Tập hợp các giá trị mà X nhận lấp đầy một khoảng của trục số hoặc toàn bộ trục số.. X là ĐLNN liên tụïc thì xác suất tại một điểm bằng 0 PX=a=0... VD: Xác suất một khách hàng đồng ý mua
Trang 21.KHÁI NIỆM ĐLNN.
1.1.ĐLNN RỜI RẠC
X Chỉ nhận một số hửu hạn các giá
trị, hoặc một số vô hạïn đếm được các giá trị.
1.2.ĐLNN LIÊN TỤC
Tập hợp các giá trị mà X nhận lấp
đầy một khoảng của trục số hoặc
toàn bộ trục số.
X là ĐLNN liên tụïc thì xác suất tại
một điểm bằng 0
P(X=a)=0
Trang 32.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA
, 1
; )
p p
n i
p x
X P
P
X
Trang 4VD: Một lô hàng có 25 sp tốt, 5 sp xấu.
Một người mua 3 sp, gọi X là số sp tốt trong 3
sp mua, lập bảng phân phối xác suất của X NX: X là một ĐLNN rời rạc,
X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3.
Bảng phân phối xs của X:
369458 ,
0 )
2 (
002463 ,
0 )
0 (
3 30
1 5
2 25
3 30
3 5
P
C
C X
P
566503 ,
0 )
3 (
061576 ,
0 )
1 (
3 30
3 25
3 30
2 5
1 25
P
C
C
C X
P
X 0 1 2 3
P 0,002463 0,061576 0,369458 0,566503
Trang 5Một trò chơi:
Tung một con xúc xắc 3 lần.
Nếu xuất hiện 3 mặt 1 được 100 ngàn đồng.
Nếu xuất hiện 2 mặt 1 được 50 ngàn đ.
Nếu xuất hiện 1 mặt 1 được 10 ngàn đ.
Nếu không có mặt 1 xuất hiện thì mất 20
ngàn đ.
Gọïi X là số tiền được thua trong trò chơi trên Tìm quy luật phân phối xác suất của X
Trang 6X nhận các giá trị: -20, 10, 50, 100
Quy luật phân phối xác suất của X là:
216
75 )
10 (
216
1 )
100 (
X P
216
125)
20(
216
15)
50(
X P
P 125/216 75/216 15/216 1/216
Trang 72.2.HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA
ĐLNN RỜI RẠC.
ĐN:
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X là:
Nếu X là ĐLNN rời rạc thì hàm phân phối xác suất là:
) (
)
) (
) (
i
i
x X
P x
X P
x F
Trang 8VD: X là ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất là:
Hàm phân phối XS của X là:
) (
) (
i i
x X
P x
X P x
6 , 0
3 , 0
2 , 0 0
x x x x x x
8 5
5 3
3 1
1
= )
(x
F
Trang 92.3.HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT.
Hàm số f(x) xác định trên toàn trục số, được gọi là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X nếu:
CHÚ Ý:X là ĐLNN liên tục thì:
f b
X a
P iii
dx x
f ii
R x
x f i
) ( )
( )
1 )
( )
; 0 )
( )
)(
)(
)(
)(
0)
()
(
b X
a P b
X a
P b
X a
P b
X a
P
b X
P a
Trang 10VD: Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
; 0
] 2 , 0 [
; 2
1 )
(
x
x x
f
1 2
1 )
(
0 )
x f
R x
x f
Trang 11VD: Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
; 0
] 3 , 1 [
; )
f
26
3 1
3
)
1 3 3
a dx
ax dx
x f
26
19 26
3 )
( )
3 2
(
3 2
2 3
Trang 122.4.HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN LIÊN TỤC.
Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là f(x) thì hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục
f x
) (
) ( x F , x
Trang 13VD: X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
thì hàm phân phối xác suất của X là:
; 0
] 1 , 0 [
;
1 )
(
x
x x
f
1 1
; 1
0
;
0
; 0 )
x x
F
Trang 14TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN PHỐI:
x
≤ ( ) 1 ; 0
) (
( lim
1 )
( lim
x F
x x
Trang 153.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN 3.1.KỲ VỌNG
.X là ĐLNN rời rạc
.X là ĐLNN liên tục
Tính chất kỳ vọng
i) E(C)=C (C: hằng số)
ii) E(CX)=CE(X)
iii) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
iv) E(X.Y)=E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập
i n
i
i p x X
Trang 16VD: Thu nhập của 100 CN của một XN.
Tính thu nhập trung bình của 100 CN GIẢI:
Bảng phân phối xác suất:
E(X)=thu nhập trung bình của 100 CN=
1 , 0 ( 5 , 2 )
3 , 0 ( 2 )
4 , 0 ( 5 , 1 )
2 , 0 ( 2 , 1
4
1
= +
+ +
Trang 17VD: X(phút) là thời gian chờ đèn đỏ tại một
ngã tư,là một ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
a)Tính thời gian chờ đợi trung bình
b) Tính xác suất phải chờ từ 1 đến 2 ph
; 0
] 3 , 0 [
; 81
4 )
f
5
12 81
4 )
(
3 0
dx x
f x
81
15 81
4 )
( )
2 1
(
2
1
3 2
Trang 183.2.PHƯƠNG SAI
.X là ĐLNN rời rạc
.X là ĐLNN liên tục
i n
Trang 19p x
X E
X E
X E
X VAR
1
2 2
2 2
2
)
(
)] (
[ )
( )
(
σ
Trang 20.TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG SAI
nếu X,Y độc lập
) (
) (
) (
)
) (
) (
)
) (
) (
)
0 )
(
)
2
Y Var
X Var
Y X
Var iv
X Var
C X
Var iii
X Var
C CX
Var
ii
C Var
i
+
= +
= +
=
=
Trang 21VD: Kiểm tra 100 gói mì ăn liền nhãn hiệu A và
100 gói mì ăn liền nhãn hiệu B được số liệu như sau
Gọi X, Y lần lượt là trọng lượng của gói mì
nhãn hiệu A, nhãn hiệu B.
a) Tính kỳ vọng, psai của X, Y
b) Theo A/C nên mua mì nhãn hiệu nào?
Trang 22a) Ta có:
E(X)=84,6 E(Y)=84,6
Var(X)=2,24 Var(Y)=2,54 b)
Trang 233.3.ĐỘ LỆCH CHUẨN
Độ lệch chuẩn của ĐLNN X :
được sử dụng để đánh giá sự phân tán của ĐLNN X so với kỳ vọng.
3.4 MOD(X) (MỐT)
X là ĐLNN rời rạc:
MOD(X) là giá trị mà tại đó xác suất
tương ứng lớn nhất.
X là ĐLNN liên tục:
MOD(X) là giá trị tại đó hàm mật độ
f(x) đạt cực đại.
MOD(X) thường được gọi là:
giá trị tin chắc nhất
Trang 24VD: Điểm thi môn Xác suất thống kê của SV K.34
NX: P(X=6)=0,40 lớn nhất
Vậy : Mod(X)=6 VD:
là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X,
ta có:
P 0,20 0,20 0,40 0,10 0,10
R x
e x
2
π
0 )
( 2
f
x
π
Trang 254.CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
4.1.PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
.Xét một phép thử
.A là một biến cố trong phép thử,
P(A)=p không đổi Tiến hành n phép thử độc lập
.Gọi X là số lần A xảy ra trong n lần thử Thì ĐLNN X có quy luật phân phối nhị thức Ký hiệu: X~B(n,p)
τ
k n k
k
k k
k n
k n k
k n
p p
C k
X k
P
n k
p p
C k
X P
, 0
; )
1 ( )
(
2
1
2 1
τ
Trang 26CHUÙ YÙ:
X~B(n,p)
] [
) (
)
) (
)
.
) 1
.(
)
( )
)
( )
p np
X Mod
iv
p np
X Mod
q np
iii
q p n
p p
n X
Var ii
p n
X E
Trang 27VD:
Tại một địa phương tỷ lệ bầu cho ứng cử viên
B là 65%,thăm dò15 cử tri.
Tính xác suất:
a) có 10 cử tri bầu cho ứng cử viên B.
b) có nhiều nhất 12 cử tri bầu cho ucv B.
c) Theo A/C có bao nhiêu cử tri bầu cho B.
GIẢI:
B: một cử tri bầu cho ucv B;p=P(B)=0,65
gọi X là số cử tri bầu cho ucv B thì:
X~B(15;0,65) a) P(X=10)=0,212
b) P(X≤ 12)=0,938
c) Mod(X)=10
Trang 28VD:
Xác suất một khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của công ty bảo hiểm A khi được nhân viên chào mời là 20%.
a) Tính xác suất trong 15 người được chào
mời có ít nhất 2 người mua.
b) A/C tin chắc nhất bao nhiêu người mua
trong 15 người được chào mời.
GIẢI:
X: số người đồng ý mua bảo hiểm
X~B(15;0,20) a) P(X≥ 2)=1-P(X≤ 1)=0,833
b) Mod(X)=3
Trang 294.2 PHÂN PHỐI POISSON
.Số lổi trong một trang sách tài liệu.
.Số khách hàng đến giao dịch tại một ngân hàng trong 10 phút.
Các ĐLNN rời rạc trên có phân phối
POISSON
Trang 30.Gọi λ là số lần trung bình một biến cố A
xảy ra trong một khoảng thời gian t
(hay một miền không gian s).
.X là số lần biến cố A xảy ra trong khoảng
thời gian t (chu kỳ t) tại một thời điểm bất kỳ Thì X có quy luật phân phối POISSON
Ký hiệu: X~P(λ)
λ σ
λ µ
.
) (
.
2 , 1 , 0
;
!
) (
2
X Var
X E
k k
e k
X P
X X
k
Trang 31VD: Tại một công ty liên doanh, theo số liệu các năm vừa qua trung bình một năm có 2 vụ đình công
Tính xác suất năm nay
a) không có vụ đình công nào.
b) có ít nhất một vụ đình công.
GIẢI:
Gọi X là số vụ đình công trong năm nay
Số vụ đình công trung bình là: λ=2
Thì X có quy luật phân phối Poisson
X~P(2) a) P(X=0)=0,135
b) P(X≥ 1)=1-P(X=0)=0,865
Trang 32VD:
Tại một Lãnh sự quán, trung bình 1 giờ có 12 người được phỏng vấn.
Tính xác suất trong khoảng thời gian từ
9.00 – 9.10 giờ có ít nhất 3 người được phỏng vấn.
Trang 33TÍNH XẤP XỈ NHỊ THỨC BỞI POISSON
X~B(n,p)
.Nếu n khá lớn và p gần 0 hoặc gần 1
Thì có thể tính xấp xỉ nhị thức bởi Poisson với λ=np
Thông thường n≥50, np<5,
có thể tính gần đúng (xấp xỉ).
Trang 354.3.PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Tổng thể có N phần tử, trong đó có M phần tử loại A Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại n phần tử.
Gọi X là số phần tử loại A có trong n phần tử chọn ra, thì X là một ĐLNN có quy luật phân phối siêu bội.
Ký hiệu: X~H(N,M,n)
1
.
)
(
)
(
) (
N
M N
N
M n X
Var
N
M n X
E
C
C
C k
X P
X X
n N
k n M N
k M
σµ
Trang 36VD:
Một công ty có 100 công nhân, trong đó có 30
CN có thâm niên trên 10 năm
Chọn ngẫu nhiên 5 CN
Tính xác suất có:
a) 3 CN có thâm niên trên 10 năm.
b) nhiều nhất 2 CN có thâm niên trên10 n
0)
3
100
2 30 100
P
842,
0)
2(
2 0
5 100
5 70
C
C
C X
P
Trang 37TÍNH XẤP XỈ PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
p =
Trang 38Một lô hàng linh kiện điện tử có 10.000 sp,
trong đó có 200 phế phẩm, một cửa hàng
Tính xấp xỉ bởi nhị thức:
X~B(100;0,02) NX: n=100 lớn, p=0,02 bé
Tính xấp xỉ bởi Poisson: X~P(2)
P(X≥3)=1-P(X≤2)=0,323
Trang 39Một khách sạn có 5 chiếc xe gắn máy để
cho du khách thuê,mỗi ngày trung bình có 4
xe được cho thuê
Tính xác xuất vào ngày cuối tuần của tháng 12
a) Tất cả 5 xe đều được thuê.
b) Khách sạn không đáp ứng được yêu cầu c) Khách sạn cần ít nhất bao nhiêu xe để
xác suất không đáp ứng đủ nhu cầu thuê
xe bé hơn 3%.
Trang 40bán được trong ngày đều có phân phối
Poisson, và độc lập với nhau Trung bình một ngày bán được 4 NOKIA và 3 MOTOROLA.
Tính xác suất một ngày cửa hàng bán :
a) 5 điện thoại
b) Ít nhất 8 điện thoại.
) (
~ );
(
~ P λ1 Y P λ2
X
) (
X
Trang 41Một cầu thủ đá thành công quả 11m với xác suất 60%
Theo A/C khi cầu thủ này thực hiện:
Đá 6 quả vào 3 quả
Đá 10 quả vào 5 quả
công việc nào dể thực hiện.
Trang 424.4.PHÂN PHỐI CHUẨN
X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ
Thì X được gọi là có phân phối chuẩn tắc Ký hiệu: X~N(0,1)
x
; 2
1 )
Trang 43HÀM LA PLACE
dz e
(
π
5 , 0 )
( :
5
) ( )
(
.
) ( 5
, 0 )
(
.
= Φ
=
x x
x x
x x
Trang 44CHÚ Ý:
X~N(0,1)
Sử dụng hàm LA PLACE
) (
2 1
)
| (|
1 )
| (|
.
) (
2 )
| (|
.
) (
5 , 0 )
(
.
) (
5 , 0 )
(
.
) (
) (
) (
.
α α
α
α α
α α
α α
α β
β α
=
<
Φ
− Φ
=
<
<
X P
X P
X P
X P
X P
X P
Trang 45CHÚ Ý:
Sử dụng hàm LA PLACE
) ,
1 )
| (|
.
) (
) (
)
| (|
.
) (
5 , 0 )
(
.
) (
5 , 0 )
(
.
) (
) (
) (
µ
α α
σ
µ
α α
σ
µ
α α
σ
µ
α σ
µ
β β
α
≤ Φ
−
− Φ
=
<
− Φ
+
=
<
− Φ
−
=
>
− Φ
−
− Φ
=
<
<
X X
P
X P
X P
X P
X P
Trang 46VD:
X(kwh) là lượng điện một hộ dân sử dụng
trong một tháng có phân phối chuẩn
Giá tiền điện là 1 ngàn đồng /kwh nếu sử
( , 60
(
X
Trang 47a)
092,
0)
1()
5,1(
)40
60
100(
)40
60
120(
)
100(
)
120(
)120100
(
)220140
3160
()
220160
(
70:
;1403
70:
;1
*
70:
;3
*)70(
70
70:
;1
*
=Φ
−Φ
=
−Φ
−
−Φ
=
−Φ
−
−Φ
≤
=
σ
µ σ
µ
X P
X P
Y P
X khi
X
X khi
X Y
X khi
X
X khi
X Y
Trang 48=MOD(Z)=[n.p+p]=200.650 hộ
4013 ,
0 )
25 ,
0 ( 5
, 0 )
70 (
5 , 0
) 70 (
) 70 140
3 ( )
70 (
= Φ
−
=
− Φ
X P
Y P
Trang 494.4.2.TÍNH XẤP Xỉ PHÂN PHỐI NHỊ THỨC BỞI
PHÂN PHỐI CHUẨN
X~B(n,p) Nếu n lớn ( n≥30 )
.p không gần 0 hoặc không gần 1
Có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn:
.
)(
1)
()
)(
)(
)(
)
)
1.(
),
(
~
1 2
2 1
k X
P ii
npq
np k
npq
np
k k
X k
P i
q p n p
p n
p n
N X
−
=
=
−Φ
−
−Φ
σµ
Trang 50Theo một khảo sát về mức độ hài lòng của người dân với các dịch vụ công, tỷ lệ người dân than phiền về dịch vụ cấp chủ quyền nhà là 40%.
Tính xác suất trong 100 hộ được hỏi có:
a) Từ 40 đến 50 hộ than phiền.
b) Ít nhất 50 hộ than phiền.
c) Nhiều nhất 60 hộ than phiền.
Trang 51a)
b)
c)
4794 ,
0 )
40 (
)
50 ( )
50 40
npq
np npq
np X
P
0206 ,
0 )
50 ( )
100 (
) 50
( ≥ = Φ − − Φ − =
npq
np npq
np X
P
99998 ,
0 )
0 ( )
60 ( )
60
( ≤ = Φ − − Φ − =
npq
np npq
np X
P
Trang 52VD: X(mm) độ dài của một trục xe đạp có phân phối chuẩn, với độ lệch chuẩn là 0,2mm Sản phẩm được xem là đạt tiêu chuẩn, nếu độ dài sai lệch so với độ dài trung bình không quá 0,3mm.
a) Tính xác suất chọn ngẫu nhiên một sản phẩm thì
được sp đạt yêu cầu.
b) Một cửa hàng nhận về 100 sp Tính xác suất có ít
nhất 90 sp đạt yêu cầu.
c) Trong quá trình kiểm tra có thể bị nhầm lẩn:
i)Nếu sp tốt mà bị loại thì mắc sai lầm loại 1.
ii)Nếu sp xấu mà được nhận thì mắc sai lầm loại 2 Xác suất mắc sai lầm loại 1 là 1%,Xác suất mắc sai lầm loại 2 là 2% Tính xác suất không bị nhầm lẩn
trong 1lần kiểm tra.
d) Tính xác suất khi kiểm tra 100 sp có nhiều nhất 10
lần bị nhầm lẩn.
Trang 534.5.PHÂN PHỐI CHI BÌNH PHƯƠNG
4.5.1 X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
được gọi là có phân phối chi bình phương, với bậc tự do là k
; 0
0 :
; ) 2
( 2
)
1 2 2
2
x khi
x
khi k
x e
x
n x
Var
k X
E
2 )
(
) (
2
σ µ
) (
Trang 54VD:
025 ,
0 )
25 , 3 (
1 )
25 , 3 (
.
90 , 0 )
87 , 4 (
.
56 , 2 99
, 0 )
(
) 10 (
~
2 99 , 0
2 99 , 0 2
P
X P
X P
X
χ χ
χ
Trang 55X1, 2, ,
2 2
2
2
1 X X n X
~
) (
~
2 2
1
2 1
k X
k
X
χ χ
) (
Trang 564.6.PHÂN PHỐI STUDENT
4.6.1.ĐN:
X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
được gọi là có phân phối STUDENT với bậc tự
do là k
Ký hiệu:
R
x k
k
k
x k
x f
k
∈ Γ
2 (
) 1
)(
2
1 (
) (
2
) 1 ( 2
0 )
(
) (
~
2
k
k X
Var
X E
k T X
σ µ
Trang 57P(t≤1,372)=1-P(t>1,372)=1-0,10=0,90 P(|t|>2,228)=0,05
α
α =
> ) ( t t P
Trang 584.6.2.ĐỊNH LÝ :
Nếu X,Y độc lập
Thì: có phân phối STUDENT
bậc tự do là k
k Y
~
) 1 , 0 (
~
2
k Y
N X
χ