ôn thi đại học môn toán chuyên đề hình học không gian

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 157  Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN KIẾN THỨC CĂN BẢN 1 . QUAN HỆ SONG SONG I. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG  Đònh nghóa: a // b  a  b =  và a, b  ()  Đònh lí 1:     a// b a b           ()  () = c cùng song song với a và b hoặc trùng với a hoặc b II. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG  Đònh nghóa: a // ()  a  () =   Đònh lí 2: (Tiêu chuẩn song song) a // ()             a// b,b a  Đònh lí 3:           a// a  ()  () = b // a III. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG  Đònh nghóa: () // ()  ()  () =   Đònh lí 4: (tiêu chuẩn song song) () // ()                   a,b cắt nhau a// a ,b// b ,a .b  Đònh lí 5:       // a b                 a // b   a c b a b    a b  a b  a' b'    a b Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 158  Đònh lí 6: (Đònh lí Talet trong không gian) Các mặt phẳng song song đònh trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. () // () //          AB BC AC A B B C A C AA', BB', CC' // ()         AB BC AC A B B C A C 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG  Đònh nghóa: a  ()  a  b, b  ()  Đònh lí 1: (Tiêu chuẩn vuông góc) a  ()          ab ac b,c cắt nhau trong  Đònh lí 2: (Đònh lý 3 đường vuông góc) a có hình chiếu a' trên mặt phẳng  chứa b. a  b  a'  b II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC  Đònh nghóa: ()  ()        ( , ) = 1 vuông  a  b, b  ()  Đònh lí 3: (Tiêu chuẩn vuông góc)        a a          Đònh líù 4:             c               c  ()    C B C’ B’ A A’ a b  a b c  a b a' H S A   a    c Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 159 3. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I. ĐỊNH NGHĨA AB là đoạn vuông góc chung của a và b  A a, B b AB a, AB b      II. DỰNG ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG 1. a  b  Qua b dựng mặt phẳng ()  a tại A  Trong () dựng qua A, AB  b tại B AB là đoạn vuông góc chung. 2. a  b Cách 1:  Qua b dựng mặt phẳng () // a  Lấy M trên a, dựng MH    Qua H dựng a' // a cắt b tại B  Từ B dựng BA // MH cắt a tại A AB là đoạn vuông góc chung. Cách 2:  Lấy O trên a  Qua O dựng mặt phẳng   a tại O  Dựng hình chiếu b' của b trên .  Dựng OH  b'.  Từ H dựng đường thẳng // a cắt b tại B.  Qua B dựng đường thẳng // OH cắt a tại A. AB là đoạn vuông góc chung. III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU d(a, b) = AB độ dài đường vuông góc chung () chứa b và () // a thì d(a, b) = d(a, ())  Vấn đề 1: HÌNH CHÓP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHÓP I. ĐỊNH NGHĨA Hình chóp là hình đa diện có 1 mặt là đa giác, các mặt khác là tam giác có chung đỉnh. a b A B H A M B b a' a  O A B H O b b'  Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 160 Chiều cao h là khoảng cách từ đỉnh tới đáy. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Đỉnh của hình chóp đều có hình chiếu là tâm của đáy. Hình chóp tam giác còn gọi là tứ diện hình tứ diện. Hình tứ diện là hình chóp tam giác có đáy là mặt nào cũng được, đỉnh là điểm nào cũng được. Hình tứ diện đều là hình tứ diện có các cạnh bằng nhau. II. DIỆN TÍCH Diện tích xung quanh của hình chóp đều: S xq = 1 2 nad n: số cạnh đáy; a: độ dài cạnh đáy d: độ dài trung đoạn Diện tích toàn phần: S tp = S xq + B B là diện tích đáy III. THỂ TÍCH Thể tích hình chóp: V = 1 3 Bh Thể tích tứ diện: V =  1 dab.sin 6 a, b: độ dài hai cạnh đối d: độ dài đoạn vuông góc chung : góc của hai cạnh đối. Tỉ số thể tích của hai hình chóp tam giác có chung đỉnh và 3 cạnh bên.        SA B C SABC V SA .SB.SC V SA.SB.SC HÌNH CHÓP CỤT I. ĐỊNH NGHĨA Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện song song với đáy. Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều. A'B'C'D' ∽ ABCD      SH SA A B SH SA AB  A S H B C A A ’ B C C’ S B’ A D’ A’ D C C’ B’ B H H’ S Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 161 II. DIỆN TÍCH S tp = s xq + B + B' Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều: S xq = 1 2 (na + na').d n: số cạnh đáy; a, a': cạnh đáy d: độ dài trong đoạn, chiều cao của mặt bên III. THỂ TÍCH V = V 1 – V 2 V: thể tích hình chóp cụt V 1 : thể tích hình chóp V 2 : thể tích hình chóp trên      3 1 2 V SH V SH V = 1 3 h(B + B' +  BB ) B, B' là diện tích đáy h là chiều cao B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Giải ª Tính thể tích khối chóp S.BCNM.            SAB ABC SA ABC SAC ABC        .        BC// SMN MN// BC SMN ABC MN        .        0 AB BC giả thiết (SBC),(ABC) SBA 60 SB BC BC (SAB)           .  Trong tam giác vuông SBA ta có SA = AB.tan SBA 2a 3 .  Diện tích hình thang BCNM là S =     2 1 1 3a BC MN BM 2a a a 2 2 2     .  V S.BCNM = 2 3 BCNM 1 1 3a S .SA 2a 3 a 3 3 3 2    . S A B C N M I H Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 162 ª Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN. Dựng một mặt phẳng chứa SN và song song với AB bằng cách vẽ NI song song với AB sao cho AMNI là hình vuông. Suy ra AB // (SNI). Ta có AB // (SNI)  d(AB,SN) = d(A, (SNI)). Vẽ AH vuông góc với SI tại H. Dễ dàng thấy AH  (SNI)  d(AB,SN) = d(A, (SNI)) = AH. Trong tam giác vuông SAI ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 13 AH SA AI 12a a 12a      . Suy ra: d(AB, SN) = AH 2a 39 13  . Cách 2: Bài toán trên ta sử dụng cách 2 bằng cách xây dựng mặt phẳng (SNI) chứa SN và song song với AB, và khi đó d(AB, SN) = d(A, (SNI)). Cách 3: Xét hệ trục Oxyz như hình vẽ.  A Oy nên x A = z A = 0, còn y A = BA = 2a  A(0; 2a; 0)  B  O  B(0; 0; 0)  C Ox nên y C = z C = 0, còn x C = BC = 2a  C(2a; 0; 0)  S (Oyz) nên x S = 0, còn y S = BA = 2a và z S = SA = 2a 3  S(0; 2a; 2a 3 )  M Oy nên x M = z M = 0, còn y M = BM = a M(0; a; 0)  N (Oxy) nên z N = 0, còn x N = BP = a và y N = BM = a  N(a; a; 0) Ta có: d(AB, SN) = AB,SN BN AB,SN     2a 39 13  . Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và 0 SBC 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Giải  Vẽ SH vuông góc với BC tại H. Vì (SBC)  (ABC) nên SH  (ABC). S A B  O C N M x z y P Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 163  SH = SB.sin30 0 = a3 .  S ABC = 1 2 AB.BC = 6a 2 .  V S.ABC = 1 3 SH.S ABC = 3 2a 3 .  Vẽ HM vuông góc với AC tại M  BC  (SHM). Vẽ HK vuông góc với SM tại K  HK  (SAC)  HK = d(H, (SAC)).  BH = SB.cos30 0 = 3a  HC = a  BC = 4HC  d(B, (SAC)) = 4d(H, (SAC))  AC = 22 AB BC 5a  BCA đồng dạng MCH  HM AB HC AC   AB.HC 3a HM AC 5  .  SAM vuông tại H có HK là đường cao nên: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 25 1 28 HK HM SH 9a 3a 9a       3a 7 HK 14   Vậy d(B,(SAC)) = 6a 7 4HK 7  Cách 2: Ta có thể tính: d(B,(SAC)) = SABC SAC 3V S  . Ta có: +) AB  (SBC)  AB  SB  22 SA SB AB a 21   . +) 22 SC SH HC 2a   . Mà AC = 5a nên SA 2 + SC 2 = AC 2 , suy ra tam giác SAC vuông tại S. Do đó: S SAC = 1 2 SA.SC = 2 a 21 Vậy d(B,(SAC)) = SABC SAC 3V S  = 3 2 3.2a 3 6a 7 7 a 21  . Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30 0 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a. 30 0 S B A C H 3a 4a 2a 3 M K Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 164 Giải BC vuông góc với mặt phẳng SAB Góc SBA = 30 0 nên SA = 3 a d(M,(SAB)) = 1 2 d(C,(SAB)) = BC a 22  Vậy V S.ABM = V M.SAB = 11 . 3 2 2 3 aa a    = 3 a3 36 Cách 2: V S.ABC = ABC 1 S .SA 3  = 3 a3 18 ABM ABC S SM 1 S SC 2     V S.ABM = 3 a3 36 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Giải S (NDCM) =       2 2 2 1 a 1 a 5a aa 2 2 2 2 8 (đvdt)  V (S.NDCM) =  23 1 5a 5a 3 a3 3 8 24 (đvtt)    2 2 a a 5 NC a 42 Ta có 2 tam giác vuông AMD và NDC bằng nhau Nên góc NCD = ADM . Vậy DM vuông NC Vậy ta có:     2 2 a 2a DC HC.NC HC a 5 5 2 Ta có tam giác SHC vuông tại H, và khoảng cách của DM và SC chính là chiều cao h vẽ từ H trong tam giác SHC Nên        2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 1 19 2a 3 h 19 h HC SH 4a 3a 12a . a H 1 1 N M C B A D 1 A C S M B 30 0 a Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 165 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,  AC AH 4 . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải Ta có        2 2 a 2 a 14 SH a 44         2 22 14a 3a 2 32a SC a 2 16 4 16 = AC Vậy SCA cân tại C nên đường cao hạ từ C xuống SAC chính là trung điểm của SA. Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên MK = 1 2 SH Ta có     3 2 1 1 a 14 a 14 V(S.ABC) a . 3 2 4 24 (đvdt) Nên V(MABC) = V(MSBC) = 1 2 V(SABC) = 3 a 14 48 (đvdt) Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45 0 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Giải Gọi H là trung điểm AB. Ta có tam giác vuông SHC, có góc SCH = 0 45 nên là tam giác vuông cân Vậy      2 2 a a 5 HC SH a 42  3 2 1 a 5 a 5 Va 3 2 6 (đvtt) S A B C D H a B A D C S K H M Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 166 Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải (SIB)  (ABCD) và (SIC)  (ABCD) Suy ra SI  (ABCD) Kẻ IK  BC (K  BC)  BC  (SIK)   o SKI 60 Diện tích hình thang ABCD: S ABCD = 3a 2 Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng 2 3a 2 Suy ra S IBC = 2 3a 2              2 2 IBC 2S 3 5a BC AB CD AD a 5 IK BC 5 3 15a SI IK.tanSKI 5 Thể tích khối chóp: S.ABCD: V =  3 ABCD 1 3 15a S .SI 35 (đvtt) Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a2 . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP. Giải Gọi I là trung điểm AB Ta có: MN // AB // CD và SP  CD  MN  SP SIP cân tại S, SI 2 =  22 2 a 7a 2a 44  SI = SP = a7 2 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO 2 = SI 2 – OI 2 =     2 22 7a a 6a 4 2 4  SO = a6 2 , H là hình chiếu vuông góc của P xuống mặt phẳng SAB Ta có         SIP 1 1 SO.IP a 6 2 a 6 S SO.IP PH.SI PH a 2 2 SI 2 a 7 7 S D I A B K C [...]... bên vuông góc với đáy B' D' C' Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Lăng trụ đều có các mặt bên là hình chữ nhật bằng nhau Lăng trụ xiên có cạnh bên không vuông góc với đáy IV HÌNH HỘP Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành  Hình hộp có các mặt đối diện là hình bình hành song song và bằng nhau  Các đường chéo hình hộp cắt nhau tại trung điểm Hình hộp đứng có cạnh bên vuông... với đáy Hình hộp xiên có cạnh bên không vuông góc với đáy A b D a B c A’ D’ C B’ C’ Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật có các mặt là hình chữ nhật Độ dài các cạnh xuất phát từ 1 đỉnh gọi là kích thước của hình hộp chữ nhật a, b, c Các đường chéo hình hộp chữ nhật bằng nhau và có độ dài: d = Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông Các cạnh của hình lập... 1 Thể tích hình nón cụt: V =  (R2 + R'2 + RR')h 3 R, R’ là bán kính đáy h chiều cao HÌNH CẦU I ĐỊNH NGHĨA Hình cầu tâm O, bán kính R là tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn điều kiện OM  R Mặt cầu tâm O bán kính R là tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn điều kiện OM = R Thi t diện qua tâm là hình tròn lớn tâm O bán kính R Thi t diện của hình cầu với một mặt phẳng là hình tròn có... các ĐTQG Toán học – HÌNH LĂNG TRỤ  Vấn đề 2: A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI I ĐỊNH NGHĨA Hình lăng trụ là hình đa diện có 2 mặt song song gọi là đáy, và các cạnh không thuộc 2 đáy song song với nhau E II TÍNH CHẤT A D Trong hình lăng trụ: B C  Các cạnh bên song song và bằng nhau  Các mặt bên, mặt chéo là hình bình hành  Hai đáy có cạnh song song và bằng nhau E' A' III LĂNG TRỤ ĐỨNG, ĐỀU LĂNG... 2 6 36 Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM Giải Thể tích của khối chóp A.BCMN Gọi K là trung điểm của BC 170 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – H là hình chiếu vuông góc của A trên... 13: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC  BAD  900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) theo a Giải S Gọi I là trung điểm của AD Ta có: IA = ID = IC = a  CD  AC Mặt khác, CD  SA Suy ra CD  SC nên tam giác SCD vuông... các ĐTQG Toán học – Gọi (P) là mặt phẳng qua B1D và (P) // A1B  (P) có VTPT n = (1, 2, 1)  Pt (P): x + 2y + z  2a = 0  d(A1B, B1D) = d(B, (P) = a 6 a a   a  b/ MP   a; ;  C1N    ; 0;  a  2 2   2  Ta có MP.C1N  0  MP  C1N Vậy góc giữa MP và C1N là 900  Vấn đề 3: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH TRỤ I ĐỊNH NGHĨA M Hình trụ là hình sinh... hình chữ nhật O'OMM' quay xung quanh cạnh OO' Cạnh OM sinh ra hình tròn đáy Cạnh MM' sinh ra mặt nón tròn xoay M’ MM' gọi là đường sinh OO’ là trục của hình trụ h = OO' là chiều cao R = OM bán kính đáy II DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ Diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh R: bán kính đáy Stp = 2Rh + 2R2 III THỂ TÍCH HÌNH TRỤ V = R2h R: bán kính đáy HÌNH NÓN I ĐỊNH NGHĨA Hình nón là hình sinh ra bởi tam giác vuông... kính đáy l: độ dài đường sinh 2 Diện tích toàn phần: Stp = Rl + R = R(l + R) III THỂ TÍCH 1 Thể tích hình nón: V = R2h R: bán kính đáy h: là chiều cao 3 HÌNH NÓN CỤT I ĐỊNH NGHĨA Hình nón cụt là phần hình nón giữa đáy và một thi t diện vuông góc với trục Hình nón cụt sinh bởi một hình thang vuông OMM'O'quay quanh OO' h = OO' chiều cao MM' = l là đường sinh II DIỆN TÍCH Diện tích xung quanh: Sxq... 3 2 3   Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP Giải Chứng minh AM  BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP Gọi H là trung điểm của AD Do ∆SAD đều nên SH  AD Do . cạnh bên vuông góc với đáy. Hình hộp xiên có cạnh bên không vuông góc với đáy. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có các mặt là hình chữ nhật. từ các ĐTQG Toán học – 160 Chiều cao h là khoảng cách từ đỉnh tới đáy. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Đỉnh của hình chóp đều có hình chiếu. dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 165 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt