Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc t
Trang 1Ch ương ba ng ba
ứng dụng biến đổi ụng biến đổi ến đổi đổi Fourier phân tích tín hi u s v h x lý s ệu số và hệ xử lý số ố và hệ xử lý số à hệ xử lý số ệu số và hệ xử lý số ử lý số ố và hệ xử lý số
Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy
số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số.
3.1 bi n ến đổi đổi F i ourier c a dãy s ủa dãy số ố và hệ xử lý số
3.1.1 Biến đổi Fourier thuận
3.1.1 a Định nghĩa :N u dãy ếu dãy x(n) tho mãn i u ki n : ả mãn điều kiện : điều kiện : ều kiện : ện :
n
n
thì s t n t i phép bi n ẽ tồn tại phép biến đổi ồn tại phép biến đổi ại phép biến đổi ếu dãy điều kiện :ổi i Fourier nh sau : ư sau :
n j n
e
X( ) ( ) .
Bi n ến đổi đổi Fourier ã chuy n dãy s i đ ển dãy số ố x(n) th nh h m ph c à à ức X (e j ), [3.1-2] l bi u th c bi n à ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu ni ận
v à được ký hiệu như sau :c ký hi u nh sau :ệu như sau : ư
) ( )]
(
e j n
x
FT e j n
(FT l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh à ữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh ến đổi ắt của thuật ngữ tiếng Anh ủa thuật ngữ tiếng Anh ận ữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh ến đổi Fourier Transform)
Ký hi u ệu như sau : X (e j ) đển dãy số phân bi t phép bi n ệu như sau : ến đổi đổi Fourier c a dãy s i ủa thuật ngữ tiếng Anh ố x(n) [ ( )] ( )
e j n
x
FT X v i phép bi nới phép biến ến đổi
i
đổi Fourier c a h m liên t c ủa thuật ngữ tiếng Anh à ục x(t) :
t x
FT X jt
( )]
(
Bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier c a dãy s i ủa thuật ngữ tiếng Anh ố x(n) [3.1-2] l su t phát t bi u th c bi n à ất phát từ biểu thức biến đổi ừ biểu thức biến đổi ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier c a h m liêni ủa thuật ngữ tiếng Anh à
t c ục x(t), vì khi h m dà ưới phép biến ất phát từ biểu thức biến đổi i d u tích phân l dãy r i r c thì ph i thay d u tích phân b ng d u t ng à ời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ất phát từ biểu thức biến đổi ằng dấu tổng ất phát từ biểu thức biến đổi ổi
Do tính ch t tu n ho n c a h m m ất phát từ biểu thức biến đổi ần hoàn của hàm mũ à ủa thuật ngữ tiếng Anh à ũ e j, nên X (e j ) l h m tu n ho n c a bi n à à ần hoàn của hàm mũ à ủa thuật ngữ tiếng Anh ến đổi v i chu k ới phép biến ỳ 2 :
) ( )
( )
( )
( ( 2 ) ( 2 ). j n j
n
n k j n
k
i u ó có ngh a l ch c n nghiên c u h m t n s
Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số đ ĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số à ỉ cần nghiên cứu hàm tần số ần hoàn của hàm mũ ức à ần hoàn của hàm mũ ố X (e j ) c a các dãy r i r c ủa thuật ngữ tiếng Anh ời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng x(n) v i ới phép biến (- , ) ho c ặc
( 0 , 2 ).
S d ng bi n ử dụng biến đổi ục ến đổi đổi Fourier cho phép nghiên c u ph c a tín hi u s v i ức ổi ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : ố à đặc c tính t n s c a h x lý s N uần hoàn của hàm mũ ố ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : ử dụng biến đổi ố ến đổi
x(n) l tín hi u s thì à ệu như sau : ố [ ( )] ( )
e j n
x
FT X l ph c a tín hi u à ổi ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : x(n), còn v i ới phép biến h(n) l à đặc c tính xung c a h x lýủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : ử dụng biến đổi
s thì ố [ ( )] ( )
e j n
h
FT H l à đặc c tính t n s c a h x lý s ần hoàn của hàm mũ ố ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : ử dụng biến đổi ố
Theo định nghĩa, biến đổi nh ngh a, bi n ĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-2] ch t n t i n u dãy ỉ cần nghiên cứu hàm tần số ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi x(n) tho mãn i u ki n kh t ng tuy tải thay dấu tích phân bằng dấu tổng đ ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ệu như sau : ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ổi ệu như sau :
i
đố [3.1-1] i u ó có ngh a l , n u dãy Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số đ ĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số à ến đổi x(n) tho mãn i u ki n ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng đ ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ệu như sau : [3.1-1] thì chu i ỗi [3.1-2] s h i t v h m ẽ hội tụ về hàm ội tụ về hàm ục ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số à X (e j ), nên x(n) t n t i bi n ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier Ngi ược ký hiệu như sau : ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng c l i, n u dãy ến đổi x(n) không tho mãn i u ki n ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng đ ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ệu như sau : [3.1-1] thì chu i ỗi [3.1-2] s phân k ,ẽ hội tụ về hàm ỳ
vì th h m ến đổi à X (e j ) không t n t i v ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng à x(n) không có bi n ến đổi đổi Fourier.i
Các tín hi u s ệu như sau : ố x(n) có n ng lăng lượng hữu hạn : ược ký hiệu như sau :ng h u h n :ữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng
n
luôn th a mãn i u ki n ỏa mãn điều kiện đ ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ệu như sau : [3.1-1] , do ó luôn t n t i bi n đ ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier.i
Ví dụ 3.1 : Hãy xét s t n t i v tìm bi n ự tồn tại và tìm biến đổi ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng à ến đổi đổi Fourier c a các dãy sau :i ủa thuật ngữ tiếng Anh
a u (n) b 2n u(n) c 2 n u(n)
d (n) e (n k) f rect N (n)
Gi i : ả mãn điều kiện : a.
1 )
(
n n
n u
H m à u(n) không tho mãn ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng [3.1-1] nên không t n t i bi n ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier.i
2
2 ( )
n n n
n u n
H m à 2n u(n) không tho mãn ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng [3.1-1] nên không t n t i bi n ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier.i
2 1
1 2
0
)
n
n n
n u n
Hàm 2-n u(n) tho mãn ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng [3.1-1] nên t n t i bi n ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier :i
Trang 2
0 1
0
.
).
( )]
2
[
n
n j n
n j n n
n j n
e e
n u
5 , 0 1
1 2
1
1 2
[
)]
n
n
Hàm (n) tho mãn ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng [3.1-1] nên t n t i bi n ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier :i
1
1 0
.
).
( )]
(
n
n
e n n
e) Chu i ỗi [3.1-1]đố ới phép biếni v i (n - k) h i t nên nó ội tụ về hàm ục có bi n ến đổi đổi Fourier :i
n
n
e n n
)] ( ).
(
N
N
N
n n
n rect 1
0
1
) (
Hàm rect N (n)tho mãn ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng [3.1-1] nên t n t i bi n ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier, :i
j j n
n j n
n j
e
e e
e n rect n
rect
FT
N N
N
1 0
)
( )]
(
Có th th y r ng, các dãy có ển dãy số ất phát từ biểu thức biến đổi ằng dấu tổng đội tụ về hàm dài h u h n luôn t n t i bi n ữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier, còn các dãy có đội tụ về hàm i dài vô h n s t n t i bi n ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ẽ hội tụ về hàm ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier n u chu i i ến đổi ỗi [3.1-1] c a nó h i t ủa thuật ngữ tiếng Anh ội tụ về hàm ục
Vì X (e j ) l h m ph c, nên có th bi u di n nó dà à ức ển dãy số ển dãy số ễn nó dưới các dạng, phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, ưới phép biếni các d ng, ph n th c v ph n o, mô un v argumen,ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ần hoàn của hàm mũ ự tồn tại và tìm biến đổi à ần hoàn của hàm mũ ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng đ à
l n v pha
đội tụ về hàm ới phép biến à
1 D ng ph n th c v ph n o ạng phần thực và phần ảo ần thực và phần ảo ực và phần ảo à phần ảo ần thực và phần ảo ảo
) ( )
( )
( j X R X I
Theo công th c ức Euler có :
cos( ) sin( )
) ( )
( )
n
n j n
j
[3.1-11]
H m ph n th c : à ần hoàn của hàm mũ ự tồn tại và tìm biến đổi
n
j
H m ph n o : à ần hoàn của hàm mũ ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng
n
j
2 D ng mô un v argumen ạng phần thực và phần ảo đun và argumen à phần ảo
) (
) ( ) (e j X e j e j
I R
j
X X
) (
) ( )
( )
(
R
I j
X
X
X (e j ) được ký hiệu như sau :c g i l h m biên ) à à đội tụ về hàm ần hoàn của hàm mũ ố t n s , nó l h m ch n v à à ẵn và đối xứng qua trục tung : à đố ức i x ng qua tr c tung : ục X (e j )= X (e - j )
() được ký hiệu như sau :c g i l h m pha t n s , nó) à à ần hoàn của hàm mũ ố l h m l v ph n à à ẻ và phản đối xứng qua gốc toạ độ : à ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng đố ức i x ng qua g c to ố ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng đội tụ về hàm : () = - (-).
3 D ng ạng phần thực và phần ảo đun và argumenộ lớn và pha ớn và pha l n v pha à phần ảo
) ( )
).
( ) (e j A e j e j A e j e j
Hàm đội tụ về hàm ới phép biến A(e l n j ) có th nh n các giá tr dển dãy số ận ịnh nghĩa, biến đổi ương hoặc âm, và :ng ho c âm, và :ặc
) ( )
(e j X e j
V i ới phép biến Arg[A(e j )]ph thu c vào d u c a hàm ục ội tụ về hàm ất phát từ biểu thức biến đổi ủa thuật ngữ tiếng Anh A(e j )nh sau :ư
0 0 0
) ( ) ( )]
(
j j
e Khi e Khi e
Arg
A A A
M t cách t ng quát, có th vi t :ội tụ về hàm ổi ển dãy số ến đổi
) ( ) (
1 2 1
2
)]
(
j e A
j e A
j
e Arg A
Theo [3.1-20] , có th bi u di n hàm pha ển dãy số ển dãy số ễn nó dưới các dạng, phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, () dưới phép biếni d ng nh sau :ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ư
) ( ) ( )
( )
j e A
j e A
[3.1-21]
Trang 3Ví dụ 3.2 : Hãy xác nh các hàm ph n th c và ph n o, mô un và argumen, định nghĩa, biến đổi ần hoàn của hàm mũ ự tồn tại và tìm biến đổi ần hoàn của hàm mũ ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng đ đội tụ về hàm ới phép biến l n và pha c aủa thuật ngữ tiếng Anh hàm t n s ần hoàn của hàm mũ ố
e
cos( ).
)
Gi i : ả mãn điều kiện : Theo [3.1-11] có : X(e j) cos( 2) cos() jcos( 2) sin()
Hàm ph n th c :ần hoàn của hàm mũ ự tồn tại và tìm biến đổi X R() cos(2).cos()
Hàm ph n o :ần hoàn của hàm mũ ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng X I() cos(2).sin()
Mô un : đ X(e j ) cos2( 2 ) cos2( ) cos2( 2 ) cos2( ) cos( 2 )
) cos(
)
cos(
) sin(
)
cos(
) (
2
2
arctg
Hàm đội tụ về hàm ới phép biến l n : A(e j) cos( 2)
) cos(
) cos(
) (
2
2 1
Theo bi u th c nh ngh a ển dãy số ức định nghĩa, biến đổi ĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số [2.1-1] c a bi n ủa thuật ngữ tiếng Anh ến đổi đổi i Z có :
n
n
z n x z
n x
ZT[( ( )] X( ) ( ) , v i ới phép biến RC[X(z)]: R x |z| R x
Bi u di n s ph c ển dãy số ễn nó dưới các dạng, phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, ố ức z theo t a ) đội tụ về hàm ự tồn tại và tìm biến đổi c c : z = r.e j v i |ới phép biến z|= r v à arg [z] =
n
n j n n
n j
e r
X( ) ( ) ( ).( ) ( )
Khi |z|= r = 1 thì z = e j , nên nh n ận được ký hiệu như sau :c :
n
n j j
e z
Theo [3.1-22] thì bi n ến đổi đổi Fourier chính l bi n i à ến đổi đổi i Z khi z n m trên vòng tròn ằng dấu tổng đơng hoặc âm, và :n v ịnh nghĩa, biến đổi z = 1 , ngh a l bi nĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số à ến đổi
i
đổi Fourier l m t trà ội tụ về hàm ười rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ng h p riêng c a bi n ợc ký hiệu như sau : ủa thuật ngữ tiếng Anh ến đổi đổi i Z
a R x |z| 1 , tồn tạiFT b R x |z| 1 , không tồn tạiFT
Hình3.1: Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
T hình ừ biểu thức biến đổi 3.1a th y r ng, n u h m ất phát từ biểu thức biến đổi ằng dấu tổng ến đổi à X (z) h i t trên vòng tròn ội tụ về hàm ục đơng hoặc âm, và :n v ịnh nghĩa, biến đổi z = 1 thì ch c ch n dãy ắt của thuật ngữ tiếng Anh ắt của thuật ngữ tiếng Anh x(n) t n t iồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng
bi n ến đổi đổi Fourier, v ngi à ược ký hiệu như sau : ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng c l i T hình ừ biểu thức biến đổi 3.1b, n u h m ến đổi à X (z) không h i t trên vòng tròn ội tụ về hàm ục đơng hoặc âm, và :n v ịnh nghĩa, biến đổi z = 1, thì dãy x(n)
s không t n t i bi n ẽ hội tụ về hàm ồn tại nếu dãy ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier, v ngi à ược ký hiệu như sau : ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng c l i
H m b c thang à ận đơng hoặc âm, và :n v ịnh nghĩa, biến đổi u(n) l m t ví d : H m à ội tụ về hàm ục à ZT[(u(n)] U(z) có RC[U(z)]:|z| 1, do U (z)
không h i t trên vòng tròn ội tụ về hàm ục đơng hoặc âm, và :n v ịnh nghĩa, biến đổi z = 1 nên u(n) không có bi n ến đổi đổi Fourier, câu a ví d i ục 3.1 ã ch ng minh i uđ ức đ ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ó
đ
Bi n ến đổi đổi Fourier ngi ược ký hiệu như sau :c cho phép tìm dãy x(n) t h m nh ừ biểu thức biến đổi à ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng X (e j ) Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ển dãy số tìm bi u th c c a phép bi n ển dãy số ức ủa thuật ngữ tiếng Anh ến đổi đổi i
Fourier ngược ký hiệu như sau :c, xu t phát t bi u th c ất phát từ biểu thức biến đổi ừ biểu thức biến đổi ển dãy số ức Fourier thu n ận [3.1-2] :
n j n
e
X( ) ( ) .
Nhân c hai v c a ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi ủa thuật ngữ tiếng Anh [3.1-23] v i ới phép biến e j.m r i l y tích phân trong kho ng ồn tại nếu dãy ất phát từ biểu thức biến đổi ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng (- , ) , nh n ận được ký hiệu như sau :c :
d e
n n
m j n j m
j j
Vì :
n m khi
n m khi d
e j m n
0
2
)
T ó suy ra bi u th c c a phép bi n ừ biểu thức biến đổi đ ển dãy số ức ủa thuật ngữ tiếng Anh ến đổi đổi Fourier ngi ược ký hiệu như sau :c :
Trang 4
n
x( ) X( j ) j .n
2
1
[3.1-24]
Phép bi n ến đổi đổi Fourier ngi ược ký hiệu như sau : được ký hiệu như sau :c c ký hi u nh sau :ệu như sau : ư
) ( )]
( [X e j x n
(IFT l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh à ữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh ến đổi ắt của thuật ngữ tiếng Anh ủa thuật ngữ tiếng Anh ận ữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh ến đổi Inverse Fourier Transform).
Bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-23] v bi u th c bi n à ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier ngi ược ký hiệu như sau :c [3.1-24] h p th nh c p bi nợc ký hiệu như sau : à ặc ến đổi
i
đổi Fourier c a dãy s ủa thuật ngữ tiếng Anh ố x(n).
Ví dụ 3.3 : Hãy tìm tín hi u s ệu như sau : ố x(n) có h m ph l à ổi à X(e j ) cos().e j2
Gi i : ả mãn điều kiện : Theo [3.1-24] có :
n
x( ) cos( ) j2 j .n
2 1
n
4
1 2
2
1
) (
) (
) (
1
| )
(
1 )
3 1
4
e n j
e n j n
x
) ( )
( )
(
3 1
4
1 ( 1) ( 1) ( 3) ( 3)
n j
e e
n j
e e
n
x
n j n
j n
j n
2 3
2
1 2
1 2
) (
] [
) ( )
(
) 3 ( )
3 ( )
1 ( )
1 (
j
e e
n j
e e
n n
x
n j n
j n
j n
) (
] ) sin[(
) (
] ) sin[(
)
(
3
3 2
1 1
1 2
1
n
n n
n n
x
) (
] sin[(
)
(
]
sin[(
0
1
k k
k k
k k
k
n n
n n
khi
n khi n
n
2
1 1 2
1
n
Vì X(e j)X(z) ze j , nên đển dãy số ận l p b ng bi n ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi Fourier ch c n s d ng b ng bi n i ỉ cần nghiên cứu hàm tần số ần hoàn của hàm mũ ử dụng biến đổi ục ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi đổi z khi thay z =i
e j , v à đển dãy số tìm bi n ến đổi đổi Fourier ngi ược ký hiệu như sau :c, ngo i cách tính tr c ti p tích phân à ự tồn tại và tìm biến đổi ến đổi [3.1-24], c ng có th s d ng các phũ ển dãy số ử dụng biến đổi ục ương hoặc âm, và :ng pháp gi ng nh tìm bi n ố ư ến đổi đổi i Z ngược ký hiệu như sau :c
Do bi n ến đổi đổi Fourier l m t tri à ội tụ về hàm ười rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ng h p riêng c a bi n ợc ký hiệu như sau : ủa thuật ngữ tiếng Anh ến đổi đổi i Z nên, bi n ến đổi đổi Fourier c ng có các tính ch ti ũ ất phát từ biểu thức biến đổi
gi ng nh bi n ố ư ến đổi đổi i Z Dưới phép biến đi ây trình b y các tính ch t thần hoàn của hàm mũ ất phát từ biểu thức biến đổi ười rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ng được ký hiệu như sau : ử dụng biến đổi ục c s d ng khi phân tích ph tín hi u s v ổi ệu như sau : ố à đặc c tính t n s c a h x lý s ần hoàn của hàm mũ ố ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : ử dụng biến đổi ố
3.1.3 a Tính chất tuyến tính :H m t n s c a t h p tuy n tính các dãy b ng t h p tuy n tính các h m ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ổi ợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ếu dãy ằng tổ hợp tuyến tính các hàm ổi ợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ếu dãy
t n s th nh ph n ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm
N u : ến đổi [ ( )] ( j)
i
x
i i
i i
i i
Trong ó các h s đ ệu như sau : ố Ai l các h ng s à ằng dấu tổng ố
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-2] có :
n
n j i
i i
n j i
i i
i i
e
i i
n
n j
, nên nh n ận được ký hiệu như sau :c [3.1-27]
Ví dụ 3.4 : Hãy tìm h m ph c a tín hi u s à ổi ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : ố ( ) ( ) ( 3 )
2
1 1 2
1
n
Gi i : ả mãn điều kiện : Theo tính ch t tuy n tính c a bi n ất phát từ biểu thức biến đổi ến đổi ủa thuật ngữ tiếng Anh ến đổi đổi Fourier có : i
2
1 2
1 3
2
1 1
2
1
).
( ).
( )
n
n j n
n j
e
) (
) (
2
j j
j j
e
Các ví d ục 3.3 v à3.4 l hai b i toán ngà à ược ký hiệu như sau :c nhau, v i k t qu l ới phép biến ến đổi ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng à đồn tại nếu dãy ng nh t.ất phát từ biểu thức biến đổi
3.1.3b Tính chất trễ :Khi d ch tr dãy ịch trễ dãy ễ dãy x(n) điều kiện : i k m u thì h m biên ẫu thì hàm biên độ tần số điều kiện :ộ tần số t n s ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàmX (e j ) không thay điều kiện :ổi i, ch có ỉ có
h m pha t n s ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm() b d ch i l ịch trễ dãy ịch trễ dãy điều kiện : ư sau :ợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ng k.
Trang 5N u : ến đổi FT[x(n)] X(e j ) X(e j ) e j ( )
Thì : FTx(n k) e jkX(e j ) X(e j ) e j[ ( ) k ]
N u ến đổi k > 0 l à x(n) b gi tr ịnh nghĩa, biến đổi ữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh ễn nó dưới các dạng, phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, k m u, ẫu, n u ến đổi k < 0 l à x(n) được ký hiệu như sau : đẩy sớm ới phép biến k m u.c y s m ẫu,
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-2] có :
( ) ( ) ( ) ( ) j k ( j )
n
k n j k
j n
n
e k n x k
n x
Ví dụ 3.5 : Hãy tìm : X(e j) FT[ 2 n rect N(n)]
Gi i : ả mãn điều kiện : Có 2 n rect(n) 2 n u(n) 2 n u(n N)
Nên : X(e j ) FT[2 n u(n)] FT[2 N.2 (n N)u(n N)]
Theo bi u th c ển dãy số ức [3.1-6] v tính ch t d ch c a bi n à ất phát từ biểu thức biến đổi ịnh nghĩa, biến đổi ủa thuật ngữ tiếng Anh ến đổi đổi Fourier nh n i ận được ký hiệu như sau :c :
N
N j j
j
e e
e
5 , 0 1
1 5
, 0 1
1
)
V y :ận
j
j n
j
e
e n
rect FT
e
N N
X
5 , 0 1
5 , 0 1
)]
( [
)
3.1.3 c Tính chất trễ của hàm tần số :Khi nhân dãy x(n) v i ới ej 0n, trong ó điều kiện : 0 l h ng s , ằng tổ hợp tuyến tính các hàm ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm thì h m t n số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm
X (e j ) không b bi n d ng m ch t nh ti n trên tr c t n s m t kho ng b ng ịch trễ dãy ếu dãy ại phép biến đổi ỉ có ịch trễ dãy ếu dãy ục tần số một khoảng bằng ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ộ tần số ả mãn điều kiện : ằng tổ hợp tuyến tính các hàm 0 , theo chi u ng ều kiện : ư sau :ợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm c v i d u ới ấu
c a ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm 0.
N u : ến đổi FT[x(n)] X(e j )
Thì : FT ej0nx ( n ) X( ej( 0)) [3.1-30]
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-2] có :
0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 ) ( ( 0 ) )
n
n j
n
n j n j n
e
Ví dụ 3.6 : Tín hi u s ệu như sau : ố x(n) có ph t n s l ổi ần hoàn của hàm mũ ố à X(e j) FT[x(n)], hãy tìm ph t n s c a tín hi u i u biênổi ần hoàn của hàm mũ ố ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : đ ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số
) cos(
)
(
)
Gi i : ả mãn điều kiện : Có :
2
0 0
) cos( 0
n j n
e n
FT x n e j n FT x n ej n n
n x
2
1 2
1 0
Theo tính ch t d ch c a h m t n s nh n ất phát từ biểu thức biến đổi ịnh nghĩa, biến đổi ủa thuật ngữ tiếng Anh à ần hoàn của hàm mũ ố ận được ký hiệu như sau :c :
) (
)
2
1 2
1
)]
cos(
).
(
n n
x
Bi u th c ển dãy số ức [3.1-31] chính là n i dung c a nh lý i u biên.ội tụ về hàm ủa thuật ngữ tiếng Anh định nghĩa, biến đổi đ ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số
3.1.3d Tính chất biến đảo :Bi n ếu dãy điều kiện :ổi i Fourier c a các dãy th c có bi n ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ực có biến đảo ếu dãy điều kiện :ả mãn điều kiện : o x(n) v x(-n) l hai h m liên
h p ph c ợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ứng minh :
N u : ến đổi FT[x(n)] X(e j ) X(e j ) e j ( )
Thì : FTx( n) X(e j ) X* (e j ) X(e j ) e j ( )
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-2] có :
( ) ( ) ( ) ( ).( ) ( j)
n
n j
n
n
e n x n
x
Vì x(-n) l dãy th c nên à ự tồn tại và tìm biến đổi X(ej ) X* (e j ), do ó nh n đ ận được ký hiệu như sau :c [3.1-32]
Nh v y, các dãy th c nhân qu và ph n nhân qu tư ận ự tồn tại và tìm biến đổi ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ương hoặc âm, và :ng ng có hàm biên ức đội tụ về hàm ần hoàn của hàm mũ t n s gi ngố ố nhau, còn hàm pha t n s ngần hoàn của hàm mũ ố ược ký hiệu như sau :c d u.ất phát từ biểu thức biến đổi
Ví dụ 3.7 : Hãy tìm X(e j) FT[ 2n u( n)]
Gi i : ả mãn điều kiện : Theo bi u th c ển dãy số ức [3.1-6] v tính ch t bi n à ất phát từ biểu thức biến đổi ến đổi đải thay dấu tích phân bằng dấu tổng o có :
j n
e n
u FT
)]
(
5 , 0 1
1 2
[
3.1.3 e Hàm tần số của tích chập hai dãy : H m t n s c a tích ch p hai dãy b ng tích c a hai ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ập hai dãy bằng tích của hai ằng tổ hợp tuyến tính các hàm ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm
h m t n s th nh ph n ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm
N u : ến đổi FT[x1(n)] X1(e j) và FT[x2(n)]X2(e j)
Thì : Y(e j) FTx1(n)*x2(n) X1(e j).X2(e j) [3.1-33]
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-2] có :
e
Trang 6
n
k j k j k
n j
e
Y( ) 1( ). 2( ) . . .
2
k n j k
j
Ví dụ 3.8 : Hãy tìm X(e j ) FT[ 2n u(n) *(n 1 )]
Gi i : ả mãn điều kiện : S d ng các bi u th c ử dụng biến đổi ục ển dãy số ức [3.1-6] , [3.1-8] v i ới phép biến k = 1 , và [3.1-33] , tìm được ký hiệu như sau :c :
j n
e n
u
5 , 0 1
1 2
)]
( 1 [
j
j j
j j
e
e e
e e
5 , 0 1 5
, 0 1
1
)
(
3.1.3f Hàm tần số của tích hai dãy : H m t n s c a tích hai dãy b ng tích ch p c a hai h m t n s ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ằng tổ hợp tuyến tính các hàm ập hai dãy bằng tích của hai ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ố của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm
th nh ph n chia cho 2.
N u : ến đổi FT[x1(n)] X1(e j) và FT[x2(n)]X2(e j)
n x n x
2 1
2 1
2
1
[3.1-34]
2
j
e n
x n x
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-2] có :
n
n j
e n x n x n
x n x
2 1 2
Khi thay x1(n) b ng bi u th c bi n ằng dấu tổng ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier ngi ược ký hiệu như sau : ủa thuật ngữ tiếng Anh c c a nó :
n
x1( ) X1( j ) j .n
2 1
n
n j n
j
e n
x n x
2
) ( )
2
' 1 2
1
2
1
d e
n x e
n x n x
FT
n
n j
j X
2 1
2 1
2
1 2
j
e n
x n x
3.1.3 g Công thức Parseval tính n ng l ăng lượng của tín hiệu theo hàm phổ ư sau :ợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ng c a tín hi u theo h m ph ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ện : ổi
n x
n
2
1
[3.1-37]
Ch ng minh : ứng minh : Vi t l i bi u th c ến đổi ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ển dãy số ức [3.1-36] dưới phép biến ạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng i d ng :
n
n j n
j j n
n
e n x n
2
Chia c hai v c a bi u th c trên cho ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi ủa thuật ngữ tiếng Anh ển dãy số ức e j n, nh n ận được ký hiệu như sau :c :
) ( )
2
'.
1 2
1
2
1
d e
e n x n
x n
n
n j n
X
) ( )
2
' 1 2
1
2
1
d e e
n x n
n
X X
Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [1.3-5], v trái c a bi u th c trên chính l n ng lến đổi ủa thuật ngữ tiếng Anh ển dãy số ức à ăng lượng hữu hạn : ược ký hiệu như sau :ng E xc a tín hi u s ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : ố x(n) :
n x
n
2
1 2
1
n x
n
2
1
2
[3.1-38]
) ( ) ( j
x X e
Trang 7(
x
S được ký hiệu như sau :c g i l h m m t ) à à ận đội tụ về hàm ph n ng lổi ăng lượng hữu hạn : ược ký hiệu như sau :ng c a tín hi u s ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : ố x(n), nó l h m ch n v à à ẵn và đối xứng qua trục tung : à đố ức i x ng qua
tr c tung V b n ch t v t lý, h m m t ục ều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ất phát từ biểu thức biến đổi ận à ận đội tụ về hàm ph n ng lổi ăng lượng hữu hạn : ược ký hiệu như sau :ng S x()chính l h m phân b n ng là à ố ăng lượng hữu hạn : ược ký hiệu như sau :ng c a tín hi uủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : trên tr c t n s ục ần hoàn của hàm mũ ố
Ví dụ 3.9 : Hãy xác nh n ng lđịnh nghĩa, biến đổi ăng lượng hữu hạn : ược ký hiệu như sau :ng c a tín hi u s ủa thuật ngữ tiếng Anh ệu như sau : ố x(n) 2 n u(n)
theo c hàm th i gian vàải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng hàm ph , so sánh hai k t qu nh n ổi ến đổi ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ận được ký hiệu như sau :c
Gi i : ả mãn điều kiện : Theo h m th i gian có :à ời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng
2
0
2
3
4 4
1
1 4
2 ( 2
) (
) )
(
n n n
n n
n
E
xác nh n ng l ng theo h m ph , tr c h t tìm :
Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số ển dãy số định nghĩa, biến đổi ăng lượng hữu hạn : ược ký hiệu như sau : à ổi ưới phép biến ến đổi
sin cos ).
( )
(
5 , 0 5
, 0 1
1 5
, 0 1
1 2
j e
e n u
n
n j n
j
X
cos )
sin ( ) cos (
) (
25 , 1 1 5
, 0 5
, 0 1
1
2
j
e
X
Tính n ng lăng lượng hữu hạn : ược ký hiệu như sau :ng c a ủa thuật ngữ tiếng Anh x(n) b ng công th c ằng dấu tổng ức Parseval [3.1-38] :
|
1 25 , 1
1 25 , 1 1
25 , 1
2 2
1 25
, 1
1 2
1
2 2 2
) ( ).
(
cos
tg arctg
d
E x
3
4 75
, 0
0 75
, 0
1 2
2 3 75
,
0
1
)
E x
K t qu tính n ng lến đổi ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ăng lượng hữu hạn : ược ký hiệu như sau :ng theo hai cách l gi ng nhauà ố [ ây, n u l y ở đây, nếu lấy đ ến đổi ất phát từ biểu thức biến đổi artg(0) 0 thì E x 0, nên ph iải thay dấu tích phân bằng dấu tổng
l y ất phát từ biểu thức biến đổi artg(0) ]
N u : ến đổi FT[x(n)] X(e j )
d
e d j n x n FT
j
) (
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-2] có :
n
n j j
n
n j
d
e d e
n x n
x FT
Nhân c hai v c a bi u th c trên v i ải thay dấu tích phân bằng dấu tổng ến đổi ủa thuật ngữ tiếng Anh ển dãy số ức ới phép biến j , nh n ận được ký hiệu như sau :c bi u th c ển dãy số ức [3.1-40]
Ví dụ 3.10 : Hãy tìm bi n ến đổi đổi Fourier c a dãy i ủa thuật ngữ tiếng Anh x(n) 2 n n.u(n)
Gi i : ả mãn điều kiện : a Có : n j
e n
u
5 , 0 1
1 2
[ ( )]
5 , 0 1 5 , 0 5
, 0 1
1
)]
( [
j j
n
e
e e
d
d j
n u n FT
N u : ến đổi FT[x(n)] X(e j ) và FT[y(n)] Y(e j )
Thì : ( ) ( ) ( j) ( j)
xy
j
xy e FT r m X e Y e
Ch ng minh : ứng minh : Hàm tương hoặc âm, và :ng quan r xy (m)được ký hiệu như sau :c xác nh theo định nghĩa, biến đổi [1.8-1] chở đây, nếu lấy ương hoặc âm, và :ng m t :ội tụ về hàm
n
Theo bi u th c bi n ển dãy số ức ến đổi đổi Fourier thu n i ận [3.1-2] có :
m
m j n
m
m j xy
r
m
n j n j m j n
r
m
m n j n
n j
r
Ví dụ 3.11 : Cho các tín hi u s ệu như sau : ố x(n) 2 n u(n) và y(n) (n 1) , hãy tìm hàm phổi
)
(e j FT r xy m
xy
Gi i : ả mãn điều kiện : S d ng ử dụng biến đổi ục [3.1-6] , [3.1-8] v i ới phép biến k = 1 , v à[3.1-41], tìm được ký hiệu như sau :c :
j
j j
j j
j j
xy
e
e e
e e
e
5 , 0 1 5
, 0 1
1
)
( )
( ) (
