5 kĩ thuật thường dùng để giải hệ phương trình ôn thi đại học

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 1 Chuyên đề LTĐH TÀI LIỆU HUẤN LUYỆN CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG SỬ DỤNG GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Yêu cầu: Học sinh đã thành thạo việc giải các hệ cơ bản: bậc nhất hai ẩn, đối xứng loại 1, đối xứng loại 2, đẳng cấp. Các phương trình một ẩn: bậc nhất, bậc hai, bậc ba, các bậc bốn đặc biệt, Thành thạo các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu thức, bình phương hai vế, Chú ý: Các bài toán giải hệ 2 ẩn đa phần đều quy về việc tìm một pt một ẩn giải được. BỐN PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG 1. Phương pháp THẾ Kỹ thuật 1: Rút một biến để thế Cụ thể: Rút một ẩn từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được. Ví dụ 1: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 2 Ví dụ 2: Hướng dẫn: Kỹ thuật 2: Rút một biểu thức để thế Cụ thể: Rút một biểu thức từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được. Ví dụ 3: Hướng dẫn: Ví dụ 4: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 3 Hướng dẫn: Kỹ thuật 3: Thế hằng số bởi biểu thức Ví dụ 1: Hướng dẫn: Ví dụ 2: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 4 Ví dụ 3: Bài giải: 2. Phương pháp CỘNG Có thể: Cộng vế với vế, trừ vế với vế hoặc nhân cho một hằng số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế với vế mục đích để tạo ra một phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: pt một ẩn, pt bậc nhất hai ẩn, phương trình tích số, Kỹ thuật 1: Tạo ta pt một ẩn Ví dụ 1: Hướng dẫn: Kỹ thuật 2: Tạo ra pt bậc nhất hai ẩn Ví dụ 2: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 5 Hướng dẫn: Kỹ thuật 3: Nhân hệ số thích hợp và cộng hoặc trừ vế với vế để tạo ra pt bậc nhất hai ẩn Chú ý: Các hằng đẳng thức cơ bản sau • ( ) 2 2 2 2 a b a ab b ± = ± + • ( ) 3 3 2 2 3 3 3 a b a a b ab b + = + + + • ( ) 3 3 2 2 3 3 3 a b a a b ab b − = − + − Ví dụ 3: Hướng dẫn: Ví dụ 4: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 6 3. Phương pháp đặt ẨN PHỤ Kỹ thuật: Biến đổi mỗi hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau Chú ý: Các phép bi ế n đổ i t ươ ng đươ ng m ộ t ph ươ ng trình: chuy ể n v ế , nhân chia hai vế , thay th ế bi ể u th ứ c, Ví dụ 1: Hướng dẫn: Ví dụ 2: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 7 4. Phương pháp biến đổi về pt TÍCH SỐ Chú ý: Các phép biến đổi: tạo các biểu thức có nhân tử giống nhau, phân tích tam thức bậc hai thành thừa số, bình phương, Kỹ thuật 1: Biến đổi một pt của hệ thành tích số Ví dụ 1: Hướng dẫn: Ví dụ 2: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 8 Ví dụ 3: Hướng dẫn: Ví dụ 4: Hướng dẫn: Ví dụ 5: Hướng dẫn: Kỹ thuật 2: Cộng hoặc trừ vế với vế để biến đổi về pt tích số Ví dụ 6: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 9 Ví dụ 7: Hướng dẫn: THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 10 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Đònh nghóa : Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong khoảng (a,b). a) f tăng ( hay đồng biến ) trên khoảng (a,b) ⇔ ∀ x 1 , x 2 ∈ (a,b) : x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) b) f giảm ( hay nghòch biến ) trên khoảng (a,b) ⇔ ∀ x 1 , x 2 ∈ (a,b) : x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) II. Các tính chất : 1) Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f(x) tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a,b) ta có : f(u) = f(v) ⇔ u = v (với u, v ∈ (a,b) ) 2) Tính chất 2: Giả sử hàm số y = f(x) tăng trên khoảng (a,b) ta có : f(u) < f(v) ⇔ u < v (với u, v ∈ (a,b) ) 3) Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) giảm trên khoảng (a,b) ta có : f(u) < f(v) ⇔ u > v (với u, v ∈ (a,b) ) 4) Tính chất 4: Nếu y = f(x) tăng trên (a,b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm trên (a,b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khỏang (a,b) *Dựa vào tính chất trên ta suy ra : Nếu có x 0 ∈ (a,b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất trên (a,b) Cụ thể: • Tính chất 4a: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 4b : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: x y 1 y 1 x 0 x 1 y 2  − + − − − =  + − =  Bài giải: Điều kiện { 0 x 1 0 y 1 ≤ ≤ ≤ ≤ Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 x 1 y 2 x 1 x y 1 y 3   ⇔  + − − = − − − =   Xét hàm đặc trưng: ( ) f t t 1 t = − − với [ ] t 0;1 ∈ [...]... x ) = f ( y ) ⇔ x = y Thay x = y vào phương trình (3) ta được phương trình: x + 1 − x = 2 ⇔ x + 1 − x + 2 x (1 − x ) = 2 ⇔ 2 x (1 − x ) = 1 1 ⇔ 4x (1 − x ) = 1 ⇔ 4x 2 − 4x + 1 = 0 ⇔ x = 2 1  x = 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là  1 y =  2 1  8 y2 + 2 x 2 +1 − 4 2 = 3( 2 y − x )  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2 3 7  2 ( x+ y ) + x+ y =  2 2  Bài giải Điều kiện: x ; y ≥ 0 2 x 2 +1 +... x) = f (4 y )  x = 4y x = 5   Do đó: (1) ⇔  Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ⇔ ⇔ 1  f ( x + y ) = f (1) x + y = 1 y =   5    Ví dụ 3: 11 4  x = 5   y = 1  5  THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Ví dụ 4: Bài giải: 12 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào ĐỀ TUYỂN SINH CÁC NĂM QUA Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: . Chú ý: Các bài toán giải hệ 2 ẩn đa phần đều quy về việc tìm một pt một ẩn giải được. BỐN PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG 1. Phương pháp THẾ Kỹ thuật 1: Rút một biến để thế Cụ thể: Rút một. THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 1 Chuyên đề LTĐH TÀI LIỆU HUẤN LUYỆN CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG SỬ DỤNG GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH. (1)                    = = ⇔ =+ = ⇔ =+ = ⇔ 5 1 5 4 1 4 )1()( )4()( y x yx yx fyxf yfxf . Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 4 5 1 5 x y  =     =   Ví dụ 3: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên