Quy tắc tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm

Tiết 1,2,3: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

I/ Mục tiêu:

1/ Về kiến thức:

- Hiểu cách chứng minh các quy tắc tính đạo hàm của tổng, tích các hàm số

- Nắm được định nghĩa về hàm số hợp , định lý về công thức tính đạo hàm của hàm số hợp từ đó rút ra công thức tính đạo hàm của hàm số hợp y= un (x) và y = u (x)

- Nhớ hai bảng tóm tắc về đạo hàm của một số hàm số thường gặp và quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương , hàm hợp

2/ Kỷ năng:

- Giúp học sinh vận dụng thành thạo các quy tắc tính đạo hàm và hai công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

y= un (x) và y = u (x)

3/ Về tư duy, thái độ:

- Rèn luyện được các kỹ năng tư duy logic và các đức tính cẩn thận , chính xác

II/ Chuẩn bị:

1/ Giáo viên: Bảng phụ và giáo án.

2/ Học sinh: Kiến thức cũ

III/ Phương pháp dạy & học:

Đàm thoại, nêu vấn đề đan xen hoạt động nhóm

IV/ Tiến trình dạy học:

Tiết 1:

1/ ổn định lớp:

2/ Kiểm tra: Nhắc lại công thức (c)’ = ?; (x)’ = ? ; (xn)’= ? ; ( x)’ = ? ;

áp dụng tính đạo hàm hàm số y = x5 ; y = x

3/ Bài mới:

Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung – Trình chiếu H

Đ1: Hình thành công thức

tính đạo hàm của tổng ( hiệu)

hai hàm số

- Trong tiết trước ta đã xây dựng

được công thjức tính đạo hàm của

các hàm số đơn giản như từ định

nghĩa ta tính được đạo hàm hàm

số y = x5 và y = x Liệu đối

với hàm số y = x5 + x ta có thể

tính

được không ? Bây giờ chúng ta

cùng đi tìm công thức?

+ Nếu đặt u(x) = x5 , v(x) = x

thì hàm số trở thành :

y = u(x) + v(x)

- Nhắc lại các bước tính đạo hàm

bằng định nghĩa

- Hướng dẫn học sinh thực hiện

1/ Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:

(u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’

Mở rộng:

( u + v + + w)’ = u’ + v’+ +

w’+

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

từng bước

H1: Cho x số gia ∆ x ta có số gia

∆ y = ?

+Yêu cầu học sinh thực hiện từng

bước tiếp theo như tính

x

y

∆

>

∆

lim

0

+ Kết luận lại công thức tính y’=

u’(x) + v’(x)

H2: Tương tự như cách xây dựng

như trên ta có thể rút ra công

thức tính đạo hàm cho hai hàm số

:

y = u(x) - v(x) không ? Công

thức như thế nào ?

+ GV tổng kết lại hai công thức

và ghi lại hai công thức thu gọn

trên

bảng

- Cho HS rút ra công thức tính

đạo hàm mở rộng

- GV ghi kết quả lên bảng

- Cho HS hoạt động nhóm thực

hiện H1 ở SGK.

+ Chia làm 4 nhóm (2 nhóm làm

câu a, 2 nhóm làm câu b)

HĐ2: Giới thiệu đạo hàm của

tích hai hàm số :

- Giới thiệu định lí 2 về công thức

tính đạo hàm của tích hai hàm số

- H dẫn HS chứng minh

- Đặt f(x) = u(x).v(x)

+ Cho HS tính số gia ∆ y

+ Hdẫn tính được:

∆ y = ∆u.v(x) + ∆v.u(x) + ∆u ∆v

- Nghe, hiểu và thực hiện nhiệm vụ

- Trả lời câu hỏi

- Ghi nhận hai công thức

- Đọc định lý ở sgk + Tính ∆y.

+ Tính

x

y

∆

>

∆

lim

0

+ Kết luận

a/ y = x5 - x+3 b/ y = x + x - 4

2/ Đạo hàm của tích hai hàm

số :

(u.v)’ = u’v + v’u

(ku)’ = ku’ Chứng minh (sgk)

4/ Cũng cố: - Nhắc lại công thức tính đạo hàm của tổng , hiệu, tích

- Làm các bài tập:

1/ Tính y’(3) biết y = x3 – 2x + 1

2/ Tính y’(1) biết y = 2x5 – 2x + 3

Tiết 2:

IV/ Tiến trình dạy học:

1/ ổn định lớp:

2/ Kiểm tra: - Nêu công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích.

- áp dụng tính đạo hàm của hàm số y = x- x5 +

100 1

3/ Bài mới:

Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung – Trình chiếu

* Định hướng cho HS thực

hiện ví dụ

ở ví dụ a, b ta có thể nhân

vào thành tổng và áp dụng

công thức tính đạo hàm của

tổng để tính (đã luyện tập ở

tiết trước ) Ngoài ra Ta có

thể dùng công thức tính đạo

hàm của tích để tính

=> Yêu cầu HS trình bày lời

giải hai câu a, b

- Câu c: ta đặt u = x(x+ 1 );

v = 4 – x2

=> Yêu cầu HS áp dụng

công thức để tính

* Giáo viên trình bày bài

giải

- Từ ví dụ trên dẫn dắt HS đi

đến công thức (u.v w)’

HĐ3: Tiếp cận công thức

đạo hàm của một thương :

Cho hàm số y =

3 4

2

−

x x

H1: Hàm số có dạng thương

của hai hàm số nào ?

H2: Hàm số trở thành y =

)

(

)

(

x

v

x

u

Tìm công thức tính

đạo hàm của nó?

ở ví dụ trên ta không thể áp

dụng công thức đạo hàm của

tổng, hiệu, tích => Công

thức đạo hàm của thương

'













v

u

Yêu cầu HS áp dụng công

thức để thực hiện ví dụ trên

Tính được:

a/ y’ = (x)’.(x2 + 1) + (x2 + 1).x

=

= 3x2 + 1

b/ y’ = (2x2)’( x− 1 )+( x- 1)’ 2x2 = = 5x x

c/ áp dụng được:

y’ = [ x(x+ 1 )]’.(4 – x2) + (4 – x2).(x+1) x =

Ghi chép bài giải

u = 2x ; v = 4x - 3 Theo dõi để tiếp thu kiến thức

- Trình bày được:

' '

) 3 4 (

2 ) 3 4 ( ) 3 4 (

) 2 (

−

− +

−

x

x x

x x

= ( 4 3 ) 2

6

−

−

x

b/ y’ = (1)'. 2 '.1 21

x x

x

x− = −

' 2 2

'

) 5 2 (

1 ) 5 2 ( ) 5 2 (

) 1 (

+

+

− +

x

x x

= ( 2 2 5 ) 2

4

+

−

x x

Ví dụ: Tính đạo hàm của

các hàm số sau:

a/ y = x(x2 +1)

b/ y = 2x2( x− 1 ) (x>0) c/ y = x(x+ 1 )( 4 − x2 ) (x>0)

Công thức:(u.v w)’ = u’.v.w+ u.v’.w+u.v w’

3/ Đạo hàm của thương hai hàm số:

) 0 (

2

' ' '

≠

−

=











v

u v v u v u

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a/ y =

3 4

2

−

x x

b/ y =

x

1

c/ y =

5 2

1

2 +

x

Hệ quả:

) 0 ( 1 1

2

'

≠

−

=











x

) 0 (

1

2

' '

≠

−

=











u u u

Từ đó đưa đến Hệ quả

?

1' =











x

?

1 ' =











u

Hoạt động nhóm: Chia lớp

thành 6 nhóm để thảo luận

+ Gọi đại diện 3 nhóm trình

bày lời giải

+ Gọi đại diện 3 nhóm còn

lại để nhận xét và bổ sung

( nếu cần thiết)

2

'

1 1

x x

−

=











2

' '

1

u

u u

−

=













- Thực hiện yêu cầu

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:(bảng phụ) a/ y =

x

x

x 3 2

5 4 − 2 +

b/ y =

1

1 2

2

+

+

−

x

x x

c/ y = (x+5)2

4/ Cũng cố: - Nhắc lại công thức đạo hàm của tích, thương và hệ quả

- Làm bài tập nhanh: tính đạo hàm của các hàm số sau:

a/ y = x mx

x + −

5

( m: hằng số) b/ y = ( 1 ) 2

2

+

x

c/ y = (x +2)2 (2- x)

Tiết 3:

Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung- Trình chiếu

Nêu vấn đề: Cho hai hàm số: u

= u(x) = x2 + 3x +1 và y = f(u)

= u3

- Thay biến u bởi u(x) vào f(u)

- Hàm số y(x) = (x2+3x +1)3

được gọi là hàm hợp của hàm

số f qua biến trung gian u

- Nêu định nghĩa và cho HS

đọc lại vài lần

HĐ4:

1/ Cho f(u) = u; u(x) = x – 1

- Tìm hàm hợp y = f[u(x) ] = ?

- Tìm tập xác định

Hàm số y = f(u) = f[u(x) ] = (x3 + 3x + 1)3

-Thực hiện và trả lời

4/ Đạo hàm của hàm số hợp: 1/ Khái niệm của hàm số hợp:

Cho hai hàm số u = u(x) và y = f(u) thay u bởi u(x) vào hàm

số f(u) được y = f[u(x) ] gọi là hàm số hợp của hàm số f qua biến trung gian u

VD:

f(u) = u

u(x) = x – 1 => f[u(x) ] =

1

−

x

2/ Cho y = sin(2x +3) có miền

xác định R là hàm hợp Tìm

hàm u(x) và f(u)

- Đặt vấn đề : Tính đạo hàm

của hàm số y = (x3+ 3x + 1)3

(hàm số hợp)

- Để giải bài toán ta thừa nhận

định lý sau

- Trình bày định lý

- Từ hàm số y = (x3+ 3x + 1)3

chỉ ra hàm số u(x) và f(u)

- Tính u’(x) và f’(u)

- Vận dụng công thức tính

=

'

x

y f’ [u(x) ]

- Cho u = u(x) và f(u) = un có

hàm số hợp là y = f[u(x) ] =

[u(x) ]n

- Tính y’(x)

- Hdẫn HS

HĐ5: Hình thành công thức:

Cho hàm số y = u (x)là hàm

hợp của hàm số f và hàm trung

gian u= u(x) Tìm hàm số f

- Giả sử u(x) có đạo hàm trên J

(u(x) > 0 ; x ∈ J ) Tìm đạo

hàm của hàm số y = u (x)

- Gợi ý :

+ Đạo hàm của u = u(x) là

u’(x)

+ Đạo hàm của y = f(u) là

x

2

1

- Tính đạo hàm của hàm số

sau:

y = x4 − 3x2 + 7

Trả lời:

u(x) = x3 + 3x +1 ; f (u) = u3

u’ (x) = 2x + 3; f’(u) = 3u2

y’(x) = 3(x3 + 3x + 1)2 (2x + 3)

Tính:

u’ = u’(x) ; y’ = f’ (u) = f’ [u(x) ]

f’(x) = n.un-1 u’(x) = n [u(x) ]n-1.u’(x) y = f[u] = u

y’(x) = f’(u).u’(x)= ( )

2

1 '

x u u

= 2 u1(x).u'(x)

- Thực hiện và trình bày

2/ Cách tính đạo hàm của hàm số hợp:

Nếu u = u(x) có đạo hàm tại x

là u’(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là f’(u) thì: y’(x)

= f’(u) u’(x)

y = un(x) => y’ = [un(x) ]’ = n.u’(x).u

n-1(x)

2

' '

>

u

u u

VD:

u x

x

2 7

4 − + = =

=

7 3 2

6 4

2 4

3

+

−

−

x x

x x

Bảng đạo hàm: SGK

4/ Cũng cố: Hệ thống lại bảng đạo hàm

5/ Dặn d

ò: Nắm vững lý thuyết và làm bài tập 19,20 trong sgk.

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT

( Chương IV: Giới hạn)

dành cho chương trình nâng cao

Hình thức trắc nghiệm hoàn toàn

NB TH VDBT VDBC TCỘNG

Định nghĩa và một số định

lý

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT (45 Phút)

1/ Lim ( -2n3 + 3n + 5) bằng :

2/ Lim

1

2

1

3

−

+

n

n

bằng:

2

3

3/ Lim ( 5 + n n

3

) 1 ( − ) bằng :

3

16

4/ Lim x( 1 -

x

1

) bằng:

5/ Lim (n+ 1)(1n+ 2) bằng :

2

1

6/ Lim

1 3

3 5

2

2

−

+

−

n

n

A/

3

1

7/ Lim

n

n

3 1

1

2 2

−

+ bằng:

3

-3

2

8/ Lim n n n

2 3

3

.

2

9/ Điền vào chổ trống để được mệnh đề đúng:

Tổng của cấp số nhân: 1,

3

1

, 2

3

1

, , n

3

1

, bằng

10/ 23 2

1

2

x x

x x

Lim

−

−

−

11/

1

2 3

2

− +

+

x x

Lim

A/

-2

5

-8

5

8

7

−

2

7

−

12/

3

3

3 −

−

−

x

Lim

13/

2

2

2

2 −

− +

−

x x

Lim

14/ Nối các câu sau:

A/

2

1

2

2 −

+

+

x

Lim

B/

2

1

2

2 −

+

−

x

Lim

c/ 1

d/ -1

15/ 2 2 − 3 + 12

+ ∞

Lim

16/

3 7

2

2 + −

−

x Lim

-3

2

17/ Lim( x2 6x 5 x)

− ∞

1( 1) 1 x

x x

Lim

x− − + − bằng:

19/

x x

x

Lim

8

2

3

2 −

−

+

20/

3 5

1 3 2

2 5

3

+

−

+ +

− ∞

x x x

Lim

A/+∞ B/ -∞ C/ 1 D/ 4.

21/ Khoanh tròn chữ Đ hoặc chữ S nếu mệnh đề sau đây tương ứng đúng hoặc sai : Đ S

x2 - 3x + 2 Hàm số f(x) = x – 1 nếu x ≠ 1

1 n ếu x = 1 ; li ên t ục t ại x = 1 22/ Hàm số nào sau đây liên tục tại mọi điểm x ∈ R

A/ y = x3+ 5x2 – 1 B/ y =

1

2 3

2

2

+

+

−

x

x x

23/ Hàm số y = 1 x− 2 là:

A/ Liên tục/ (-1;1) B/ Liên tục/[-1;1] C/ Liên tục trên R D/ Gián đoạn tại x = 1 24/ Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 2

x2 – 6x +5 f(x) = x2 – x nếu x ≠ 1

Hết

Đáp án & biểu điểm: Mỗi câu đúng cho 0,4 đ Riêng câu 14 đúng cho 0,8 đ

D A->b

B->a