Xác suất căn bản - Chương 2 doc

CHÖÔNG 2 ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN 0 1.KHÁI NIỆM ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN 1.1 ĐLNN RỜI RẠC  X chỉ nhận một số hữu hạn các giá trò, hoặc một số vô hạn đếm được các giá trò 1.2 ĐLNN LIÊN TỤC  Tập hợp các giá trò có thể có của X lấp đầy một khoảng của trục số hoặc toàn bộ trục số * 0)(  aXP ( xác suất tại môït điểm bằng 0 ) 2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN 2.1 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT X 1 x 2 x 3 x … n x P 1 p 2 p 3 p … n p với : )( ii xXPp   ni ,1 , 1 1    n i i p VD: Một lô hàng có 25 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Một người mua 3 sản phẩm, gọi X là số sp tốt trong 3 sp mua , lập bảng phân phối xác suất của X NX: X là một ĐLNN, X nhận các giá trò : 0, 1, 2, 3 002463,0)0( 3 30 3 5  C C XP 061576,0)1( 3 30 2 5 1 25  C CC XP 369458,0)2( 3 30 1 5 2 25  C CC XP 566502,0)3( 3 30 3 25  C C XP X 0 1 2 3 P 0,00246 0,061576 0,369458 0,566502 VD: Một trò chơi : Tung một con xúc xắc 3 lần, nếu xuất hiện 3 mặt 1 thì được 100 ngàn đồng, nếu xuất hiện 2 mặt 1 thì được 50 ngàn đồng, nếu xuất hiện 1 mặt 1 thì được 10 ngàn đồng, nếu không có mặt 1 xuất hiện thì mất 20 ngàn đồng. Gọi X là số tiền được,thua trong trò chơi trên. Tìm quy luật phân phối xác suất của X X nhận các giá trò : -20 ; 10 ; 50 ; 100 (ngàn đồng) 216 1 )100( XP 216 15 )50( XP 216 75 )10( XP 216 125 )20( XP Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN X là: X -20 10 50 100 P 216 125 216 75 216 15 216 1 2.2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN RỜI RẠC ĐN : Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X là )()( xXPxF   Nếu X là ĐLNN rời rạc : )()()(    xx i i xXPxXPxF VD :X ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau X 1 3 5 8 10 P 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1 Hàm phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc X là   xx i i xXPxXPxF   )()()( 0 nếu 1  x 0,2 nếu 1 3  x F(x)= 0,3 nếu 53  x 0,6 nếu 85  x 0,9 nếu 108  x 1 nếu x10 2.3 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT Hàm số f(x) xác đònh trên toàn trục số, được gọi là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X nếu i) f(x) 0 Rx   ii) 1)(     dxxf iii)   b a dxxfbXaP )()( CHÚ Ý: X là ĐLNN liên tục : 0)()(     bXPaXP )()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP          VD: Cho X là ĐLNN liên tục, có hàm mật độ 0 nếu   2,0  x f(x)= 2 1 nếu   2,0  x Kiểm chứng : f(x) Rx    0 ; 1 2 1 )( 2 0     dxdxxf VD: Cho X là ĐLNN liên tục, có hàm mật độ : 2 ax nếu  2,0  x f(x)= 0 nếu  2,0  x a/ xác đònh a. b/ tính )21(  XP Giải: a/ Điều kiện f(x) là hàm mật độ là : 00)(     aRxxf 8 3 1 3 8 )( 2 0 2     a a dxaxdxxf b/ 8 7 8 3 )21( 2 1 2   dx x XP  2.4 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN TỤC Nếu X là ĐLNN liên tục, có hàm mật độ là f(x), thì hàm phân phối xác suất của X là:    x dttfxF )()( CHÚ Ý : Nếu F(x) là hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X, thì hàm mật độ của X là: )()( , xFxf  VD: X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là : 1 nếu   1,0  x f(x)= 0 nếu   1,0  x [...]... k=0,1 ,2 … P(X=3)=POISSON(3,4,0)=0,195367 P(X  2 )= 1- P(X  1 ) =1 - POISSON(1,4,1)=0,908 422 VD: Tại một Lãnh sự quán, trung bình 1 giờ có 12 người được phỏng vấn Tính xác suất có ít nhất 3 người được phỏng vấn trong 10 phút Giải: Gọi X là số người được phỏng vấn trong 10 phút 12 Trung bình 10 phút có :   6  2 người được phỏng vấn Vậy : X ~ P( 2 ) Ta có P(X ≥ 3)= 1- P(X≤ 2) =1-POISSON (2, 2,1)=0, 323 324 ... EXCEL : E ( X )  SUMPRODUCT ( M 1, M 2) VD: Thăm dò thu nhập của 100 công nhân của 1 xí nghiệp, được số liệu như sau : X (triệu đồng)/thg 1 ,2 1,5 2, 0 2, 5 20 40 30 10 Số công nhân Tính thu nhập trung bình của công nhân xí nghiệp trên Giải : Bảng phân phối xác suất X 1 ,2 1,5 2, 0 2, 5 P 0 ,2 0,4 0,3 0,1 Ta có: 4 E ( X )   xi pi  1 ,2  0 ,2  1,5  0,4  2, 0  0,3  2, 5  0,1  1,69 i 1 KL: thu nhập trung... K1 X 5 6 7 8 9 P 0,1 0 ,2 0 ,2 0,3 0,1 NX: P ( X  8)  0,3 Vậy : Mod(X)=8 lớn nhất VD: X : trọng lượng con gà đưa ra thò trường X(kg) 2, 0 2, 2 2, 4 2, 6 2, 8 P 0,1 0,3 0 ,2 0,3 0,1 NX: P ( X  2, 2)  P ( X  2, 6)  0,3 Vậy : Mod(X) =2, 2 ; Mod(X) =2, 6 4 CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG DÙNG 4.1 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC * Xét một phép thử  * A là một biến cố của phép thử , P(A)=p không đổi * Tiến hành n phép... X 82 83 84 85 86 87 P 0,1 0 ,2 0,1 0,3 0 ,2 0,1 Y 82 84 85 86 87 P 83 0,18 0,06 0,16 0,31 0,16 0,13 a/ Tính kỳ vọng , phương sai của X , Y b/ Theo A/C nên mua mì nhãn hiệu nào ? Giải: a/ Ta có : E ( X )  84,6 E (Y )  84,6 n E ( X )   xi2 pi  7159,4 2 i 1 Var ( X )  E ( X 2 )  E ( X )  2, 24 suy ra : 2 n E (Y )   yi2 pi  7159,7 2 i 1 suy ra : Var (Y )  E (Y 2 )  E (Y )   2, 54 2 NX:... X ~B(100 ,2% ) NX : n lớn , p =2% , tính gần đúng bởi PP POISSON X ~P (2) P(X≥3)= 1- P(X 2) =1 - POISSON (2, 2,1)=0, 323 324 VD: Một khách sạn có 5 chiếc xe gắn máy để cho du khách thuê, vào ngày cuối tuần, trung bình có 4 xe được cho thuê Tính xác suất vào ngày cuối tuần của tháng 12: a/ Tất cả 5 xe đều được thuê b/ Khách sạn không đáp ứng được yêu cầu c/ Khách sạn cần ít nhất bao nhiêu xe để xác suất không... A/C số người tin chắc nhất sẽ mua là bao nhiêu? Giải: a/ X : số người đồng ý mua bảo hiểm Thì X ~ B (15 , 20 %) P (X  2) = 1 – P(X  1) = 0,8 328 74 Sử dụng Excel : P(X  1) = BINOMDIST(1,15 ,20 %,1) = 0,167 126 b/ NX : số người tin chắc nhất = Mod(X) =3 np-q=15.(0 ,2 )-0 ,8≤Mod(X)≤np-q+1=15.(0 ,2 )-0 ,8+1 4 .2 PHÂN PHỐI POISSON NX :  Số cuộc gọi điện thoại đến tổng đài điện thoại trong 1 phút  Số tai nạn giao... sử dụng Excel : k 0 P(X  12) = BINOMDIST( 12, 15,65%,1)=0,93 826 6 c/ ta có : suy ra : np-q  Mod(X)  np-q+1 15.(0,65) - 0,35  Mod(X)  15.(0,65) – 0,35 +1 9,40  Mod(X)  10,40 Vậy Mod(X) = 10 KL : số cử tri tin chắc nhất bầu cho ucv B là : 10 VD: Xác suất một khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của công ty bảo hiểm A, khi được nhân viên công ty này chào mời là 20 %, a/ Tính xác suất trong 15 người được nhân... X  Var( X )  EX  E ( X ) 2   E ( X 2 )  E ( X ) 2  Nếu X là ĐLNN rời rạc :  2 X n  Var ( X )   xi  E ( X ) pi 2 i 1  NếuX là ĐLNN liên tục :   Var ( X )   x  E ( X ) 2 f ( x)dx 2 X  VD: Kiểm tra 100 gói mì ăn liền nhãn hiệu A và 100 gói mì ăn liền nhãn hiệu B được số liệu như sau: Trọng lượng (g) 82 83 84 85 86 87 Số gói mì A 10 20 10 30 20 10 Số gói mì B 18 6 16 31 16... bình c/ tính xác suất phải chờ từ 1đến 2 phút Giải: a/ b/ c/  a0 ; 3 0 ax 3 dx  1  a  4 3 12 x xdx  0 81 5 2 4 15 P (1  X  2)   x 3 dx  1 81 81 E( X )   3 4 81 Tính chất của kỳ vọng : E (C )  C ii) E (CX )  CE ( X ) ( C: hằng số ) i) iii) E ( X  Y )  E ( X )  E (Y ) iv) E ( X Y )  E ( X ).E (Y ) nếu X,Y là hai ĐLNN độc lập 3 .2 PHƯƠNG SAI Phương sai của ĐLNN X là:  2 X  Var( X )... lập với nhau Trung bình mỗi ngày bán được 4 NOKIA và 3 MOTOROLA Tính xác suất để một ngày cửa hàng bán được a/ 5 điện thoại b/ Ít nhất 8 điện thoại HD: X~P(4) , Y~P(3) , X và Y độc lập  X+Y~P(7) a/ P(X+Y=5)=POISSON(5,7,0)=0, 127 717 b/ P(X+Y ≥ 8)= 1- P(X≤7)=1 - POISSON(7,7,1)=0,40 128 6 VD: Một cầu thủ đá thành công quả 11m , với xác suất 60%, Theo A/C khi cầu thủ này thực hiện đá :  6 quả vào 3 quả  . xác suất của ĐLNN X là: X -2 0 10 50 100 P 21 6 125 21 6 75 21 6 15 21 6 1 2. 2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN RỜI RẠC ĐN : Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X là )()( xXPxF   . phân phối xác suất của X X nhận các giá trò : -2 0 ; 10 ; 50 ; 100 (ngàn đồng) 21 6 1 )100( XP 21 6 15 )50( XP 21 6 75 )10( XP 21 6 125 )20 ( XP Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN. 0,1 0 ,2 0 ,2 0,3 0,1 NX: 3,0)8(   XP lớn nhất Vậy : Mod(X)=8 VD: X : trọng lượng con gà đưa ra thò trường X(kg) 2, 0 2, 2 2, 4 2, 6 2, 8 P 0,1 0,3 0 ,2 0,3 0,1 NX: 3,0)6 ,2( )2, 2(     XPXP