Kĩ thuật chọn điểm rơi

Chuyên Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ I.. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Bài toán 1.. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các

Chuyên Đề:

KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ

I BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

Bài toán 1 Cho , 0

1

a b





  

2

P

ab



Giải

4

Dấu “=” xảy ra

1

1 2

Min 4 khi

2

a

b

 





 



Bài toán 2 Cho , 0

1

a b





  

2 1

P

ab

 

Giải

P

ab

Dấu “=” xảy ra

       

Min ? ?P

Lời giải 2 Ta có:

P

Mặt khác

2 1

ab   

 

3

P

    

Dấu “=” xảy ra

2 2

1 2 1

   



  



Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức

a  b a b

 Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách

2ab  6ab3ab? ? Làm sao

nhận biết được điều đó…? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Và qua

chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị

II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Cĩ thể nĩi tằng bài tốn bất đằng thức nĩi chung và bài tốn tìm GTNN, GTLN nĩi riêng là một trong nhửng bài tốn được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài tốn bất đẳng thức là bài tốn khĩ nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một

số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khĩ khăn do một

số sai lầm do thĩi quen như lời giải 1 trong bài tốn mở đầu là một ví dụ Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài tốn cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tơi viết chuyên đề

“Chọn điểm rơi trong giải tốn bất đẳng thức”

III NỘI DUNG

1 Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức

a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Định nghĩa: a   b a b 0





 

 



 a    b a c b c





   

 



   

b) Một số bất đẳng thức cơ bản

 Bất đẳng thức Cauchy

Cho n số thực khơng âm a a1, 2, ,a n n( 2) ta luơn cĩ

1 2

1 2

n

n

   

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2a n

 Một vài hệ quả quan trọng:

1 2

1 2

n

          

với i 0, 1,

n

  





 Cho 2n số dương ( nZ n, 2): a a1, 2, ,a b b n, , , ,1 2 b ta cĩ: n

n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2

 Bất đẳng thức BCS

Cho 2n số dương ( nZ n, 2): a a1, 2, ,a b b n, , , ,1 2 b ta cĩ: n

(a b1 1a b2 2  a b n n)2(a12a22  a n2)(b12b22  b n2)

Dấu “=’ xảy ra 1 2

1 2

(quy ước nếu 0 0)

n

n

a

 Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)

Cho hai dãy số a a, , , vàa , , , với b b b b   0 i 1,n ta luơn cĩ:

Dấu “=’ xảy ra 1 2

1 2

n n

a

  

2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho f x x( ,1 2, ,x là một hàm n biến thực trên n) Dn : f D: n 

( , , , ) ( , , , ) Max

( , , , ) : ( , , , )

D



  



( , , , ) ( , , , ) Min

( , , , ) : ( , , , )

D



  



3 Phương pháp chọn điểm rơi

Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và

ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên

a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy

Sử dụng hệ quả (1) và (2)

Bài 1 Cho , 0

1

a b





  

 , tìm GTNN của biểu thức 2 2

4

ab

Sai lầm thường gặp:

Sai lầm 1: Ta có :

2ab ab 2ab ab  Vậy P 4 2 2 nên MinP2(2 2)

Sai lầm 2:

Dấu bằng xảy ra

2 2

2 2

2

1

  





    



 



2

a b vào ta được P7

7

MinP

2

a b

Nguyên nhân sai lầm:

Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 1 1

ab  ab ab là do thói quen để

2

1

ab







    



 



Dấu “=” bất

đẳng thức không xảy ra  không kết luận được MinP 4 2 2

Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi 1

2

a b nên đã tách

các số hạng và MinP7 khi 1

2

a b là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như 2

(1x)  x x, dấu bằng xảy ra khi x1 2

    

Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với , a b , ta dự đoán MinP đạt tại 1

2

a b , ta có:

4 2

 

 

Dấu bằng xảy ra

2 2

2 2

2

1

  





     



 



Bài 2 Cho , 0

1

a b





  

S

Sai lầm thường gặp:

Ta có:

3

S

3

2

 



 

 

59

3

MinS 

Nguyên nhân sai lầm:

3 59

( ) 3

1

  



  

  



Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi 1

2

a b , và ta thấy 3 3 2 2 3

a b  a b ab  a b vì thế ta muốn xuất hiện 3

(ab) ; ta áp dụng bất đẳng thức 31 3 12 12

    , ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp

dụng bất đẳng thức cho 5 số:

3

20

4

S

Dấu bằng xảy ra khi 1

2

a b

Bài 3 Cho

, , 0

4

x y z







   

P

     

Sai lầm thường gặp:

P

                

10

9

MaxP

Sai lầm 2:

P

               

Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm

rơi

2 2 10

( ) 2

9

4

 



  



   



   



, tức là không tồn tại ( , , ) : 10

9

x y z D P

Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại 4

3

x  y z nên tách các số

2x x xra cho dấu bằng xẩy ra

2x y z x x y z 16 x x y z

      

      , tương tự và ta có:

1 16

P

     

            

4 3

x  y z

2 4

4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1

          

 

16

P

    

  Dấu “=” xảy ra khi

1 4

x  y z , suy ra:

1

4

x  y z

Nhận xét: Ta cĩ thể mở rộng bài 3:

Cho

, , 0

4

x y z







   

P

Với , ,   N: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách

số

,



    Nếu , ,  R, thì bài tốn cĩ cịn giải quyết được khơng? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS”

Bài 4 Cho , , 0

3

a b c





   

 Chứng minh rằng:

3a2b3b2c3c2a 3 33

Sai lầm thương gặp:

1.1( 2 )

a b       

, tương tự ta cĩ:

,

mà 5 3 3 3  đề ra sai ? ?

Nguyên nhân sai lầm:

3

 



  





   



, vậy P5

Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi a  b c 1 Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a2 ,3,3b ta cĩ:

3

a b  a b       

, tương tự ta cĩ:

3

3 3

, dấu bằng xảy ra khi a  b c 1

Bài 5 Cho , , 0

1

x y z xyz





 

 , chứng minh rằng:

3

Sai lầm thường gặp:

1 y 2 y

  



(1 y)(1z)(1 x) 8 xyz 8 Vậy 3

2

P , dấu “=” xảy ra khi x  y z 1

Sai lầm 2: ta cĩ:

2

2

2

(1 ) 2 1

1

(1 ) 2 1

x

y y

z z

x



  

 



               

 





  

 



,

mặt khác x  y z 33xyz   3 P 0

Nguyên nhân sai lầm:

Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức: a b 0 1 1

   

1

xyz

 







          

 



Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” xảy ra khi x  y z 1 Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho 2

1

x

y

 và

1 y





:

2

4



    



Ta cĩ:

2

2

2

1

1

x y

z

z x

 

 



               

 



 

 



Dấu “=” xảy ra khi x  y z 1

Bài tập tương tự(trích dẫn trong các đề thi đại học)

Bài 1 Cho , , 0

1

x y z xyz





 

 , chứng minh rằng

3 3

        

,

với mN: Nếu m1 là đề thi Đại học khối D năm 2005

Bài 2 Cho , , x y z là 3 số thỏa x  y z 0, chứng minh rằng:

3 4 x  3 4 y  3 4 z 6(đề tham khảo 2005)

Bài 3 Cho a2,b3,c4, tìm GTLN: ab c 4 bc a 2 ca b 3

P

abc

    



Bài 4 Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn 3

4

a  b c