Đang tải... (xem toàn văn)
Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bđt Cauchy rồi tìm cực trị của nó.. Biện pháp 1 : Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của[r]
(1)Phần 1: CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ: Một số dạng toán thường gặp: ▼ Dạng 1: đưa dạng bình phương I Phương pháp giảỉ: Đưa dạng A2 ≥ 0, A2+ c ≥ c (vớI c là số) dấu xảy A=0 II Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn P = x − x ( ) Lời giải: 1 1 P = x 1− x = −x + x = − x − + ≤ 2 4 1 Đẳng thức xảy x = và x = 1 Do đó giá trị lớn P là đạt x = 4 ( ) Ví dụ 2: Tìm giá trị x để biểu thức x − 2x + có giá trị lớn Lời giải: Ta có: ( x2 − 2x + = x − ⇒ x2 − 2x + ≤ ) +3≥ 3 Do đó, x = thì bỉêu thức x − 2x + có giá trị lớn là V í d ụ 3: VớI x,y không âm; tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x − xy + y − x + 2004,5 Lời giải: Đặt x = a, y = b vớI a, b ≥ ta có: Lop12.net (2) P = a − ab + 3b − a + 2004, = a − ( b + 1) a + 3b + 2004,5 = a − ( b + 1) a + ( b + 1) + 2b − 2b + 2003,5 1 = ( a − b − 1) + b − b + + 2003, − 4 1 = ( a − b − 1) + b − + 2003 ≥ 2003 2 1 Vì ( a − b − 1) ≥ và b − ≥ ∀ a , b a = b +1 P = 2003 ⇔ a= b= ⇔ b= Vậy P đạt giá trị nhỏ là 2003 x= và y= hay x = và y = 4 III Bài tập tự giải: 1) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = − x − y − xy + x 2) Tìm giá trị nhỏ f ( x, y ) = x − xy + y − 12 x + 45 3) Cho hai số x,y thoả mãn đẳng thức: x + y + =4 x2 Xác định x,y để tích xy đạt giá trị nhỏ 4) Cho a là số cố định, còn x, y là số biến thiên Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x– 2y + 1)2 + (2x + ay +5)2 Hướng dẫn giảI và đáp số: 1)Max P = (x,y) = (1, -2) 2) f ( x, y ) = ( x − y − ) + y + ≥ 3) Thêm xy + x vào vế Kết quả: xy đạt GTNN là − x = ± 4) A ≥ a ≠ -4, A = y = ±1 a = -4 Lop12.net (3) ▼ Dạng 2: sử dụng miền giá trị hàm số I Phương pháp giảỉ: Cho y = f(x) xác định trên D y0 ∈ f ( D ) ⇔ phương trình y0 = f ( x ) có nghiệm ⇔ a ≤ y0 ≤ b Khi đó y = a, max y = b II Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Tìm Max và Min của: y = x x +1 Lời giải: Tập xác định D = R ⇒ y0 là giá trị hàm số x có nghiệm x ∈ R x +1 ⇔ phương trình x y0 + y0 = x có nghiệm x ∈ R ⇔ phương trình y0 = ⇔ phương trình x y0 − x + y0 = có nghiệm x ∈ R ⇔ ∆≥0 ⇔ 1− y2 ≥ ⇔ y2 ≤ 1 ⇔ − ≤ y≤ 2 1 Vậy Min y = − , Max y = 2 Ví dụ 2: Xác đinh các tham số a, b cho hàm số y = ax + b đạt giá trị lớn x2 + 4, giá trị nhỏ –1 Lời giải: Tập xác định D = R ax+b có nghiệm x ∈ R x2 + ⇔ phương trình y0 x − ax + y0 − b = có nghiệm x ∈ R (1) y0 là giá trị hàm số ⇔ phương trình y0 = • Nếu y0 = thì (1) ⇔ ax = -b có nghiệm a=b=0 ⇔ a≠0 • Nếu y0 ≠ thì (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ a − 4( y0 − b) y0 ≥ Lop12.net (4) ⇔ −4 y0 + 4by0 + a ≥ Theo đề y0 đạt giá trị lớn là 4, giá trị nhỏ là –1 nên phương 2 trình −4 y0 + 4by0 + a phảI có nghiệm là –1 và (do -1.4 = -4 < 0) −a = −4 a = ±4 ⇔ Theo định lý Viet ta có : b=3 b=3 Vậy vớI a = 4, b = a = -4, b = thì y = -1, max y = Ví dụ 3: 12 x( x − a ) Tìm giá trị lớn hàm số : y = x + 36 Lời giải: Hàm số đã cho xác định x ( x − a ) ≥ 12 x( x − a ) Đặt z = (1) thì y = z , z ≥ x + 36 12 x( x − a ) có nghiệm x + 36 hay phương trình (12 − z0 ) x − 12ax − 36 z0 = có z0 là giá trị hàm số (1) ⇔ phương trình z0 = nghiệm (2) • z0 =12 : (2) ⇔ ax = -36 có nghiệm a ≠ • z0 ≠ 12 : (2) có nghiệm ⇔ ∆ = 36a + 36 z0 (12 − z0 ) ≥ ⇔ a + 12 z0 − z0 ≥ ⇔ z0 − 12 z0 − a ≤ ⇔ − a + 36 ≤ z0 ≤ + a + 36 Vì z0 ≥ nên ≤ z0 ≤ + a + 36 Vậy max z = + a + 36 ; max y = (6 + a + 36)3 III Bài tập tự giải: x2 − 2x + x2 + 2x + x + + 1− x +1 2) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: y = x + + 1− x +1 1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: y = f ( x) = x + x + 3) Tìm giá trị nhỏ hàm số : Hướng dẫn giảI và đáp số: Lop12.net ,x>0 x (5) 1) Max y = + 2 , Min y = − 2 2) Đk: −3 ≤ x ≤ 2t 1− t2 ϕ Đặt x + = ; + x = vớI t = tg ∈ [0;1] 2 1+ t 1+ t 2 7t + 12t + Ta có y = − −5t + 16 + Max y y = x = -3; y = x = < x ≤ y0 3)Tìm nghiệm hệ y0 = x + x + x (1) ⇔ y0 x − y0 x + = x>0 (2) Điều kiện để (2) có nghiệm là y0 ≥ Áp dụng Vi-et ta chứng minh x1 < x2 < y0 Vậy f(x) = vớI x >0 ▼ Dang 3: Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc Bất đẳng thức Cauchy I Kiến thức cần nắm: • Cho hai số a, b ≥ 0, ta coù: a+b ≥ ab Dấu “ =” xảy ⇔ a = b • Cho n số a1, a2, … , an ≥ 0, ta có: a1 + a + + a n n ≥ a1 a a n n Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = … = an ► II Một số bài tập ví dụ: ◦ Biện pháp 1: Áp dụng bất đẳng thức trực tiếp Ví dụ 1: Cho x > ; y > thoả mãn điều kiện thức A = Lời giải: 1 + = Tìm giá trị nhỏ biểu x y x+ y Lop12.net (6) Vì x > ; y > nên 1 >0; >0; x y x > 0; y > , theo bđt Cauchy có: 1 11 1 ≤ + x y x y => xy ≤ => xy ≥ 4 x và Vận dụng bđt Cauchy với hai số dương y ta A = x + y ≥ x y ≥ = ( Dấu “=” xảy ⇔ x = y = 4) Vậy A = ( và x = y = 4) Nhận xét: không phải lúc nào ta có thể dùng trực tiếp bđt Cauchy các số đề bài Dưới đây ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để có thể vận dụng bđt Cauchy tìm cực trị nó Biện pháp : Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức đó Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − + − x Lời giải: ĐKXĐ : ≤ x ≤ 3 A = (3x – 5) + (7- 3x) + (3 x − 5).(7 − x) A2 ≤ + ( 3x – + – 3x) = ( dấu “=” xảy ⇔ 3x – = – 3x ⇔ x = 2) Vậy max A2 = => max A = ( và x = 2) Nhận xét: Biểu thức A cho dạng tổng hai thức Hai biểu thức lấy có tổng không đổi (bằng 2) Vì vậy, ta bình phương biểu thức A thì xuất hạng tử là hai lần tích thức Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức Cauchy ◦ Biện pháp 2: Nhân và chia biểu thức với cùng số khác Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x−9 5x Lời giải: ĐKXĐ : x ≥ Lop12.net (7) 1 x−9 x−9 + 3 x − + x −9 3 = ≤ = A= = 5x 5x 5x 10 x 30 x−9 = ⇔ x = 18 ) (dấu “ =” xảy và ( và x = 18) Vậy max A = 30 x−9 và vân x −9 x−9 làm trội trở thành tổng + = x có dụng bđt Cauchy, tích 3 dạng kx có thể rút gọn cho x mẫu, kết là số Con số tìm cách lấy bậc hai 9, số 9có bài Nhận xét: Trong cách giải trên, x – biểu diễn thành Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng các biểu thức cho tích chúng là số Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử Ví dụ : Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + 16 x3 Lời giải: A = 3x + 16 16 16 = x + x + x + ≥ 4.4 x.x.x 3 x x x A ≥ 4.2 = ( dấu “ =” xảy và x = 16 ⇔ x=2 x3 Vậy A = ( và x = 2) Nhận xét: Hai số dương 3x và 16 có tích không phải là số.Muốn khử 3x x3 thì phải có x3 = x.x.x đó ta phải biểu diễn 3x = x + x + x dùng bđt Cauchy với số dương Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử này là nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức đã cho ( có thể sai khác số) Ví dụ 5: Cho < x < 2, tìm giá trị nhỏ biểu thức A = Lop12.net 9x + 2− x x (8) Lời giải: 9x 2−x +1 + A= 2− x x A ≥ 9x − x +1 = +1 = 2− x x ( dấu “=” xảy ⇔ 9x 2− x ⇔ x = ) = 2−x x ) ◦ Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức đã cho Ví dụ 6: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x2 y2 z2 + + P= y+z z+x x+ y Lời giải: x2 y+ z Áp dụng bđt Cauchy hai số dương và ta được: y+z Vậy A = ( và x = x2 y+z x2 y + z x + ≥ = = x y+z y+z Tương tự: y2 z+x + ≥y z+x z2 x+ y + ≥z x+ y x2 y2 z2 x + y + z + + + ≥ x+ y+z y+ z z+ x x+ y x+ y+z P ≥ (x + y + z ) − = (dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = ) Vậy III Bài tập tự giải: 1) Cho x + y = 15, tìm gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: B = x−4 + y −3 2) Cho x, y, z ≥ thoả mãn điều kiện x + y + z = a Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy + yz + xz Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x2 + y2 + z2 Lop12.net (9) 3) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện x + y + z ≥ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y + y z + z x 4) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (1 + a)(1 + b)(1 + c) (1 − a)(1 − b)(1 − c) 5) Cho x, y thoả mãn điều kiện x + y = và x > Tìm giá trị lớn biểu thức B = x2y3 xy yz zx + + với x, y, z là các số dương và: z x y a) x + y + z = b) x + y + z = 1 1 7) Tìm giá trị lớn A = + + với a, b, c là 3 a + b + b + c + c + a3 + các số dương và abc = 8)Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x + y + z + xy + yz + zx biết x + y + z = 6) Tìm giá trị nhỏ A = 9) Tìm giá trị nhỏ A = 3x + y với x + y = 10) Tìm giá trị nhỏ A = x − x + Hướng dẫn giải và đáp số: ĐKXĐ : x ≥ 4, y ≥ B ≥ ⇒ B = ( và x = 4, y = 11 x = 12, y = 3) max B2 = 16 nên max B = ( và x = 8, y = 7) a xy + yz + xz ≤ x2 + y2 + z2 (áp dụng bđt Cauchy cho số, cộng lại theo vế) Suy ra: 3(xy + yz + xz) ≤ ( x + y + z )2 Hay 3A ≤ a2 b B = x2 + y2 + z2 = ( x + y + z )2 – 2( x + y + z ) B = a2 – 2A B ⇔ A max P2 = x y z 2x y y z 2z x + + + + + y z x z x y Áp dụng bđt Cauchy cho số dương: x2 x y x y x x y.z + + + z ≥ 44 = x y yz z z Còn lại: tương tự Cộng vế với vế lại, ta P2 ≥ 4(x + y + z) – (x + y + z) = 3(x + y + z) Lop12.net (10) P2 ≥ 3.12 = 36 Min P = 6.( và x = y = z = 4) a + b + c = ⇒ – a = b + c > Tương tự – b > 0, – c > Có: + a = + (1 – b – c) = (1 – b) + (1 – c) ≥ (1 − b )(1 − c ) Suy (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 − a ) (1 − b ) (1 − c ) A≥8 Vậy A = Nếu y ≤ thì B ≤ Nếu y > thì 108 x x y y y x2 y3 ⇒ x2 y3 ≤ = x + y = + + + + ≥ 55 2 3 108 3125 108 hay B ≤ 3125 Suy max B = 108 3125 Theo bất đẳng thức Cô-si xy yz xy yz + ≥ = 2y z x z x Suy tương tự yz zx + ≥ 2z ; x y 2A ≥ 2(x+y+z) = ; A = với x = y = z = zx xy + ≥ 2x y z x2 y y2 z z x2 b) Ta có A = + + + z x y Hãy chứng tỏ A2 ≥ Min A = với x = y = z = Dễ chứng minh a + b3 ≥ ab ( a + b ) với a > 0, b > Do đó: a + b3 + ≥ ab ( a + b ) + abc = ab(a + b + c) 1 a+b+c + + = =1 ab(a + b + c) bc(a + b + c) ca (a + b + c) abc(a + b + c) max A = ⇔ a = b = c = A≤ ◦ Tìm giá trị lớn nhất: Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z ) ≤ ( x + y + z ) ,ta ( x + y + z ) ≤ nên 2 10 Lop12.net (11) x+ y+z ≤3 (1) Ta có bất đẳng thức xy + yz + zx ≤ x + y + z mà x + y + z ≤ nên xy + yz + zx ≤ (2) Từ (1) và (2) suy A ≤ Ta có max A = ⇔ x = y = z = ◦ Tìm giá trị nhỏ : Đặt x + y + z = m thì m = x + y + z + ( xy + yz + zx ) = + ( xy + yz + zx ) 2 2 m2 − m2 − Ta có A = m + nên 2 2 A = m + 2m − = ( m + 1) − ≥ −4 Do đó xy + yz + xz = ⇒ A ≥ −2 x + y + z = , chẳng hạn x = -1, y = -1, z = A = −2 ⇔ 2 x + y + z = A = 3x + y ≥ 3x y = 3x + y = 34 10 Ta có x ≤ x (xảy dấu và x ≥ ) nên −4 x ≥ −4 x Do đó A ≥ x4 − x + Áp dụng bất đẳng thức côsi với bốn số không âm x + + + ≥ 4 x = x ⇒ x − x + ≥ −2 A = −2 ⇔ x = và x ≥ ⇔ x = ► Bất đẳng thức Bunhiacopski: I Kiến thức cần nắm: • Cho a, b, c, d tuỳ ý, ta có (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 Dấu xảy khi: ad = bc • Cho a1, … , an và b1, … , bn tuỳ ý, ta có: (a12 + … + an2)(b12 + … + bn2) ≥ ( a1b1 + … + anbn)2 Dấu xảy khi: a a1 = = n b1 bn II Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn : P = x − + − x Lời giải: ĐKXĐ: ≤ x ≤ Áp dụng bđt Bunhiacopski có: 11 Lop12.net (12) P2 ≤ ( 32 + 42)(x – + – x) = 100 Suy max P = 10 61 x −1 5− x = ⇔ x= 25 Ví dụ 2: Cho a, b, c > Tìm P = 5a 4b 3c + + b+c c+a a+b Lời giải: P= 5a 4b 3c +5+ +4+ + − (5 + + 3) = (a + b + c ) + + − (5 + + 3) b+c a+c a+b b+c a+c a+b [(a + b ) + (b + c ) + (c + a )]. + + − (5 + + 3) b+c a +c a +b ≥ + + − (5 + + 3) ( theo bđt Bunhiacopski) 2 b+c a+c a+b Vaäy P = + + − (5 + + 3) và = = = ( ) ( ) Tổng quát: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ( ) a b c x2 + y2 + z ≥ ( xy + yz + xz ) − x + y + z b+c a+c a+b (cộng vào vế trái (x2 + y2 +z2) trừ (x2 + y2 +z2), sau đó áp dụng bđt Bunhicopski) Ví dụ 3: Cho a, b, c > Tìm P = a + 3c c + 3b 4b + + a+b b+c c+a Lời giải: a + 3c c + 3a 4b + 2 + + 2 + + − 10 a+b b+c c+a 3a + 2b + 3c 2b + 3c + 3a 4b + 6c + 6a P= + + − 10 a+b b+c c+a P = (3a + 2b + 3c ) + + − 10 a+b b+c c+a P = [(a + b ) + (b + c ) + 2(a + c )]. + + − 10 ≥ + + a+b b+c c+a P= ( ) − 10 = Vậy P = và (a + b)2 = (b + c)2 = (c + a)2 hay a = b = c Cơ sở: 12 Lop12.net (13) Chọn α , β , γ cho: a + 3c + α (a + b) = c + 3a + β (b + c) = 4b + γ (c + a ) = m(3a + 2b + 3c) Từ đó suy α = β = 2, γ = 6, m = III Bài tập tự giải: Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ của: 3b + 9c 8a + 4b a + 5b + + a+b b+c c+a b + 3c 4a + 2b a + 5b + + b) Q= a+b b+c c+a a + 3c 4b 8c c) R= + − a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x + y a) P= biết x ( x + y − 3) + ( y − ) = Tìm giá trị nhỏ : a2 b2 c2 A= + + với a, b, c là các số dương và a + b + c =6 b+c c+a a+b Tìm giá trị nhỏ A = + với < x < 2− x x Cho a, b, c > và abc = 1 1 Tìm giá trị nhỏ A = + + a (b + c ) b ( a + c ) c ( a + b) Hướng dẫn giả và đáp số: Câu a và câu b làm tương tự ví dụ Câu c không thể làm ví dụ được, ta làm sau: Đặt a + 2b + c = x a + b + 2c = y a + b + 3c = z từ đó suy c = z – y; b = x + y – 2y; a = 5y – x – 3z đó R = y − x x + z − y 8z − y y 4x 4z 8y + + = −1+ + −8−8+ x y z x y y z Rồi áp dụng bđt ta tìm R Từ giả thiết suy (x + y ) − ( x + y ) + = − x ≤ Do đó A2 − A + ≤ ⇔ ( A − 1)( A − 3) ≤ ⇔ ≤ A ≤ A = ⇔ x = 0, y = ±1 max A = ⇔ x = 0, y = ± 3 13 Lop12.net (14) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacópki cho cặp số Ta có a b c + + b + c a + c a + b ( b+c a b c ≥ b+c + a+c + a+b a+c a+b b+c ) ( + a+c ) ( + ) a+b a2 b2 c2 ⇒ + + ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) b+c a+c a+b a2 b2 c2 a+b+c ⇒ + + ≥ b+c a+c a+b Suy A = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ( a + b2 )( m2 + n2 ) ≥ ( am + bn )2 Ta có: 2 A = + − x x ⇒ 2A ≥ ( ) +1 ( 2− x x ≥ − x) + x ( x 2− x ) +( ) 2 = + 2 2 = ⇔ 2x2 = x2 − 4x + A = + 2 ⇔ − x = x ⇔ 2− x x (2 − x) x ⇔ x + x + = ⇔ ( x + ) = ⇔ x = 2 − (chú ý x > 0) Vậy A = + 2 ⇔ x = 2 − 2 1 ,b = ,c = x y z x, y , z > thì xyz = x2 y2 z2 Khi đó A = + + y+z z+x x+ y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, biến đổi tương đương ta được: Đặt a = (x + y + z) x+ y+z A≥ = ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y) Mặt khác theo BDT côsi ta có: x + y + z ≥ 3 xyz = Vậy 14 Lop12.net (15) y z x y+ z = z+ x = x+ y A = ⇔ x = y = z xyz = ⇔ x = y = z = ⇔ a = b = c ► Bất đẳng thức Bernoulli I Kiến thức cần nắm α x ≥ − α + αx (1) (α ≥ 1, x > 0) Dấu “ =” xảy x =1 II Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Cho x, y > cho x + y = Tim giá trị nhỏ : a P = x2 + y2 b Q = x5 + y5 Lời giải: a Áp dụng bđt Bernoulli ta có: (2x)2 ≥ – + 2(2x) (2y)2 ≥ – + 2(2y) Cộng vế theo vế: 4P ≥ -2 + 4(x + y) = P≥ Vậy P = 1 và x = y = 2 b Áp dụng bđt Bernoulli ta có: (2x)5 ≥ – + 5(2x) (2y)5 ≥ – + 5(2y) Cộng vế theo vế ta có: 32Q ≥ -8 + 10(x + y) = Q≥ 16 Vậy Q = 1 Khi và x = y = 16 Tổng quát: S = xm + ym , m ≥ với x + y = 15 Lop12.net (16) * Theo (1), với α ≥ β > , ta có: α x β ≥ 1− α α + x β β (1’) Đặt t = x ⇔ t β = x (1’) ⇔ β tα ≥ 1− α α β + t β β (2) Dấu “=” xảy t = Ví dụ 2: 10 10 Cho x, y > 0, cho x3 + y3 = Tìm P = x + y Lởi giải: Theo (2), ta có: ( 2x) 10 ( ) 10 10 + 2x 9 10 10 10 3 2y ≥ 1− + 2y 9 10 10 ⇒ 3 P ≥ − + ( x + y ) = 9 ≥ 1− ( ) ( ) ( ) Vậy P ≥ Hay P = và x = y = * Từ (2) thay t t , ta được: t0 α t α ≥ 1 − β α α α −β β t + t t β (3) Dấu “=” xảy t = t0 với t0 là điểm đạt giá trị nhỏ Bài toán: Cho a.x β + b y β = 1.(α ≥ β ; a, b, c, d > ) Tìm P = c.x α + d y α 16 Lop12.net (17) Đặt α cx = X α dy =Y Bài toán trở thành : Cho m.x β + n y β = p (m,n > 0) Tìm A = x α + y α Lời giải: Theo bđt (3), ta có: α α x α ≥ 1 − x0α + x0α − β x β β β α α y α ≥ 1 − y 0α + y 0α − β y β β β α α α (x0 + y 0α ) + (x0α − β x β + y 0α − β y β ) β β Chọn (x0 , y0) thoả mãn: m.x β + n y β = p Cộng lại : A ≥ 1 − x0α − β y α −β = m n Khi đó: A ≥ 1 − α α α xα −β (x + y 0α ) + p β β m α Vậy A = 1 − β α α xα −β x + y 0α + p và x = x0, y = y0 β m ( ) ▼ Dạng 4: Áp dụng bất đẳng thức tam giác và phuơng pháp tọa độ, vectơ I Phương pháp giải: Với điểm A, B, C, bất kì mặt phẳng ta có: AB + BC ≥ AC (đẳng thức B nằm A và C) • Với hai véc tơ bất kì a và b ta có: a ± b ≤ a + b Đẳng thức a và b cùng hướng (1) • Nếu a = ( a1 , a2 ) và b = ( b1 + b2 ) (1) ⇔ ( a1 ± b1 ) + ( a2 ± b2 ) 2 ≤ a12 + a2 + b12 + b2 17 Lop12.net (18) a1 = k b1 a2 = k b2 Đẳng thức xảy (k ∈ R) Dạng toán tìm giá trị lớn hàm số: a, b ≠ f ( x ) + a + g ( x ) + b với f ( x ) ± g ( x ) = k ( k ∈ R ) Sử dụng bất đẳng thức tam giác: giả sử f ( x ) − g ( x ) = k y= Trong mặt phẳng Oxy xét điểm: M ( f ( x ) , a ) ⇒ OM = f ( x ) + a và N ( g ( x), − b ) ⇒ ON = g ( x) + b f ( x) − g ( x) + ( a + b ) = k + ( a + b ) 2 Ta có: MN = OM + ON ≥ MN ⇔ y ≥ k + ( a + b ) Vì Đẳng thức xảy M, N, O thẳng hàng ⇔ a f ( x) + b g ( x) = Vậy Min y = k + ( a + b ) II Một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a + a + + a − a + 1, ⊥ ∀a ∈ R Lời giải: Dễ thấy biểu thức không thay đổi thay a −a , đó cần giải với a ≥ • Khi a = : A = A • AB AM = MB = = Khi a > : Xét ∆ABC có: CM = a π AMC = Theo định lí hàm côsi: AC = + a − 2.1.a.cos π = a + − a ⇒ AC = a − a + Tương tự BC = a + a + , AB = Khi đó: AC + BC ≥ AB ⇒ a + a + + a − a + ≥ ⇔ A ≥ Đẳng thức xảy xảy a = Vậy MinA = a = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: y = x − px + p + x − 2qx + 2q Lời giải: 18 Lop12.net M B π C (19) y = ( x − p)2 + p ( x − q) + q Ta có: Xét điểm M ( x − p, p ); N ( x − q, q ) Ta có: MN = ( p − q ) + ( p + q ) Vì OM + ON ≥ MN ⇔ y ≥ ( p − q )2 + ( p + q )2 ⇒ Min y = ( p − q ) + ( p + q ) Khi M , N , O thẳng hàng ⇔ q ( x − p ) + q ( x − q ) = ⇔ x = p q +q p p+q Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ của: y = cos x − 2.cos x + + cos x + 4.cos x + Lời giải: Trong mặt phẳng Oxy , xét điểm M (2;1 − cos x); N (4, 3) Ta có: MN = (2, + cos x) y = OM + MN Do ≤ − cos x ≤ nên M ∈ [ AB ] với A(2, 0) và B (2, 2) Ta có: OM + MN ≥ ON = 42 + 32 = Đẳng thức xảy O, M , N thẳng hàng ⇔ − 4.(1 − cos x) = ⇔ cos x = − Vậy Min y = x = ± Ví dụ 4: 2π + kπ 2π ⇔ x=± + kπ 2 (1) a + c = b + 2b(a + c) = ( ) Cho số thực a, b, c thoả mãn hệ sau Tìm giá trị nhỏ M = b(c − a ) Lời giải: Từ giả thiết ta có: 2a + 2c + b + 2ab + 2bc = b b ⇔ ( a + ) + ( + c) = 2 Do (1) ⇔ ( 2c ) + (−2a ) = b b Xét x(a + ; + c); y (2c; −2a ) 2 19 Lop12.net (20) Ta có: x = , y = , x y = b.(c − a) Mà x y ≤ x y cùng hướng: b b b.(a + c) = −2 +c 2= ⇔ ⇔ b.(a + c) = −2.(a + c ) ⇒ a + c = 2c − 2c b = 10 (do (1) và (2) ) a+ b = 10 a + c = − 10 2 a + c = 3 ⇔ ⇒ (a, b, c) = (− , 10, );( , − 10, − ) 10 10 10 10 b = − 10 a + c = 10 2 a + c = ⇒ Max M = b(c − a ) = (a, b, c) trên III Bài tập tự giải: 1)Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = + sin x + cos x + cos x + 2)Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x − x + + x − 3x + 3)Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: x4 y x2 y2 y = + − 2 + −1 x x y y 4)Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x ) = x2 − x + + x2 + ( ) + x + + x2 − ) −1 x +1 y Hướng dẫn giả và đáp số: N Ta có: ( y = + (1 − cos x ) + + (1 + cos x ) 2 O 20 Lop12.net B M A x (21)