Tối ưu hoá là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực, trong đó có nông nghiệp. Trong thực tế, việc tìm ra giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng. Phương án tối ưu là những phương án tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, sức lực mà lại cho hiệu quả cao.
Trường Đại học Nông nghiệp I Hà Nội Khoa Công nghệ thơng tin PGS.TS NGUYỄN HẢI THANH CÁC MƠ HÌNH VÀ PHẦN MỀM tối ưu hoá ứng dụng nông nghiệp (bài giảng điện tử khuôn khổ dự án CNTT) HÀ NỘI, THÁNG 10 NĂM 2007 MỤC LỤC CHƯƠNG I ỨNG DỤNG MỘT SỐ MƠ HÌNH TỐI ƯU TRONG NƠNG NGHIỆP MƠ HÌNH QUY HOẠCH ĐƠN MỤC TIÊU 1.1 Mơ hình tối ưu mục tiêu (tuyến tính phi tuyến) 1.2 Các ví dụ minh hoạ toán tối ưu mục tiêu MƠ HÌNH QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN 2.1 Giới thiệu tốn quy hoạch đa mục tiêu 2.2 Các khái niệm toán tối ưu đa mục tiêu 2.3 Các ví dụ minh hoạ tốn quy hoạch đa mục tiêu 10 CHƯƠNG II GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 23 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BTQHTT DẠNG CHÍNH TẮC 23 1.1 Ví dụ 23 1.2 Thuật tốn đơn hình cho BTQHTT dạng tắc 27 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH HAI PHA GIẢI BTQHTT TỔNG QT 28 2.1 Ví dụ 28 2.2 Thuật tốn đơn hình hai pha giải BTQHTT dạng tổng quát 30 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MICROSOFT EXCEL 32 3.1 Giải BTQHTT 32 3.2 Giải tốn quy hoạch phi tuyến có ràng buộc tuyến tính 34 3.3 Một số ví dụ khác 36 GIẢI BTQHTT TRONG LINGO 36 GIẢI BTQHTT BẰNG PHẦN MỀM QHTT 38 CHƯƠNG III BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN 40 PHƯƠNG PHÁP RST2ANU GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU PHI TUYẾN TỒN CỤC HỖN HỢP NGUN 40 1.1 Đặt vấn đề 40 1.2 Thuật giải tìm kiếm ngẫu nhiên có kiểm sốt RST2ANU 41 Một số nhận xét phiên nâng cấp phần mềm 43 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG RST2ANU 44 2.1 Bài 1: Bài toán xác định tham số sàng phân loại 44 2.2 Bài 2: Bài toán xác định cấu đầu tư chăn nuôi cá 46 TÍCH HỢP RST2ANU VỚI MATLAB 48 3.1 Nhập từ bàn phím 48 3.2 Nhập từ tệp 50 CHƯƠNG IV GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU BẰNG PHƯƠNG PHÁP THOẢ DỤNG MỜ 52 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 52 1.1 Phát biểu mơ hình 52 1.2 Phương án tối ưu Pareto 53 1.3 Phương pháp thoả dụng mờ giải BTQHTT đa mục tiêu 54 GIẢI BTQHTT ĐA MỤC TIÊU BẰNG CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH MULTIOPT 59 2.1 Ví dụ 59 2.2 Bài tốn quy hoạch đất xã Nhân Chính 63 2.3 Bài tốn quy hoạch đất xã Trâu Quỳ 70 CHƯƠNG V MÔ HÌNH VÀ PHẦN MỀM TỐI ƯU PHI TUYẾN ĐA MỤC TIÊU 71 BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN TRONG MÔI TRƯỜNG MỜ / NGẪU NHIÊN 71 1.1 Phát biểu toán phương pháp mức ưu tiên 71 1.2 Xử lý ràng buộc 72 1.3 Xử lý mục tiêu 74 ~ 1.4 Sử dụng thông tin pay-off để đoán nhận e k , d j 77 1.5 Mơ hình tất định tương đương tốn 79 1.6 Khái niệm tối ưu hoá PL-Pareto 79 THUẬT GIẢI TƯƠNG TÁC LẶP PRELIME VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 80 2.1 Phát biểu thuật giải 80 2.2 Bài toán Chakraborty 81 2.3 Bài toán xác định cấu đầu tư cho hộ chăn nuôi cá 87 2.4 Bài toán quy hoạch sử dụng đất địa bàn huyện Trùng Khánh 88 CHƯƠNG VI KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU 92 ÁP DỤNG CÁC MƠ HÌNH TỐI ƯU TRONG NƠNG NGHIỆP 92 NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG VÀ ĐỀ XUẤT CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 92 XÂY DỰNG CÁC PHẦN MỀM TỐI ƯU 93 XÂY DỰNG HỆ HỖ TRỢ RA QUYẾT ĐỊNH CÀI ĐẶT TRÊN MẠNG MÁY TÍNH 94 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 96 Chương I ỨNG DỤNG MỘT SỐ MƠ HÌNH TỐI ƯU TRONG NƠNG NGHIỆP Tối ưu hoá lĩnh vực kinh điển tốn học có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực, có nơng nghiệp Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho vấn đề chiếm vai trị quan trọng Phương án tối ưu phương án tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, sức lực mà lại cho hiệu cao Có thể phát biểu mơ hình (bài tốn) tối ưu tổng qt sau: F(X) ỈMax (Min) với X ∈ D gọi miền ràng buộc F hàm vơ hướng hay hàm véc tơ, tuyến tính hay phi tuyến Trong trường hợp F hàm vơ hướng ta có mơ hình quy hoạch (tối ưu) đơn mục tiêu, cịn F véc tơ có mơ hình quy hoạch (tối ưu) đa mục tiêu X biến đơn lẻ hay tập hợp nhiều biến tạo thành vectơ hay chí hàm nhiều biến khác Biến nhận giá trị liên tục hay rời rạc D miền ràng buộc X, thường biểu diễn đẳng thức, bất đẳng thức, gọi miền phương án khả thi hay phương án chấp nhận MƠ HÌNH QUY HOẠCH ĐƠN MỤC TIÊU 1.1 Mơ hình tối ưu mục tiêu (tuyến tính phi tuyến) Dạng tắc tốn tối ưu tồn cục mục tiêu biểu diễn sau: Max (Min) f(X) với: X = (x1, x2, …, xn) (i) gj(X) ≤ 0, j = 1, 2, …, k, (ii) gj(X) = 0, j = k+1, k+2, …, m, Trong tốn thực tế bổ sung ràng buộc dạng: (iii) ≤ xi ≤ bi, i = 1, 2, …, n Hàm mục tiêu f(X) hàm ràng buộc gj(X) với j=1,2, …,m tuyến tính hay phi tuyến.Véc tơ X bao gồm thành phần rời rạc hay liên tục kết hợp thành phần rời rạc thành phần liên tục Các dạng khác tốn tối ưu mục tiêu đưa dạng tắc theo quy tắc định Nếu ký hiệu D miền phương án (miền ràng buộc) cho ràng buộc (i), (ii) và/hoặc (iii) tốn viết gọn sau: f(X) → Max (Min) với X ∈ D Lúc này, X* ∈ D gọi phương án tối ưu toàn cục ∀ X∈D ta ln có: f(X*) ≤ f(X) Trong trường hợp f(X*) ≤ f(X) với ∀X∈D lân cận X* X* gọi phương án tối ưu địa phương Trong trường hợp có hàm mục tiêu hay ràng buộc hàm phi tuyến, có tốn quy hoạch phi tuyến Trong toán tối ưu phi tuyến ứng dụng nói chung, nơng nghiệp nói riêng, lời giải tối ưu tồn cục có ý nghĩa quan trọng Chẳng hạn thiết kế máy nông nghiệp, sau dùng phương pháp phân tích hồi qui nhiều chiều, ta thường thu hàm mục tiêu f(X) có dạng phi tuyến Các tốn tối ưu tồn cục nảy sinh quy hoạch kinh tế - sinh thái vùng, hay xác định cấu đất canh tác - trồng Bài toán đặt phải tìm phương án tối ưu tồn cục Có nhiều phương pháp giải lớp toán tối ưu phi tuyến, chưa có phương pháp tỏ hữu hiệu cho toán tối ưu phi tuyến, đặc biệt tốn có biến nhận giá trị liên tục nguyên Trong trường hợp tất hàm mục tiêu ràng buộc hàm tuyến tính, có BTQHTT Trái với tốn quy hoạch phi tuyến, BTQHTT giải số phương pháp tối ưu quen biết (như phương pháp đơn hình cải biên, phương pháp hai pha, phương pháp điểm v.v…) sử dụng rộng rãi quy hoạch sử dụng đất nhiều lĩnh vực kinh tế quản trị kinh doanh nông nghiệp Đặc biệt, ràng buộc cho dạng bất đẳng thức với dấu ≤ ta có mơ hình tối ưu (quy hoạch tuyến tính) mục tiêu sau: Min CX với ràng buộc X ∈ D , đó: C véc tơ ∈ Rn D = { X ∈ Rn : AX ≤ B, X ≥ } với A ma trận cấp m × n B ∈ Rm 1.2 Các ví dụ minh hoạ tốn tối ưu mục tiêu Bài toán quy hoạch sử dụng đất (Mơ hình tối ưu tuyến tính mục tiêu giải toán quy hoạch sử dụng đất địa bàn xã Đông Dư, huyện Gia Lâm, tỉnh Hà Nội) Chúng ta xét mơ hình tối ưu mục tiêu với mục tiêu cần cực đại hoá hiệu kinh tế Để thiết lập mơ hình, trước hết chọn biến định Dựa vào kết liệu thu được, ta chọn biến định sau: xj với j = 1, 2, …, 18 diện tích loại trồng ( theo thứ tự là: lúa xuân, lúa mùa, ngô xuân, ngô đông, ngô bao tử đông, lạc xuân, đậu xanh xuân, đậu tương đông đất chuyên màu, đậu tương đông đất ba vụ, dưa chuột xuân, dưa chuột bao tử, mướp đắng xuân, rau mùi tàu, rau gia vị, đậu cô ve đông, ớt xuân, cà chua xuân, cà chua đông), x19 diện tích ao hồ thả cáao cá, xj với j = 20, …, 24 số đầu vật nuôi năm (trâu, bò, lợn, gia cầm) x24 số cơng lao động th ngồi, x25 lượng tiền vốn vay ngân hàng Lúc có tốn tối ưu tuyến tính mục tiêu với 33 ràng buộc (chưa kể điều kiện không âm biến) sau: Hiệu kinh tế: f(X) = 4306,14 x1 + 4168,73 x2 + 3115,21 x3 + 3013,11 x4 + 4158,68 x5+ 4860,91 x6 + 4295,31 x7 + 3706,11 x8 + 3788,25 x9+ 12747,31 x10+ 12752,96 x11 + 12064,81 x12 + 79228,88 x13 + 35961,31 x14 + 10823,91 x15+ 7950,16 x16 + 7928,06 x17 +5738, 46 x18 + 11129,50 x19 + 429,00 x20 + 674,00 x21+ 219,50 x22+ 11,10 x23– 15,50 x24 – 0,12 x25 → Max Với ràng buộc sau : x1 ≤ 80,88; x2 ≤ 75,78; x3 ≤ 64,89; 64,89; x7 ≤ 64,89; x8 ≤ 16,50; x9 ≤ 45,30; 6,80; x13 ≤ 13,70; x14 ≤ 14,50; x15 ≤ 4,80; 10,20; x19 ≤ 33,11; x20 ≤ 40,00; x21 ≤ 180,00; x4 ≤ 64,89; x5 ≤ 10,50; x6 ≤ x10 ≤ 5,50; x11 ≤ 8,5; x12 ≤ x16 ≤ 4,50; x17 ≤ 4,20; x18 ≤ x22 ≤ 4280; x23 ≤ 18800; x5 + x9 + x11 + x13 + x18 ≤ 45,30; x3 + x6 + x7 + x10 + x 12 + x16 + x17 ≤ 64,89; x4 + x8 + x14+ x15 ≤ 64,89; x1 + x13 ≤ 80,88; x2 + x13 ≤ 75,88; 205,5x1 + 150x3 + 75,75x4 + 75x5 + 225,5x6 + 221,5x7 + 102,7x8+ 100,75x9 +360 x10 +140x11 + 385x 12 + 1833,6x13 + 1446,3x14+210,25 x15 + 410,5x16 +360,5 x17 + 176x18 + 67x19 +20x20 + 16x21 + 9x22 + 0,3x23 - x24 ≤ 226149,00; 201,5x2 + 150x3 + 75,25x4 + 102,7x8+ 100,75x9 + 140x11 + 2475,4x13 + 1446,3x14+ 210,25x15 + 176x18 + 58x19 + 16x20 + 12x21 + 7x22 + 0,2x23 - x24 ≤ 152190,00; 2871,89x1 +2691,89 x2 + 2243,62x3 + 2243,66x4 + 3630,89x5 + 4780,06x6 + 2229,11x7 + 2401,41x8+ 2326,88x9 + 16440,61x10 + 16058,39x11 +15960,61x 12 + 68494,59x13 + 23146,11x14+ 13676,26x15 +6061,76x16 + 11083,11x17 + 10391,89x18 + 18058x19 + 1223x20 + 1098,5x21 + 624,5x22 + 12x23 - x24 ≤ 3881500; + 3,5x11 + 4x 12 + 12,1x13 + 3,5x5 + 8x6 + 3,5x7 +4,1x8+ 3,5x9 + 4,16x10 14,4x14+ 3,42x15 + 11,58x16 + 8x17 + 7,5x18 -3 x20 –2x21 - 0,95x22 – 0,0052x23 ≤ 0; 5,1x1 + 4,96x2 + 3,85x3 + 3,8x4 ≥ 921,25; Điều kiện không âm biến: ∀xj ≥ ( j = 1, 2, …, 25) Bằng phần mềm thương phẩm thích hợp có sẵn Lingo hay sử dụng Solver Excel (xem chương II) tìm phương án tối ưu tốn sau: x1=67,18, x2=62,08, x3=25,32, x4=45,59, x5=10,50, x6=3,37, x9=2,40, x10=6,50, x11=8,50, x12=6,50, x13=13,70, x14=14,50, x15=4,80, x16=4,50, x17=4,20, x18=10,20, x19=33,11, x20=40,00, x21=180, x22=4280, x23=18800, x25=230701010,78 Hiệu kinh tế cực đại đạt 4270,36 Bài toán tối ưu hoá giá trị sản xuất (Mơ hình tối ưu phi tuyến mục tiêu giải toán tối ưu hoá giá trị sản xuất héc ta nuôi cá huyện Văn Giang, tỉnh Hưng Yên) Sử dụng số liệu điều tra 112 hộ nuôi cá vùng đồng đê thuộc xã Văn Giang, Hưng Yên, chạy mơ hình hồi quy tương quan Excel nhận kết hàm sản xuất Cobb – Douglas sau (cần cực đại hoá): Z = f(X) = 19,375 x10,236 x20,104 x30,096 x40,056 x50,056 e0,168 x6 e0,066 x7 →Max đó: z : Giá trị sản xuất bình qn triệu/ ha/năm (GO), x1 : Chi phí giống bình qn năm (tr/ ha), x2 : Chi phí thức ăn bình quân năm (tr/ ha), x3 : Chi phí lao động bình qn năm (tr/ ha), x4 : Chi phí khấu hao thuê đất bình quân năm (tr/ ha), x5 : Các chi phí khác bình qn năm (tr/ ha), x6 , x7: Biến giả định hình thức ni, x6 = nuôi chuyên canh, x6 = nuôi tổng hợp, x7 = với hình thức ni loại cá kết hợp với loại cá khác, x7 = với hình thức ni loại cá kết hợp với loại cá khác Với mức đầu tư/ tổng chi phí TC ta có ràng buộc: - Với mức đầu tư 40 tr đ/ ha: TC < 40 40 ≤ TC < 50 - Với mức đầu tư 40 - 50 tr đ/ ha: - Với mức đầu tư 50 – 60 tr đ/ ha: 50 ≤ TC < 60 - Với mức đầu tư 60 - 70 tr đ/ ha: 60 ≤ TC < 70 - Với mức đầu tư 70 tr đ/ ha: TC ≥ 70 đó: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = TC Với hình thức ni ta có: x6+ x7 = (x6 , x7 nhận giá trị 1) Trên toán tối ưu phi tuyến, với biến liên tục biến nguyên Sử dụng phần mềm RST2ANU (xemchương III) để giải toán tối ưu phi tuyến toàn cục hỗn hợp nguyên thiết lập ta có kết bảng I.1 Bảng I.1 Kết cấu đầu tư tối ưu vùng đồng Đầu tư < 40 40 – 50 50 – 60 (tr/ha) x1 35 – 45% 40 – 45% 40 – 45% x2 15 – 20% 17 – 25% 17 – 23% x3 15 – 20% 15 – 20% 15 – 20% x4 10 – 15% – 15% – 15% X5 10 – 15% 10 – 15% 10 - 15% GO (tr/ ha) < 78,1 78,1 – 88,3 88,3 – 97,5 NI (tr/ ha) 38,1-38,3 38,3-37,5 60 – 70 > 70 35 – 45% 15 – 20% 16- 19% – 13% - 15% 97,5– 106 37,5-36 35 – 40% 18 – 25% 17 – 23% 10 – 15% 10 - 15% > 106 - Việc thực cấu đầu tư tối ưu làm giá trị sản xuất (GO) thu nhập ròng (NI = GO - TC) mức đầu tư tăng lên rõ rệt so với thực tế sản xuất địa phương Đặc biệt, mức đầu tư 50 tr/ha cho ta thu nhập hỗn hợp cao 38,3 tr/ha, lớn tr/ha so với không áp dụng cấu đầu tư tối ưu hình thức ni thích hợp Tại mức đầu tư này, cấu đầu tư tối ưu x1 từ 19,6 – 21,5 triệu (39,2 – 42,2%); x2 từ 8,6 - 9,8 triệu (17,2 – 19,6%); x3 từ 8,6 – 9,9 triệu ( 17,2 – 19,8%); x4 từ 4,7 – 6,4 triệu (9,4 – 12,8%); x5 từ 4,9 – 6,3 triệu (9,8 –12,6%) với hình thức ni chun canh (x6=1) Kết áp dụng phần mềm RST2ANU (xem chương III) mức đầu tư 50 triệu đồng/ha cho phương án tối ưu sau: zmax=88,360733với x1=21,498072, x2=9,528987, x3=8,758034, x4=5,138906, x5=5,076000, x6=1,000000, x7=0,000000 Bài tốn tối ưu thơng số sàng phân loại (Mơ hình tối ưu phi tuyến mục tiêu giải vấn đề tính tốn số thơng số hình học động học cấu sàng phân loại dao động) Trong ví dụ chúng tơi xin nêu vắn tắt ứng dụng mơ hình tối ưu phi tuyến mục tiêu việc tìm nghiệm hệ phương trình phi tuyến sau phát sinh việc tính tốn số thơng số hình học động học cấu sàng phân loại dao động (cần ý nhiều phương pháp tính tốn thơng dụng khác giải tích số tỏ khơng hiệu quả): r cosϕ1 + l cosϕ2 + l’’3 cosϕ3 + l4 cosϕ4 – xC1 = 0; r sinϕ1 + l sinϕ2 + l’’3 sinϕ3 + l4 sinϕ4 – yC1 = 0; r cosϕ1 + l cosϕ2 + l’3 cos(ϕ3 - α)+ l5 cosϕ5 – xD1 = 0; r sinϕ1 + l sinϕ2 + l’3 sin(ϕ3 - α)+ l5 sinϕ5 – yD1 = Trong hệ phi tuyến thông số biết là: r = 0,05m; l=0,30m; l’’3 = 0,15m; l’3 = 1,075m; l3 = 1,025m; l4 = 0,50m; l5 = 0,40m; xC1 = 0,365m; yC1 = 0,635m; xD1 = 1,365m; yD1 = 0,635m; α = π/8 Để sử dụng phần mềm tính tốn tối ưu phi tuyến RST2ANU giải hệ phương trình phi tuyến cho ϕ = kπ/8 (k=0,…, 9), trước hết cần thiết lập cực tiểu hoá hàm mục tiêu sau: z = (r cosϕ1 + l cosϕ2 + l’’3 cosϕ3 + l4 cosϕ4 – xC1)2 + (r sinϕ1 + l sinϕ2 + l’’3 sinϕ3 + l4 sinϕ4 – yC1)2+ (r cosϕ1 + l cosϕ2 + l’3cos(ϕ3 - α)+ l5 cosϕ5 – xD1)2 + (r sinϕ1 + l sinϕ2 + l’3sin(ϕ3 - α)+ l5sinϕ5 – yD1)2 Ỉ Min Kết cho bảng I.2 với zmin = Bảng I.2 Kết tính tốn giá trị thông số sàng phân loại ϕ1 ∈ [0,2π] ϕ2 ∈ [0,π] ϕ3 ∈ [0,π] ϕ4 ∈ [0,π] ϕ5 ∈ [0,π] 0,226128 0,551311 1,783873 1,666775 0,199269 0,550518 1,784628 1,670250 π/18 0,170835 0,550590 1,782751 1,668853 2π/18 0,143343 0,550490 1,778826 1,663697 3π/18 0,112669 0,552073 1,770032 1,652171 4π/18 0,090986 0,551991 1,759350 1,639575 5π/18 0,066036 0,553576 1,745374 1,622823 6π/18 0,051284 0,554296 1,730174 1,602970 7π/18 0,039053 0,555262 1,713242 1,581813 8π/18 0,033773 0,556277 1,695605 1,560720 9π/18 MƠ HÌNH QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN 2.1 Giới thiệu toán quy hoạch đa mục tiêu Trong tốn kỹ thuật, cơng nghệ, quản lý kinh tế, nông nghiệp v.v nảy sinh từ thực tế, thường phải xem xét đồng thời lúc nhiều mục tiêu Các mục tiêu thường khác thứ nguyên, tức chúng đo đơn vị khác Những tình tạo toán đa mục tiêu Người kỹ sư / người định lúc cần phải tối ưu hoá (cực đại hoá cực tiểu hoá tuỳ theo tình thực tế) khơng phải mục tiêu đó, mà đồng thời tất mục tiêu đặt Tuy nhiên, mục tiêu thường đối chọi cạnh tranh với Việc làm tốt mục tiêu thường dẫn tới việc làm xấu số mục tiêu khác Vì việc giải toán tối ưu đa mục tiêu, tức tìm phương án khả thi tốt theo nghĩa đó, thực chất tốn định Có thể thấy lại lần khẳng định " Tối ưu hoá cơng cụ định lượng chủ yếu trình định" Hiện tài liệu, sách chuyên khảo, tạp chí cập nhật lĩnh vực liên ngành Toán, Vận trù học, Khoa học Quản lý, Tin học, Công nghệ, Kinh tế, Nông nghiệp đề cập nhiều tới toán tối ưu đa mục tiêu Vấn đề nghiên cứu sở lý thuyết, thuật tốn, lập mơ hình, xây dựng hệ máy tính trợ giúp định, áp dụng mơ hình tối ưu đa mục tiêu cho q trình cơng nghệ, quản lý vấn đề liên ngành nhiều nhà nghiên cứu khoa học kĩ sư thực hành quan tâm Mơ hình tối ưu đa mục tiêu có dạng sau đây: Min fj(X), X = (x1, x2, …, xn) j = 1, 2, …, p (p ≥2) với: (i) gj(X) ≤ 0, j = 1, 2, …, k, (ii) gj(X) = 0, j = k+1, k+2, …, m, Trong toán thực tế bổ sung ràng buộc đạng: (iii) ≤ xi ≤ bi, i = 1, 2, …, n Trong mơ hình này, ta có p mục tiêu cần tối ưu hoá, hệ số hàm mục tiêu ràng buộc nói chung giả sử giá trị thực xác định (cũng gọi giá trị rõ) Trong trường hợp có hàm mục tiêu hay hàm ràng buộc hàm phi tuyến, có tốn quy hoạch đa mục tiêu phi tuyến Còn tất hàm mục tiêu hàm ràng buộc hàm tuyến tính, có mơ hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu với dạng tắc sau: Min CX với ràng buộc X ∈ D , đó: C ma trận cấp p×m D = { X ∈ Rn : AX ≤ B, X ≥ } với A ma trận cấp m x n B ∈ Rm 2.2 Các khái niệm toán tối ưu đa mục tiêu Khái niệm then chốt tối ưu hoá đa mục tiêu khái niệm phương án tối ưu Pareto Định nghĩa 1: Một phương án tối ưu Pareto X* có tính chất sau đây: i) Trước hết phải thuộc vào miền phương án khả thi toán, tức phải thoả mãn tất ràng buộc: X* ∈ D ii) Với phương án khả thi khác X ∈ D mà có mục tiêu tốt (tồn số i cho fi(X) tốt fi(X*)) phải có mục tiêu khác xấu (tồn j ≠ i cho fj(X) xấu fj (X*)) Nói cách khác, không tồn phương án khả thi X ∈ D trội X tổng thể * Định nghĩa 2: Giải toán tối ưu toàn cục đa mục tiêu chọn từ tập hợp P phương án tối ưu Pareto toán (một số) phương án tốt theo nghĩa dựa cấu ưu tiên người định Các phương án gọi phương án thoả dụng Cách 1: Bằng phương pháp tối ưu tốn học thích hợp tìm tập hợp P tất phương án tối ưu Pareto Người định đề cấu ưu tiên tập P Lúc phương pháp toán chẳng hạn giải tích phân loại, phương pháp lọc v.v… áp dụng để tìm phương án tối ưu cho toán đa mục tiêu ban đầu Cách 2: Việc tìm tập hợp P trường hợp tốn tối ưu phi tuyến khó, khơng nói khơng thể tìm Vì vậy, so với cách 1, cách tiến hành theo trình tự ngược lại Trước hết người định đề cấu ưu tiên Dựa vào cấu ưu tiên đó, mục tiêu tổ hợp vào mục tiêu nhất, tiêu biểu cho hàm tổng tiện ích tốn Bài tốn tối ưu với hàm mục tiêu tổ hợp giải phương pháp tối ưu tốn học thích hợp, để tìm (hoặc số) phương án tối ưu Pareto Lúc này, người định chọn số phương án tối ưu Pareto phương án tốt Chúng ta tiếp tục phân tích cách thứ Rõ ràng, người định đề cấu ưu tiên cách xác từ đầu Trong q trình giải tốn, bước lặp, sau xem xét lại cấu ưu tiên đề ra, phương án tối ưu trung gian, người định dựa vào thơng tin để thay đổi lại cấu ưu tiên Sau đó, q trình giải lại tiếp tục, phương án tối ưu cuối đưa Định nghĩa 3: Phương pháp giải toán tối ưu dựa trợ giúp hệ máy tính, nhằm giúp người định bước thay đổi định trung gian cách thích hợp để tới phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất, gọi phương pháp tương tác người - máy tính Cho tới thời điểm nay, hàng chục phương pháp giải tương tác toán tối ưu đa mục tiêu đề cập tới tạp chí chuyên ngành, đa số chúng Sử dụng phần mềm PRELIME, cần soạn Thủ tục tính hàm mục tiêu ràng buộc void ren(int index) { int i; switch(index) { case 0: for(i=0;i