Xác suất căn bản - Các quy luật phân phối docx

VD: Xác suất một khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của công ty bảo hiểm A khi được nhân viên bảo hiểm chào mời là 20%.. a Tính xác suất trong 15 người được chào mời có ít nhất 4 người mua.

CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI

1.PHÂN PHỐI NHỊ THỨC.

2.PHÂN PHỐI POISSON.

3.PHÂN PHỐI SIÊU BỘI.

4.PHÂN PHỐI CHUẨN.

5.PHÂN PHỐI STUDENT.

6.PHÂN PHỐI CHI BÌNH PHƯƠNG.

4.CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI

4.1.PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

.Xét một phép thử

.A là một biến cố trong phép thử,

P(A)=p không đổi Tiến hành n phép thử độc lập

.Gọi X là số lần A xảy ra trong n lần thử Thì ĐLNN X có quy luật phân phối nhị thức Ký hiệu: X~B(n,p)

τ

k n k

k

k k

k n

k n k

k n

p p

C k

X k

P

n k

p p

C k

X P

, 0

; )

1 ( )

(

2

1

2 1

τ

CHUÙ YÙ:

X~B(n,p)

p np

X Mod

q np

iii

q p n

p p

n X

Var ii

p n

X E

)

.

) 1

.(

)

( )

)

( )

X~B(n;p)

P(X=k)=BINOMDIST(k,n,p,0) P(X≤ k)=BINOMDIST(k,n,p,1)

VD:

Tại một địa phương tỷ lệ bầu cho ứng cử viên

B là 65%,thăm dò15 cử tri.

Tính xác suất:

a) có 10 cử tri bầu cho ứng cử viên B.

b) có nhiều nhất 12 cử tri bầu cho ucv B.

c) Theo A/C tin chắc nhất cóù bao nhiêu cử tri

bầu cho B.

GIẢI:

B: một cử tri bầu cho ucv B;p=P(B)=0,65

gọi X là số cử tri bầu cho ucv B thì:

X~B(15;0,65) a) P(X=10)=BINOMDIST(10,15,0.65,0)=0,212 b) P(X≤ 12)=BINOMDIST(12,15,0.65,1)=0,938 c) Mod(X)=10

VD:

Xác suất một khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của công ty bảo hiểm A khi được nhân viên bảo hiểm chào mời là 20%.

a) Tính xác suất trong 15 người được chào

mời có ít nhất 4 người mua.

b) A/C tin chắc nhất bao nhiêu người mua

trong 15 người được chào mời.

GIẢI:

X: số người đồng ý mua bảo hiểm

X~B(15;0,20) a) P(X≥ 4)=1-P(X ≤ 3)

=BINOMDIST(3,15,0.2,1)=0,648 b) Mod(X)=3

4.2 PHÂN PHỐI POISSON

.Số lổi trong một trang sách tài liệu.

.Số khách hàng đến giao dịch tại một ngân hàng trong 10 phút.

Các ĐLNN rời rạc trên có phân phối

POISSON

.Gọi λ là số lần trung bình một biến cố A

xảy ra trong một khoảng thời gian t

(hay một miền không gian s).

.X là số lần biến cố A xảy ra trong khoảng

thời gian t (chu kỳ t) tại một thời điểm bất kỳ Thì X có quy luật phân phối POISSON

Ký hiệu: X~P(λ)

λ σ

λ µ

.

) (

.

2 , 1 , 0

;

!

) (

2

X Var

X E

k k

e k

X P

X X

k

X~P(λ)

P(X=k)=POISSON(k,λ,0) P(X≤ k)=POISSON(k,λ,1)

VD: Tại một công ty liên doanh, theo số liệu các năm vừa qua trung bình một năm có 2 vụ đình công

Tính xác suất năm nay

a) có ba vụ đình công.

b) có ít nhất hai vụ đình công.

GIẢI:

Gọi X là số vụ đình công trong năm nay

Số vụ đình công trung bình là: λ=2

Thì X có quy luật phân phối Poisson

X~P(2) a) P(X=3)=POISSON(3,2,0)=0,18

b) P(X≥ 3)=1-P(X≤2)=1-POISSON(2,2,1)=0,323

VD:

Tại một Lãnh sự quán, trung bình 1 giờ có 12 người được phỏng vấn.

Tính xác suất trong khoảng thời gian từ

9.00 – 9.10 giờ có ít nhất 3 người được phỏng vấn.

TÍNH XẤP XỈ P.P NHỊ THỨC BỞI P.P POISSON

X~B(n,p)

.Nếu n khá lớn và p gần 0 hoặc gần 1

Thì có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối Poisson.

với λ=np Thông thường n≥50, np<5,

có thể tính gần đúng (xấp xỉ).

4.3.PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Tổng thể có N phần tử, trong đó có M phần tử loại A Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại n phần tử.

Gọi X là số phần tử loại A có trong n phần tử chọn ra, thì X là một ĐLNN có quy luật phân phối siêu bội.

Ký hiệu: X~H(N,M,n)

1

.

)

(

)

(

, 0

; )

(

N

M N

N

M n X

Var

N

M n X

E

n

k C

C

C k

X P

X X

n N

k n M N

k M

σµ

X~H(N,M,n)

P(X=k)=HYGEOMDIST(k,n,M,N)

VD:

Một công ty có 100 công nhân, trong đó có 30

CN có thâm niên trên 10 năm

Chọn ngẫu nhiên 5 CN

Tính xác suất có:

a) ba CN có thâm niên trên 10 năm.

b) nhiều nhất hai CN có thâm niên trên10 năm GIẢI:

X:số CN có thâm niên trên10n trong 5CN

Thì X~H(100,30,5)

a)

b) (3,5,30,100) 0,1302

) 3

100

2 30 100

3 30

C

C

C X

P

842 ,

0 )

2 (

2 0

5 100

5 70

C

C

C X

P

TÍNH XẤP XỈ PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

BỞI PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

p =

Một lô hàng linh kiện điện tử có 10.000 sp,

trong đó có 200 phế phẩm, một cửa hàng

Tính gần đúng bởi nhị thức:

X~B(100;0,02) NX: n=100 lớn, p=0,02 bé

Tính gần đúng bởi Poisson: X~P(2)

P(X≥3)=1-P(X≤2)=0,323

Một khách sạn có 5 chiếc xe gắn máy để

cho du khách thuê,mỗi ngày trung bình có 4

xe được cho thuê

Tính xác xuất vào ngày cuối tuần của thg 4 a) Tất cả 5 xe đều được thuê.

b) Khách sạn không đáp ứng được yêu cầu c) Khách sạn cần ít nhất bao nhiêu xe để

xác suất không đáp ứng đủ nhu cầu thuê

xe bé hơn 3%.

X~P(4) a) P(X=5)=P(X>=5)=1-P(X<=4)=0,371163

bán được trong ngày đều có phân phối

Poisson, và độc lập với nhau Trung bình một ngày bán được 4 NOKIA và 3 MOTOROLA.

Tính xác suất một ngày cửa hàng bán :

a) 5 điện thoại

b) Ít nhất 8 điện thoại.

) (

~ );

(

~ P λ1 Y P λ2

X

) (

~ λ1 + λ2

+ Y P X

Một cầu thủ đá thành công quả 11m với xác suất 60%

Theo A/C khi cầu thủ này thực hiện:

Đá 6 quả 11m thành công 3

Đá 10 quả 11m thành công 5

công việc nào dể thực hiện hơn.

4.4.PHÂN PHỐI CHUẨN

X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ

Thì X được gọi là có phân phối chuẩn tắc Ký hiệu: X~N(0,1)

x

; 2

1 )

HÀM LA PLACE

dz e

(

π

5 , 0 )

( :

5

) ( )

(

.

) ( 5

, 0 )

(

.

= Φ

=

x x

x x

x x

CHÚ Ý:

X~N(0,1)

Sử dụng hàm LA PLACE

) (

2 1

)

| (|

1 )

| (|

.

) (

2 )

| (|

.

) (

5 , 0 )

(

.

) (

5 , 0 )

(

.

) (

) (

) (

.

α α

α

α α

α α

α α

α β

β α

=

<

Φ

− Φ

=

<

<

X P

X P

X P

X P

X P

X P

CHÚ Ý:

Sử dụng hàm LA PLACE

) ,

1 )

| (|

.

) (

) (

)

| (|

.

) (

5 , 0 )

(

.

) (

5 , 0 )

(

.

) (

) (

) (

µ

α α

σ

µ

α α

σ

µ

α α

σ

µ

α σ

µ

β β

α

≤ Φ

−

− Φ

=

<

− Φ

+

=

<

− Φ

−

=

>

− Φ

−

− Φ

=

<

<

X X

P

X P

X P

X P

X P

VD:

X(kwh) là lượng điện một hộ dân sử dụng

trong một tháng có phân phối chuẩn

Giá tiền điện là 1 ngàn đồng /kwh nếu sử

( , 60

(

~ N kwh kwh 2X

a)

092,

0)

1()

5,1(

)40

60

100(

)40

60

120(

)

100(

)

120(

)120100

(

)220140

3160

()

220160

(

70:

;1403

70:

;1

*

70:

;3

*)70(

70

70:

;1

*

=Φ

−Φ

=

−Φ

−

−Φ

=

−Φ

−

−Φ

≤

=

σ

µ σ

µ

X P

X P

Y P

X khi

X

X khi

X Y

X khi

X

X khi

X Y

=MOD(Z)=[n.p+p]=200.650 hộ

4013 ,

0 )

25 ,

0 ( 5

, 0 )

70 (

5 , 0

) 70 (

) 70 140

3 ( )

70 (

= Φ

−

=

− Φ

X P

Y P

4.4.2.TÍNH XẤP Xỉ PHÂN PHỐI NHỊ THỨC BỞI

PHÂN PHỐI CHUẨN

X~B(n,p) Nếu n lớn ( n≥30 )

.p không gần 0 hoặc không gần 1

Có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn:

.

)(

1)

()

)(

)(

)(

)

)

1.(

),

(

~

1 2

2 1

k X

P ii

npq

np k

npq

np

k k

X k

P i

q p n p

p n

p n

N X

−

=

=

−Φ

−

−Φ

σµ

Theo một khảo sát về mức độ hài lòng của người dân với các dịch vụ công, tỷ lệ người dân than phiền về dịch vụ cấp chủ quyền nhà là 40%.

Tính xác suất trong 100 hộ được hỏi có:

a) Từ 40 đến 50 hộ than phiền.

b) Ít nhất 50 hộ than phiền.

c) Nhiều nhất 60 hộ than phiền.

a)

b)

c)

4794 ,

0 )

40 (

)

50 ( )

50 40

npq

np npq

np X

P

0206 ,

0 )

50 ( )

100 (

) 50

npq

np npq

np X

P

99998 ,

0 )

0 ( )

60 ( )

60

npq

np npq

np X

P

VD: X(mm) độ dài của một trục xe đạp có phân phối chuẩn, với độ lệch chuẩn là 0,2mm Sản phẩm được xem là đạt tiêu chuẩn, nếu độ dài sai lệch so với độ dài trung bình không quá 0,3mm.

a) Tính xác suất chọn ngẫu nhiên một sản phẩm thì

được sp đạt yêu cầu.

b) Một cửa hàng nhận về 100 sp Tính xác suất có ít

nhất 90 sp đạt yêu cầu.

c) Trong quá trình kiểm tra có thể bị nhầm lẩn:

i)Nếu sp tốt mà bị loại thì mắc sai lầm loại 1.

ii)Nếu sp xấu mà được nhận thì mắc sai lầm loại 2 Xác suất mắc sai lầm loại 1 là 1%,Xác suất mắc sai lầm loại 2 là 2% Tính xác suất không bị nhầm lẩn

trong 1lần kiểm tra.

d) Tính xác suất khi kiểm tra 100 sp có nhiều nhất 10

lần bị nhầm lẩn.