Nếu flag = 0 hìkết uận BTQHTT có hàm mục iêu k ô g bịchặn rên.Cò nếu flag = 1 hìkết uận BTQHTT có p ư n án ốiưu đã m được.Dừn

2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH HAI PHA GIẢI BTQHTT TỔNG QUÁT

Từ trước tới nay, chúng ta luôn giả sử rằng BTQHTT được xem xét luôn có phương án và có thể biết được một phương án (cực biên) ban đầu của nó để khởi tạo quá trình giải Trong mục này chúng ta sẽ đi xét các trường hợp khi chưa biết BTQHTT

có phương án hay không, cũng như chưa biết được phương án cực biên ban đầu Đối với những trường hợp này có thể sử dụng phương pháp đơn hình hai pha Chúng ta sẽ trình bày phương pháp đơn hình hai pha thông qua ví dụ sau

2.1 Ví dụ Max z = 8x1 + 6x2, với các ràng buộc

0 +1

Mục đích của pha 1 là để giải BTQHTT với các ràng buộc (2.3) hay còn gọi

là bài toán ω Nếu tìm được phương án tối ưu của bài toán ω với các biến giả đều nhận giá trị bằng 0 thì điều này chứng tỏ BTQHTT ban đầu có phương án Trong trường hợp đó dễ dàng tìm được một phương án cực biên của nó (xem bảng II.2)

Tại bảng đơn hình cuối cùng, ta thấy Δj ≤ 0, ∀j, nên phương án tối ưu đã đạt được với x2 = 12, x3 = 36, x1 = x4 = x5 = 0 và ωmin = 0

Do đó chúng ta đưa ra kết luận là BTQHTT ban đầu có phương án x1 = 0, x2 =

12, x3 = 36, x4 = 0 Một cách tổng quát, có thể khẳng định được ngay rằng, nếu bài toán

ω có phương án tối ưu với giá trị hàm mục tiêu là 0 thì BTQHTT ban đầu có phương

án, trong trường hợp trái lại thì nó không có phương án

Pha 2. Giải BTQHTT ban đầu căn cứ phương án cực biên vừa tìm được ở pha 1 (xem bảng II.3):

Bảng II.3 Các bảng đơn hình giải bài toán pha 2

36

12

3 1/2

1

0

Tại bảng đơn hình cuối cùng, ta thấy Δj ≤ 0, ∀j, nên phương án tối ưu đã đạt

được với x2 = 30, x4 = 72, x1 = x3 = 0 và zmax = 180

2.2 Thuật toán đơn hình hai pha giải BTQHTT dạng tổng quát

j 1 n

j 1 j

Bước 1: - Nhập dạng bài toán Min, Max

- Nhập tổng số ràng buộc m bao gồm các ràng buộc mang dấu:

≤ (m1 ràng buộc) , ≥ (m2 ràng buộc) và = (m3 ràng buộc)

- Nhập số biến: n biến

- Nhập véc tơ hệ số hàm mục tiêu: C = [ c1, c2, , cn ]

- Nhập véc tơ hệ số vế phải: b = [ b1, b2, , bm ]

- Nhập ma trận hệ số ràng buộc: A = [ai j ]m x n

Bước 2: Đưa bài toán về dạng chính tắc: dạng Max đưa về dạng Min

Đưa thêm biến bù thiếu: m1 biến xn+i, i = 1,m1 , Biến bù thừa: m2 biến xn+ m1+p, p = 1, m 2 ,

Biến giả: m2 + m3 biến xn+m1+m2+q, q 1,m = 2+ m3 Nếu m2 + m3 = 0, chuyển sang bước 4

Nếu m2 + m3 ≠ 0, giải bài toán theo hai pha bằng cách chuyển sang bước 3

Sơ đồ thuật giải (cho BTQHTT gốc là bài toán Max)

Bước 3: Pha thứ nhất

Xây dựng và giải bài toán phụ:

ω = m2 m3

∀k, Δk≤0 ?

Y

N

Kết thúc Xuất kết quả

Tính Max Δk, Δk>

0Tìm cột

f( )

BT có nghiệmTính Δk

Pha I

Pha II

Sơ đồ thuật giải đơn hình hai pha

Kết thúc pha 1: Xảy ra ba trường hợp sau:

– Phương án tối ưu không có biến giả, lấy đó làm phương án xuất phát, thay lại hệ số hàm mục tiêu, loại trừ các cột biến giả và sang bước 4

– Phương án tối ưu có biến giả khác 0 thì bài toán tối ưu không có phương

án Dừng

– Phương án tối ưu có chứa biến giả nhưng biến giả bằng 0, xoá các dòng chứa các biến giả này, thay lại hệ số hàm mục tiêu, loại trừ các cột biến giả và sang bước 4

Bước 4: Pha thứ 2

Giải bài toán gốc với phương án xuất phát tìm được bằng phương pháp đơn hình

Bước 5: In kết quả

3 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MICROSOFT EXCEL

Microsoft Excel 2000, 2003 có các công cụ toán học rất mạnh để giải các bài toán tối ưu và thống kê toán học Excel có thể giải được các loại bài toán tối ưu: BTQHTT tổng quát, các biến có thể có ràng buộc hai phía, ràng buộc cũng có thể viết ở dạng hai phía; bài toán vận tải có hai chỉ số; bài toán quy hoạch nguyên (các biến có điều kiện nguyên hay boolean); bài toán quy hoạch phi tuyến Số biến của BTQHTT hay nguyên có thể lên tới 200 biến Excel còn có thể giải các bài toán hồi quy trong thống kê toán học: hồi quy đơn, hồi quy bội, hồi quy mũ

Dùng Solver ta có thể tìm cực đại hay cực tiểu của một hàm số đặt trong một ô gọi là ô đích Solver chỉnh sửa một nhóm các ô (gọi là các ô có thể chỉnh sửa) có liên quan trực tiếp hay gián tiếp đến công thức nằm trong ô đích để tạo ra kết quả Ta có thể thêm vào các ràng buộc để hạn chế các giá trị mà Solver có thể dùng Đối với BTQHTT Solver dùng phương pháp đơn hình, đối với quy hoạch phi tuyến Solver dùng phương pháp tụt gradient để tìm một cực trị địa phương

Trong đó Q là một trong các phép toán quan hệ ≥ , ≤ hoặc = , thứ tự các phép toán quan hệ trong các ràng buộc là tuỳ ý Như vậy bài toán trên có thể là BTQHTT thông thường, quy hoạch tuyến tính nguyên hay quy hoạch 0–1 Cách bố trí dữ liệu cho trên bảng tính:

c[1] c[2] c[n] Σ c[j] x[j]

a[1,1] a[1,2] a[1,n] Σ a[1,j] x[j] b[1]

a[2,1] a[2,2] a[2,n] Σ a[2,j] x[j] b[2]

2x1 +3x2 +4x3 ≥20 5x1 – x2 +2x3 ≥12

x1 +2x2 – x3 ≤ 2

x1 +4x2 –2x3 ≤1

x1, x2, x3 ≥ 0 Các bước thực hiện để giải bài toán:

Bước 1. Nhập dữ liệu bài toán vào bảng tính dưới dạng sau:

Phương án ban đầu X = (1, 1, 1), nó có thể không chấp nhận được

Bước 2. Tính giá trị hàm mục tiêu tại ô E2 bằng công thức =

SUMPRODOCT($B$7 : $D$7, B2 : D2) Hàm Sumproduct cho tích vô hướng của hai dãy ô Copy công thức từ ô E2 sang dãy các ô E3 : E6 nhằm tính giá trị vế trái của bốn ràng buộc bài toán (1)

Bước 3. Dùng lệnh Tools / Solver, xuất hiện hộp thoại Solver Parameters

Mục Set Target Cell: chọn ô đích (chứa giá trị hàm mục tiêu), có thể nháy vào biểu tượng của Excel bên phải hộp văn bản để xác định ô, trong ví dụ chọn ô E2 Mục Equal To: chọn Max nếu cực đại hàm mục tiêu, chọn Min nếu cực tiểu hàm mục tiêu, chọn Value of và nhập giá trị nếu muốn ô đích bằng một giá trị nhất định, trong ví dụ chọn Min Mục By Changing cells: chọn các ô chứa các biến của bài toán, ta chọn khối

ô B7:D7 Nháy nút Add để nhập tất cả các ràng buộc vào khung Subject to the Constraints (dòng đầu trong khung ứng với ràng buộc không âm trên các biến, dòng thứ hai ứng với hai ràng buộc đầu bài toán (2), dòng cuối ứng với 2 ràng buộc cuối) Khi nháy nút Add, hiện hộp thoại

Hộp văn bản Cell Reference để chọn các ô cần đặt ràng buộc lên chúng, hộp văn bản ở giữa để chọn loại ràng buộc (>= = <= interger, binary), hộp văn bản Constraint

để chọn giá trị ràng buộc (có thể là số hay giá trị trong các ô)

Sau khi nhập xong các ràng buộc, nháy vào nút Options, hiện hộp thoại Solver Options, đánh dấu kiểm vào mục Assume Linear Model (khảng định mô hình của ta là tuyến tính)

Bước 4. Trong hộp thoại Solver Parameters nháy vào nút Solve để bắt đầu giải bài toán tối ưu Giải xong bài toán xuất hiện hộp thoại Solver Results, chọn mục Keep Solver Solution (giữ lại lời giải), nháy OK, kết quả giải bài toán nằm ở các ô B7 : D7 Kết quả ta được phương án tối ưu là X = (0.5 , 0 , 4.75), giá trị cực tiểu hàm mục tiêu là 5.25 ở ô E2

3.2 Giải bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc tuyến tính

Xét bài toán quy hoạch phi tuyến

Min{f(x)| gi (x) = 0, i = 1, 2, …, m, x∈Rn}

Để giải bài toán quy hoạch phi tuyến bằng Solver ta cần xác định khối ô để chứa các biến (x[1], x[2], , x[n]), một ô chứa giá trị hàm mục tiêu f(x), khối m ô chứa giá trị các hàm gi (x)

Ví dụ. Giải bài toán quy hoạch toàn phương:

– x1 –2x2 +0,5x12 +0,5x22 →Min 2x1 +3x2 + x3 =6

x1 +4x2 + x4 =5

x1, x2, x3, x4 ≥ 0 Bảng tính để giải bài toán này như sau:

Phương án trong khối ô B2:E2 (phương án ban đầu cho mọi phần tử bằng 0), hàm mục tiêu trong ô F2 xác định bởi công thức = - b2 - 2*c2 + 0.5*b2^2 + 0.5*c2^2

Ô F3 tính theo công thức = sumproduct ($b$2: $e$2, b3 : e3), công thức này chép sang

ô F4 Các ràng buộc bài toán B2 : E2 >= 0, và F3:F4 = G3:G4 Khi giải các bài toán quy hoạch phi tuyến ta phải bỏ chọn mục Assume Linear Model trong hộp thoại Solver Options Kết quả dùng Solver giải bài toán: trị tối ưu -2.0294, phương án tối ưu (0.7647, 1.0588, 1.294, 0)

Tóm lại Solver có thể giải được nhiều bài toán tối ưu, số lượng biến tối đa của bài toán là 200 biến Tuy nhiên cũng có nhiều bài toán nó không giải được, khi đó nó đưa thường đưa ra các thông báo:

– Solver could not find a feasible solution: bài toán không có lời giải chấp nhận được Hoặc có thể do các giá trị khởi đầu của những ô chứa biến khác quá xa các giá trị tối ưu, hãy thay đổi các giá trị khởi đầu và giải lại

– The maximum iteration limit was reached, continue anyway ? số bước lặp đã đến số cực đại Ta có thể tăng số bước lặp ngầm định nhờ lệnh Tools/ Solver, chọn Options, nhập giá trị mới vào hộp Iterations

– The maximum time limit was reached, continue anyway ? thời gian chạy vượt quá thời gian tối đa ngầm định Ta có thể sửa giá trị trong mục Max Time trong gộp thoại Solver Options

Chú ý, nếu các lệnh Solver và Data Analysis không có trong menu Tools ta phải cài đặt bổ sung từ đĩa CD: dùng lệnh Tools / Add-Ins, hiện hộp thoại, chọn mục Solver Add in và Analysis ToolPak

3.3 Một số ví dụ khác

Bài 1. Giải BTQHTT nguyên bộ phận:

z=5x1 +x2 +x3 +2x4 +3x5 →min –x2 +5x3 –x4 –2x5 ≤ 2

5x1 –x2 +x5 ≥7

x1 +x2 +6x3 +x4 ≥4

xj ≥ 0 j=1, 2, 3, 4, 5

xj = interger, j = 1, 2, 3

Đáp số: Giá trị tối ưu là 12, phương án tối ưu (2, 2, 0, 0, 0)

Bài 2. Giải BTQHTT 0–1 (bài toán cái túi) sau:

30x1 +19x2 +13x3 +38x4 +20x5 +6x6 +8x7 +19x8 +10x9 +11x10 →max 15x1 +12x2 +9x3 +27x4 +15x5 +5x6 +8x7 +20x8 +12x9 +15x10 → 62

xj ∈{0, 1}, j=1, 2,",10

Đáp số: Giá trị tối ưu là 95, phương án tối ưu là ( 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0)

Bài 3. Giải bài toán quy hoạch lõm (có thể có nhiều cực tiểu địa phương)

–x12 +2x1 –x22 +4x2 –x32 +8x3 –x42 +14x4 –x52 +18x5 –180 →Min

–x1 –2x2 +x3 +2x4 +3x5 ≤ 85 –7x1 +9x2 –5x3 +33x4 –11x5 ≤500 2x1 –x2 +2x3 –x4 +2x5 ≤ 150 1.3x1 +x2 +x3 +x4 +x5 ≤ 300

x1 +x2 +x3 +x4 +x5 ≤ 300

x1, x2, x3, x4, x5 ≥0

Đáp số. Với phương án ban đầu X = (50, 50, 50, 50, 50) dùng Solver có phương

án tối ưu là X = (0, 190, 0, 0, 110) và trị tối ưu hàm mục tiêu là - 45640

4 GIẢI BTQHTT TRONG LINGO

LINGO cho phép giải rất nhiều loại toán tối ưu, trong đó có BTQHTT (biến liên tục cũng như biến nguyên) Để giải bài toán này, chúng ta cần cài đặt Lingo vào trong máy tính Nhấn vào biểu tượng Lingo trên màn hình để vào cửa sổ Lingo Sau đó thực

hiện các lệnh Lingo: Menu > New > <Untitle> và gõ vào các dữ liệu của bài toán

Nhập bài toán

max = 8*x1+6*x2;

4*x1+2*x2<=76;

2*x1+5*x2<=52;

@gin(x1);

@gin(x2);

Hai điều kiện sau cùng là các điều kiện biến nguyên

Kết quả chạy bài toán khi các biến đều liên tục

Rows= 3 Vars= 2 No integer vars= 0 ( all are linear)

Nonzeros= 8 Constraint nonz= 4( 0 are +- 1) Density=0.889 Smallest and largest elements in absolute value= 2.00000 76.0000

No < : 2 No =: 0 No > : 0, Obj=MAX, GUBs <= 1

Kết quả chạy bài toán khi biến x 1 nguyên

Rows= 3 Vars= 2 No integer vars= 1 ( all are linear)

Nonzeros= 8 Constraint nonz= 4( 0 are +- 1) Density=0.889 Smallest and largest elements in absolute value= 2.00000 76.0000

No < : 2 No =: 0 No > : 0, Obj=MAX, GUBs <= 1

Kết quả chạy bài toán khi các biến đều nguyên

Rows= 3 Vars= 2 No integer vars= 2 ( all are linear)

Nonzeros= 8 Constraint nonz= 4( 0 are +- 1) Density=0.889

Smallest and largest elements in absolute value= 2.00000 76.0000

No < : 2 No =: 0 No > : 0, Obj=MAX, GUBs <= 1

Sử dụng phần mềm QHTT trên mạng giáo dục edu.net.vn, dễ dàng nhập được

dữ liệu BTQHTT và có đáp số với toàn bộ các bảng trung gian Tuy nhiên phần mềm này chỉ áp dụng cho các biến liên tục và vẫn còn sai sót

Phương án tối ưu của bài toán là : (12,6,0,0)

Giá trị tối ưu của hàm mục tiêu là : F(x) = 132