Bài tập phân tích tính phổ của tín hiệu số

Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc t

Ch ng baương d ng bi n i ứ ụ ế đổ Fourier phân tích tín hi u s v h x lý sàệ ố ệ ử ốGiáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1 bi n i ế đổ Fourier c a dãy sủ ố3.1.1 Biến đổi Fourier thuận3.1.1a Định nghĩa : N u dãy ế x(n) tho mãn i u ki n :ả đ ề ệ∞<∑∞−∞=nnx )([3.1-1]thì s t n t i phép bi n i ẽ ồ ạ ế đổ Fourier nh sau :ưnjnjenxeX.)()(ωω−∞−∞=∑=[3.1-2]Bi n i ế đổ Fourier ã chuy n dãy s đ ể ố x(n) th nh h m ph c à à ứ X(ejω), [3.1-2] l bi u th c bi n i à ể ứ ế đổ Fourier thu n vàậ c ký hi u nh sau :đượ ệ ư)()]([∞=jenxFTX[3.1-3]hay : )()(∞→jFTenxX[3.1-4](FT l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh à ữ ế ắ ủ ậ ữ ế Fourier Transform). Ký hi u ệ X(ejω) phân bi t phép bi n i để ệ ế đổ Fourier c a dãy s ủ ố x(n) )()]([∞=jenxFTX v i phép bi n iớ ế đổ Fourier c a h m liên t c àủ ụ x(t) : ∫∞∞−−•==dtetxtxFTtjXωω).()()]([.Bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier c a dãy s ủ ố x(n) [3.1-2] l su t phát t bi u th c bi n i à ấ ừ ể ứ ế đổ Fourier c a h m liên t càủ ụ x(t), vì khi h m d i d u tích phân l dãy r i r c thì ph i thay d u tích phân b ng d u t ng .à àướ ấ ờ ạ ả ấ ằ ấ ổDo tính ch t tu n ho n c a h m m à àấ ầ ủ ũ ejω, nên X(ejω) l h m tu n ho n c a bi n à à àầ ủ ếω v i chu k ớ ỳ 2π :)()()()(.).2.()2.(ωωωωππjnjnnkjnkjeenxenxeXX===−∞−∞=+−∞−∞=+∑∑i u ó có ngh a l ch c n nghiên c u h m t n s à àĐ ề đ ĩ ỉ ầ ứ ầ ố X(ejω) c a các dãy r i r c ủ ờ ạ x(n) v i ớω ∈ (-π , π ) ho c ặω ∈ ( 0 , 2π ).S d ng bi n i ử ụ ế đổ Fourier cho phép nghiên c u ph c a tín hi u s v c tính t n s c a h x lý s . N uàứ ổ ủ ệ ố đặ ầ ố ủ ệ ử ố ế x(n) l tín hi u s thì à ệ ố)()]([∞=jenxFTX l ph c a tín hi u à ổ ủ ệ x(n), còn v i ớ h(n) l c tính xung c a h x lý s thìà đặ ủ ệ ử ố )()]([∞=jenhFTH l c tính t n s c a h x lý s . à đặ ầ ố ủ ệ ử ố3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi FourierTheo nh ngh a, bi n i đị ĩ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] ch t n t i n u dãy ỉ ồ ạ ế x(n) tho mãn i u ki n kh t ng tuy tả đ ề ệ ả ổ ệ i đố [3.1-1]. i u ó có ngh a l , n u dãy àĐ ề đ ĩ ế x(n) tho mãn i u ki n ả đ ề ệ [3.1-1] thì chu i ỗ [3.1-2] s h i t v h m àẽ ộ ụ ề X(ejω), nên x(n) t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier. Ng c l i, n u dãy ượ ạ ế x(n) không tho mãn i u ki n ả đ ề ệ [3.1-1] thì chu i ỗ [3.1-2] s phân k ,ẽ ỳ vì th h m àế X(ejω) không t n t i v àồ ạ x(n) không có bi n i ế đổ Fourier.Các tín hi u s ệ ố x(n) có n ng l ng h u h n :ă ượ ữ ạ∞<=∑∞−∞=nxnxE2)([3.1-5]luôn th a mãn i u ki n ỏ đ ề ệ [3.1-1] , do ó luôn t n t i bi n i đ ồ ạ ế đổ Fourier.Ví dụ 3.1 : Hãy xét s t n t i v tìm bi n i àự ồ ạ ế đổ Fourier c a các dãy sau :ủa. )(nub. )(2 nunc. )(2 nun−d. )(nδe. )( kn −δf. )(nrectN119 Gi i :ả a.∞==∑∑∞=∞−∞=01)(nnnuH m à u(n) không tho mãn ả [3.1-1] nên không t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier.b.∞==∑∑∞=∞−∞=022)(nnnnnuH m à 2nu(n) không tho mãn ả [3.1-1] nên không t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier.c.22112210)(=−==−∞−=−∞−∞=−∑∑nnnnnuHàm 2-nu(n) tho mãn ả [3.1-1] nên t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier :( )∑∑∑∞=−−∞=−−∞−∞=−−−===010 .).()](2222[nnjnnjnnnjnneeenunuFTωωωV y :ậωωjjneenuFT−−−−−=−=5,0112112[.)](1[3.1-6]d.1)(=∑∞−∞=nnδHàm δ(n) tho mãn ả [3.1-1] nên t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier :1.10.).()]([===−∞−∞=−∑ωωδδjnnjeennFT[3.1-7]e) Chu i ỗ [3.1-1] i v i đố ớδ(n - k) h i t nên nó ộ ụ có bi n i ế đổ Fourier :ωωδδjknnjeennFTkk−∞−∞=−=−=−∑).()]([[3.1-8]f.∞<==∑∑−=∞−∞=NNNnnnrect101)(Hàm rect N(n) tho mãn ả [3.1-1] nên t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier, : ( )ωωωωjjnnjnnjeeeenrectnrectFTNNNN−−−=−∞−∞=−−−===∑∑1110).()]([[3.1-9] Có th th y r ng, các dãy có dài h u h n luôn t n t i bi n i ể ấ ằ độ ữ ạ ồ ạ ế đổ Fourier, còn các dãy có độ dài vô h n s t n t i bi n i ạ ẽ ồ ạ ế đổ Fourier n u chu i ế ỗ [3.1-1] c a nó h i t .ủ ộ ụ3.1.1c Các dạng biểu diễn của hàm X(ejω)Vì X(ejω) l h m ph c, nên có th bi u di n nó d i các d ng, ph n th c v ph n o, mô un v argumen, à à à àứ ể ể ễ ướ ạ ầ ự ầ ả đ độ l n v pha.àớ1. D ng ph n th c v ph n oàạ ầ ự ầ ả )()()(ωωωIRjXXXje+=[3.1-10]Theo công th c ứ Euler có : [ ]).sin().cos()()()(.njnnxenxennjnjXωωωω−==∑∑∞−∞=−∞−∞=[3.1-11] H m ph n th c : à ầ ự∑∞−∞===njRnnxeXX).cos().()](Re[)(ωωω[3.1-12]H m ph n o : à ầ ả∑∞−∞=−==njInnxeXX).sin().()](Im[)(ωωω[3.1-13]2. D ng mô un v argumenàạ đ)(.)()(ωϕωωjjjeeeXX=[3.1-14]Mô un : đ)()()(22ωωωIRjXXXe+=[3.1-15]Argumen : [ ]==)()()()(ωωωϕωRIjXXXarctgeArg[3.1-16]X(ejω) c g i l h m biên t n s , nó l h m ch n v i x ng qua tr c tung : à à à à àđượ ọ độ ầ ố ẵ đố ứ ụ X(ejω)=X(e- jω)ϕ(ω) c g i l h m pha t n s , nóà àđượ ọ ầ ố l h m l v ph n i x ng qua g c to : à à àẻ ả đố ứ ố ạ độϕ(ω) = - ϕ(-ω).3. D ng l n v phaàạ độ ớ120 )()(.)().()(ωϕωωθωωjjjjjeeeeeAAX==[3.1-17]Hàm l n độ ớ A(ejω) có th nh n các giá tr d ng ho c âm, và :ể ậ ị ươ ặ )()(ωωjjeeXA=[3.1-18]Còn :)()()]([ωϕωθω=+jeArgA[3.1-19]Hàm pha :)]([)()(ωωϕωθjeArgA−=[3.1-20]V i ớ)]([ωjeArgAph thu c vào d u c a hàm ụ ộ ấ ủ)(ωjeAnh sau :ư<≥=000)()()]([ωωωπjjjeKhieKhieArgAAAM t cách t ng quát, có th vi t :ộ ổ ể ế== −− )()()(1212)]([ωωωππωjeASignjeAjeAjeArg ATheo [3.1-20] , có th bi u di n hàm pha ể ể ễθ(ω) d i d ng nh sau :ướ ạ ư−−=)()()()(12ωωωϕωθπjeAjeA[3.1-21]Ví dụ 3.2 : Hãy xác nh các hàm ph n th c và ph n o, mô un và argumen, l n và pha c ađị ầ ự ầ ả đ độ ớ ủ hàm t n s ầ ốωωωjjeeX−=).cos()(2Gi i :ả Theo [3.1-11] có :)sin().cos()cos().cos()(22ωωωωωjejX−=Hàm ph n th c :ầ ự)cos().cos()(2ωωω=RXHàm ph n o :ầ ả)sin().cos()(2ωωω−=IXMô un : đ)cos()(cos).(cos)(cos).(cos)(2222222ωωωωωω=+=jeXArgumen : ωωωωωωϕ−=−=)cos().cos()sin().cos()(22arctgHàm l n : độ ớ)cos()(2ωω=jeAHàm pha : .)cos()cos()(2212−−−=ωωωωθπ3.1.1d Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi ZTheo bi u th c nh ngh a ể ứ đị ĩ [2.1-1] c a bi n i ủ ế đổ Z có :∑∞−∞=−==nnznxznxZTX)()()]([(, v i ớ+−<<xxRRXzzRC ||:)]([Bi u di n s ph c ể ễ ố ứ z theo t a c c : ọ độ ự z = r.ejω v i |ớ z|= r v à arg [z] = ω V y :ậ∑∑∞−∞=−−∞−∞=−===nnjnnnjjernxernxerzXX ).().).(().()(ωωωKhi |z|= r = 1 thì z = ejω , nên nh n c :ậ đượ∑∞−∞=−===nnjjjenxeezzXX.).()()(ωωω[3.1-22]Theo [3.1-22] thì bi n i ế đổ Fourier chính l bi n i à ế đổ Z khi z n m trên vòng tròn n v ằ đơ ị | z | = 1 , ngh a l bi nàĩ ế i đổ Fourier l m t tr ng h p riêng c a bi n i à ộ ườ ợ ủ ế đổ Z.121 a. 1|| =<−zxR , tồn tại FT b. 1|| =≥−zxR , không tồn tại FTHình 3.1 : Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi ZT hình ừ 3.1a th y r ng, n u h m àấ ằ ế X(z) h i t trên vòng tròn n v ộ ụ đơ ị | z | = 1 thì ch c ch n dãy ắ ắ x(n) t n t i bi nồ ạ ế i đổ Fourier, v ng c l i. T hình à ượ ạ ừ 3.1b, n u h m àế X(z) không h i t trên vòng tròn n v ộ ụ đơ ị |z| = 1, thì dãy x(n) s khôngẽ t n t i bi n i ồ ạ ế đổ Fourier, v ng c l i. à ượ ạH m b c thang n v à ậ đơ ị u(n) l m t ví d : H m à àộ ụ)()]([( znuZTU= có 1||:)]([ >zzRCU, do U(z) không h i tộ ụ trên vòng tròn n v đơ ị | z | = 1 nên u(n) không có bi n i ế đổ Fourier, câu a ví d ụ 3.1 ã ch ng minh i u ó.đ ứ đ ề đ3.1.2 Biến đổi Fourier ngượcBi n i ế đổ Fourier ng c cho phép tìm dãy ượ x(n) t h m nh àừ ả X(ejω). tìm bi u th c c a phép bi n iĐể ể ứ ủ ế đổ Fourier ng c, xu t phát t bi u th c ượ ấ ừ ể ứ Fourier thu n ậ [3.1-2] :njnjenxeX.)()(ωω−∞−∞=∑=[3.1-23]Nhân c hai v c a ả ế ủ [3.1-23] v i ớ ejω.m r i l y tích phân trong kho ng ồ ấ ả (-π , π ) , nh n c :ậ đượ∫ ∫ ∫∑∑− − −−∞−∞=∞−∞=−==ππππππωωωωωωωωdenxdeenxdeenmjnnmjnjmjjX).( )(.).().(Vì : ≠==∫−−nmkhinmkhidenmj02)(πωππωNên : )(.).( 2 nxdeenjjXπππωωω=∫−T ó suy ra bi u th c c a phép bi n i ừ đ ể ứ ủ ế đổ Fourier ng c :ượ∫−=ππωωωπdeenxnjjX.).()(21[3.1-24]Phép bi n i ế đổ Fourier ng c c ký hi u nh sau :ượ đượ ệ ư)()]([nxejXIFT=ω[3.1-25]Hay :)()( nxeIFTjX →ω[3.1-26](IFT l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh à ữ ế ắ ủ ậ ữ ế Inverse Fourier Transform).Bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-23] v bi u th c bi n i à ể ứ ế đổ Fourier ng c ượ [3.1-24] h p th nh c p bi nàợ ặ ế i đổ Fourier c a dãy s ủ ố x(n).Ví dụ 3.3 : Hãy tìm tín hi u s ệ ố x(n) có h m ph l à àổωωω2).cos()(jjeeX−=.Gi i :ả Theo [3.1-24] có : ∫−−=ππωωωωπdeenxnjj .2.).cos()(21[ ]∫ ∫− −−−−−+=+=ππππωωωωωωωπωπdeedeeeenxnjnjnjjjj)3()1(.241221 )()(−+−=−−−−ππωππωπ|)(1|)(1)()3()1(3141njnjenjenjnx−−+−−=−−−−−−)()()(3141)3()3()1()1(njeenjeenxnjnjnjnjπππππ23212121][.)(][.)()()3()3()1()1(jeenjeennxnjnjnjnjππππππ−−−−−−−−+−−=ππππ)(])sin[()(])sin[()(33211121−−+−−=nnnnnx122 Vì : )()(])sin[()(])sin[(01kkkkkkknnnnkhinkhinn−=−−⇒≠==−−δππππNên :)()()(321121−+−= nnnxδδVì ωωjjezzeXX==)()(, nên l p b ng bi n i để ậ ả ế đổ Fourier ch c n s d ng b ng bi n i ỉ ầ ử ụ ả ế đổ z khi thay z = ejω , v tìm bi n i à để ế đổ Fourier ng c, ngo i cách tính tr c ti p tích phân àượ ự ế [3.1-24], c ng có th s d ng các ph ngũ ể ử ụ ươ pháp gi ng nh tìm bi n i ố ư ế đổ Z ng c.ượ3.1.3 Các tính chất của biến đổi Fourier Do bi n i ế đổ Fourier l m t tr ng h p riêng c a bi n i à ộ ườ ợ ủ ế đổ Z nên, bi n i ế đổ Fourier c ng có các tính ch tũ ấ gi ng nh bi n i ố ư ế đổ Z. D i ây trình b y các tính ch t th ng c s d ng khi phân tích ph tín hi u s v càướ đ ầ ấ ườ đượ ử ụ ổ ệ ố đặ tính t n s c a h x lý s .ầ ố ủ ệ ử ố3.1.3a Tính chất tuyến tính : H m t n s c a t h p tuy n tính các dãy b ng t h p tuy n tính các h mà àầ ố ủ ổ ợ ế ằ ổ ợ ế t n s th nh ph n.àầ ố ầN u : ế)()]([ωjiienxFT X=Thì :)(.)(.)()(ωωjiiiiiijeAnxAnyFTe XY∑∑=== [3.1-27]Trong ó các h s đ ệ ố Ai l các h ng s .à ằ ốCh ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :∑∑∑ ∑∑∞−∞=−∞−∞=−===nnjiiin injiiiiijenxAenxAnxAFTeY ).().(.)(.)(ωωωVì )()]([).(.ωωjiinnjienxFTenx X==∑∞−∞=− , nên nh n c ậ đượ [3.1-27].Ví dụ 3.4 : Hãy tìm h m ph c a tín hi u s à ổ ủ ệ ố)()()(321121−+−= nnnxδδGi i :ả Theo tính ch t tuy n tính c a bi n i ấ ế ủ ế đổ Fourier có : ωωωωωδδ3 2121321121).().()(jjnnjnnjjeeeneneX−−∞−∞=−∞−∞=−+=−+−=∑∑ ωωωωωω22).cos(.)()(2jjjjjeeeeeX−−−=+=Các ví d ụ 3.3 v à 3.4 l hai b i toán ng c nhau, v i k t qu l ng nh t.à à àượ ớ ế ả đồ ấ3.1.3b Tính chất trễ : Khi d ch tr dãyị ễ x(n) i đ k m u thì h m biên t n sàẫ độ ầ ốX(ejω) không thay i, ch cóđổ ỉ h m pha t n s à ầ ố ϕ(ω) b d ch i l ng ị ị đ ượ kω.N u : ế)(.)()()]([ωϕωωjjjeeenxFT XX ==Thì :[ ]])([.)()()(ωωϕωωωkjjjjkeeeenxFTXXk−−==− [3.1-28]N u ế k > 0 l à x(n) b gi tr ị ữ ễ k m u, ẫ n u ế k < 0 l à x(n) c y s m đượ đẩ ớ k m u.ẫCh ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :[ ])().().()(.).( ωωωωωjkjnknjkjnnjeeeknxeeknxknxFT X−∞−∞=−−−∞−∞=−=−=−=−∑∑Ví dụ 3.5 : Hãy tìm : )]([)( 2 nrectFTeNnjX−=ωGi i :ả Có )()()( 222 NnununrectnnnN−−=−−−Nên :)](.[)]([)()(222 NX nuFTnuFTeNN nnj−−=−−−−ωTheo bi u th c ể ứ [3.1-6] v tính ch t d ch c a bi n i à ấ ị ủ ế đổ Fourier nh n c :ậ đượNN jjjjeeeeX.25,0115,011.)(ωωωω−−−−−−−=V y :ậωωωjjnjeenrectFTeNNX−−−−−==5,01.5,012)()]([)([3.1-29]123 3.1.3c Tính chất trễ của hàm tần số : Khi nhân dãy x(n) v i ớnje0ω, trong ó đω0 l h ng s , à ằ ố thì h m t n sà ầ ố X(ejω) không b bi n d ng m ch t nh ti n trên tr c t n s m t kho ng b ng àị ế ạ ỉ ị ế ụ ầ ố ộ ả ằω0 , theo chi u ng c v i d uề ượ ớ ấ c a ủω0.N u : ế )()]([ωjenxFT X=Thì :[ ])()(00)(ωωω−=jnjenxeFT X [3.1-30]Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :[ ])()().(.0000).(.).()(ωωωωωωω−∞−∞=−−∞−∞=−∑∑===jnnjnnjnjnjeenxeenxnxeFT XVí dụ 3.6 : Tín hi u s ệ ố x(n) có ph t n s l àổ ầ ố )]([)( nxFTejX =ω, hãy tìm ph t n s c a tín hi u i u biênổ ầ ố ủ ệ đ ề )cos().()(0nnxnyω=Gi i :ả Có : 200)cos(0njnjeenωωω−+=Do ó :đ+=− njnjenxFTenxFTnnxFT00).().()]cos().([21210ωωωTheo tính ch t d ch c a h m t n s nh n c :àấ ị ủ ầ ố ậ đượ)()()()(0002121)]cos().([ωωωωω+−+=jjeennxFT XX[3.1-31]Bi u th c ể ứ [3.1-31] chính là n i dung c a nh lý i u biên.ộ ủ đị đ ề3.1.3d Tính chất biến đảo : Bi n i ế đổ Fourier c a các dãy th c có bi n o ủ ự ế đả x(n) v à x(-n) l hai h m liên h pà à ợ ph c.ứN u : ế)(.)()()]([ωϕωωjjjeeenxFT XX ==Thì :[ ])(*.)()()()(ωϕωωωjjjjeeeenxFT XXX−−===−[3.1-32]Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :[ ])()).((.).().()(ωωωjnnjnnjeenxenxnxFTX−∞−∞=−−−∞−∞=−∑∑=−=−=−Vì x(-n) l dãy th c nên à ự)()(*ωωjjee XX =−, do ó nh n c đ ậ đượ [3.1-32].Nh v y, các dãy th c nhân qu và ph n nhân qu t ng ng có hàm biên t n s gi ngư ậ ự ả ả ả ươ ứ độ ầ ố ố nhau, còn hàm pha t n s ng c d u.ầ ố ượ ấVí dụ 3.7 : Hãy tìm )]()(2[nuenjFTX−=ωGi i :ả Theo bi u th c ể ứ [3.1-6] v tính ch t bi n o có :à ấ ế đảωjnenuFT.)](5,0112[−=−3.1.3e Hàm tần số của tích chập hai dãy : H m t n s c a tích ch p hai dãy b ng tích c a haià ầ ố ủ ậ ằ ủ h m t n s th nh ph n.à àầ ố ầN u : ế)()]([11ωjenxFT X= và )()]([22ωjenxFT X=Thì :[ ])().()(*)()(2121ωωωjjjeenxnxFTe XXY == [3.1-33]Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :[ ]njn kjeknxkxnxnxFTeY.2121.)().()(*)()(ωω−∞−∞=∞−∞=∑ ∑−==∑ ∑∞−∞=−∞−∞=−−=nkjkjknjjeeeknxkxeY .21 )().()(ωωωωHay :)().()().()(21).(2.1ωωωωωjjk nknjkjjeeeknxekxe XXY =−=∑ ∑∞−∞=∞−∞=−−−Ví dụ 3.8 : Hãy tìm )](*)()(12[−−=nnuenjFTXδωGi i : ả S d ng các bi u th c ử ụ ể ứ [3.1-6] , [3.1-8] v i ớ k = 1 , và [3.1-33] , tìm c :đượωjnenuFT−−−=5,0112[ )]( và ωδjenFT−=− )]( 1[124 V y :ậωωωωωjjjjjeeeeeX−−−−−=−=5,015,011.)(3.1.3f Hàm tần số của tích hai dãy : H m t n s c a tích hai dãy b ng tích ch p c a hai h m t n s th nhà à àầ ố ủ ằ ậ ủ ầ ố ph n chia cho ầ 2π. N u : ế )()]([11ωjenxFT X= và )()]([22ωjenxFT X=Thì :[ ]∫−′−′′=ππωωωωπdeenxnxFTjjXX )().()().()(212121 [3.1-34]Hay :[ ])(*)()().(212121ωωπjjeenxnxFT XX=[3.1-35]Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :[ ] [ ]∑∞−∞=−=nnjenxnxnxnxFT.2121.)().()().(ωKhi thay x1(n) b ng bi u th c bi n i ằ ể ứ ế đổ Fourier ng c c a nó : ượ ủ ∫−′′′=ππωωωπdeenxnjjX.11).()(21Thì : [ ]∑∫∞−∞=−−=nnjnjjenxdeenxnxFT X.2'.'121).(.').()().(21ωππωωωπ[3.1-36][ ][ ]∫∑−∞−∞=−−=ππωωωωπ'.).().()().().'(2'12121denxenxnxFTnnjjX[ ])(*)().().()().(21)(21212121ωωωωωππππωjjjjeedeenxnxFT XXXX ==′=∫−′−′3.1.3g Công thức Parseval tính n ng l ng c a tín hi u theo h m ph .àă ượ ủ ệ ổ∫∑−∞−∞===ππωωπdenxEjnxX22)()(21[3.1-37] Ch ng minh :ứ Vi t l i bi u th c ế ạ ể ứ [3.1-36] d i d ng :ướ ạ∑∫∑∞−∞=−−∞−∞=−=nnjnjjnnjedeenxenxnx X.'.'21.21.').().().().(21ωππωωωωπChia c hai v c a bi u th c trên cho ả ế ủ ể ứnje.ω−, nh n c :ậ đượ[ ]∫∑∑−∞−∞=∞−∞==ππωωωπ').(.).()().('2'.12121deenxnxnxjnnjnXHay :∫∑−−∞−∞==ππωωωπ').().()().('2'12121deenxnxjjnXXKhi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [1.3-5], v trái c a bi u th c trên chính l n ng l ng àế ủ ể ứ ă ượxEc a tín hi u s ủ ệ ố x(n) :∫∫∑−−−∞−∞====ππωππωωωωππdedeenxEjjjnxXXX22)().().()(2121Hay :∫∑−∞−∞===ππωωπdnxExnxS).()(212[3.1-38]Trong ó :đ2)()(ωωjxeXS=[3.1-39])(ωxSc g i l h m m t ph n ng l ng c a tín hi u s à àđượ ọ ậ độ ổ ă ượ ủ ệ ố x(n), nó l h m ch n v i x ng qua tr cà à àẵ đố ứ ụ tung. V b n ch t v t lý, h m m t ph n ng l ng àề ả ấ ậ ậ độ ổ ă ượ)(ωxSchính l h m phân b n ng l ng c a tín hi u trênà à ố ă ượ ủ ệ tr c t n s .ụ ầ ốVí dụ 3.9 : Hãy xác nh n ng l ng c a tín hi u s đị ă ượ ủ ệ ố)()(2nunxn−= theo c hàm th i gian và hàmả ờ ph , so sánh hai k t qu nh n c.ổ ế ả ậ đượGi i :ả Theo h m th i gian có :à ờ 125 ∑∑∑∞=−−∞=−∞−∞=−=−====012023441142(2)())(nnnnnnxnuE xác nh n ng l ng theo h m ph , tr c h t tìm :àĐể đị ă ượ ổ ướ ếωωωωωsin.cos).()(5,05,0115,0112jeenuejnnjnjX+−=−==−∞−∞=−−∑V y :ậωωωωcos)sin()cos()(25,115,05,01122−−=+=jeXTính n ng l ng c a ă ượ ủ x(n) b ng công th c ằ ứ Parseval [3.1-38] :ππππωππωω−+=−=−−∫−|125,1125,1125,122125,1121222)().( costgarctgdEx 3475,0075,0122.375,01)(===−−=ππππππarctgtgtgarctgExK t qu tính n ng l ng theo hai cách l gi ng nhauàế ả ă ượ ố . [ ây, n u l y ở đ ế ấ00)(=artg thì 0=xE, nên ph i l yả ấ π=)(0artg ]. 3.1.3h Đạo hàm của hàm tần sốN u : ế )()]([ωjenxFT X= Thì :[ ]ωωdedjnxnFTjX)()(. = [3.1-40]Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :[ ]∑∑∞−∞=−∞−∞=−−=⇒==nnjjnnjjenxnjdedenxnxFTeXX ).( )().()()(ωωωωωNhân c hai v c a bi u th c trên v i ả ế ủ ể ứ ớ j , nh n c bi u th c ậ đượ ể ứ [3.1-40].Ví dụ 3.10 : Hãy tìm bi n i ế đổ Fourier c a dãy ủ)(.)(2nunnxn−= Gi i : ả a. Có :ωjnenuFT−−−=5,0112[ )](Theo [3.1-40] có : 25,015,05,0112.)](.[−=−=−−−−ωωωωωjjjneeeddjnunFT3.1.3i Phổ tần số của hàm tương quan rxy(m)N u : ế )()]([ωjenxFT X= và )()]([ωjenyFT Y=Thì :[ ])().()()(ωωωjjxyjxyeemrFTe YXR−== [3.1-41]Ch ng minh :ứ Hàm t ng quan ươ)(mrxyc xác nh theo đượ đị [1.8-1] ch ng m t :ở ươ ộ∑∞−∞=−=nxymnynxmr )().()( Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Fourier thu n ậ [3.1-2] có :[ ]∑ ∑∑∞−∞=−∞−∞=∞−∞=−−==mmjnmmjxyxyemnynxemrmrFT .)().().()(ωω[ ]∑ ∑∞−∞=−−∞−∞=−=mnjnjmjnxyeeemnynxmrFT )().()(ωωω[ ])().().().()()).((.ωωωωjjmmnjnnjxyeeemnyenxmrFT YX−∞−∞=−−−∞−∞=−=−=∑∑ Ví dụ 3.11 : Cho các tín hi u s ệ ố)()(2nunxn−= và )()(1−=nnyδ, hãy tìm hàm phổ [ ])()( mrFTexyjxyR =ω.Gi i :ả S d ng ử ụ [3.1-6] , [3.1-8] v i ớ k = 1 , v à [3.1-41], tìm c : đượωωωωωωωjjjjjjjxyeeeeeeeYXR−−−−=−==5,015,011.)().()(126 127 . ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1 bi n i ế đổ Fourier. ụ ổ ệ ố đặ tính t n s c a h x lý s .ầ ố ủ ệ ử ố3.1.3a Tính chất tuyến tính : H m t n s c a t h p tuy n tính các dãy b ng t h p tuy n tính các h mà