Hướng dẫn học viên cách tìm nhanh nghiệm của một bất phương trình dưới dạng tích thương các đa thức bậc n SKKN lớp 12

Trong chương trình môn toán lớp 10 bậc THPT, học sinh được học về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Qua đó đưa đến việc xác định nghiệm của bất phương trình, đặc biệt đối với những bất phương trình phức tạp (có dạng tích các nhị thức và tam thức bậc hai) thì công việc này quả là khó đối với học sinh. Để giúp học sinh khắc phục vấn đề trên tôi đã suy nghĩ và đề ra hướng giải quyết thông qua đề tài này

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN THÀNH PHỐ BIÊN

HÒA

Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN CÁCH TÌM NHANH NGHIỆM CỦA MỘT BẤT PHƯƠNG TRÌNH DƯỚI DẠNG TÍCH THƯƠNG CÁC

ĐA THỨC BẬC n

Người thực hiện: NGUYỄN VĂN TÀI Lĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2011 - 2012

BM 01-Bia SKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Văn Tài

2 Ngày tháng năm sinh: 13/ 12/ 1953

3 Nam, nữ: Nam

4 Địa chỉ: 59/70/1 Phan Đình Phùng, Phường Quang Vinh, Biên Hòa

ĐTDĐ: 0973767054

7 Chức vụ: Giáo viên

8 Đơn vị công tác: Trung tâm Giáo dục thường xuyên thành phố Biên hòa

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 1984

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán

Số năm có kinh nghiệm: 25

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

BM02-LLKHSKKN

Tên SKKN: HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN TÌM NHANH NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, THƯƠNG CÁC ĐA THỨC BẬC n

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình môn toán lớp 10 bậc THPT, học sinh được học về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai Qua đó đưa đến việc xác định nghiệm của bất phương trình, đặc biệt đối với những bất phương trình phức tạp (có dạng tích các nhị thức và tam thức bậc hai) thì công việc này quả là khó đối với học sinh Để giúp học sinh khắc phục vấn đề trên tôi đã suy nghĩ và đề ra hướng giải quyết thông qua đề tài này

-Về dấu của nhị thức bậc nhất, ta có Định lí (tr.89 - sgk):

Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị















 ;

a

b

, trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng



















a

b

;

Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.91 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức

f(x) = (4 31)( 5 2)









x

x x

Để giải bài này, học sinh làm các bước sau:

 f(x) không xác định khi

3

5



x (tìm tập xác định của biểu thức)

4

1 0

1

4x   x x   x   x   x

(tìm nghiệm của các nhân tử)

 Bảng xét dấu

x   -2

4 1

3 5  

4x - 1 - - 0 + +

x + 2 - 0 + + +

-3x + 5 + + + 0

-f (x) + 0 0 +



















3

5

; 4

1 )

2

;

x

BM03-TMSKKN

f(x) < 0 khi 































3

5 4

1

;

2 hay x x

f(x) = 0 khi x  2 hay x14

f(x) không xác định khi

3

5



x

-Về dấu của tam thức bậc hai, ta có Định lí (tr.101 - sgk):

Cho f(x) = ax 2 + bx + c (a o), = b 2 - 4ac

Nếu < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi xR

Nếu = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x =

a

b

2



Nếu  > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x 1 hoặc x > x 2 , trái dấu với

hệ số a khi x 1 < x < x 2 trong đó x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) là hai nghiệm của f(x)

Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.103 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức

4

1 2

)

2









x

x x x f

Để giải bài này, học sinh làm các bước sau:

f(x) không xác định khi x =  2



















2 1

1 0

1

2 2

x

x x

x

 Bảng xét dấu

x - -2

2

1

 1 2 +



2x2 - x - 1 + + 0 - 0 + +

x2 - 4 + 0 - - - 0 +

)

(x

f + - 0 + 0 - +

2

1 )

2

;



















x

f(x) < 0 khi 1 ; 2

2

1

;















x

2

1





 hay x x

f(x) không xác định khi x =  2

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Xét đa thức bậc n: f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + ao Giả sử đa thức f(x) có đúng n nghiệm phân biệt x1, x2, , xn sao cho:

x1 < x2 < < xn-1 < xn Khi đó ta có thể viết đa thức f(x) dưới dạng

f(x) = an(x - xn)(x - xn-1) .(x - x2)(x - x1)

Ta có bảng xét dấu đa thức f(x) như sau:

x   x1 x2 xn-1 xn





x - xn - - - - 0 +

Có thể xét dấu f(x) bằng trục số:

x1 x2 xn-1 xn

trái dấu với an cùng dấu với an Kết luận: f(x) luôn cùng dấu với an trên khoảng (xn ;  ) và lần lượt đan dấu trên các khoảng kế tiếp còn lại

- Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng nhau xk với k là số chẵn Khi

đó (x - xk)k  0 Do đó dấu của f(x) phụ thuộc vào dấu của đa thức

g(x) = an(x - x1)(x - x2) .(x - xn-k) nên có thể không cần ghi xk trong bảng xét dấu của f(x)

- Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng nhau xk với k là số lẻ, ta vẫn duy trì xk trong bảng xét dấu của f(x) vì (x - xk)k > 0 khi x > xk và (x - xk)k < 0 khi x < xk

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

1/ Vấn đề 1: Xét dấu đa thức

Căn cứ vào cơ sở lý luận trên, tôi đưa ra cách xét dấu một đa thức như sau: Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức

Bước 2: Vẽ trục số, ghi tất cả các nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ ((2k + 1) nghiệm trùng nhau) theo thứ tự trên trục số Sau đó xét dấu khoảng (xi ;  ),với xi

là nghiệm có giá trị lớn nhất trong tất cả các nghiệm của f(x), khoảng này luôn có

dấu cùng với dấu của an (an là hệ số của x với số mũ n cao nhất trong f(x)), còn các khoảng kết tiếp còn lại cứ đan dấu nhau

Ví dụ 1: Xét dấu f(x) = 3x3 - 9x2 - 18x + 24

- Bước 1: Tìm nghiệm của f(x) = 0

3x3 - 9x2 - 18x + 24 = 0 khi x = -2, x = 1, x = 4 Do đó có thể viết

f(x) = 3(x + 2)(x - 1)(x - 4)

- Bước 2: Vẽ trục số, ghi các nghiệm -2, 1, 4 trên trục số và xét dấu f(x) ở hàng dưới trục số (thay cho bảng xét dấu thực hiện như trong ví dụ 2, tr.91 sgk

-Đs 10)

- 0 + 0 - 0 +

(cùng dấu với hệ số 3

của x3) Kết luận: f(x) > 0 khi x  (  2 ; 1 )  ( 4 ;   )

f(x) < 0 khi x  (  ;  2 )  ( 1 ; 4 )

f(x) = 0 khi x = -2 hay x = 1 hay x = 4

Ví dụ 2: Xét dấu f(x) = -5x4 + 50x3 - 140x2 + 30x + 225

- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -1, x = 5, x = 3 (nghiệm kép) Do đó có thể viết f(x) = -5(x - 3)2(x + 1)(x - 5)

- Bước 2: Vẽ trục số, chỉ ghi các nghiệm -1, 5 trên trục số và xét dấu

- 0 + 0

(cùng dấu với hệ số -5 của x4) Kết luận: f(x) > 0 khi x ( 1 ; 5 )

f(x) < 0 khi x (  ;  1 )  ( 5 ;   )

Ví dụ 3: Xét dấu f(x) = -x5 - 5x4 + 6x3 + 76x2 + 152x + 96

- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -3, x = -2 (ba nghiệm trùng nhau), x = 4 Do đó

có thể viết f(x) = -(x + 2)3(x + 3)(x - 4)

- Bước 2: Vẽ trục số, ghi các nghiệm -3, -2, 4 trên trục số và xét dấu f(x)

(cùng dấu với hệ số -1 của x5) Kết luận: f(x) > 0 khi x (  ;  3 )  (  2 ; 4 )

f(x) < 0 khi x  (  3 ;  2 )  ( 4 ;   )

2/ Vấn đề 2: Tìm nhanh nghiệm của bất phương trình một ẩn

Việc giải bất phương trình một ẩn hoàn toàn dựa vào việc xét dấu đa thức đã nói ở trên, sau đó cần chọn tập nghiệm của bất phương trình phù hợp với dấu của

nó ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho

) 3 4 )(

3 5 (

) 4 )(

1 2 (













x x x

x x

Ta thấy dấu của biểu thức ở vế trái của bất phương trình cũng là dấu của đa thức f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x2 - 4x + 3) hay

f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x - 1)(x - 3)

Do đó để tìm nhanh nghiệm của bất phương trình đã cho ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm nghiệm của các nhân tử trong biểu thức ở vế trái của bất phương trình ta được: - , 1 , 3

3

5 , 4 , 2 1

Bước 2: Biểu diễn các số : - , 3 , 4

3

5 , 1 , 2

1

trên trục số và xét dấu trên khoảng (4 ; +) có dấu âm (là kết quả của tích các hệ số âm của x với số mũ cao nhất trong các nhân tử hay chỉ cần đếm số các dấu âm này, nếu là số lẻ ta có dấu

âm, nếu là số chẵn ta có dấu dương)

2

1

-Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: ( 3 ; 4 )

3

5

; 1 2

1































-Với những ví dụ minh họa cho cơ sở lí luận trên, trong thực hành học sinh

có thể giải nhanh một bất phương trình qua các ví dụ sau đây:

) 1 2 3 )(

3 2 (

) 4 )(

3 1 (

2

2















x x x

x x

Giải: Cho

3

1 0

3

1  x  x

2 0

4

2









x

2

3 0

3

2x   x 

0 1 2

3 2







 x x , phương trình vô nghiệm

3

1

2

(chú thích: trên khoảng ( 2 ;   ), vế trái của bất phương trình có dấu dương vì

có hai dấu âm trước hệ số của x và x2 trong các nhân tử của bất phương trình)

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 

























3

1 2

3

; 2

) 7 6 )(

2 (

) 2 )(

5 2 (

2

2 4

















x x

x

x x

x

Giải: Cho 4 2 2 5 0





 x

x , phương trình vô nghiệm

2 0

2   

x

2 , 1 0

2

2















6

7 0

7

6x   x

-Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: ; 2 ( 2 ; )

6

7 ) 1

;

















) 5 )(

4 (

) 2 )(

6 5 2 (

2

2 3

















x x

x x x x

















x

5 0

5

2 , 2 0

4

2 0

2

2

































x x

x x

x

x x

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: (  2 ; 1 ]  ( 2 ; 3 ]  ( 5 ;   )

Tóm lại: Khi giải một bất phương trình, ta làm như sau

-Bước 1: Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho về dạng tích hoặc thương các đa thức (vế phải của bất phương trình là 0)

-Bước 2: Tìm nghiệm của các đa thức nhân tử (lưu ý các nghiệm bội chẵn và bội lẻ, nếu có)

-Bước 3: Thể hiện các nghiệm trên trục số kể cả nghiệm bội lẻ (không ghi nghiệm bội chẵn), các nghiệm này chia trục số thành các khoảng và xét dấu biểu thức ở vế trái của bất phương trình, khởi đầu từ khoảng tận cùng bên phải của trục

số (khoảng này có dấu là tích các dấu âm của hệ số của x có bậc cao nhất trong mỗi nhân tử)

-Bước 4: Suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Rõ ràng qua đề tài trên, đã giúp học sinh tìm được nghiệm của bất phương trình một cách nhanh chóng và gọn hơn so với cách làm theo sách giáo khoa, chẳng hạn trong ví dụ 7 nói trên, nếu giải theo sách giáo khoa, học viên sẽ làm như sau:

Đặt f(x) = ( (2 2 54)(56)() 2)

2 3

x x

x x x x































x

5 0

5

2 , 2 0

4

2 0

2

2

































x x

x x

x

x x

Bảng xét dấu

x   -2 1 2 3 5 +

 x3 - 2x2 -5x + 6 - 0 + 0 - - 0 + +

x + 2 - 0 + + + + +

-x2 + 4 0 + + 0

-5 - x + + + + + 0

-f(x) - + 0 - + 0 - +

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: (  2 ; 1 ]  ( 2 ; 3 ]  ( 5 ;   ) Ta thấy học sinh sẽ mất thời gian nhiều hơn khi lập bảng xét dấu Chẳng hạn với đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008 có câu: Giải bất phương trình 0 4 log log 2 6 7 , 0         x x x , học sinh giải như sau là đạt điểm tối đa của câu ) ; 8 ( ) 3 ; 4 ( 0 4 ) 8 )( 3 ( 0 4 24 5 6 4 1 4 log 0 4 log log0,7 6 2 6 2 2 2                                   x x x x x x x x x x x x x x x x (Để có kết quả cuối cùng, các em phải vẽ trục số trên giấy nháp và thực hiện xét dấu: -4 -3 8 - + 0 - 0 +

IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Với đề tài trên, có thể áp dụng rộng rãi trong các đơn vị giáo dục với môn toán đại số lớp 10 như sau: sau khi giáo viên trình bày nội dung như trong sách giáo khoa đã nêu để khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh về xét dấu một biểu thức, đến phần luyện tập giáo viên có thể giới thiệu và rèn luyện cho học sinh thực hiện theo đề tài trên nhằm giúp các em đỡ mất thời gian hơn khi phải giải một bất phương trình phức tạp, nhất là trong các kì thi tuyển sinh đại học sau này

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

Sách giáo khoa Đại số 10 - của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doản Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài - Nhà xuất bản Giáo dục - năm 2006

NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Văn Tài

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

, ngày tháng năm

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học:

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

BM04-NXĐGSKKN

Họ và tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị:

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả

Sau khi duyệt xét SKKN, Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có

ký tên xác nhận và chịu trách nhiệm của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)