Tài liệu Bài tập phương pháp tính.
Trang 1BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các phương trình sau bằng phương pháp chia đôi và đánh giá sai số với độ chính xác là 10 3
2/ x cos x2 0 ; x 0,1
3/x tg x 0.25 0 ; x 1.5,2
2
7 /lnx 3xsinx 2 0 ; x 0.1,0.7
2
9/xln x 1 xsin x3 1 0 ; x 1.1,2
10/xln x 1 3xcose x 2 0 ; x 1,2
8
3
x
1.125 2
1
1 log
2 1
7
2 3
1.1
ln x
sin x
2
2
3
ln x
x x
2
10 2
cos x
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp Lặp đơn và đánh giá sai số
với độ chính xác là 10 5
3
Trang 2
4 / x tgx 0 ; x 0.2,1
2
x
2
2
8/x ln x2 4 0 ; x 2,3
2 2
x
2
16/ arcsinx 4x2 3 0 ; x 0,0.9
3
x
Bài 3: Giải các phương trình sau bằng phương pháp Newton(Tiếp tuyến) và đánh giá sai số với độ chính xác là 10 5
1/x 2x 5 0 ;x 1,2 2/x33x2 1 0 ;x 3, 2.5
2
2
5/e x 2 x 2cosx 6 0 ;x 1,2
6 / 2xcos x2 x 2 0 ;x 3,4
Trang 3
7 /lnx x 0 ;x 1,2
2
9/ 2lnx 0.5x 1 0 ;x 0.2,1
10/xln x x5 6 0 ;x 2,3
2 2
ln x
2
12/ log (sinx 1) cosx 0 ;x 0; 1
2
2
x
3
15 / x 5sin lmn x( 2) 1.1 0 ;x 1,0
3
16/ cosx 3 (ln x 2) 1.12 0 ;x 2.15; 3
17 / (1.5ln tgx cos x) ( 1) e 0 ;x 1; 2
18/x arcsin x( 1) 1,045 0 ;x 0;1
2 19/x arccos x(2 1) 1 0 ;x 0.5; 0
20/ Tìm nghiệm dương lớn nhất của các phương trình sau :
2
a e x b x/ 4 2x37x2 3 0 c sinx e/ x 0 21/ Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của các phương trình sau :
2
a e x b e/ x 4x 0 c sinx e/ x 0 22/ Tìm nghiệm của các phương trình sau :
2
a x x b x/ 2sin x 0
c x lnx d x/ 210lnx 3
GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Lặp 3 bước và đánh giá
sai số khi nhận được giá trị ẩn ở bước lặp thứ 3 là nghiệm gần đúng của hệ
Trang 410 2 0,1234
3 /
4 /
5 /
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel qua 3 bước và
đánh giá sai số khi nhận được giá trị ẩn ở bước lặp thứ 3 là nghiệm gần đúng của hệ
3 /
Trang 51 2 3 4
4 /
5 /
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Lặp và đánh giá sai số
với độ chính xác 10 5
3 /
Trang 6
4 /
5 /
Trang 7Bài 4: Giải lại các hệ phương trình ở bài 3 bằng phương pháp Seidel và đánh
giá sai số với độ chính xác 10 5
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss với phần tử trội
3 /
4 /
2
3
ĐA THỨC NỘI SUY
Bài 1: Cho bảng nội suy sau :
3.872 3.924 3.952 4.012 4.103
x y
a/ Viết đa thức Lagrange
b/ Tính giá trị của đa thức tại : x 1.52 ;x 1.58 ; x 1,625
Bài 2: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange, tính gần đúng giá trị và tính sai số
trong các trường hợp sau :
Trang 8( ) 8.3934 9.0156 9.7329 10.5511
x
f
f x
( ) 16.95 17.56 18.51 18.83
x
f
f x
x
f
f x
( ) 1.86 1.94 2.82 3.32 2.33
x
f
f x
0.02 0.03 0.07 0.95 1.25
( ) 2.51 2.52 2.55 1.44 1.66
x
f
f x
Bài 3: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho các hàm số sau và tính sai số
tuyệt đối trong x x 0; n
1/ ( )f x e cos x x 2 ,x 0;x 0.2;x 0.4;n 2
2/ ( )f x cos lnx ,x 2;x 2.4;x 2.6;n 2
4 / ( )f x sinx cosx ,x 0;x 0.25;x 0.5;x 1;x 1.5;n 3
5/ ( )f x sinx tgx ,x 0;x 0.25;x 0.5;x 1;x 1.5;n 3
Bài 4:
Cho bảng nội suy :
0 3 4 5 7
x
f x
1/ Viết đa thức nội suy Newton tiến và tính các giá trị x 1;x 3.55
2/ Viết đa thức nội suy Newton lùi và tính các giá trị x 4.5;x 6.35
Đs: 1/ 0,4 ; 3,666011
2/ 2,007813 ; 1,181886
Bài 5:
x
f x
1/ Viết đa thức nội suy Newton tiến và tính các giá trị x 0.5
2/ Viết đa thức nội suy Newton lùi và tính các giá trị x 3.75
Bài 6:
Trang 9Cho các mốc nội suy : 1 2 3 4 5
x
f x
Viết đa thức nội suy Newton bằng Pp nội suy cách đều
1/ Dạng tiến và tính các giá trị tại x 1.5;x 2.83
2/ Dạng lùi và tính các giá trị tại x 4.25;x 5.65
Bài 7:
( ) 1.07 1.72 2.38 3.12 4.05
x
f x
Viết đa thức nội suy Newton bằng Pp nội suy cách đều
1/ Dạng tiến và tính các giá trị tại x 0.25;x 0.47
2/ Dạng lùi và tính các giá trị tại x 0.65;x 0.82
Bài 8:
( ) 3.228 4.559 5.605 4.867 0.239
x
f x
Viết đa thức nội suy Newton bằng Pp nội suy cách đều
1/ Dạng tiến và tính các giá trị tại x 0.45;x 0.72
2/ Dạng lùi và tính các giá trị tại x 2.15;x 2.49
Bài 9:
Xây dựng đa thức nội suy trong các trường hợp sau :
( ) 15.567 16.944 17.565 18.186 19.025
x
f x
a/ Dạng tiến và tính f 0.84 ? b/ Dạng lùi và tính f 0.89 ?
( ) 0.072 0.025 0.345 1.101 1.567
x
f x
a/ Dạng tiến và tính f 0.7 ?
b/ Dạng lùi và tính f 0.12 ?
( ) 0.6205 0.2835 0.0066 0.2485 0.6123
x
f x
a/ Dạng tiến và tính f 0.16 ?
Trang 104/ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
( ) 1.0001 1.2215 1.4918 1.8224 2.2346
x
f x
a/ Dạng tiến và tính f 0.05 ? b/ Dạng lùi và tính f 0.78 ?
5/ f x( )x 5.9520.0 5.7530.2 5.7240.5 5.1250.6 4.2860.1
a/ Dạng tiến và tính f 0.0425 ?
b/ Dạng lùi và tính f0.825 ?
c/ Thêm giá trị f 1.3 3.195 Hãy xây dựng đa thức nội suy Newton tiến cấp 5
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT
Bài 1:
Cho bảng nội suy :
0.21 0.43 0.89 1.25 3.54 4.12 6.29 10.2 18.9
x
f x
Xấp xỉ đa thức dạng
1
;
y a bx y
a bx và tính y(15)?
Bài 2:
Cho bảng nội suy :
0.21 0.43 0.89 1.25 3.54 4.12 6.29 10.2 18.9
x
f x
2
; c bx ax
y a bx cx y
x và tính
(1.5)?
y
Bài 3:
Cho bảng nội suy :
x
f x
Xấp xỉ đa thức dạng y a bcosx csinx và tính (5.5)? y
Bài 4:
Cho bảng nội suy :
Trang 114 6 7 9 10 11 12 13 14 ( ) 0.05 0.23 0.62 4.62 12.53 34.07 92.61 250 684
x
f x
Xấp xỉ đa thức dạng y ae y ax a bx; b ( 0) và tính y(8.25)?
Bài 5:
Cho bảng nội suy :
0 2 0 3 0 6 0 7 0 9 1 8
0 28 0 27 0 25 0 24 0 23 0 19
x
f x
2 3
3
Bài 6:
Cho bảng nội suy :
0 72 2 54 3 85 4 90 6 03
x
f x
Xấp xỉ đa thức dạng
2
x
(3.5)?
y
TÍCH PHÂN SỐ
Bài 1:
Tính các tích phân sau bằng công thức hình thang với n = 10
1/ 1 3
0
x
I e dx 2/ 0,5
1,1
3
0,1
4/ 1,5 2 2 1
0,5
I x e dx 5/ 1,25
0,25 sin2
x
I e xdx 6/
0,75 2
0
1
x
7/ 0,8
0
1
x 8/ 0,75 2
0,25log (12 )
x
e
0,25
2 log sin0.23
x x
x
10/ 1,25 4
arctgx
1 0
arcsin
1 3
0
arccos ln(1 )
x
Trang 1216/ 0,8 arcsin
0,1cos 1.2
x
e
1 0
sin 1
2
e
x
2 5,12
3
4,12
2
x
x
Bài 2: Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng công thức Simpson 1/3 với n = 10 Bài 3: Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng công thức Simpson 3/8 với n = 9 Bài 4: Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng công thức tích phân Roomberg
Bài 5: Sử dụng công thức cầu phương cấp 2 và cấp 3 tính các tích phân sau :
1/ 1.5 2
1
I x lnxdx 2/ 1 3 2 1
0
x
I x e dx 3/
0.35 2 0
3 4
x
4/
4 2 0
3
I x sin xdx 5/
4 3 0
5
x
I e cos xdx 6/
4 2 0
I tg x dx
1
1 1
x
e
x 8/
2 1
2
1 3
x
cotgx
0
2
cos x
ln x
Bài 6:
0 2 1
I ln x x dx
a) Hỏi phải chia đoạn [-1, 0] thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi tính I bằng công thức hình thang đảm bảo được sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10-5 b) Với n đó khi tính theo công thức Simpson 1/3 thì sai số là bao nhiêu? c) Hãy tính I với n = 10 đoạn bằng công thức thức hình thang và bằng công thức Simpson 1/3 và đánh và sai số
2/ Để tính gần đúng tích phân
2.3 3 1.3 1
x
x bằng công thức Simpson 1/3 thì
cần phải chia đoạn [1.3 ; 2.3] thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để đạt sai số nhỏ hơn 10-4
Trang 133/ Để tính gần đúng tích phân
1 2 0
3
x bằng công thức Simpson 1/3
thì cần chia đoạn [0 ; 1] thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để đạt sai số nhỏ hơn 0,75.10-4
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1:
Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler
1/y x 5xy 1 , (0) 0,y x [0,1]&n 4
2/y x tgy e x , (1) 2,y x [1,2]&n 8
/
2
1 2
1
y
x
4 /y/ 1 3xy2 , (0) 2,y x[0,1]&n 10
2
1 2
xy
Bài 2:
Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler cải tiến với độ chính xác 4
10
1/y e x 2xy , (0) 1;y x [0,1]&n 2
2 /
2
1
1
y
x
3/y x cotgy e x , (1) 2 ;y x [1,2]&n 4
4 /y/ 2 3xy2 , (0) 1 ;y x[0,1]&n 4
2
1 2
xy
Bài 2:
Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Runge-kutta
1/y x 2xy , (0)y 2;x [0,0.5]&h 0.25
2/y x cosy 1.25 , (1) 1.5;y x [1,2]&h 0.5
/
2
1
y
x
4 /y/ 1 3xy2 , (0) 2;y x[0,1]&h 0.25
2
lmx y
Trang 14
2 2 /
5
1
x y y
x
2
1 3
ln
x y
(0,15) ; (0,3)?
8 /y 1 3xy sin 1 2x , (0) 1;y x [0,1] tính (0,35) ; (0,7)?
2 /
2
1
xy
xy y
(0.13) ; (0.39)?
10 /y 3 sinxy ln 1 2 , (1) 1.5;xy y x [1;3] tính (1.1) ; (2.13)?
(0.13) ; (0.39)?
12 /y x sin x y , (1.1) 0.5;y x [1.1; 1.3] tính y(1.1) ; (2.13)?y