Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình môn toán lớp 10 bậc THPT, học sinh được học về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Qua đó đưa đến việc xác định nghiệm của bất phương trình, đặc biệt đối với những bất phương trình phức tạp (có dạng tích các nhị thức và tam thức bậc hai) thì công việc này quả là khó đối với học sinh. Để giúp học sinh khắc phục vấn đề trên tôi đã suy nghĩ và đề ra hướng giải quyết thông qua đề tài này
BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN THÀNH PHỐ BIÊN HÒA Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN CÁCH TÌM NHANH NGHIỆM CỦA MỘT BẤT PHƯƠNG TRÌNH DƯỚI DẠNG TÍCH THƯƠNG CÁC ĐA THỨC BẬC n Người thực hiện: NGUYỄN VĂN TÀI Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học mơn: Tốn Có đính kèm: Các sản phẩm không thề in SKKN Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác Năm học: 2011 - 2012 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Nguyễn Văn Tài Ngày tháng năm sinh: 13/ 12/ 1953 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: 59/70/1 Phan Đình Phùng, Phường Quang Vinh, Biên Hòa Điện thoại: 0613 822538 ĐTDĐ: 0973767054 Fax: (CQ)/ 0613 810649 (NR); E-mail: nvtai.gdtxbh@yahoo.com Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trung tâm Giáo dục thường xun thành phố Biên hịa II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 1984 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Tốn Số năm có kinh nghiệm: 25 - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: BM03-TMSKKN Tên SKKN: HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN TÌM NHANH NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, THƯƠNG CÁC ĐA THỨC BẬC n I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình mơn tốn lớp 10 bậc THPT, học sinh học dấu nhị thức bậc dấu tam thức bậc hai Qua đưa đến việc xác định nghiệm bất phương trình, đặc biệt bất phương trình phức tạp (có dạng tích nhị thức tam thức bậc hai) cơng việc khó học sinh Để giúp học sinh khắc phục vấn đề suy nghĩ đề hướng giải thông qua đề tài -Về dấu nhị thức bậc nhất, ta có Định lí (tr.89 - sgk): Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị dấu với hệ số a x lấy giá trị khoảng − ; + ∞ , trái dấu với hệ số a x lấy giá trị khoảng b a b − ∞; − a Chẳng hạn xét ví dụ (tr.91 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức f(x) = (4 x − 1)( x + 2) − 3x + Để giải này, học sinh làm bước sau: • f(x) khơng xác định x = • 4x − = ⇔ x = (tìm tập xác định biểu thức) ; x + = ⇔ x = −2 ; − 3x + = ⇔ x = (tìm nghiệm nhân tử) • Bảng xét dấu x −∞ -2 4x - - x+2 - -3x + + f (x) + - +∞ + + + + + + + - + - • Trả lời: 1 5 f(x) > x ∈ (−∞ ; − 2) hay x ∈ ; 3 1 5 f(x) < x ∈ − ; hay x ∈ ; + ∞ 4 3 f(x) = x = −2 hay x = f(x) không xác định x = -Về dấu tam thức bậc hai, ta có Định lí (tr.101 - sgk): Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ o), ∆ = b2 - 4ac Nếu ∆ < f(x) dấu với hệ số a, với x ∈ R Nếu ∆ = f(x) ln dấu với hệ số a, trừ x = −b 2a Nếu ∆ > f(x) dấu với hệ số a x < x1 x > x2, trái dấu với hệ số a x1 < x < x2 x1, x2 (x1 < x2) hai nghiệm f(x) Chẳng hạn xét ví dụ (tr.103 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức 2x − x − f ( x) = x2 − Để giải này, học sinh làm bước sau: • f(x) khơng xác định x = ± x = • 2x − x −1 = ⇔ x = − • Bảng xét dấu x -∞ 2x2 - x - + x2 - + f (x) + • Trả lời: − -2 + - - + - - + +∞ - + + + f(x) > x ∈ (−∞ ; − 2) hay x ∈ − ; 1 hay x ∈ (2; + ∞) 1 f(x) < x ∈ − ; − hay x ∈(1; 2) 2 f(x) = x = − hay x = f(x) không xác định x = ± II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Xét đa thức bậc n: f(x) = a nxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + ao Giả sử đa thức f(x) có n nghiệm phân biệt x1, x2, , xn cho: x1 < x2 < < xn-1 < xn Khi ta viết đa thức f(x) dạng f(x) = an(x - xn)(x - xn-1) .(x - x2)(x - x1) Ta có bảng xét dấu đa thức f(x) sau: −∞ x x1 x2 x - x1 - + x - x2 - - x - xn-1 x - xn xn-1 +∞ xn + + + + + + - - - + + - - - 0 - f(x) + trái dấu với an dấu với an Có thể xét dấu f(x) trục số: • x1 • x2 •xn-1 trái dấu với an •xn dấu với an Kết luận: f(x) dấu với a n khoảng (xn ; + ∞ ) đan dấu khoảng lại - Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng xk với k số chẵn Khi (x - xk)k ≥ Do dấu f(x) phụ thuộc vào dấu đa thức g(x) = an(x - x1)(x - x2) .(x - xn-k) nên khơng cần ghi x k bảng xét dấu f(x) - Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng xk với k số lẻ, ta trì xk bảng xét dấu f(x) (x - xk)k > x > xk (x - xk)k < x < xk Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài 1/ Vấn đề 1: Xét dấu đa thức Căn vào sở lý luận trên, đưa cách xét dấu đa thức sau: Bước 1: Tìm nghiệm đa thức Bước 2: Vẽ trục số, ghi tất nghiệm đơn nghiệm bội lẻ ((2k + 1) nghiệm trùng nhau) theo thứ tự trục số Sau xét dấu khoảng (x i ; + ∞ ),với xi nghiệm có giá trị lớn tất nghiệm f(x), khoảng ln có dấu với dấu an (an hệ số x với số mũ n cao f(x)), khoảng kết tiếp lại đan dấu • Ví dụ 1: Xét dấu f(x) = 3x3 - 9x2 - 18x + 24 - Bước 1: Tìm nghiệm f(x) = 3x3 - 9x2 - 18x + 24 = x = -2, x = 1, x = Do viết f(x) = 3(x + 2)(x - 1)(x - 4) - Bước 2: Vẽ trục số, ghi nghiệm -2, 1, trục số xét dấu f(x) hàng trục số (thay cho bảng xét dấu thực ví dụ 2, tr.91 - sgk Đs 10) -2 - + - + (cùng dấu với hệ số x3) Kết luận: f(x) > x ∈ (−2 ;1) ∪ (4 ; + ∞) f(x) < x ∈ (−∞ ; − 2) ∪ (1; 4) f(x) = x = -2 hay x = hay x = • Ví dụ 2: Xét dấu f(x) = -5x4 + 50x3 - 140x2 + 30x + 225 - Bước 1: f(x) = x = -1, x = 5, x = (nghiệm kép) Do viết f(x) = -5(x - 3)2(x + 1)(x - 5) - Bước 2: Vẽ trục số, ghi nghiệm -1, trục số xét dấu -1 - + (cùng dấu với hệ số -5 x4) Kết luận: f(x) > x ∈ (−1 ; 5) f(x) < x ∈ (−∞ ; − 1) ∪ (5 ; + ∞) • Ví dụ 3: Xét dấu f(x) = -x5 - 5x4 + 6x3 + 76x2 + 152x + 96 - Bước 1: f(x) = x = -3, x = -2 (ba nghiệm trùng nhau), x = Do viết f(x) = -(x + 2)3(x + 3)(x - 4) - Bước 2: Vẽ trục số, ghi nghiệm -3, -2, trục số xét dấu f(x) -3 + -2 - + (cùng dấu với hệ số -1 x5) Kết luận: f(x) > x ∈ (−∞ ; − 3) ∪ (−2 ; 4) f(x) < x ∈ (−3 ; − 2) ∪ (4 ; + ∞) 2/ Vấn đề 2: Tìm nhanh nghiệm bất phương trình ẩn Việc giải bất phương trình ẩn hồn tồn dựa vào việc xét dấu đa thức nói trên, sau cần chọn tập nghiệm bất phương trình phù hợp với dấu ta có tập nghiệm bất phương trình cho (2 x + 1)(4 − x) >0 (5 − 3x)(− x + x − 3) • Ví dụ 4: Giải bất phương trình Ta thấy dấu biểu thức vế trái bất phương trình dấu đa thức f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x2 - 4x + 3) hay f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x - 1)(x - 3) Do để tìm nhanh nghiệm bất phương trình cho ta làm sau: Bước 1: Tìm nghiệm nhân tử biểu thức vế trái bất phương trình ta được: - , , , , Bước 2: Biểu diễn số : - ,1, , , trục số xét dấu khoảng (4 ; + ∞ ) có dấu âm (là kết tích hệ số âm x với số mũ cao nhân tử hay cần đếm số dấu âm này, số lẻ ta có dấu âm, số chẵn ta có dấu dương) − + - + - + - 1 5 Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình là: − ∞ ; − ∪ 1 ; ∪ (3 ; 4) 2 3 -Với ví dụ minh họa cho sở lí luận trên, thực hành học sinh giải nhanh bất phương trình qua ví dụ sau đây: (1 − x)( x − 4) • Ví dụ 5: Giải bất phương trình ≤0 ( x + 3)(−3 x + x − 1) Giải: Cho − 3x = ⇔ x = x − = ⇔ x = ±2 2x + = ⇔ x = − − x + x − = , phương trình vơ nghiệm − -2 + 3 - + - + (chú thích: khoảng (2 ; + ∞) , vế trái bất phương trình có dấu dương có hai dấu âm trước hệ số x x2 nhân tử bất phương trình) 1 Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình cho là: − ; − ∪ ; 2 2 ( x − x + 5)( x − 2) 1⇔ >6⇔ >0 x+4 x+4 x+4 x+4 ( x + 3)( x − 8) ⇔ > ⇔ x ∈ (−4 ; − 3) ∪ (8 ; + ∞) x+4 (Để có kết cuối cùng, em phải vẽ trục số giấy nháp thực xét dấu: -4 - -3 + - + IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Với đề tài trên, áp dụng rộng rãi đơn vị giáo dục với môn toán đại số lớp 10 sau: sau giáo viên trình bày nội dung sách giáo khoa nêu để khắc sâu kiến thức cho học sinh xét dấu biểu thức, đến phần luyện tập giáo viên giới thiệu rèn luyện cho học sinh thực theo đề tài nhằm giúp em đỡ thời gian phải giải bất phương trình phức tạp, kì thi tuyển sinh đại học sau V TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số 10 - nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doản Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài - Nhà xuất Giáo dục - năm 2006 NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên ghi rõ họ tên) Nguyễn Văn Tài 10 BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Họ tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị: Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học môn: - Phương pháp giáo dục - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành Tính (Đánh dấu X vào đây) - Có giải pháp hồn tồn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Hoàn toàn triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao - Hồn tồn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu Khả áp dụng (Đánh dấu X vào dịng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt Khá Đạt - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt Khá Đạt - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt 11 Sau duyệt xét SKKN, Phiếu đánh dấu X đầy đủ tương ứng, có ký tên xác nhận chịu trách nhiệm người có thẩm quyền, đóng dấu đơn vị đóng kèm vào cuối sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) 12 ... nghiệm: T? ?n Số n? ?m có kinh nghiệm: 25 - Các sáng ki? ?n kinh nghiệm có n? ?m g? ?n đây: BM03-TMSKKN T? ?n SKKN: HƯỚNG D? ?N HỌC VI? ?N TÌM NHANH NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, THƯƠNG CÁC ĐA THỨC BẬC n I... (4 ; + ∞) 2/ V? ?n đề 2: Tìm nhanh nghiệm bất phương trình ? ?n Việc giải bất phương trình ? ?n ho? ?n to? ?n dựa vào việc xét dấu đa thức n? ?i tr? ?n, sau c? ?n ch? ?n tập nghiệm bất phương trình phù hợp với... DO CH? ?N ĐỀ TÀI Trong chương trình m? ?n t? ?n lớp 10 bậc THPT, học sinh học dấu nhị thức bậc dấu tam thức bậc hai Qua đưa đ? ?n việc xác định nghiệm bất phương trình, đặc biệt bất phương trình phức