Chuyên đề cực trị đại số

Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)

- Với mọi (x, y) thuộc D thì f(x,y) ≤ M với M là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ) thuộc D sao cho f(x0, y0 ) = M

2 Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x,y) xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y) trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:

- Với mọi (x, y) thuộc D thì f(x,y) ≥ m với m là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ) thuộc D sao cho f(x0, y0 ) = m

II Các kiến thức thờng dùng

Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y) Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP

1) Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minBTrong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trịxác định x = x0, tức là maxA = A(x0), maxB = B(x0) thì maxP = P(x0)

2) Cho P = 1

A với A ≥ 0 thì maxP = 1

min A

3) a) P(x,y) = [Q(x,y)]2n + a ≥ a với a là hằng số, n ∈ N*

Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y thuộcD

b) P(x,y) = - [Q(x,y)]2n + b ≤ b với b là hằng số, n ∈ N*

Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, y thuộcD

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx

7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a + b ≥ a b+

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0

8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai

f x( )=ax2+ +bx c (a ≠0)

Khi đó:

Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, ∀ ∈ x R

Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, ∀ ∈ x R,

2

b x a

−

≠

Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và tráidấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm

Chơng II: Phơng pháp giải toán cực trị

Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó Do đó đối với nhiều học sinh việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết phơng pháp giải và kinh nghiệm Nó đòi hỏi ngời làm toán phải nhìn bài toán theo những góc độ khác nhau, biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng tình huống Sau đây, tác giả xin đợc đa ra một số phơng pháp giải toán cực trị đợc đúc rút từ kinh nghiệm giải toán :

7 Phơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu căn

8 Phơng pháp giải toán cực trị với các biến có điều kiện

I.Phơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị

Tìm GTNN của S = x 2 + y 2 + z 2 với P = ax + by + cz không đổi (với a 2 + b 2 +

c 2≠ 0).Giá trị đó đạt đợc khi nào?

y a

x = = , hay nói cách khác Smin = 2 2 2

c b a

aP

+ + ; y = a2 b2 c2

bP

+ + ; z = a2 b2 c2

x x b a ab x

x b x

Khi đó: ( )( ) a b 2 ab ( a b) 2

x

x b x a

+

= +

+

≥ + +

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( a + b) 2 đạt đợc khi x= ab

) 3 (

ab≤ + , nên ta có:

40

1 4

1 4

1 5

2 ) 5 3 ( 2

5 5 4

1 5

2 ) 5 3 )(

2

5 5 ( 5

2 ) 5 3 )(

3 4

1 1

1 3 3 3

1 ) 1 )(

1 )(

1 )(

3 3

Vậy f(x) lớn nhất là

2 2

1 khi x= 2

d) f(x) = 2 2 3

) 2 (x +

x Ta có:

27

1 ) ( 27

) 2 ( 3

2 +

Giải:

Do f(x) > 0 nªn x > 0 ta cã: ( ) =2 + 3≥2 2 .3 =2 6

x

x x

x x f

VËy f(x) d¬ng bÐ nhÊt lµ 2 6 khi

1 1

,16

,,

A C¸c biÓu thøc phô thêng xÐt cã thÓ lµ -A, A2, A Trong vÝ dô díi ®©y,

ta xÐt biÓu thøc phô B sai kh¸c víi A mét h»ng sè

Hiển nhiên A2 ≥ 0 nhng dấu “ = ” không xảy ra ( vì A > 0 )

Ta biến đổi A2dới dạng khác:

Khi đó xy = 2 , x + y = 10 nên x và y là nghiệm của phơng trình

⇔ (3a – 1) (a – 3) ≤ 0

⇔ 1 3

3 ≤ ≤a (a ≠ 1)Víi a = 1

3 hoÆc a = 3 th× nghiÖm cña (2) lµ :

1 1

− + + +

MinA = 1 khi và chỉ khi x = -2

MaxA = 6 khi và chỉ khi x = 1

Theo VD2 điều kiện để phơng trình ẩn t trên có nghiệm là

Điều kiện để (1) có nghiệm là:

Trong đó a1, a2 là các nghiệm của phơng trình:

12a + 4 m n− − 4 a+ 4n m− = 0 (3)Theo đề bài, ta phải có 1 1, 2 3

3

Theo hệ thức Vi- et đối với phơng trình (3) :

VI Phơng pháp tham biến để tìm cực trị của một biểu thức

Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x) Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức f x( ) =Q x( )−t Nếu f x( ) ≥ 0 hoặc f x( ) ≤ 0với mọi x thuộc tập xác

định của Q(x) và tồn tại giá trị t 0 để f x( ) = 0 thì t 0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu thức Q(x)

Nếu a > 0 thì g x( ) 0 ≥ với mọi x khi ∆ ≤ 0và g(x) = 0 khi và chỉ khi ∆ = 0

Nếu a < 0 thì g x( ) ≤ 0 với mọi x khi ∆ ≤ 0và g(x) = 0 khi và chỉ khi ∆ = 0

cầu nối giữa bất phơng trình và phơng trình.

Ta có thể mở rộng việc xét cực trị của biểu thúc một biến Q(x) sang biểu

Và xét tử thức của f(x,y) theo một biến nào đó sao cho tử thức luôn cùng dấu

và tồn tại giá trị bằng 0

VD2:

+ +

ux v t x x

VII.phơng pháp giải toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn

Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thờng gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi Với cơ sở

lý thuyết đã đợc cung cấp ở chơng I, tác giả xin đa ra một số ví dụ minh hoạ

= + + víi ®iÒu kiÖn x≥ 1,y≥ 2,z≥ 3

¸p dông bÊt d¼ng thøc C«-si ta cã:

VIII.phơng pháp giải toán cực trị đại số với các biến có

Việc giải bài toán trên sẽ khó khăn hơn khi các biến bị ràng buộc thêm một

điều kiện nữa

Bài 4 Tìm GTNN của biểu thức A = x2 +y2 +z2

thoả mãn điều kiện x + y + z = 3

chơng III Một số sai lầm khi giải toán cực trị

Một trong những phơng pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bất đẳng thức quen thuộc Nhng cũng chính phơng pháp này lại dễ gây ra những sai lầm nếu không nắm vững bản chất của nó.

Bài toán 1 Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z dơng

Nhận xét: Cách giải trên cho đáp số sai vì điều kiện xảy ra dấu bằng của các

bất đẳng thức đã dùng không đạt đợc đồng thời Cụ thể:

1

64

S = đạt đợc khi và chỉ khi

0 1

Nh vậy không tồn tại (x,y,z) để tại đó 1

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…) ≤ M với M là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = M

2 Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,…) hay minf = m trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…) ≥ m với m là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = m

a) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:

b) Bất đẳng thức Bunhiacopsky

(ax + by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx

c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a + b ≥ a b+

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0

3) Trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều

kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng mà không kết hợp

điều kiện ràng buộc của bài toán thì dễ mắc sai lầm

4) Trong các định nghĩa trên thì M và m phải là các hằng số

Thật vậy, xét bài toán sau đây:

Bài toán 2 Cho x,y,z ≥ 0 Tìm GTLN của

f x y z ≤g x y z với mọi x, y, z thuộc D và f x y z( , , ) =g x y z( 0 , , 0 0)= A

(x y z0 , , 0 0)∈D thì f x y z( , , ) ≤A với mọi x, y, z thuộc D "

§iÒu nµy sai v× f x( ) =x2 ≥ 0 víi mäi x R∈

lµ h»ng sè mµ cßn phô thuéc vµo biÕn x,y

Suy ra minP = 0 §iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x lµmcho P(x) = 0

Vậy GTLN của D không tồn tại

Tôi rất băn khoăn về lời giải này vì đã tìm ra một kết quả khác???

3.Tại sao lại thế?

Tìm x để A = 2 1

x + x− đạt GTLN

Lêi gi¶i viÕt nh sau: