1.1. Phát biểu mô hình
Trong các bài toán kĩ thuật, công nghệ, quản lý, kinh tế nông nghiệp v.v... nảy sinh từ thực tế, chúng ta thường phải xem xét để tối ưu hoá đồng thời một lúc nhiều mục tiêu. Các mục tiêu này thường là khác nhau về thứ nguyên, tức là chúng được đo bởi các đơn vị khác nhau. Những tình huống như vậy tạo ra các bài toán tối ưu đa mục tiêu. Như vậy, chúng ta cần phải tối ưu hoá (cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá tuỳ theo tình huống thực tế) không phải là chỉ một mục tiêu nào đó, mà là đồng thời tất cả các mục tiêu đã đặt ra.
Bài toán tối ưu đa mục tiêu mà trong đó miền ràng buộc D là tập lồi đa diện và các mục tiêu zi = zi(x), với i = 1, 2,…, p, là các hàm tuyến tính xác định trên D, được gọi là BTQHTT đa mục tiêu.
Với mục đích tìm hiểu bước đầu, BTQHTT đa mục tiêu (BTQHTT đa mục tiêu) được phát biểu như sau (Bài toán 1):
Max Cx với ràng buộc x ∈ D, trong đó: C là ma trận cấp p × n và D = {x ∈ Rn: Ax ≤ b} với A là ma trận cấp m × n và b ∈ Rm.
Các hàng của ma trận C là các véc tơ gradient c1, c2, …, cp của các hàm mục tiêu z1 = c1Tx, z2 = c2Tx, …, zp = cpTx.
Ví dụ:
Giải BTQHTT hai mục tiêu.
z1 = 8x1+ 6x2→ Max z2 = x1 + 3x2 → Max với các ràng buộc:
Ta có thể viết bài toán này dưới dạng ma trận như sau: Max Cx với ràng buộc x ∈ D = {x∈ R2 : Ax ≤ b}, trong đó x = (x1, x2)T, b = (60, 48)T, còn C = 8 1 ⎡ ⎢ ⎣ 6 3 ⎤ ⎥ ⎦, A = 4 2 2 4 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .
Có thể nói, BTQHTT đa mục tiêu là BTQHTT mà trong đó chúng ta phải tối ưu hoá cùng một lúc nhiều mục tiêu. Tuy nhiên, các mục tiêu này thường đối chọi cạnh tranh với nhau. Việc làm tốt hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu đi
4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x1, x2≥ 0. (D)
một số mục tiêu khác. Vì vậy việc giải các bài toán tối ưu đa mục tiêu, tức là tìm ra một phương án khả thi tốt nhất theo một nghĩa nào đó, thực chất chính là một bài toán ra quyết định.
1.2. Phương án tối ưu Pareto
Khái niệm then chốt trong tối ưu hoá đa mục tiêu là khái niệm phương án tối ưu Pareto. Xét Bài toán 1 , chúng ta cần biết các định nghĩa và định lý sau đây.
Định nghĩa 1
Một phương án tối ưu Pareto x* có tính chất sau đây:
− Trước hết nó phải thuộc vào miền các phương án khả thi của bài toán, tức là phải thoả mãn tất cả các ràng buộc: x*∈ D.
− Xét phương án khả thi x ∈ D, x ≠ x*. Nếu tồn tại tại một chỉ số i ∈ {1, 2, …, p} sao cho zi(x) > zi(x*) thì tồn tại j ∈ {1, 2, …, p}, j ≠ i, sao cho zj(x) < zj(x*).
Nói một cách khác, không tồn tại một phương án khả thi nào x ∈ D có thể trội hơn x* trên tổng thể tất cả các mục tiêu.
Định nghĩa 2
Một phương án tối ưu Pareto yếu x* có tính chất sau đây:
− Trước hết nó phải thuộc vào miền các phương án khả thi của bài toán, tức là phải thoả mãn tất cả các ràng buộc: x*∈ D.
− Xét một phương án khả thi x ∈ D, x ≠ x*. Nếu tồn tại tại một chỉ số i ∈ {1, 2, …, p} sao cho zi(x) > zi(x*) thì tồn tại j ∈ {1, 2, …, p}, j ≠ i, sao cho zj(x) ≤ zj(x*).
Để nhận biết tập phương án tối ưu Pareto chúng ta cần tới các định nghĩa sau.
Định nghĩa 3
Nón cảm sinh bởi các véc tơ gradient c1, c2, …, cp của các hàm mục tiêu được gọi là nón tiêu chuẩn (criterion cone).
Để tìm tập các phương án tối ưu Pareto chúng ta có thể sử dụng tập các điểm trội.
Định nghĩa 4
Cho x ∈ D. Tập điểm trội tại x là tập Dx = { x }⊕ C≥, với C≥ = {x = (x1, x2) ∈ R2 : Cx ≥ 0, Cx ≠ 0}là nón đối cực nửa dương (semi-positive polar cone).
Định lý 1: Xét Bài toán 1. Lúc đó: x ∈ D là phương án tối ưu Pareto khi và chỉ khi Dx ∩ D = { x }. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh.
Giả sử x là phương án tối ưu Pareto và Dx ∩ D ≠ { x }. Lúc đó tồn tại ˆx∈ x
D ∩ D sao cho ˆx≠ x và ˆx = x + x với x ∈C≥. Do Cx ≥ 0, Cx ≠ 0 nên C ˆx ≥ C x và C ˆx ≠ C x . Điều này vô lí do x là phương án tối ưu Pareto.
C x và C ˆx ≠ C x thì ˆx∉ D. Vậy x là phương án tối ưu Pareto.
Để minh hoạ các định nghĩa 1, 3 và 4, chúng ta xét lại ví dụ đã biết.
Ví dụ: Giải BTQHTT hai mục tiêu.
z1 = 8x1+ 6x2→ Max z2 = x1 + 3x2 → Max với các ràng buộc:
Miền các phương án khả thi D (miền giới hạn bởi tứ giác ABCD) được biểu thị trên hình I, c1(8, 6) là véc tơ gradient và hướng tăng của mục tiêu 1, còn c2(1, 3) là véc tơ gradient và hướng tăng của mục tiêu 2. Trên hình, chúng ta có thể thấy nón cảm sinh β và tập điểm trội α tại G ∈ AB. Dễ thấy, tập hợp P tất cả các phương án tối ưu Pareto bao gồm các điểm nằm trên đoạn AB với A(0, 12) và B(12, 6)
1.3. Phương pháp thoả dụng mờ giải BTQHTT đa mục tiêu
Cho tới thời điểm hiện nay, hàng chục phương pháp giải BTQHTT đa mục tiêu đã được đề cập tới trong các tạp chí chuyên ngành, mà đa số chúng đều có những ứng dụng rất thành công trong nhiều lĩnh vực, như: phương pháp tham số, phương pháp nón pháp tuyến, phương pháp véc tơ cực đại, phương pháp trọng số tương tác của Chebysev, phương pháp thoả dụng mờ tương tác của Nguyễn Hải Thanh. Sau đây, chúng tôi xem xét phương pháp thoả dụng mờ tương tác cải biên, gọi vắn tắt là phương pháp thoả dụng mờ. Phương pháp này là phiên bản cải tiến của phương pháp
4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x1, x2≥ 0. (D) c1(1,3) O x 1 x2 A(0, 12) B(12, 6) C(15,0)
Minh hoạ hình học BTQHTT hai mục tiêu
c2(8,6)
α
β O
thoả dụng mờ tương tác đã được đề xuất trước đây, với một số sửa chỉnh thích hợp nhằm đưa ra không phải chỉ một phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất mà là một tập SP các phương án tối ưu Pareto cần xem xét.
Thuật giải thoả dụng mờ giải BTQHTT đa mục tiêu a. Bước khởi tạo
i) Nhập số liệu cho các hàm mục tiêu tuyến tính zi (i = 1, 2,..., p) và m điều kiện ràng buộc cho Bài toán 1. Giải BTQHTT cho từng mục tiêu zi (i = 1, 2,..., p) với miền ràng buộc D được xác định bởi m ràng buộc ban đầu để thu được các phương án tối ưu x1, x2,..., xp (nếu với một mục tiêu nào đó bài toán không cho phương án tối ưu thì cần xem xét để chỉnh sửa lại các điều kiện ràng buộc ban đầu).
ii) Tính giá trị các hàm mục tiêu tại p phương án x1, x2,..., xp và lập bảng pay−off. Xác định giá trị cận trên B
i z và giá trị cận dưới w i z của mục tiêu zi (i =1, 2,..., p), với B i z = zi(xi) và w i z = Min {zi(xj): j = 1, 2, …, p}.
iii) Xác định các hàm thoả dụng mờ μ1(z1), μ2(z2), ..., μp(zp) cho từng mục tiêu theo công thức: w i i i i B w i i z z (z ) , i 1, 2, ..., p. z z − μ = = − iv) Đặt: SP = {x1, x2,..., xp}, k :=1 và (k) i a = B i z với i = 1, 2, ..., p. b. Các bước lặp (xét bước lặp thứ k) Bước 1:
i) Xây dựng hàm thoả dụng tổ hợp từ các hàm thoả dụng trên: u = w1μ1(z1) + w 2μ2(z2) + ... + w pμp(zp) → Max
Trong đó: w1, w2, ..., wp là các trọng số (phản ánh tầm quan trọng của từng hàm thoả dụng trong thành phần hàm thoả dụng tổ hợp) được người giải lựa chọn thoả mãn điều kiện:
w1 + w 2 +... + w p = 1 và 0 ≤ w 1, w 2, ..., w p≤ 1.
ii) Giải BTQHTT với hàm thoả dụng tổ hợp với m ràng buộc ban đầu và p ràng buộc bổ sung zi(x) ≤ (k)
i
a , i = 1, 2, ..., p, để tìm được phương án tối ưu của bước lặp thứ k là x(k) và giá trị của các hàm mục tiêu zi cũng như của các hàm thoả dụng μi(zi) (với i =1, 2, ..., p).
Bước 2:
i) Nếu μmin = Min {μi(zi): i = 1, 2, ..., p} bé hơn một ngưỡng t nào đó (t được lựa chọn trong đoạn [0, 1] và có thể được sửa chỉnh lại trong quá trình giải bài toán) thì phương án tìm được x(k) không được chấp nhận. Trong trường hợp trái lại, phương án x(k) được chấp nhận vào tập SP các phương án tối ưu Pareto cần xem xét nếu x(k) ∉
SP. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu k > L1 hoặc số lần bước lặp liên tiếp tập SP không được mở rộng vượt quá L2 (L1 và L2 được người giải tùy chọn) thì đặt (k)
i
a = B i
z với i = 1, 2, ..., p và chọn ngẫu nhiên một chỉ số h ∈ {1, 2, ..., p} để đặt lại giá trị (k)
h a ∈ ( w h z , B h z ]. Quay về bước 1.
iii) Nếu người giải bài toán không muốn mở rộng tập SP thì chuyển sang bước 3.
Bước 3:
i) Loại khỏi tập SP các phương án bị trội. ii) Kết thúc.
Ví dụ: Giải BTQHTT hai mục tiêu.
z1 = 8x1+ 6x2→ Max z2 = x1 + 3x2 → Max với các ràng buộc: