Tiểu luận môn xác suất thống kê Các quy luật phân phối

LỜI MỞ ĐẦU Xác suất thống kê là môn học có lịch sử phát triển lâu đời. Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pascal (1623 - 1662) và Fermat (1601 - 1665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý tộc Pháp đặt ra cho Pascal. Năm 1812, nhà toán học Pháp Laplace đã dự đoán rằng “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”. Ngày nay lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, … Việc học tập Bộ môn Xác suất và thống kê giúp cho sinh viên có được những bài học và ứng dụng thực tế về Đại số tổ hợp, lý thuyết xác suất, phép thử, biến cố, xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất, vector ngẫu nhiên, giá trị kỳ vọng, phương sai… Nhóm nhận thấy khi học Bộ môn Xác suất và thống kê giúp ích rất nhiều cho sinh viên chúng em không những trong thời điểm hiện tại mà còn về sau này khi giải quyết những vấn đề trong cuộc sống. Nhóm xin gởi lời cảm ơn đặc biệt đến Thầy Nguyễn Văn Phú, Thầy đã tận tình giảng dạy chúng em và giúp đỡ nhóm hoàn thành tốt bài tập này./. Trang 1 DANH SÁCH NHÓM 6 GVHD: Ths. Nguyễn Văn Phú Lớp: BK10HTĐ    Trang 2 STT MSSV Họ và tên Ghi chú 1 410BK240 Võ Minh Sang 2 410BK259 Đoàn Thanh Tài 3 410BK083 Dương Hoàng Hiếu 4 410BK104 Phạm Ngọc Huy 5 410BK365 Nguyễn Thanh Tú 6 410BK165 Nguyễn Đình Lực 7 410BK195 Lê Nhân 8 410BK181 Nguyễn Khoa Nam 9 410BK186 Phạm Ngọc Kim Ngân 10 410BK235 Nguyễn Văn Quyết NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Mục lục: Lời mở đầu Trang 2 Danh sách nhóm Trang 3 Trang 3 Nhận xét của GVHD Trang 4 Mục lục Trang 5 Chương I: Đại cương về xác suất Trang 6 A. Tóm tắt lý thuyết Trang 6 B. Bài tập Trang 7 C. Bài làm Trang 8 Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên Trang 11 A. Tóm tắt lý thuyết Trang 11 B. Bài tập Trang 14 C. Bài làm Trang 15 Chương III: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên Trang 18 A. Tóm tắt lý thuyết Trang 18 B. Bài tập Trang 20 C. Bài làm Trang 21 Chương IV: Các quy luật phân phối Trang 24 A. Tóm tắt lý thuyết Trang 24 B. Bài tập Trang 28 C. Bài làm Trang 29 Chương V: Lý thuyết mẫu Trang 30 A. Tóm tắt lý thuyết Trang 30 B. Bài tập Trang 32 C. Bài làm Trang 33 Chương VI: Lý thuyết ước lượng Trang 34 A. Tóm tắt lý thuyết Trang 34 B. Bài tập Trang 36 C. Bài làm Trang 37 Chương VII: Kiểm định giả thuyết thống kê Trang 38 A. Tóm tắt lý thuyết Trang 38 B. Bài tập Trang 41 C. Bài làm Trang 42 Trang 4 CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa xác suất: - Định nghĩa cổ điển: xác suất của biến cố A là một số P(A): P (A) Ở đây n là số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử, m là số biến cố thuận lợi cho A (nghĩa là nó xuất hiện thì A xuất hiện). - Định nghĩa thống kê của xác suất: P(A) . Ở đây là tần suất xuất hiện A khi lặp lại phép thử n lần. - Định nghĩa hình học của xác suất: P(A) . Ở đây hình học H biểu diễn tất cả các kết cục đồng khả năng của phép thử; các kết cục thuận lợi cho A được biểu diễn bằng hình G là độ đo của các hình này, chẳng hạn như độ dài, diện tích,thể tích. - Xác suất có các tính chất đơn giản: 0 2. Giải tích tổ hợp: - Quy tắc cộng: Để làm việc A có thể thực hiện theo một trong hai khả năng: Khả năng 1: có n cách. Khả năng 2: có m cách Suy ra số cách làm việc A là m + n. - Quy tắc nhân: Để làm việc A phải qua 2 bước: Bước 1: có n cách. Bước 2: có m cách Suy ra số cách làm việc A là m.n. - Tổ hợp: Một tổ hợp chập k của n phần tử là một bộ phận gồm k phần tử (lấy từ n phần tử) có hai tính chất: khác nhau, không kể thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử: - Chỉnh hợp: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ gồm k phần tử (lấy từ n phần tử) có 2 tính chất: khác nhau, kể thứ tự. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: : - Hoán vị: Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp thứ tự n phần tử, vì vậy nó là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Số hoán vị của n phần tử . - Nhị thức Newton: Công thức nhị thức Newton: Tam giác Pascal: 3. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất của biến cố: - Công thức cộng xác suất: + P(A+B)=P(A)+P(B) (2 biến cố xung khắc) + P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B)  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) + [P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC) - Công thức nhân xác suất: + P(A.B)=P(A).P(B) (2 biến cố độc lập) + P(A.B)=P(A).P(B/A)  1 2 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ). ( / ) ( / ) n n n p A A A p A p A A p A A A A − = Trang 5 - Công thức bernuolli: cho 2 biến cố A và + ( ) x x n x n n p x C p q − = , p=p(A), q=1-p - Công thức xác suất đầy đủ: + 1 1 2 2 ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) n n p F p A p F A p A p F A p A p F A= + + + - Công thức Bayes: ( . ) ( ). ( / ) ( / ) ( ) ( ) i i i i p A F p A p F A p A F p F p F = = B. BÀI TẬP: 1.7 Để lập 700 bảng đăng ký, mỗi bảng gồm ba ký số, cần phải dùng ít nhất bao nhiêu số nếu: a) Các chữ số có thể trùng nhau trong một bảng. b) Các chữ số không thể trùng nhau trong một bảng. 1.8 Có bao nhiêu trường hợp ta nhận được các số khác nhau khi tung cùng một lúc: a) Hai súc sắc? b) Ba súc sắc? 1.9 Cho P(x, y, z) là diểm trong không gian ba chiều với các tọa độ nguyên dương chỉ gồm một chữ số. Hỏi: a) Có bao nhiêu điểm như vậy? b) Có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất mấy điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox? c) Có bao nhiêu hệ gồm một số điểm như vậy mà trong mỗi hệ không có bất cứ hai điểm nào cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục Ox? 1.10 Trên mặt phẳng có 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ điểm nào nữa thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho? 1.11 Tính tổng: a) 1 1 k k k k k k m C C C + + − + + + b) 0 1 1 1 2 1 k k n n C C C n + + + + c) ( ) 2 0 n i n i C = ∑ 1.12 Một lô bóng đèn, trong đó có sáu bóng 110V và 14 bóng 220V. Hỏi: a) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn từ lô ra. Trang 6 b) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn sao cho trong đó có hai bóng 110V. c) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn sao cho trong đó có ít nhất hai bóng 110V. C. BÀI LÀM: 1.7 Gọi 3 ký số của mỗi bảng là: a 1 a 2 a 3 a) Gọi số chữ số cần dùng là: x • a 1 có x cách chọn. • a 2 có x cách chọn. • a 3 có x cách chọn. ⇒ Số cách chọn 3 ký số là: x.x.x = x 3 Điều kiện: 3 3 700 700 8,9x x ≥ ⇔ ≥ ≈ Vậy x min = 9. b) Gọi số chữ số cần dùng là: y Mỗi cách chọn 3 ký số là một chỉnh hợp chập 3 của y phần tử: 3 ! ( 2)( 2) ( 3)! y y A y y y y = = − − − Điều kiện: min ( 2)( 2) 700 (1) 9 9 9 10 10 10 1: 9 (1) 504 700 2: 10 (1) 720 700 y y y y x y Do y y y TH y TH y − − ≥ ≥ = =   ⇒ ≤ ≤ ⇒   = ≤   = ⇒ ≥ = ⇒ ≥ < Vậy y = 10 1.8 a) Gọi các số hiện ra khi tung cùng 1 lúc 2 con súc sắc lần lượt là: a 1 a 2 • a 1: có 6 cách chọn. • a 2 có 5 cách chọn. Vậy số trường hợp xảy ra: 6.5 = 30 trường hợp. b) Gọi các số hiện ra khi tung cùng 1 lúc 3 con súc sắc lần lượt là: a 1 a 2 a 3 • a 1: có 6 cách chọn. • a 2: có 5 cách chọn. • a 3 : có 4 cách chọn. Vậy số trường hợp xảy ra: 6.5.4 = 120 trường hợp. 1.9 N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a) P(x, y, z) • x: có 9 cách chọn, x∈ N. Trang 7 (loại) (nhận) • y: có 9 cách chọn, x∈ N. • z: có 9 cách chọn, x∈ N. Vậy số điểm thỏa yêu cầu: 9.9.9 = 729 điểm. b) Không có bất cứ 2 điểm nào cùng nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với trục Ox ⇒ các điểm đó có tọa độ x khác nhau. Vì x xó 9 cách chọn và x∈N nên có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất 9 điểm như vậy. c) Gọi hệ thỏa yêu cầu bài toán là: 1 1 2 2 9 9 (1, , ) (2, , ) (9, , ) y z y z y z        + y 1 có 9 cách chọn. + y 2 có 9 cách chọn. … + y 9 có 9 cách chọn. + z 1 có 9 cách chọn. + z 2 có 9 cách chọn. … + z 9 có 9 cách chọn. Vậy số hệ = (9 9 ) 2 = 9 18 hệ. 1.10 Chọn tam giác có 3 đỉnh tại các điểm đã cho tương đương với việc chọn ba điểm không thẳng hàng từ các điểm đã cho. Bước 1: Chọn ba điểm tuỳ ý từ 10 điểm đã cho: 3 10 C cách. Bước 2: Chọn ba điểm thẳng hàng từ 10 điểm đã cho. Vì có 4 điểm thẳng hàng nên sẽ có: 3 4 C cách. Vậy số cách chọn thỏa đề bài: 3 3 10 4 116C C − = cách chọn. 1.11 a) Áp dụng Công thức Pascal: Trang 8 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k m k m k m k k k k m k m k m k k k k k k k k k m k m C C C C C C C C C C C C C C C C C C C + + + + + + + + + + + + + + + − + − + − + + + − + − + + + + − + = + = + = + = + = + + + + = b) Ta có: 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 (1 ) . (1 ) . (1 ) . 1 1 (1 ) 1 1 . . 1 1 1 n n x x n k k n k k n n k k x x n k n k n k n n k k n k x x C x dx x C dx x x C n k x x C n n k = = + + = + + = + = ⇔ + = + ⇔ = + + + ⇔ − = + + + ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ Thế x = 1 vào, ta được: 1 0 1 2 1 . 1 1 n n k n k C k n + = − = + + ∑ c) Ta có: (1+x) n .(1+x) n = (1+x) 2n Gọi a là hệ số đứng trước x n 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 (1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) n n k k n n n n n n n k n n k n k n n n n n n n n n k n i n i n n k k n n n k n i n n n i x C x C x C x C x C x x C x C x C x C x C x a C x x C a C C C = − − − = = = =  + = = + + + +    + = = + + + +  ⇒ = • + = ⇒ = ⇒ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1.12 a) Chọn 4 bóng từ 20 bóng là một tổ hợp chập 4 của 20 phần tử. Vậy số cách chọn = 4 20 4845C = cách. Trang 9 b) Chọn 2 bóng 110V từ 6 bóng ⇒ có 2 6 C cách. Chọn 2 bóng 220V từ 14 bóng ⇒ có 2 14 C cách. Vậy: Số cách chọn = 2 2 6 14 . 1365C C = cách. c) TH1: 2 bóng 110V, 2 bóng 220V Số cách chọn = 1365. TH2: 3 bóng 110V, 1 bóng 220V Số cách chọn = 3 1 6 14 . 280C C = . TH3: 4 bóng 110V, 0 bóng 220V Số cách chọn = 4 0 6 14 . 15C C = . Vậy số cách chọn tổng cộng là: 1365+280+15=1660 cách. Trang 10 [...]... giỏ tr m LNN X cú th nhn * Phõn loi: LNN X c gi l ri rc nu tp cỏc giỏ tr ca nú l mt tp hu hn hoc vụ hn m c cỏc giỏ tr "cỏch quóng nhau" 2 Bng phõn phi xỏc sut ca i lng ngu nhiờn ri rc: a) Quy lut phõn phi xỏc sut: N: Quy lut PPXS ca LNN l s tng ng gia cỏc giỏ tr cú th cú ca nú v cỏc xỏc sut tng ng vi cỏc giỏ tr ú b) Bng v hm phõn phi xỏc sut: vi k =1,2, Cỏc xỏc sut ca LNN X thng c sp thnh bng sau õy,... phỏp gii Gi thit thờm n30 Nu H ỳng thỡ: T ú ta cú quy tc kim nh: -Tỡm t h thc 2)=1-Tớnh thng kờ = Nu thỡ chp nhn H Nu thỡ bỏc b H 2 Kim nh so sỏnh 2 t l: Bi toỏn: gi s tng th I cú t l ; tng th II cú t l T tng th I cú kớch thc , t l mu T tng th II cú kớch thc n 2, t l mu f2 Hóy kim nh gi thit H:p1=p2 vi mc ý ngha Phng phỏp gii Gi thit thờm n1,n2 Ta cú quy tc kim nh nh sau: -Tỡm =2)=1-Tớnh thng kờ Nu... chnh s2 Hóy kim nh gi thit H: a=a0 vi mc ý ngha 1-Trng hp n Nu H ỳng thỡ: Ta cú quy tc kim nh nh sau: -Tỡm =2)=1-Tớnh thng kờ Nu thỡ chp nhn H Nu thỡ bỏc b H 2-Trng hp tng th cú phõn phi chun ó bit phng sai 2 Trng hp ny c kim nh nh trng hp 1vi : 3-Trng hp n . được các giá trị "cách quãng nhau". 2. Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: a) Quy luật phân phối xác suất: ĐN: Quy luật PPXS của ĐLNN là sự tương ứng giữa các giá. của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó. b) Bảng và hàm phân phối xác suất: với k =1,2,… Các xác suất của ĐLNN X thường được sắp thành bảng sau đây, gọi là bảng phân phối xác suất của. Bộ môn Xác suất và thống kê giúp cho sinh viên có được những bài học và ứng dụng thực tế về Đại số tổ hợp, lý thuyết xác suất, phép thử, biến cố, xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, quy luật phân phối