5 kĩ thuật thường dùng để giải hệ phương trình ôn thi đại học

GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Yêu cầu: Học sinh đã thành thạo việc giải các hệ cơ bản: bậc nhất hai ẩn, đối xứng loại 1, đối xứng loại 2, đẳng cấp.. Các phương trình một ẩn: bậc nhất, bậc

GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Yêu cầu:

Học sinh đã thành thạo việc giải các hệ cơ bản: bậc nhất hai ẩn, đối xứng loại 1, đối xứng loại 2, đẳng cấp Các phương trình một ẩn: bậc nhất, bậc hai, bậc ba, các bậc bốn đặc biệt, Thành thạo các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển

vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu thức, bình phương hai vế,

Chú ý:

Các bài toán giải hệ 2 ẩn đa phần đều quy về việc tìm một pt một ẩn giải được

BỐN PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG

1 Phương pháp THẾ

Kỹ thuật 1: Rút một biến để thế

Cụ thể: Rút một ẩn từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Kỹ thuật 2: Rút một biểu thức để thế

Cụ thể: Rút một biểu thức từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được

Ví dụ 3:

Hướng dẫn:

Ví dụ 4:

Hướng dẫn:

Kỹ thuật 3: Thế hằng số bởi biểu thức

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

Ví dụ 3:

Bài giải:

2 Phương pháp CỘNG

Có thể: Cộng vế với vế, trừ vế với vế hoặc nhân cho một hằng số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế với vế mục đích để tạo ra một phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: pt một ẩn, pt bậc nhất

hai ẩn, phương trình tích số,

Kỹ thuật 1: Tạo ta pt một ẩn

Hướng dẫn:

Kỹ thuật 2: Tạo ra pt bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Kỹ thuật 3: Nhân hệ số thích hợp và cộng hoặc trừ vế với vế để tạo ra pt bậc nhất hai ẩn

Chú ý: Các hằng đẳng thức cơ bản sau

2

Ví dụ 3:

Hướng dẫn:

Ví dụ 4:

Hướng dẫn:

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

3 Phương pháp đặt ẨN PHỤ

Kỹ thuật: Biến đổi mỗi hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau

Chú ý: Các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu

thức,

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

4 Phương pháp biến đổi về pt TÍCH SỐ

Chú ý: Các phép biến đổi: tạo các biểu thức có nhân tử giống nhau, phân tích tam thức bậc hai thành thừa số, bình phương,

Kỹ thuật 1: Biến đổi một pt của hệ thành tích số

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

Ví dụ 3:

Hướng dẫn:

Ví dụ 4:

Hướng dẫn:

Ví dụ 5:

Hướng dẫn:

Kỹ thuật 2: Cộng hoặc trừ vế với vế để biến đổi về pt tích số

Ví dụ 6:

Hướng dẫn:

Ví dụ 7:

Hướng dẫn:

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

-

I Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a,b)

a) f tăng ( hay đồng biến ) trên khoảng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

b) f giảm ( hay nghịch biến ) trên khoảng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

II Các tính chất :

1) Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f(x) tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) = f(v) ⇔ u = v (với u, v ∈ (a,b) )

2) Tính chất 2: Giả sử hàm số y = f(x) tăng trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v) ⇔ u < v (với u, v ∈ (a,b) ) 3) Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) giảm trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v) ⇔ u > v (với u, v ∈ (a,b) )

4) Tính chất 4:

Nếu y = f(x) tăng trên (a,b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm

trên (a,b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khỏang (a,b) *Dựa vào tính chất trên ta suy ra :

Nếu có x0 ∈ (a,b) sao cho f(x0) = g(x0) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất trên (a,b)

Cụ thể:

• Tính chất 4a: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b)

( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương

trình f(x) = C)

• Tính chất 4b : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b)

( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: x y 1 y 1 x 0





Bài giải:

Điều kiện {0 x 1

( )

2 1

y

3



+



Xét hàm đặc trưng: f t( )= t − 1 t− với t∈[0;1]

Thay x=y vào phương trình (3) ta được phương trình:

1 4x 1 x 1 4x 4x 1 0 x

2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

1 x 2 1 y 2



=





 =



Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

( )













= + +

−

=

−

+

+ +

2

7 2

3 2

) 2

( 3 4

2

2

2

1 2 8 1 2

y x

x y

y x

y x

(*)

Bài giải

Điều kiện: x ; y≥0

(*)

( )









= + +

+

= +

⇔

+

+

+ +

7 3

2

4 3 2

3 2

1

2

1 2 ) 4 ( 1

2

y x

y x

y x

y x

(1)

Xét hàm đặc trưng: ( ) 2t2 1 3

f t = + + t với t ∈[0 ; + ∞)

2

t

t

+

Suy ra: f(t) tăng trên [0; +∞)

Do đó: (1)



































=

=

⇔

= +

=

⇔

= +

=

⇔

5 1 5 4

1

4 )

1 ( ) (

) 4 ( ) (

y

x y

x

y x f

y x f

y f x f

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

4 5 1 5

x y



=







Ví dụ 3:

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

Ví dụ 4:

Bài giải:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

-Hết -