Tài liệu chia sẻ kiến thức phần giới hạn dãy số.
Trang 1GV Nguyen Vu Thu Nhan – To Toan – Ly – Khoa Vat Ly – DHSP TpHCM
Bai tap Giai Tich 1 – Nam hoc: 2007 - 2008
ÔN TẬP VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
I.1 Các giới hạn cơ bản:
1 lim 1 =0( >0)
∞
n
∞
∞
4
( a) (a p)
n n p
+
∞
1
lim 5 lim =0,( <1)
∞
n
n
+
∞
→
1 1 lim
1
∞
n
n
n
n p
∞
n
n n
∞
lim
I.2 ðịnh lý giới hạn kẹp
Cho các dãy số {xn}, {yn}, {zn}
Nếu xn ≤ yn ≤ zn∀ n ≥ no và x z n a
n n
∞
→
∞
n y
∞
→
lim = a
Bài tập
∞
n a +b +c
∞
→
n n
3 2 lim
1 1 +
+ + +
∞
→
∞
1
sin lim 2
+
∞
n n
n n
b a
+
−
∞
→
lim 7* limsin( 2 +1)
∞
∞
n
+ + + +
∞
1
3 2
1 2 1
1 lim
n n
−
−
−
∞
1 1 3
1 1 2
1 1 lim
n n
−
−
∞
→
2 1
1 1 6
1 1 3
1 1
n
a a
a a
+ + + + +
+ + + + +
∞
1
3 2
13 n→ ∞ + + + −n
n
2
1 2
2
5 2
3 2
1
n
2 8 4
2
2 2 2 lim
∞
→
II.1 Các giới hạn cơ bản:
0
→
tgt t
t t
0
→
t t
e
t t
2
1 cos 1 lim 2
0 − =
t t
t
t a
→
1 ) 1 ( lim
e
t t p
∞
t
t p
∞
II.2 Quy tắc L’Hospital:
Cho xo∈ R hoặc xo = ± ∞
f, g có ñạo hàm liên tục thỏa mãn:
0 ) ( lim ) ( lim
0 0
=
=
→
x x x
→
lim
0 0
x g x
f
x x x
x
Trang 2GV Nguyen Vu Thu Nhan – To Toan – Ly – Khoa Vat Ly – DHSP TpHCM
Bai tap Giai Tich 1 – Nam hoc: 2007 - 2008
x g
x f x
) ( ' lim 0
x g
x f x
) ( lim 0
) ( lim 0
x g x
x f x
→
x x x
→
lim
0 0
(a,b hữu hạn) thì [ ] ( )
) ( lim 0
x g x
x f x
) ( lim 0
x v x
x u x
x
x ln lim 0
0
x u x v
x
) ( lim 0
x v x
x u x
) ( lim
0
x g x
x f x
) ( lim 0
x g x
x f x
( ( ) 1 ) ( ) 1
) ( 1 ) 1 ) ( ( 1 lim 0
x g x f x f x
−
−
−
0 1 ) ( lim g x
x
Bài tập:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1
1
1 lim
1 −
−
m
x
3
1 (1 )
) 1 ) (
1 ).(
1 (
−
−
−
n
n
x x
x
3
1 2
1 lim 2
2
−
−
−
∞
x x
4
x
x x
x x
1 ) 3 1 )(
2 1 )(
1 ( lim
0
− + +
+
5
0
) 5 1 ( ) 1 ( lim
x x
x x
+
− +
1
3 lim
3 2
− + +
x x x x
7
1
lim
3 2
− + + + +
n x x
x
1
1 ( 1)
) 1 ( lim
−
+ +
−
+
n x n
x n
−
−
−
) 1 (
3 1
1 lim
x x
x
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1
x
a x a x
3 3
0
4
8 lim
3
64 −
−
x
2 2
lim
a x
a x a x
a
− +
−
→
4
2 3
7 11
8
3
+
− +
x x
1
lim
+
+ +
∞
x x x
1 2 lim
4 3 +
+ +
+∞
x x x x
7
1 1
1 ) 1 (ln lim
1
−
− +
→
x
x
x x
0 lim − 2 −
x x −
→
1 1
1 lim
10
2
1 2
2 lim
x
x
−
+
∞
1
2 0
2
1
1 lim
x
+
.
1 2 lim
x tg
π
−
→
13 ( )tg x
x
tgx 2
4
lim
π
→
−
x
1 lim
2 1
0
sin
x
→