kĩ thuật chọn điểm rơi

CÁC KỈ THUẬT CƠ BẢN ðỂ CHỨNH MINH BẤT ðẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC, CAO ðẲNG, LỚP CHUYÊN, LỚP CHỌN Cao Minh Quang 1 , THPT chu

CÁC KỈ THUẬT CƠ BẢN ðỂ CHỨNH MINH BẤT ðẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG CÁC KÌ

THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC, CAO ðẲNG, LỚP CHUYÊN, LỚP CHỌN

Cao Minh Quang 1 , THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long, e-mail: kt13quang@yahoo.com

*****

Bất ñẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là những dạng toán khó không chỉ trong các kì thi học sinh giỏi các cấp

mà còn thường hay xuất hiện trong các kì tuyển sinh ñại học, tuyển sinh vào lớp chuyên, lớp chọn

Bài viết này xin nêu một số kỉ thuật cơ bản ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1 Sử dụng kỉ thuật chọn “ñiểm rơi” của bất ñẳng thức AM – GM (bất ñẳng thức Cauchy)

Bất ñẳng thức AM – GM (bất ñẳng thức Cauchy) vốn rất quen thuộc với học sinh phổ thông và có rất nhiều ứng dụng Phần này xin trình bày cách sử dụng kỉ thuật chọn “ñiểm rơi” (giá trị của (các) biến ñể xảy ra ñẳng thức) của bất ñẳng thức AM – GM trong việc chứng minh bất ñẳng thức Trước hết, xin nêu lại bất ñẳng thức AM – GM

Cho n số thực không âm a a1, 2, ,a n Khi ñó

1 2

n n

n

a a a n

≥ hay n 1 2 1 2 n

n

a a a

n

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1=a2= =a n

Ta thường áp dụng bất ñẳng thức AM – GM khi n=2, 3, 4 Ngoài ra, sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta còn thu ñược các kết quả quan trọng sau: Cho , ,a b c là các số thực dương, khi ñó

(1) a2+b2+c2≥ab+bc+ca hay a+ + ≥b c ab+ bc+ ca

(2) ( )2 ( 2 2 2)

3

a+ +b c ≤ a +b +c hay 2 2 2 1 ( )

3

a +b +c ≥ a+ +b c (3) ( ) (1 1)

4

a b

a+b + ≥ hay 1 1(1 1)

4

a b+ ≤ a+b (4) (a+ +b c) (1a+ +1b 1c)≥ hay 9 1 1(1 1 1)

9

a b c+ + ≤ a+ +b c Việc xác ñịnh ñiều kiện của (các) biến ñể xảy ra ñẳng thức trong bài toán bất ñẳng thức rất quan trọng, nó sẽ giúp ta rất nhiều trong việc ñịnh hướng cách giải

ðể sử dụng kỉ thuật này ta cần kết hợp thêm kỉ thuật nhỏ sau ñây:

B

thức mà ta có thể ñánh giá ñược

Kỉ thuật ñổi biến: Một số bài toán có chứa căn thức, phân thức thì ta có thể ñổi biến ñể dễ nhận thấy các mối quan hệ của các ñại

lượng, từ ñó ta có ñịnh hướng cho lời giải Chẳng hạn những phép thế ñơn giản như x:= a x, := ,… 1a

Sau ñây là một số ví dụ Ví dụ ñầu tiên là một bất ñẳng thức hết sức ñơn giản

Bài toán 1 Cho ,x y> Chứng minh rằng 0 2 2 1 1 ( )

2

Phân tích lời giải Nhận thấy rằng, vế trái của bất ñẳng thức có chứa ñơn thức và phân thức, vế phải có chứa căn thức (bậc hai), và dễ thấy ñẳng thức xảy ra khi x=y= Do ñó, ta sẽ dùng bất ñẳng thức AM – GM cho hai số 1 x2 và 1

x, y2 và 1

y

Lời giải Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 2 1 2 1 2 1 2 1

Cộng hai bất ñẳng thức ta thu ñược bất ñẳng thức cần chứng minh

Bài toán 2 Cho 0 1

2

a

< ≤ Chứng minh rằng 12 9

2

a a

+ ≥

Phân tích lời giải Ta nhận thấy, từ 0 1

2

a

< ≤ , ta có 12 4

a ≥ Ngoài ra, khi 1

2

a= thì ñẳng thức ở (1) xảy ra và 12

2 16

a a

Lời giải Do ñó, sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta nhận ñược

1

Mọi thứ ñều do làm việc mà có _ Alex Ferguson

www.VNMATH.com

3

a

Ta cĩ thể giải bài tốn trên bằng cách một cách khác nhưng rõ ràng lời giải trên khá gọn gàng và đẹp mắt sau khi ta xác định được

“điểm rơi” là 1

2

a=

Bài tốn 3 Cho ,a b> thỏa mãn điều kiện 0 a+ = Chứng minih rằng b 1

14

Lời giải Dự đốn điểm rơi 1

2

a= =b Khi đĩ ab2 =8 và 23 2 1 23ab 6

a +b = − =

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ

2

ab

−

−

Ta để ý rằng 1 2 2 1( )2 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1

ab≤ a +b ≥ a+b = ab − ab = ab − ab ≤ = Do đĩ

1 4

1

ab

−

−

−

Bài tốn 4 Cho các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện x+ + = Chứng minh rằng 3y z 0 +4x+ 3+4y+ 3+4z ≥ 6

Lời giải Dự đốn điểm rơi x=y= = Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ z 0

Mặt khác, 3+4x= + + +1 1 1 4x≥4 44 x Do đĩ ( )( )( ) 4 3

Suy ra 3+4x+ 3+4y+ 3+4z ≥3 46 3 =6

Bài tốn 5 Cho ,x y> Chứng minh rằng 0 ( )

2 9



Lời giải Dự đốn điểm rơi: x=3,y= Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ 9

y y

x

Do đĩ ( ) 2 ( )3( )3( )6

9

x y

y x



Bài tốn 6 [Khối B_2007] Cho x y z, , là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Dự đốn điểm rơi x= =y z Khi đĩ

3

P





ðẳng thức xảy ra khi

2

x x

= hay x=1 Như vậy, điểm rơi cĩ thể là x=y= = z 1

Ta cĩ

P

Bài tốn 7 [Khối A_2005] Cho x y z, , là ba số thực dương thỏa mãn 1 1 1 4

x+y+ =z Chứng minh rằng

www.VNMATH.com

1 1 1

1

Lời giải Dự đốn điểm rơi x= =y z Sử dụng bất đẳng thức 1 1 1 1

4



+ với mọi số thực dương ,a b, ta cĩ

Chứng minh tương tự cho các biểu thức cịn lại, ta suy ra

1





Bài tốn 8 [ Japan, 2005 ] Cho , ,a b c là các số thực dương, thỏa điều kiện a+ + =b c 1 Chứng minh rằng

Lời giải Dự đốn điểm rơi 1

3

Chứng minh tương tự, ta nhận được 3 1( ) 3 1( )

Cộng ba bất đẳng thức trên, ta nhận được

3

Bài tốn 9 Cho , ,a b c> thỏa mãn điều kiện 0 3

4

Phân tích lời giải Nhận thấy rằng, vế trái của bất đẳng thức cĩ chứa (bậc ba), dễ thấy đẳng thức xảy ra khi 1

4

a+ b= Do đĩ, ta sẽ dùng bất đẳng thức AM – GM cho ba số a+3 ,1,1b

Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ 3 3( ) ( 3 ) 1 1 3 2

Chứng minh tương tự cho hai biểu thức cịn lại, ta thu được

Bài tốn 10 [ IMO, 1995 ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1 Chứng minh rằng

2

Lời giải Dự đốn điểm rơi a= = =b c 1 Khi đĩ

3

bc

+

+ Do đĩ, áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ

Chứng minh tương tự, ta cĩ

,

Cộng các bất đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ

3

.3



www.VNMATH.com

Bài tốn 11 Cho , ,x y z≥ thỏa mãn điều kiện 0 x+ + ≤ Chứng minh rằng y z 3

Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ 2 2 2

1+x ≥2 ,1x +y ≥2 ,1y +z ≥2z Do đĩ

3

Sử dụng bất đẳng thức 1 1 1 9

a+ + ≥b c a b c+ + , với mọi , ,a b c dương, chú ý rằng x+ + ≤ , ta cĩ y z 3

Bài tốn 12 Cho , ,x y z> và thỏa mãn điều kiện 0 xyz= Chứng minh rằng 1

Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ 2 1 , 2 1 , 2 1

Suy ra

+ +

3

.3

Bài tốn 13 Cho , ,a b c> thỏa mãn điều kiện 0 1 1 1 3

a+ + = Chứng minh rằng b c (a+1)(b+1)(c+ ≥ 1) 8

Phân tích lời giải Giả thiết bài tốn chứa các biến 1 1 1, ,

a b c , nhưng bất đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa , ,a b c Do đĩ, để chứng minh bất đẳng thức, ta cần chuyển đại lượng 1 1 1, ,

a b c thành , ,a b c Ta cần chứng minh (a 1)(b 1)(c 1) 8 1 1 1 1 1 1 8

   

+ + + ≥ ⇔ +  +  + ≥

Lời giải Sử dụng phép đổi biến x 1,y 1,z 1

= = = , ta cần chứng minh (1+x)(1+y)(1+z)≥8xyz, trong đĩ x+ + = y z 3

Dự đốn điểm rơi: x=y= = Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ z 1 3= + + ≥x y z 33xyz⇒xyz≤ 1

Do đĩ (1+x)(1+y)(1+z)≥2 x.2 y.2 z=8 xyz≥8xyz

Bài tốn 14 Cho , ,a b c> Chứng minh rằng 0

b +c +a ≥ + +

Lời giải ðặt x a,y b,z c

= = = Ta cần chứng minh x3+y3+z3≥ + + , với x y z xyz= 1

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ x3+ =2 x3+ + ≥1 1 3x Do đĩ x3+y3+z3+ ≥6 3(x+ +y z) hay

x +y +z ≥ x+ +y z +  x+ +y z − ≥ x+ +y z + xyz− = + +x y z

Bài tốn 15 Cho , ,a b c> Chứng minh rằng 0

Lời giải ðặt x a,y b,z c

= = = Ta cần chứng minh x32+y32+z32 ≥ + + , với x y z xyz= 1

Bổ đề: ta sẽ chứng minh 32 1 3 32

x + ≥ x⇔ x + ≥ x ðặt t=x1, bất đẳng thức trên được viết lại dưới dạng

( ) (2 )

Suy ra 2(x32+y32+z32)+ ≥3 3(x+ +y z) Do đĩ, với chú ý rằng x+ + − ≥y z 3 33 xyz− = 3 0

www.VNMATH.com

( 32 32 32) ( ) ( ) ( )

2 x +y +z ≥ x+ + −y z 3 +2 x+ +y z ≥2 x+ +y z hay x32+y32+z32 ≥ + + x y z

Bài tốn 16 Cho , ,a b c > thỏa mãn điều kiện ab0 +bc+ca=abc Chứng minh rằng

3

Lời giải Thực hiện phép đổi biến x=1a,y=1b,z= Từ điều kiện, ta cĩ 1c x+ + = y z 1

Ta cần chứng minh bất đẳng thức x2+2y2+ y2+2z2+ z2+2x2 ≥ 3

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta cĩ 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( )

x + y = x +y +y ≥ x+ +y y = x+ y

Với hai bất đẳng thức tương tự cịn lại, suy ra 2 2 2 2 2 2 1 ( )

3

Bài tốn 17 Khối A_2006] Cho hai số thực x≠0,y≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện 0 (x+y xy) =x2+y2−xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A

= +

Lời giải Vì x≠0,y≠ nên điều kiện của bài tốn cĩ thể được viết lại dưới dạng (chia hai vế cho đại lượng 0 x y2 2)

2 2

x+ =y x +y −xy Thực hiện phép đổi biến a=1x,b=1y, ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=a3+b3 với điều kiện

a+ =b a +b −ab Khi đĩ 3 3 ( ) ( 2 2 ) ( )2

A=a +b = a+b a +b −ab = a+b Sử dụng bất đẳng thức ( )2 2

a b

ab≤ + , ta suy ra

3

Do đĩ (a+b)2−4(a+b)≤ hay 00 < + ≤ Vì vậy a b 4 A≤16

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = hay b 2 1

2

x= = và maxy A=16

Bài tốn 18 [Khối A_2007] Cho , ,x y z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 thức

P

Lời giải ðể tiện cho việc trình bày lời giải, đặt a= x b, = y c, = z Khi đĩ abc= , ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

M

Dự đốn điểm rơi a= = = , khi đĩ b c 1 M= Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta cĩ 3 2 2 2 4( 2 2) 3

a

Thực hiện việc tương tự cho các biểu thức cịn lại trong biểu thức M, ta cĩ

M

Thực hiện phép đổi biến m=b3+2c n3, =c3+2a3,p=a3+2b3 Khi đĩ

Như vậy:

9

M

2 4 6 2(4.3 3 6) 2

      

=   + + + + + − ≥ + − =

www.VNMATH.com

2 Sử dụng các tính chất của hàm số, lượng giác, vector

ðối với các bài tốn bất đẳng thức, bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cĩ chứa một biến số ( x hoặc a ), ta thường giải

bằng cách sử dụng đạo hàm với điều kiện ràng buộc của biến thuộc một miền xác định nào đĩ; nếu x∈ −[ 1,1] thì ta cĩ thể đặt sin , cos

x= α x= α; nếu bài tốn cĩ chứa điều kiện , ,a b c>0,ab+bc+ca= thì ta cĩ thể đặt 1 a=tan2A,b=tanB2,c=tanC2; với , ,

A B C là ba gĩc của một tam giác; nếu bài tốn cĩ chứa đại lượng a2+b2 thì ta cĩ thể đặt u=(a b, )

; nếu bài tốn cĩ chứa điều kiện

a≥ thì ta cần chuyển bài tốn về dạng b f a( )≥f b( ) hoặc f a( )≤f b( ), rồi xét sự đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y= f x( ),

và lưu ý rằng, trong một số trường hợp, ta cần phép đổi biến để bài tốn cĩ dạng đơn giản hơn

Bài tốn 19 [Khối D_ 2003] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2

1 1

x y x

+

= + trên đoạn [−1; 2]

Lời giải Xét x∈ −[ 1; 2] ðạo hàm của hàm số này là

( 2 )3

1 1

x

+

= Ta cĩ 'y = ⇔ = 0 x 1

Giá trị của hàm số tại điểm tới hạn và điểm biên: ( ) ( ) ( ) 3

5

Vậy

1,2 1,2

maxy f 1 2, miny f 1 0

−

Bài tốn 20 [Khối B_ 2003] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= +x 4−x2

Lời giải Tập xác định [−2, 2] ðạo hàm của hàm số này là 2

4

' 1 x

x

y

−

= − Ta cĩ

y = ⇔ −x = ⇔ ≥ ∧ −x x x =x ⇔ =x Giá trị của hàm số tại điểm tới hạn và điểm biên: f( )2 =2 2,f(−2)= −2,f( )2 = 2

Vậy

2,2 2,2

maxy f 2 2 2, min y f 2 2

−

Lưu ý: vì x∈ −[ 2, 2] nên ta cĩ thể đặt x=2 cos ,α α∈[0,π] hoặc x 2sin , π2,π2

α α  

= ∈ − , sau đĩ đưa bài tốn về dạng lượng giác

để giải

Bài tốn 21 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 6 ( 2)3

4 1

y=x + −x trên đoạn [−1,1]

Lời giải Thực hiện phép đổi biến t=x2 Vì x∈ −[ 1,1] nên t∈[0,1] Ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

ðạo hàm của hàm số này là ( ) 2

f t = − t + t− Ta cĩ ( ) 2

3

Giá trị của hàm số tại điểm tới hạn (chú ý t∈[0,1]) và điểm biên: ( )2 4 ( ) ( )

Vậy

[ 1,1 ]

maxy 4

− = khi t= hay 0 x= , 0

[ ]

4 9 1,1

min y

− = khi t=23 hay x= ± 36 Lưu ý:

(1) Vì x∈ −[ 1,1] nên ta cĩ thể đặt x=cos ,α α∈[0,π] hoặc x sin , 2π,2π

α α  

= ∈ − , sau đĩ đưa bài tốn về dạng lượng giác để giải (2) Nếu đặt y2= −1 x2, thì bài tốn được phát biểu dưới dạng: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của biểu thức

f x y =x + y thỏa điều kiện x2+y2= 1

Bài tốn 22 [Khối A_2003] Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa mãn x+ + ≤ Chứng minh rằng y z 1

82

Lời giải Dự đốn điểm rơi 1

3

x= = = Khi đĩ, y z 2

2

9 81

x

x

www.VNMATH.com

Sử dụng bất ñẳng thức a+b+c ≥a+ +b c

, với mọi vector a b c, ,

, áp dụng cho a x,1 ,b y,1 ,c z,1

 

     

=  =  = 

 

2 2



Từ bất ñẳng thức (a b c) 1 1 1 9,



  với , ,a b c> , 0 t= + + ≤ , ta có x y z 1

x+y+ ≥z x y z=t

Suy ra ( )

82

Do ñó ta có ñiều phải chứng minh ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

x= = = y z

Bài toán 23 [Khối D_2007] Cho a≥ > Chứng minh rằng b 0 2 1 2 1

 +  ≤ + 

Lời giải Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với bất ñẳng thức

a b

+ ≤ + ⇔ ≤ hay f a( )≤ f b( ), trong ñó ( ) ln 1 4( )

x

x

f x = +

Ta chú ý rằng, vì a≥ > nên ta chỉ cần chứng minh hàm số này nghịch biến trong b 0 (0,+∞ )

Thật vậy, ñạo hàm của hàm số này là ( ) ( ) ( )

( )

2

4 ln 4 1 4 ln 1 4

1 4

x

x

+

= < ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b

Cuối cùng, mời các bạn rèn luyện kỉ thuật này qua các bài tập sau

Bài 1 Cho , ,a b c> và 0 a+ + = Chứng minh rằng b c 3 5 5 5 5

2a+ +b 2b+ +c 2c+ ≤a 3 3

Bài 2 Cho , ,a b c> và 0 a+ + = Chứng minh rằng b c 3 5( )( ) 5( )( ) 5( )( ) 5

Bài 3 Cho , ,a b c> và 0 ( 2 ) ( )2( 2 )

a + +a b+ c + c = Chứng minh rằng a b c3 4 5≤ 1

Bài 4 Cho a> ≥ Chứng minh rằng b 0

32

a

Bài 5 [ Nesbitt ] Cho , ,x y z> Chứng minh rằng 0 3

2

Bài 6 [Cao Minh Quang] Cho a b c, , ∈ −[ 2, 2] và a+ + = Chứng minh rằng b c 3 4−a2 + 4−b2+ 4−c2≤3 3

Bài 7 [ Ioan Tomescu ] Cho , ,x y z> Chứng minh rằng 0

1

xyz

Bài 8 [ IMO Short List, 1998 ] Cho , ,a b c> và 0 abc= Chứng minh rằng 1

3

Bài 9 [ Greece, 2007 ] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

Bài 10 [ Poland, 1995 ] Cho , , 3

4

9 10

Bài 11 [Khối B_2004] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y ln x2

x

= trên ñoạn 1; e3

Bài 12 Cho x y z, , là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M

www.VNMATH.com

Bài 13 Cho , ,a b c> thỏa mãn ñiều kiện 0 1 1 1 1

2 a+2 b+2 c= + + + Tìm giá trị nhỏ nhất của abc

Bài 14 Cho ,a b> thỏa mãn ñiều kiện 0 a+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b 1

P

Bài 15 Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn ñiều kiện a+ + = Chứng minh rằng b c 1 1 1 1 3

3a 3b 3c 3a 3b 3c

 + + ≥  + + 

Bài 16 Cho ,x y≠ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 0

P





Bài 17 Cho ,a b là hai số thực dương Chứng minh rằng

3 3

a +b + ≥ + +

Bài 18 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3

2

x+ + ≤y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 19 Cho , ,a b c > thỏa mãn ñiều kiện a0 + + =b c abc Chứng minh rằng 1 12 1 12 1 12 2 3

Bài 20 Cho ,a b là các số thực dương Chứng minh rằng

1

ab

Bài 21 Cho ,a b là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b ab

a b ab

+

+

Bài 22 Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a+ =b 2 Chứng minh rằng

9

   

 +  + +  ≥

Bài 23 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy+yz+zx= Chứng minh rằng 1

3

x +xy+y + y +yz+z + z +zx+x ≥

Bài 24 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a+ + =b c abc Chứng minh rằng

Bài 25 Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a+ = Chứng minh rằng b 1 ( 4 4) 1

ab

+ + ≥

Bài 26 Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a+ ≤ Chứng minh rằng b 1 2 1 2 1 4

a ab+b ab≥

Bài 27 Cho ,x y≥ Chứng minh rằng 1 x y− +1 y x− ≤1 xy

Bài 28 Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b 1 M 1 12 1 12

  

= −  − 

  

Bài 29 Cho , ,x y z> Chứng minh rằng 0 32 x2 32 y2 32 z2 12 12 12

Bài 30 Cho , ,x y z> Chứng minh rằng 0 21 21 2 1

2

xyz

+ +

www.VNMATH.com