Quy tắc tính đạo hàm
Trang 1Tiết 1,2,3: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
I/ Mục tiêu:
1/ Về kiến thức:
- Hiểu cách chứng minh các quy tắc tính đạo hàm của tổng, tích các hàm số
- Nắm được định nghĩa về hàm số hợp , định lý về công thức tính đạo hàm của hàm số hợp từ đó rút ra công thức tính đạo hàm của hàm số hợp y= un (x) và y = u (x)
- Nhớ hai bảng tóm tắc về đạo hàm của một số hàm số thường gặp và quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương , hàm hợp
2/ Kỷ năng:
- Giúp học sinh vận dụng thành thạo các quy tắc tính đạo hàm và hai công thức tính đạo hàm của hàm số hợp
y= un (x) và y = u (x)
3/ Về tư duy, thái độ:
- Rèn luyện được các kỹ năng tư duy logic và các đức tính cẩn thận , chính xác
II/ Chuẩn bị:
1/ Giáo viên: Bảng phụ và giáo án.
2/ Học sinh: Kiến thức cũ
III/ Phương pháp dạy & học:
Đàm thoại, nêu vấn đề đan xen hoạt động nhóm
IV/ Tiến trình dạy học:
Tiết 1:
1/ ổn định lớp:
2/ Kiểm tra: Nhắc lại công thức (c)’ = ?; (x)’ = ? ; (xn)’= ? ; ( x)’ = ? ;
áp dụng tính đạo hàm hàm số y = x5 ; y = x
3/ Bài mới:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung – Trình chiếu H
Đ1: Hình thành công thức
tính đạo hàm của tổng ( hiệu)
hai hàm số
- Trong tiết trước ta đã xây dựng
được công thjức tính đạo hàm của
các hàm số đơn giản như từ định
nghĩa ta tính được đạo hàm hàm
số y = x5 và y = x Liệu đối
với hàm số y = x5 + x ta có thể
tính
được không ? Bây giờ chúng ta
cùng đi tìm công thức?
+ Nếu đặt u(x) = x5 , v(x) = x
thì hàm số trở thành :
y = u(x) + v(x)
- Nhắc lại các bước tính đạo hàm
bằng định nghĩa
- Hướng dẫn học sinh thực hiện
1/ Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:
(u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’
Mở rộng:
( u + v + + w)’ = u’ + v’+ +
w’+
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Trang 2từng bước
H1: Cho x số gia ∆ x ta có số gia
∆ y = ?
+Yêu cầu học sinh thực hiện từng
bước tiếp theo như tính
x
y
∆
>
∆
lim
0
+ Kết luận lại công thức tính y’=
u’(x) + v’(x)
H2: Tương tự như cách xây dựng
như trên ta có thể rút ra công
thức tính đạo hàm cho hai hàm số
:
y = u(x) - v(x) không ? Công
thức như thế nào ?
+ GV tổng kết lại hai công thức
và ghi lại hai công thức thu gọn
trên
bảng
- Cho HS rút ra công thức tính
đạo hàm mở rộng
- GV ghi kết quả lên bảng
- Cho HS hoạt động nhóm thực
hiện H1 ở SGK.
+ Chia làm 4 nhóm (2 nhóm làm
câu a, 2 nhóm làm câu b)
HĐ2: Giới thiệu đạo hàm của
tích hai hàm số :
- Giới thiệu định lí 2 về công thức
tính đạo hàm của tích hai hàm số
- H dẫn HS chứng minh
- Đặt f(x) = u(x).v(x)
+ Cho HS tính số gia ∆ y
+ Hdẫn tính được:
∆ y = ∆u.v(x) + ∆v.u(x) + ∆u ∆v
- Nghe, hiểu và thực hiện nhiệm vụ
- Trả lời câu hỏi
- Ghi nhận hai công thức
- Đọc định lý ở sgk + Tính ∆y.
+ Tính
x
y
∆
>
∆
lim
0
+ Kết luận
a/ y = x5 - x+3 b/ y = x + x - 4
2/ Đạo hàm của tích hai hàm
số :
(u.v)’ = u’v + v’u
(ku)’ = ku’ Chứng minh (sgk)
4/ Cũng cố: - Nhắc lại công thức tính đạo hàm của tổng , hiệu, tích
- Làm các bài tập:
1/ Tính y’(3) biết y = x3 – 2x + 1
2/ Tính y’(1) biết y = 2x5 – 2x + 3
Tiết 2:
IV/ Tiến trình dạy học:
1/ ổn định lớp:
2/ Kiểm tra: - Nêu công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích.
- áp dụng tính đạo hàm của hàm số y = x- x5 +
100 1
3/ Bài mới:
Trang 3Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung – Trình chiếu
* Định hướng cho HS thực
hiện ví dụ
ở ví dụ a, b ta có thể nhân
vào thành tổng và áp dụng
công thức tính đạo hàm của
tổng để tính (đã luyện tập ở
tiết trước ) Ngoài ra Ta có
thể dùng công thức tính đạo
hàm của tích để tính
=> Yêu cầu HS trình bày lời
giải hai câu a, b
- Câu c: ta đặt u = x(x+ 1 );
v = 4 – x2
=> Yêu cầu HS áp dụng
công thức để tính
* Giáo viên trình bày bài
giải
- Từ ví dụ trên dẫn dắt HS đi
đến công thức (u.v w)’
HĐ3: Tiếp cận công thức
đạo hàm của một thương :
Cho hàm số y =
3 4
2
−
x x
H1: Hàm số có dạng thương
của hai hàm số nào ?
H2: Hàm số trở thành y =
)
(
)
(
x
v
x
u
Tìm công thức tính
đạo hàm của nó?
ở ví dụ trên ta không thể áp
dụng công thức đạo hàm của
tổng, hiệu, tích => Công
thức đạo hàm của thương
'
v
u
Yêu cầu HS áp dụng công
thức để thực hiện ví dụ trên
Tính được:
a/ y’ = (x)’.(x2 + 1) + (x2 + 1).x
=
= 3x2 + 1
b/ y’ = (2x2)’( x− 1 )+( x- 1)’ 2x2 = = 5x x
c/ áp dụng được:
y’ = [ x(x+ 1 )]’.(4 – x2) + (4 – x2).(x+1) x =
Ghi chép bài giải
u = 2x ; v = 4x - 3 Theo dõi để tiếp thu kiến thức
- Trình bày được:
' '
) 3 4 (
2 ) 3 4 ( ) 3 4 (
) 2 (
−
− +
−
x
x x
x x
= ( 4 3 ) 2
6
−
−
x
b/ y’ = (1)'. 2 '.1 21
x x
x
x− = −
' 2 2
'
) 5 2 (
1 ) 5 2 ( ) 5 2 (
) 1 (
+
+
− +
x
x x
= ( 2 2 5 ) 2
4
+
−
x x
Ví dụ: Tính đạo hàm của
các hàm số sau:
a/ y = x(x2 +1)
b/ y = 2x2( x− 1 ) (x>0) c/ y = x(x+ 1 )( 4 − x2 ) (x>0)
Công thức:(u.v w)’ = u’.v.w+ u.v’.w+u.v w’
3/ Đạo hàm của thương hai hàm số:
) 0 (
2
' ' '
≠
−
=
v
u v v u v u
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a/ y =
3 4
2
−
x x
b/ y =
x
1
c/ y =
5 2
1
2 +
x
Hệ quả:
) 0 ( 1 1
2
'
≠
−
=
x
) 0 (
1
2
' '
≠
−
=
u u u
Trang 4Từ đó đưa đến Hệ quả
?
1' =
x
?
1 ' =
u
Hoạt động nhóm: Chia lớp
thành 6 nhóm để thảo luận
+ Gọi đại diện 3 nhóm trình
bày lời giải
+ Gọi đại diện 3 nhóm còn
lại để nhận xét và bổ sung
( nếu cần thiết)
2
'
1 1
x x
−
=
2
' '
1
u
u u
−
=
- Thực hiện yêu cầu
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:(bảng phụ) a/ y =
x
x
x 3 2
5 4 − 2 +
b/ y =
1
1 2
2
+
+
−
x
x x
c/ y = (x+5)2
4/ Cũng cố: - Nhắc lại công thức đạo hàm của tích, thương và hệ quả
- Làm bài tập nhanh: tính đạo hàm của các hàm số sau:
a/ y = x mx
x + −
5
( m: hằng số) b/ y = ( 1 ) 2
2
+
x
c/ y = (x +2)2 (2- x)
Tiết 3:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung- Trình chiếu
Nêu vấn đề: Cho hai hàm số: u
= u(x) = x2 + 3x +1 và y = f(u)
= u3
- Thay biến u bởi u(x) vào f(u)
- Hàm số y(x) = (x2+3x +1)3
được gọi là hàm hợp của hàm
số f qua biến trung gian u
- Nêu định nghĩa và cho HS
đọc lại vài lần
HĐ4:
1/ Cho f(u) = u; u(x) = x – 1
- Tìm hàm hợp y = f[u(x) ] = ?
- Tìm tập xác định
Hàm số y = f(u) = f[u(x) ] = (x3 + 3x + 1)3
-Thực hiện và trả lời
4/ Đạo hàm của hàm số hợp: 1/ Khái niệm của hàm số hợp:
Cho hai hàm số u = u(x) và y = f(u) thay u bởi u(x) vào hàm
số f(u) được y = f[u(x) ] gọi là hàm số hợp của hàm số f qua biến trung gian u
VD:
f(u) = u
u(x) = x – 1 => f[u(x) ] =
1
−
x
Trang 52/ Cho y = sin(2x +3) có miền
xác định R là hàm hợp Tìm
hàm u(x) và f(u)
- Đặt vấn đề : Tính đạo hàm
của hàm số y = (x3+ 3x + 1)3
(hàm số hợp)
- Để giải bài toán ta thừa nhận
định lý sau
- Trình bày định lý
- Từ hàm số y = (x3+ 3x + 1)3
chỉ ra hàm số u(x) và f(u)
- Tính u’(x) và f’(u)
- Vận dụng công thức tính
=
'
x
y f’ [u(x) ]
- Cho u = u(x) và f(u) = un có
hàm số hợp là y = f[u(x) ] =
[u(x) ]n
- Tính y’(x)
- Hdẫn HS
HĐ5: Hình thành công thức:
Cho hàm số y = u (x)là hàm
hợp của hàm số f và hàm trung
gian u= u(x) Tìm hàm số f
- Giả sử u(x) có đạo hàm trên J
(u(x) > 0 ; x ∈ J ) Tìm đạo
hàm của hàm số y = u (x)
- Gợi ý :
+ Đạo hàm của u = u(x) là
u’(x)
+ Đạo hàm của y = f(u) là
x
2
1
- Tính đạo hàm của hàm số
sau:
y = x4 − 3x2 + 7
Trả lời:
u(x) = x3 + 3x +1 ; f (u) = u3
u’ (x) = 2x + 3; f’(u) = 3u2
y’(x) = 3(x3 + 3x + 1)2 (2x + 3)
Tính:
u’ = u’(x) ; y’ = f’ (u) = f’ [u(x) ]
f’(x) = n.un-1 u’(x) = n [u(x) ]n-1.u’(x) y = f[u] = u
y’(x) = f’(u).u’(x)= ( )
2
1 '
x u u
= 2 u1(x).u'(x)
- Thực hiện và trình bày
2/ Cách tính đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu u = u(x) có đạo hàm tại x
là u’(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là f’(u) thì: y’(x)
= f’(u) u’(x)
y = un(x) => y’ = [un(x) ]’ = n.u’(x).u
n-1(x)
2
' '
>
u
u u
VD:
u x
x
2 7
4 − + = =
=
7 3 2
6 4
2 4
3
+
−
−
x x
x x
Bảng đạo hàm: SGK
4/ Cũng cố: Hệ thống lại bảng đạo hàm
5/ Dặn d
ò: Nắm vững lý thuyết và làm bài tập 19,20 trong sgk.
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
( Chương IV: Giới hạn)
dành cho chương trình nâng cao
Hình thức trắc nghiệm hoàn toàn
Trang 6NB TH VDBT VDBC TCỘNG
Định nghĩa và một số định
lý
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT (45 Phút)
1/ Lim ( -2n3 + 3n + 5) bằng :
2/ Lim
1
2
1
3
−
+
n
n
bằng:
2
3
3/ Lim ( 5 + n n
3
) 1 ( − ) bằng :
3
16
4/ Lim x( 1 -
x
1
) bằng:
5/ Lim (n+ 1)(1n+ 2) bằng :
2
1
6/ Lim
1 3
3 5
2
2
−
+
−
n
n
A/
3
1
7/ Lim
n
n
3 1
1
2 2
−
+ bằng:
3
-3
2
Trang 78/ Lim n n n
2 3
3
.
2
9/ Điền vào chổ trống để được mệnh đề đúng:
Tổng của cấp số nhân: 1,
3
1
, 2
3
1
, , n
3
1
, bằng
10/ 23 2
1
2
x x
x x
Lim
−
−
−
11/
1
2 3
2
− +
+
x x
Lim
A/
-2
5
-8
5
8
7
−
2
7
−
12/
3
3
3 −
−
−
x
Lim
13/
2
2
2
2 −
− +
−
x x
Lim
14/ Nối các câu sau:
A/
2
1
2
2 −
+
+
x
Lim
B/
2
1
2
2 −
+
−
x
Lim
c/ 1
d/ -1
15/ 2 2 − 3 + 12
+ ∞
Lim
16/
3 7
2
2 + −
−
x Lim
-3
2
17/ Lim( x2 6x 5 x)
− ∞
1( 1) 1 x
x x
Lim
x− − + − bằng:
19/
x x
x
Lim
8
2
3
2 −
−
+
20/
3 5
1 3 2
2 5
3
+
−
+ +
− ∞
x x x
Lim
Trang 8A/+∞ B/ -∞ C/ 1 D/ 4.
21/ Khoanh tròn chữ Đ hoặc chữ S nếu mệnh đề sau đây tương ứng đúng hoặc sai : Đ S
x2 - 3x + 2 Hàm số f(x) = x – 1 nếu x ≠ 1
1 n ếu x = 1 ; li ên t ục t ại x = 1 22/ Hàm số nào sau đây liên tục tại mọi điểm x ∈ R
A/ y = x3+ 5x2 – 1 B/ y =
1
2 3
2
2
+
+
−
x
x x
23/ Hàm số y = 1 x− 2 là:
A/ Liên tục/ (-1;1) B/ Liên tục/[-1;1] C/ Liên tục trên R D/ Gián đoạn tại x = 1 24/ Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 2
x2 – 6x +5 f(x) = x2 – x nếu x ≠ 1
Hết
Đáp án & biểu điểm: Mỗi câu đúng cho 0,4 đ Riêng câu 14 đúng cho 0,8 đ
D A->b
B->a
