Tài liệu CHUYÊN ĐỀ cực trị đại số pptx

CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 2x 2 + 3x + 1. b) x 2 – 2x + 5. c) 4x 2 – 4x – 3. d) x 2 – 5x + 1. e) 5x 2 + 7x + 9. HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) 6 – x 2 – 6x. b) 1 – x 2 – 6x 2 . c) 4 – x 2 + 2x. d) 4x – x 2 . e) 7 – 3x – x 2 . HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ. Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 2 1 x2x6 ++ . C1: Vì x 2 + 2x + 6 = (x + 1) 2 + 5 ≥ 5. Nên: y ≤ 1 5 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1. C2: y = 2 1 x2x6 ++ ⇔ yx 2 + 2yx + 6y – 1 = 0 có nghiệm ⇔ Δ’ = y – 5y 2 ≥ 0 ⇔ 0 < y ≤ 1 5 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x 2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = –1( Thực chất là thay y = 1 5 vào phương trình theo x). Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 2 2 2x5 2x1 + + HD: Làm tương tự bài 3. y = 2 22 2x1444 115 1 2x12x1 ++ =+£+= ++ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0. Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 x2x1 y x4x5 -+ = ++ . HD: 2 2 (x1) y0 (x2)5 - =³ ++ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −1. Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 A 6x59x = . HD: Biến đổi biểu thức trở thành: 2 21 A 2 4(3x1) =³ Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1 P 4x4x3 = −+ . (Đề thi chuyên Nguyễn Tất Thành) HD: Làm tương tự bài 6. Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2 2 x2 x2 - + . HD: Biến đổi biểu thức trở thành: 2 4 B11 x2 =-³ + Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2 x1 C x + = HD: Ta có: 2 2 1 Cx2 x =+³ Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: y = 2 2 x2x2 xx1 ++ . C1: 222 22 3x2(xx1)3x y2 xx1xx1 -++ ==- ++++ ⇒ 2 33 224 3 13 x 4 24 -£-£= æö ÷ ç ++ ÷ ç ÷ ç èø C2: Sử dụng phương trình bậc hai. Bạn đọc tự giải. Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 xx1 A x2x1 ++ = ++ ( x ≠ −1). CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 2 HD: Đặt y = x + 1 ⇒ x = y – 1 ⇒ A = 2 22 yy111 1 y yy -+ =-+ . Đặt z = 1 y ⇒ A = z 2 – z + 1 = 2 133 z 244 æö ÷ ç -+³ ÷ ç ÷ ç èø . Dấu “=” xảy ra: 1 zy2x1 2 =Û=Û= . Bài 12: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (x2)(x8) A x ++ = HD: 2 x10x1616 Ax10 xx æö ++ ÷ ç ==++ ÷ ç ÷ ç èø . Vì: x . 16 x = 16 = const ⇒ 16 x x æö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç èø nhỏ nhất ⇔ x 2 = 16. Tức là x = 4 (vì x > 0). Vậy: min A = 18. Bài 13: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 (x100) A x + = HD: min B = 400 khi x = 100. Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 x B (x100) = + C1: Đặt x + 100 = y ⇒ x = 100 − y. 22 y1001100 B y yy - ==- . Đặt 1 z y = . ⇒ B = z – 100z 2 = 2 111 100z 400200400 æö ÷ ç £ ÷ ç ÷ ç èø . Dấu “=” xảy ra ⇔ z = 1 200 ⇔y = 200⇔x = 100. C2: Áp dụng bất đẳng thức: (a + b) 2 ≥ 4ab: 2 xx1 B 400x400 (x100) =£= + ⇔ x = 100. Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 22 (xy) A xy + = + HD: 2 22 (xy) A0 xy + =³ + . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −y ≠ 0. A = 22 2xy2xy 11112 2xy xy +£+=+= + (vì x 2 + y 2 ≥ 2xy). Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y ≠ 0. Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2x4x1 B x1 +- = + . HD: 222 22 3x3(x4x4)(x2) B33 x1x1 + +- ==-£ ++ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2. 222 22 4x4x12x2(2x1) B22 x1x1 ++ + ==-³- ++ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1 2 - . Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 22 4x2xy4y C xy -+ = + HD: 2 22 (xy) C33 xy - =+³ + . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y ≠ 0. 2 22 (xy) C55 xy + =-£ + . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −y ≠ 0. Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 x1 D xx1 + = ++ HD: 222 222 3x3x4x4xx1(x2)11 D 33 3(xx1)3(xx1)3(x11) +++ + ===-³- ++++++ ⇔ x = −2. CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 3 222 22 xx1xx D11 xx1xx1 ++- ==-£ ++++ ⇔ x = 0. Bài 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (3x − 1) 2 – 4.| 3x − 1| + 5. HD: Đặt |3x – 1|=y⇒A = y 2 – 4y + 5 = (y – 2) 2 + 1 ≥ 1⇔y = 2⇔| 3x – 1| = 2⇔x = 1 hoặc x = 1 3 - . Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = | x − 3| + | x – 7 | HD: Áp dụng | x + y | ≤ | x | + | y | . Dấu “=” xảy ra ⇔ xy ≥ 0. Với chú ý | A | = | −A |. Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = | x 2 + x + 3 | + | x 2 + x − 6 | HD: Tương tự bài 19. Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 22 x2x1x6x9 -++-+ HD: y = | x – 1 | + | x – 3 |. Giải tương tự bài 19. Bài 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 22 (x1990)(x1991) -+- HD: Áp dụng tương tự bài 22. Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = x(x + 1)(x + 2)(x +3) HD: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 25: Cho y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4). Tìm giá trị nhỏ nhất của y. HD: làm tương tự bài 24. Bài 26: Cho biểu thức M = x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị nguyên không âm tương ứng của x, y, z, t cho biết chúng thỏa mãn đồng thời: 222 222 xyt21(1) (2) x3y4z21 ì ï -+= ï í ï ++= ï î . HD: Cộng (1) và (2): 2(x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 ) – t 2 = 122 ⇔ 2M = 122 + t 2 ≥ 122. Suy ra: min M = 61. Khi đó (x, y, z, t) = (5, 2, 4, 0). (Thi HSG quốc gia 1985 – 1986 bảng A) Bài 27: Với những giá trị nào của x, y, z thì biểu thức: D = 2x + 3y – 4z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: 2xy3z6(1) 3x4y3z4(2) ++=   +−=  (x, y, z > 0). HD: Cộng (1) và (2): y = 2 – x thế vào (1) ⇒ 4x z 33 =- . Thay x, z vào P: P = x22 333 +³ (vì x ≥ 0) Vậy: min P = 2 3 ⇔ x = 0, y = 2 và z = 4 z 3 = . (Thi chuyên Nguyễn Tất Thành) Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 . Biết rằng x, y là các số thực thỏa mãn: x 2 + y 2 – xy – 4 = 0 (1). HD: (1) ⇔ (x 2 + y 2 ) + (x 2 – 2xy + y) = 8 ⇒ A = 8 – (x – y) 2 ≤ 8. (1) ⇔ 3A = 8 + (x + y) 2 ≥ 8 ⇒ A ≥ 8 3 . Bài 29: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 . Biết rằng x, y là các số thực thỏa mãn: 5x 2 + 8xy + 5y 2 = 36 (1). HD: (1)⇔S + 4(x + y) 2 = 36⇔S = 36 – 4(x + y) 2 ≤ 36 ⇔ (x, y)= ( ) ( ) 32 ; 32 32 ; 32 -Ú- (2) ⇔ 9S = 36 + 4(x – y) 2 ≥ 36 ⇔ S ≥ 4 ⇔ x = y = ± 2 . Bài 30: Cho (x, y) là nghiệm của phương trình x 2 + 3y 2 + 2xy – 10x – 14y + 18 = 0. Tìm các cặp số (x, y) sao cho biểu thức S = x + y đạt giá trị lớn nhất? đạt giá trị nhỏ nhất? HD: Đưa về dạng (x + y – 5) 2 = 9 – 2(y – 1) 2 ≤ 9 ⇔ |x + y – 5| ≤ 3 ⇔ 2 ≤ x + y ≤ 8 ⇔ max S= 8(7 ; 1) Û . min S= 2(1 ; 1) Û . Bài 31: Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 33 2 n m )nm( + + Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2006 - 2007 CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 4 HD: A = )nmnm)(nm( )nm( 22 2 +−+ + = mn)nm( nm 2 +− + ≤ mn nm + = n 1 m 1 + ≤ 1 + 1 = 2 ⇔ m = n = 1. Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y. HD: (x + y) 2 ≤ 2(x 2 + y 2 ) = 2 ⇒ A 2 ≤ 2 ⇔ 2A2 -££ . Bài 33: Cho a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A = a 2 + b 2 b) B = a 4 + b 4 c) C = a 8 + b 8. HD: a) Làm tương tự bài 32. b) a 4 + b 4 ≥ 2a 2 b 2 . Cộng vào hai vế a 4 + b 4 . c) Tương tự. Bài 34: Cho 2x + y = 6. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x 2 + y 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy HD: Thay y = 6 – 2x vào biểu thức ⇒ sử dụng phương pháp bình phương đúng. Bài 34: Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + y 2 + z 2 . HD: Đặt x = 1 + a, y = 1 + b, z = 1 + c ⇒ a + b + c = 0 ⇒ A = 3 + a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 ⇔ x = y = z = 1. Bài 35: Cho x + 3y = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + y 2 . HD: Thay x = 10 – 3y vào A ⇒ kết quả: A = 10(y – 3) 2 + 10 ≥ 10 ⇔ x = 1, y = 3. Bài 36: Cho x + 2y = 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy. HD: Tương tự bài 35 Bài 37: Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 3 + y 3 + 2xy. HD: x 2 + y 2 = 2 – 2xy ⇒ A = 2(x 2 + y 2 ) ≥ (x + y) 2 = 4 ⇔ x = y = 1. Bài 38: Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 22 11 11 xy æö æö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç ÷ ç èø èø . HD: Biến đổi B = 1 + 2 xy . Ta có: 1 = (x + y) 2 ≥ 4xy ⇒ 2 8 xy ³ ⇒ B ≥ 9 ⇔ x = y = 1 2 . Bài 39: Tìm giá trị của x để biểu thức y = x x1993 đạt giá trị nhỏ nhất. HD: TXĐ: { x ∈ R, x ≥ 1993 }. y = 2 113 x199319931992 244 æö ÷ ç +-³ ÷ ç ÷ ç èø ⇔ 1 x1993 2 -= . Bài 40: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = (x – ay) 2 + 6(x – ay) + x 2 + 16y 2 – 8xy + 2x – 8y + 10 (x, y, a là các số nguyên). HD: Biến đổi y = (x – ay + 3) 2 + (x – 4y + 1) 2 ≥ 0. Dấu “=” xảy ra ⇔ xay30(1) x4y10(2) ì -+= ï ï í ï -+= ï î . Từ (1) và (2) ⇒ (a – 4)y = 2 với x, y, a nguyên ⇒ (x, y, a) = (3, 1, 6), (7, 2, 5), (−5, −1, 2), (−9, −2, 3). Bài 41: Cho x, y thỏa mãn: x 2 + 4y 2 = 25. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: M = x + 2y. HD: Áp dụng Bunhiaxcốpki: (x + 2y) 2 ≤ (x 2 + 4y 2 )(1 2 + 1 2 ) = 50. Bài 42: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y = xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y. HD: x + y ≥ 2 2xyxy2xy(xy)4xy4xy4 Þ³Þ³Þ³Þ+³ ⇔ x = y = 2. Bài 43: a) Trong tập hợp các hình chữ nhật có cùng chu vi, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. b) Trong tập hợp các hình chữ nhật có cùng diện tích, hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. HD: a) p = a + b = const. ⇒ 4S = p 2 – (a – b) 2 ≤ p 2 ⇔ a = b b) S = ab = const ⇒ p = a + b ≥ 2 ab = 2 S ⇔ a = b. Bài 44: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) y = x24x -+- . b) y = 3tt1 -+- HD: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcốpki. Xét y 2 . Bài 45: Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = a 3 + b 3 + ab. HD: Biến đổi, đồng thời thay a + b = 1 và a = 1 – b. ta được: Q = 2a 2 – 2a + 1 ⇒ kết quả. . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 33 2 n m )nm( + + Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2006 - 2007 CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ĐỖ TRUNG. giải. Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 xx1 A x2x1 ++ = ++ ( x ≠ −1). CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ĐỖ TRUNG THÀNH –