các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng

Vấn đề 4. ĐẠO HÀM TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm 1) Đònh nghóa. Cho hàm số ( ) y f x= xác đònh trên khoảng ( ) ;a b và ( ) 0 ;x a b∈ . Nếu tồn tại : ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x x x → − − thì đạo hàm của hàm số ( ) y f x= tại điểm 0 x là : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim x x f x f x f x x x → − = − hay ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ' lim lim x x f x x f x y f x x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ = = ∆ ∆ , trong đó : ( ) ( ) 0 0 0 ,x x x y f x x f x∆ = − ∆ = + ∆ − 2) Cách tính đạo hàm tại một điểm Bước 1. Giả sử x∆ là số gia của 0 x , tính ( ) ( ) 0 0 y f x x f x∆ = + ∆ − . Bước 2. Lập tỉ số y x ∆ ∆ . Bước 3. Tính 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ . II. Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử ( ) u u x= và ( ) v v x= là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác đònh. Ta có : • ( ) ' 'ku ku= (k là hằng số) • ( ) ' ' 'u v u v+ = + • ( ) ' ' 'u v u v− = − • ( ) . ' ' 'u v u v uv= + • ( ) ' 2 ' ' , 0 u u v uv v x v v −   = ≠  ÷   III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản • ( ) 1 ' .x x α α α − = ( ) 1 ' . 'u u u α α α − = • ' 2 1 1 x x   = −  ÷   ' 2 1 'u u u   = −  ÷   • ( ) ' 1 2 x x = ( ) ' ' 2 u u u = • ( ) ' sin cosx x= ( ) ' sin '.cosu u u= • ( ) ' cos sinx x= − ( ) ' cos '.sinu u u= − • ( ) ' 2 2 1 1 cos tgx tg x x = = + ( ) ( ) ' 2 2 ' '. 1 cos u tgu u tg u u = = + • ( ) ( ) ' 2 2 1 1 sin cotgx cotg x x = − = − + ( ) ( ) ' 2 2 ' cot '. 1 sin u gu u cotg u u = − = − + 28 • ( ) ' x x e e= ( ) ' '. u u e u e= • ( ) ' .ln x x a a a= ( ) ' . '.ln u u a a u a= • ( ) ' 1 ln x x = ( ) ' ' ln u u u = • ( ) ' log ln a x x x a = ( ) ' ' log ln a u u u a = IV. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số ( ) y f x= có đạo hàm cấp 1n − , kí hiệu là ( ) ( ) 1n f x − . Nếu ( ) ( ) 1n f x − có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của ( ) f x , kí hiệu là ( ) n y hay ( ) ( ) n f x . ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1n n f x f x −   =   với 2n ≥ . A. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Tìm các giá trò của x để đạo hàm của hàm số sau đây bằng 0 ( ) 5 sin 2 4 3 siny x x x x= + − . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phòng cháy Chữa cháy, 2001) Giải Ta có: ( ) ' 5 2cos 2 4 3 cosy x x x= + − ( ) ' 0 5 2cos 2 4 3 cos 0y x x x= ⇔ + − = ( ) 2 5 2 2cos 1 4 3 cos 0x x⇔ + − − = 2 4 cos 4 3 cos 3 0x x⇔ − + = ( ) 2 2cos 3 0x⇔ − = 3 cos cos 2 6 x π ⇔ = = 2 , 6 x k k π π ⇔ = ± + ∈¢ . Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số : 6 6 2 2 sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + + có đạo hàm 'y không phụ thuộc vào x. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001) Giải Ta có: 6 6 2 2 sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + + ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 sin cos 3sin cos 2001x x x x x= + + + ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos 3sin cos 2001x x x x x x x x x= + + − + + 4 4 2 2 sin cos 2sin cos 2001x x x x x= + + + ( ) 2 2 2 sin cos 2001x x x= + + 29 1 2001x= + Do đó: ' 2001y = (đpcm) Ví dụ 3. Cho hàm số ( ) 1 2 sin sin 3 sin 5 3 5 f x x x x= + + . Tính đạo hàm ( ) 'f x và giải phương trình ( ) ' 0f x = . (Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000) Giải • ( ) ' cos cos 3 2cos5f x x x x= + + • ( ) ' 0 cos cos3 2cos 5 0f x x x x= ⇔ + + = ( ) ( ) cos cos5 cos 3 cos5 0x x x x⇔ + + + = 2cos3 cos 2 2cos 4 cos 0x x x x ⇔ + = ( ) 3 4 cos 3cos cos 2 cos 4 cos 0x x x x x⇔ − + = ( ) 2 cos 4 cos 3 cos 2 cos 4 0x x x x   ⇔ − + =   ( ) 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 2cos 2 1 0x x x x   ⇔ − + − =   ( ) 2 cos 4cos 2 cos 2 1 0x x x⇔ − − = 2 cos 0 4cos 2 cos 2 1 0 x x x =  ⇔  − − =  cos 0 1 17 cos 2 cos 8 1 17 cos 2 cos 8 x x x α β   =  +  ⇔ = =   −  = =   ( ) 2 2 2 x k x k k x k π π α π β π  = +    ⇔ = ± + ∈    = ± +   ¢ Ví dụ 4. Cho hàm số ( ) ( ) log 2 0, 1 x f x x x x= > ≠ . Tính đạo hàm ( ) 'f x và giải bất phương trình ( ) ' 0f x ≤ . Giải Với điều kiện 0, 1x x> ≠ , ta có: ( ) log 2 x f x x= ln 2 . ln x x = ln 2. ln x x = ( ) 2 ln 1 ' ln 2. ln x f x x −   ⇒ =  ÷   • ( ) 2 ln 1 ' 0 0 ln x f x x −   ≤ ⇔ ≤  ÷   ln 1 0x ⇔ − ≤ (do 2 ln 0, 0x x> ∀ > và 1x ≠ ) ln 1x⇔ ≤ 0 x e⇔ < ≤ So với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình: 0 x e< ≤ và 1x ≠ . Ví dụ 5. Chứng minh hàm số ( ) ( ) 3cos ln 4sin lny x x x= +    thoả mãn phương trình: 30 2 '' ' 2 0x y xy y− + = . Giải Ta có: • ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ' 3cos ln 4sin ln sin ln cos lny x x x x x x x   = + + − +     ( ) ( ) 7 cos ln sin lnx x= + • ( ) ( ) 7 1 '' sin ln cos lny x x x x = − + Do đó: 2 '' ' 2x y xy y− + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 1 sin ln cos ln 7 cos ln sin ln 2 3cos ln 4sin lnx x x x x x x x x x x   = − + − + + +            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 sin ln cos ln 7 cos ln sin ln 6 cos ln 8 sin lnx x x x x x x x x x x x= − + − − + + 0 = (đpcm) Ví dụ 6. Cho hàm số 2000 x y = .Tính đạo hàm 'y theo đònh nghóa. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000) Giải Ta có: ( ) ( ) 0 0 ' lim lim x x y x x y x y y x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ = = ∆ ∆ 0 2000 2000 lim x x x x x +∆ ∆ → − = ∆ 0 2000 1 lim 2000 . x x x x ∆ ∆ →   − =  ÷ ∆   ln 2000 0 1 lim 2000 . .ln 2000 ln 2000 x x x e x ∆ ∆ →   − =  ÷ ∆   2000 ln 2000 x = . Chú ý. 0 1 lim 1 x x e x →   − =  ÷   . Ví dụ 7. Cho hàm số 20 logy x= .Tính đạo hàm 'y theo đònh nghóa. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998) Giải Ta có: ( ) ( ) 0 0 ' lim lim x x y x x y x y y x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ = = ∆ ∆ ( ) 20 20 0 log log lim x x x x x ∆ → + ∆ − = ∆ 20 0 log 1 lim x x x x ∆ → ∆   +  ÷   = ∆ 31 0 ln 1 ln 20 lim . x x x x x x ∆ → ∆   +  ÷   = ∆ 0 ln 1 1 lim . ln 20 x x x x x x ∆ →  ∆    +  ÷  ÷    ÷ = ∆  ÷  ÷   1 ln 20x = . Chú ý. ( ) 0 ln 1 lim 1 x x x → + = . Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại 0x = : ( ) ( ) 2 1 0 1 0 x x e khi x f x x ax khi x −  + >  =  − − + ≤   . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội, 2000) Giải Ta có: • ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 lim x f x f f x + + → − = ( ) 0 1 1 lim x x x e x + − → + − = 0 1 lim x x x e e x + − − →   − = −  ÷ −   1 1 0 = − = • ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 lim x f x f f x − − → − = 2 0 1 1 lim x x ax x − → − − + − = ( ) 0 lim x x a − → = − − a= − ( ) f x có đạo hàm tại điểm 0x = ( ) ( ) 0 0f f + − ⇔ = 0 a⇔ = − 0a⇔ = Vậy giá trò cần tìm là: 0a = . Ví dụ 9. Cho hàm số x y xe= . 1) Tính đạo hàm cấp một 'y và đạo hàm cấp hai ''y của hàm số trên. Tổng quát, hãy tìm đạo hàm cấp n ( ) n y . 2) Chứng minh rằng : '' 2 ' 0y y y− + = . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Dân lập Duy Tân, 2000) Giải 1) Ta có: ( ) ' 1 x x x y e xe x e= + = + 32 ( ) '' 2 x x x x y e e xe x e= + + = + ( ) ''' 3 x y x e= + ( ) ( ) 4 4 x y x e= + Suy ra: ( ) ( ) n x y x n e= + (*) (*) đã đúng khi 1, 2,3n = . Giả sử (*) đúng khi n k= , ta có: ( ) ( ) k x y x k e= + (**) Ta sẽ chứng minh (*) vẫn đúng khi 1n k= + , tức là: ( ) ( ) 1 1 k x y x k e + = + + Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có: ( ) ( ) 1 1 k x x x x y e xe ke x k e + = + + = + + (đpcm) 2) Ta có: ( ) ( ) '' 2 ' 2 2 1 x x x y y y x e x e xe− + = + − + + 0= (đpcm). Ví dụ 10. Tính đạo hàm cấp n của hàm số ( ) ln 2 1y x= + . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải, 1996) Giải Ta có: ( ) 1 1 2 ' 2 1 .2 2 1 y x x − = = + + ( ) ( ) 2 2 '' 1 . 2 1 .2y x − = − + ( ) 3 3 ''' 1.2. 2 1 .2y x − = + ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 1.2.3. 2 1 .2y x − = − + Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 . 1 ! 2 1 .2 n n n n y n x − − = − − + (*) (*) đã đúng với 1, 2,3n = . Giả sử (*) đúng khi n k = , nghóa là: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 . 1 ! 2 1 .2 k k k k y k x − − = − − + (**) Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng với 1n k = + , tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . !. 2 1 .2 k k k k y k x − + + + = − + Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 1 ! 2 1 .2.2 k k k k y k k x − − − + = − − − + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 . ! 2 1 .2 k k k k x − + + = − + (đpcm) Ví dụ 11. Cho hàm số ( ) 2 2 5 3 20 2 3 x x f x x x − − = − − . Tính đạo hàm cấp n của ( ) f x (không phải chứng minh). 33 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 2000) Giải Ta có: ( ) 2 2 5 3 20 2 3 x x f x x x − − = − − 2 7 5 5 2 3 x x x − = + − − ( ) ( ) 7 5 5 1 3 x x x − = + + − 3 4 5 1 3x x = + + + − Do đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 ' 1 3 f x x x = − − + − ( ) ( ) ( ) 3 3 3.2 4.2 '' 1 3 f x x x = + + − ( ) ( ) ( ) 4 4 3.2.3 4.2.3 ''' 1 3 f x x x = − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 5 3.2.3.4 4.2.3.4 1 3 f x x x = + + − Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 4 1 . ! 1 3 n n n n f x n x x + +   = − +   + −     . Ví dụ 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 siny x= , từ đó suy ra đạo hàm cấp n của hàm số 2 cosy x= . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 1999) Giải Ta có: ' sin 2y x= '' 2 cos 2 2sin 2 2 y x x π   = = +  ÷   2 2 ''' 2 cos 2 2 sin 2 2. 2 2 y x x π π     = + = +  ÷  ÷     ( ) 4 3 3 2 cos 2 2. 2 sin 2 3. 2 2 y x x π π     = + = +  ÷  ÷     Suy ra: ( ) ( ) 1 2 sin 2 1 2 n n y x n π −   = + −     (*) (*) đã đúng với 1, 2,3n = . Giả sử (*) đúng với n k= , ta có: ( ) ( ) 1 2 sin 2 1 2 k k y x k π −   = + −     (**) Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng khi 1n k= + , nghóa là: 34 ( ) 1 2 sin 2 2 k k y x k π +   = +  ÷   Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có: ( ) ( ) 1 1 2 .2 cos 2 1 2 sin 2 2 k k k y x k x k π π + −     = + − = +  ÷       Vậy: ( ) ( ) 1 2 sin 2 1 2 n n y x n π −   = + −     Suy ra đạo hàm cấp n của hàm số 2 cosy x= : Ta có: 2 2 sin cos 1x x+ = Lấy đạo hàm cấp n hai vế, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sin cos 0 n n x x+ = Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 cos sin 2 sin 2 1 2 n n n x x x n π −   = − = − + −     . B. BÀI TẬP Bài 1. Cho hàm số cosy x x= . Chứng minh: '' 2sin 0y y x+ + = . Bài 2. Cho hàm số sin x y e x= . Chứng minh: '' 2 ' 2 0y y y− + = . Bài 3. Cho hàm số lny x x= . Chứng minh rằng: 2 '' ' 0x y xy y− + = . Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số: ( ) 1 0 1 cos 0 x f x x x x =   = −  ≠   với với Đáp số: Do ( ) ( ) 0 lim 0 1 0 x f x f → = ≠ = nên không tồn tại ( ) ' 0f . Bài 5. Cho hàm số: ( ) ( ) ln cos 0 0 0 x x f x x x  ≠  =   =  với với Tính đạo hàm của hàm số đó tại 0x = . Đáp số: ( ) 1 ' 0 2 f = − . Bài 6. Hãy tính ( ) ' 0f , biết: ( ) 3 2 2 4 8 8 4 khi 0 sin 2 0 khi 0 x x x f x x x  + − +  ≠ =   =  Đáp số: ( ) 5 ' 0 6 f = − . Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số: 35 ( ) 2 2 ln 0 2 4 0 0 x x x x f x x  − >  =   =  nếu nếu Đáp số: ( ) ' 0 0f + = . Bài 8. Cho hàm số: ( ) 2 2 8 2 2 2 x x x f x x a x  + − ≠  = −   =  nếu nếu . Xác đònh a để hàm số có đạo hàm tại 2x = . Tính ( ) ' 2f . Đáp số: ( ) 6, ' 2 1a f= = . Bài 9. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại 0x = : ( ) 2 0 1 0 x e khi x f x x ax khi x  ≥  =  + + <   . Đáp số: 1a = . Bài 10. Cho hàm số: ( ) 3 2 2 0 2 0 x bx cx x f x x cx x  + + ≥  =  + <   nếu nếu . Xác đònh b và c để ( ) f x có đạo hàm tại 0x = . Đáp số: , 0b c∈ =¡ . Bài 11. Cho hàm số: ( ) 2 2 2 2 1 1 x khi x f x x bx c khi x  − − ≤ ≤  =  + + >   . Tìm các giá trò của b và c để hàm số ( ) f x có đạo hàm tại 1x = . Đáp số: 3, 3b c= − = . Bài 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 sin 5y x= . Đáp số: ( ) ( ) 1 5.10 .sin 10 1 2 n n y x n π −   = + −     . Bài 13. Tính đạo hàm cấp n của hàm số ( ) 2 1 4 f x x = − . Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 . 1 2 2 ! 4 n n n n f x x x n − + − +   = − − − +   . Bài 14. Chứng minh rằng hàm số 2 2 3 2 2 1 x x y x x − + = + − có đạo hàm cấp n bằng: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 . ! 2 1 1 n n n n n x x − + +   − −   − +     . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 483. Cho 2 1y x= − . Tính ' y (x) A. 2 ; 1 x x − − 36 B. ' 2 ; 2 1 x y x − = − C. 2 ; 1 x x− D. 2 2 ; 1 x x− Caâu 484. Cho 2 sin 3y x= . Tính ' y (x) A. 3sin 6x B. sin 6x C. 2sin 3x D. 6sin 3x Caâu 485. Cho 2 2 x x x e y e + = . Tính ' (0)y A. 1− B. 1 C. 3 D. Caùc caâu khaùc ñeàu sai. Caâu 486. Cho 2 ln(3 2 )y x= + . Tính ' (1)y A. 4 5 B. 2 3 C. 1 5 D. 1 . Caâu 487. Tìm ' ( )y x , bieát ln(3 1)y x= + . A. 3 3 1x + B. 3(3 1)x + C. 3 3 1x − + D. 1 3 1x + Caâu 488. Tìm ' (1)y , bieát 2 3 1 ( 2) x y x e + = + . A. 4 11e B. 4 8e C. 4 5e D. 3 5e Caâu 489. Cho 2 cos 2y x= . Tính ' y (x) A. 2sin 4x− B. sin 4x− C. sin 4x 37 [...]... Câu 254 cho y = cos(x2) Tính y’ tại x = π / 4 là : π 2 B −2 π C 2π D - π / 4 A − 2 Câu 255 Cho y = tg x Tính y’ tại x = A B C D π là : 4 4 1 1/4 0 Câu 3 Hàm số y = 1 + 2tgx có đạo hàm tại x = π/4 là π 2 A y ′( ) = 4 3 π 1 B y ′( ) = 4 3 π 1 C y ′( ) = 4 2 π D y ′( ) = 1 4 38 Câu 4 Hàm số y = sin4x + cos4x có đạo hàm tại x = π/4 là A 0 B 2 C 1 D –1 Câu 9 Tính đạo hàm hàm số y = A B C D x +1...D 2sin 4x Câu 490 Đạo hàm của hàm số y = sin 3 x cos 2 x là A 3cos 3 x cos 2 x − 2sin 2 x sin 3 x B 3cos 3 x cos 2 x + 2sin 2 x sin 3 x C cos 3 x cos 2 x − sin 2 x sin 3 x D Các câu khác đều sai Câu 491 Đạo hàm của hàm số y = sinx(1+cosx) là A cosx + cos2x B cosx - cos2x C cosx + 1 D cosx + sin2x 2 1 3 Câu 492 Đạo hàm của hàm số y = ( x − ) là x 3 2 3 3( x − 1) (2 x +... 1/ 3 1 2 Câu 12 Tính đạo hàm của y =x3cosx A 3x2cosx - x3sinx B –3x2sinx C 3x2sinx D x2cosx 2 x 3 + ax 2 + b x3 + 3 y′ = Câu 13 Nếu hàm số y = có đạo hàm thì (a,b) bằng ( x + 1) 2 x +1 A (3,-3) B (2,-3) C (2,3) D (0,2) Câu 14 Cho y = sin(x2) Tính y’ A 2x.cos(x2) B -2x.cos(x2) C cos(x2) D cos(x2) Câu 15 Cho y = sin2x Tính y’ A sin2x B 2x.cos2x C cos2x D 2x.sin2x Câu 30 Nếu đồ thò hàm số y = x 3 + ax... cos(x2) D cos(x2) Câu 15 Cho y = sin2x Tính y’ A sin2x B 2x.cos2x C cos2x D 2x.sin2x Câu 30 Nếu đồ thò hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + 9 đi qua điểm M (1;10) và tại đó y '' = 0 thì: A B C D a = −3 ∧ b = 3 a = 1∧ b = 3 Không tồn tại a, b thỏa đề bài Tất cả các câu trả lời khác đều sai 39 . ) ' ' log ln a u u u a = IV. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số ( ) y f x= có đạo hàm cấp 1n − , kí hiệu là ( ) ( ) 1n f x − . Nếu ( ) ( ) 1n f x − có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của. 4. Hàm số y = sin 4 x + cos 4 x có đạo hàm tại x = π/4 là A. 0. B. 2 . C. 1. D. –1. Câu 9. Tính đạo hàm hàm số 1 1 − + = x x y tại x = 2 là A. –1/ 3 . B. 1/ 3 . C. 1. D. 2. Câu 12. Tính đạo hàm. − ( ) f x có đạo hàm tại điểm 0x = ( ) ( ) 0 0f f + − ⇔ = 0 a⇔ = − 0a⇔ = Vậy giá trò cần tìm là: 0a = . Ví dụ 9. Cho hàm số x y xe= . 1) Tính đạo hàm cấp một 'y và đạo hàm cấp hai