CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ pptx

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1.Định nghĩa1: Cho biểu thức fx,y,…

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

1.Định nghĩa1:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  M với M là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = M

2 Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  m với m là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = m

II CÁC KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG

Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),…Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP

1) Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB

Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xác định x = x0, tức là maxA = A(x0), maxB = B(x0) thì maxP = P(x0)

2) Cho P = 1

A với A  0 thì maxP = 1

min A

3) a) P(x,y) = [Q(x,y)]2n + a  a với a là hằng số, n  N*

Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y thuộc D

b) P(x,y) = - [Q(x,y)]2n + b  b với b là hằng số, n  N*

Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, y thuộc D

4) A  0 thì max(A2) = (maxA)2 và

min(A2) = (minA)2

5) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:

a) a + b  2 ab ( a  0, b 0)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

b) a

b + b

a  2 (ab  0)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky

(ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx

7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a + b  a b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  0

8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai

f x ( )  ax2  bx c  ( a  0 )

Khi đó:

Nếu   0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,   x R

Nếu   0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,   x R,

2

b x a





Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm