Tiểu luận: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TOÁN CAO CẤP A2

Và một số tài liệu liên quan khác.

MỞ ĐẦU

Ta đã biết các tập hợp liên hệ với nhau bởi các ánh xạ Giả sử A và B là hai tập hợp không rỗng, một ánh xạ từ A đến B là một quy tắc nào đó cho ứng với phân tử a A một phần tử duy nhất f(a)  B; f(a) được gọi là ảnh của a Ánh xạ từ tập A đến tập B được kí hiệu là:

f: A  B Ánh xạ f được xác định nếu biết ảnh của mọi a A Các ánh xạ được phân loại thành: đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Nếu X A thì tập hợpf(x) = {b  B | b = f(x) với một x nào đó thuộc X}gọi là ảnh của X Nếu Y  B thì tập hợp f-1(y) = {a A | f(a)Y}được gọi là ảnh ngược hay là tạo ảnh của Y; v.v

Bây giờ, đối với các không gian vectơ, chúng tạo thành không chỉ bởi những phần tử,

mà còn có những phép toán Vì thế mối liên hệ giữa chúng cũng phải được thể hiện bởi những ánh xạ f có liên quan đến các phép toán ấy Đó là ánh xạ tuyến tính!

Bài tiểu luận này dành cho việc nguyên cứu ánh xạ tuyến tính gồm:

- Khái niệm ánh xạ tuyến tính

- Các phép toán về ánh xạ tuyến tính

- Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Và các bài tập áp dụng liên quan./

I NỘI DUNG:

1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

V, W là hai không gian vectơ Ánh xạ f: V W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn hai tính chất sau:

1) f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u,v V;

2) f(λu) =λf (u), ∀ λ Rλu V

Nếu f: V W là ánh xạ tuyến tính thì:

f(λ1u1 + λ2u2) = λ1f(u1) + λ2f(u2), λ1, λ2 Rλu 1 ,u2 V

Nếu f: W = V, axtt f:V V gọi là toán tử tuyến tính V

2 Các phép toán về ánh xạ tuyến tính

Cho f: V W và g: V W là 2 ánh xạ tuyến tính:

a Tổng của 2 ánh xạ tuyến tính

∀u V; (f + g)(u) = f(u) + g(u) W;

b Tích của ánh xạ f với số thực λ, kí hiệu là λflà ánh xạ xác định bởi:

∀u V, (λf¿(u) = λf (u) W

c Giả sử V, W, U là 3 không gian vectơ f: V W và g: W V là 2 ánh xạ tuyến tính Khi đó ánh xạ hợp được xác định bởi:

∀u V, (gof)(u) = g(f(u) U là một ánh xạ từ V tới U Như thế hợp của 2 ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính

3 Ma trận của axtt:

f: V W là ánh xạ tuyến tính thì:

B = {e1, e2 … en} là cơ sở của V

B’ = {e’1, e’2 … e’n} là cơ sở của W, ta có ∀x V,

x = x e + xe + … + x e

Do đó: f(x) = x1f(e1)+ x2f(e2) + … + xnf(en)

Ta biểu thị f(e1) … f(en) qua R’

f(e1) = a11e’1 + a21e’2 + a31e’3 + … + am1e’n

f(e2) = a12e’1 + a21e’2 + a31e’3 + … + am2e’m

………

f(en) = a1ne’1 + a2ne’2 + a3ne’3 + … + amne’m

Khi đó ma trận:

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n tọa độ của f(e1) / β '

am1 am2 … amn

gọi là ma trận của f đối với cặp cơ sở (β❑

, β ')

1 Dạng 1: C/m f là một ánh xạ tuyến tính

Bài 1: Các ánh xạ sau đây có phải ánh xạ tuyến tính 0?

a f: R 3 → R 3

f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 - x 3 , x 2 , 5)

x = (x1, x2, x3) R3

y = (y1, y2, y3) R3

x + y = (x1 + y1, x2+ y2, x3 + y3)

f(x + y) = (x1 + y1 - x3 - y3, x2+ y2, 5)

f(x) = f(x1, x2, x3) = (x1 - x3, x2, 5)

f(y) = f(y1, y2, y3) = (y1 - y3, y2, 5)

f(x) + f(y) = (x1 + y1 - x3 - y3, x2+ y2, 10)

Vậy f(x + y) khác f(x) + f(y) ∀ x , yR3

b f: R 3 → R 3

f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 2 - x 3 , x 1 , x 2 )

x = (x1, x2, x3) R3

y = (y1, y2, y3) R3

x + y = (x1 + y1, x2+ y2, x3 + y3)

f(x) = f(x1, x2, x3) = (x2 - x3, x1, x2)

f(y) = f(y1, y2, y3) = (y2 - y3, y1, y2)

Như vậy: f(x + y) = f(x) + f(y) ∀ x , yR3

λx = (λxx = (λx = (λxx2 – λx = (λxx3, λx = (λxx1, λx = (λxx2)

= λx = (λx(x2 - x3, x1, x2)

= λx = (λx.f(x)

Vậy f là ánh xạ tuyến tính

c f: R2 → R3

f(x 1 , x 2 ) = (3x 1 , x 2 – x 1 , 2)

x = (x1, x2) R2

y = (y1, y2) R2

x + y = (x1 + y1, x2+ y2)

f(x,y) = f(x1 + y1, x2 + y2)

= (3(x1 + y1), x2 + y2, - (x1 + y1), 2)

f(x) = f(x1, x2) = (3x1, x2 - x1, 2)

f(y) = f(y1, y2) = (3y1, y2 - y1, 2)

d f: R 3 → R 3

f(x, y, z) = (x, y, -z)

Xét u = (x1, y1, z1)R3, v = (x2, y2, z2) R3

u + v = (x1 + x2, y1+ y2, z1 + z2)R3

= (x1, y1, -z1) (x2, x2, -z2) = f(u) + f(v)

f(λx = (λxu) = f(λx = (λxx1, λx = (λxy1, λx = (λxz1) = (λx = (λxx1, λx = (λxy1, -λx = (λxz1)

= λx = (λx(x1, y1, -z1)λx = (λxf(u)

Vậy ánh xạ f là ánh xạ tuyến tính

e f: M n x n

f(A) = A + A t

Xét A = [aij]n x n Mn x n; B = [bij]n x n Mn x n thì

A + B = [aij + bij]n x n Mn x n

f(A + B) = (A + B) + (A + B)t = (A + B) + (At + Bt)

= (A + At) + (B + Bt) = f(A) + f(B)

f (λx = (λxA) = (λx = (λxA) + (λx = (λxA)t = λx = (λxA + λx = (λxAt = λx = (λx(A + At) = λx = (λxf(A)

Vậy f là ánh xạ tuyến tính

f f: V → V

f(v) = v + u, u # θ là một vectơ xác định.

Xét u1,u2 V⟹u1 +u2 V

f(u1 + u2) = (u1 + u2) + u;

f(u1) + f(u2) = (u1 + u) + (u2 + u) = u1 + u2 + 2u Do u # θ nên

f(u1 + u2) # f(u1) + f(u2)

Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tính

g f: R → R, xác định bởi f(x) = x 3

f(x + y) = (x+ y)3 # f(x) + f(y)

Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tính

h f: Pn → Pn xác định bởi f[p(x)] = p(x) + xp’(x).

f[p(x) + q(x)] = [p(x) + q(x)] + x[p(x) + q(x)]’

= [p(x) + xp’(x)] + [q(x) + xq’(x)]

= f[p(x) + f[q(x)].

f[λx = (λxp(x)] = λx = (λxp(x) + x(λx = (λxp(x))’ = λx = (λx(p(x) + xp’(x)) = λx = (λxf[p(x)]

Vậy f là ánh xạ tuyến tính

2 Dạng 2: Tìm ma trận của f

Bài 1: Chứng minh rằng f: R2 → R2, xác định bởi

f(x1; x2) = (x1 - 4x2, x1 + x2) là một toán tử tuyến tính

Tìm ma trận của f?

Giải:

Xét x = (x1; x2)  R2; y = (y1; y2)  R2

Suy ra: x + y = (x1 + x2, y1+ y2)R2

f(x+ y) = f(x1 + y1, x2+ y2)= ((x1 + y1)- 4(x2 + y2), (x1 + y1), (x2 + y2))

= ((x1 - 4x2) + (y1 – 4y2), (x1 + x2) + (y1 + y2))

= (x1 - 4x2, x1 + x2) + (y1 – 4y2, y1 + y2)

= f(x) + f(y)

f(λx = (λxx) = (λx = (λx(x1 - 4x2), λx = (λx(x1 + x2)) = λx = (λx(x1 - 4x2, x1 + x2)

= λx = (λxf(x)

Vậy f là một toán tử tuyến tính

Cơ sở chính tắc của R2 là

B = { e1 = (1,0), e2 = (0,1) }

B’ = { e’1 = (1,0), e’2 = (0,1) }

Ta có: f(e1) = f(1, 0) = (1, 1) = e1 + e2

f(e2) = f(0, 1) = (-4, 1)= -4e1 + e2

Vậy: Ma trận của toán tử f là:

A = [1 −41 1 ]

Bài 2: Chứng minh rằng f: R3 → R3, xác định bởi

f(x, x , x ) = (2x ,x – 3x ) là một toán tử tuyến tính

Tìm ma trận của f?

Giải:

Xét x = (x1; x2; x3)  R4; y = (y1; y2; y3)  R4

Suy ra: x + y = (x1 + y1, x2+ y2, x3+ y3)R2

f(x+ y) = f(x1 + y1, x2+ y2, x3+ y3)= (2(x1 + y1), (x2 + y2), (3x3 – y3))

f(x) = f(x1; x2; x3)= f(2x1, x2 – 3x3)

f(y) = f(y1; y2; y3) = f(2y1; y2 - 3y3)

f(x+ y) = f(x) + f(y)

f(λx = (λxx) = (λx = (λx2x1, λx = (λx(x2 – 3x3)= λx = (λx(2x1, x2 – 3x3)

= λx = (λxf(x)

Vậy f là ánh xạ tuyến tính

Cơ sở chính tắc của R3 là

B = { e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e2 = (0, 0, 1)}

B’ = { e’1 = (1,0), e’2 = (0,1) }

Ta có: f(e1) = f(1, 0, 0) = (2.1, 1.0 – 3.0) = (2, 0)

= 2.e’1 + 0.e’2

f(e2) = f(0,1, 0) = (0.1, 1.1 – 3.0)= (0, 1) = 0.e’1 + 1.e’2

f(e3) = f(0, 0, 1) = (0.1, 0.1 – 3.1)= (0, -3)

= 0.e’1 - 3.e’2

Vậy: Ma trận của toán tử f là:

A = 2 00 1 −30

Bài 3: Cho ánh xạ f: R3 → R3, xác định bởi

f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 – x3;x1 – x2 + x3, -x1 + x2 + x3)

Tìm ma trận của đối với cơ sở

B = { e1 = (1, 0, 0), e2 = (1,1, 0), e2 = (1, 1, 1)}

Giải:

Ta có: f(v1) = f(1, 0, 0) = (1, 1, -1) Bây giờ ta biểu diễn f(v1) theo v1, v2, v3 Giả sử : f(v1) = av1 + bav2 + cv3 = a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1)

Ta có hệ phương trình:

a+ b + c = 1

b + c = 1

c = -1

Suy ra: c = -1, b = 2, a = 0 hay f(v1) = 0 v1 + 2v2 - v3

Tương tự như thế, ta có

f(v2) = f(1, 1, 0) = (2, 0, 0) Ta giải hệ:

a+ b + c = 2

b + c = 0

c = 0

Suy ra: c = 0, b = 0, a = 2 hay f(v2) = 2v1 + 0v2 + v3

f(v3) = f(1, 1, 1) = (1, 1, 1) = 0v1 + 0v2 +1 v3

Vậy, ta có ma trận của đối với cơ sở {v1, v2, v3) là:

3 Dạng 3: Tìm công thức của ánh xạ tuyến tính f

f(1, 1, 2) = (1, 0, 0), f(2, 1, 1) = (0, 1, 1), f(2, 2, 3) = (0, -1, 0)

Giải:

Giả sử: (x1, x2, x3) = a1(1, 1, 2) + a2(2, 1, 1) + a3(2, 2, 3)(1)

Khi đó: f(x1, x2, x3) = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 1) + a3(0, -1, 0)

= (a1, a2 – a3, a3) (2)

Do đó, để tính f(x1, x2, x3) ta cần tính a1, a2, a3 qua x1, x2, x3 Do công thức (1)

a1, a2, a3 là nghiệm của hệ:

1 2 2 x 1 2 2 x x

1 1 2 x2 → 1 1 2 x2 - x1 + x2

2 1 3 x3 2 1 3 x3 -2x1 + x3

1 2 2 x1 1 2 2 x1

0 -1 0 x2 → 1 1 2 - x1 + x2

2 0 -1 x3 2 1 3 -2x1 + x3

Vậy: a3 = -x1 + 3x2 – x3

a2 = x1 - x3

a1 = x1 - 2x2 –2x3 = x1 – 2(x1 + x2) – 2(-x1 + 3x2 – x3) = x1 - 4x2 + 2x3

Thay vào (2), công thức của ánh xạ f là:

f(x1, x2, x3) = (x1 – 4 x2 + 2x2, 2x2 -4x2 + x3, x1 – x2)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giáo trình toán cao cấp Tập 1 (dùng cho khối Cao Đẳng)

2 Bài tập Toán cao cấp Tập 1( dùng cho khối Cao Đẳng)

3. Trang web http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/bai-tap-toan-anh-xa-tuyen-tinh.537598.html

4. Trang web http://vi.wikipedia.org/wiki/

5 Trang web http://www.ftu2.com/forum/showthread.php?t=5714

6 Và một số tài liệu liên quan khác