Chia sẻ bài tập môn toán A1.
SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP (A1) Biên soạn: TS VŨ GIA TÊ Ths ĐỖ PHI NGA Giới thiệu mơn học GIỚI THIỆU MƠN HỌC GIỚI THIỆU CHUNG: Toán cao cấp A1 học phần chương trình tốn dành cho sinh viên nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật Để học tốt mơn Tốn cao cấp theo phương thức Đào tạo từ xa, bên cạnh học liệu: sách, giáo trình in, băng đĩa hình, , sách hướng dẫn cho người học toán cao cấp cần thiết Tập sách hướng dẫn biên soạn nhằm mục đích Tập sách biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 Bộ Giáo dục Đào tạo theo đề cương chương trình Học viện Cơng nghệ BC-VT thơng qua năm 2004 Sách hướng dẫn học tốn cao cấp A1 bám sát giáo trình trường đại học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ qui Học viện Cơng nghệ BCVT biên soạn năm 2001 kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tác giả Chính thế, tài liệu dùng để học tập tham khảo cho sinh viên tất trường, ngành đại học cao đẳng Cách trình bày sách thích hợp cho người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực công tác đào tạo từ xa Trước nghiên cứu nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần hướng dẫn chương để thấy mục đích, u cầu chương Trong chương, nội dung, người đọc tự đọc hiểu cặn kẽ thông qua cách diễn đạt chứng minh rõ ràng Sau chương, người đọc phải tự trả lời câu hỏi ôn tập Nhờ ví dụ minh hoạ đưa từ đơn giản đến phức tạp, người đọc coi tập mẫu để tự giải tập có tài liệu Người đọc tự kiểm tra, đánh giá kiến thức, khả thu nhận dựa vào phần hướng dẫn đáp số cung cấp trang cuối sách Cũng cần nhấn mạnh rằng, nội dung tốn cao cấp phép tính vi phân phép tính tích phân mà tảng phép tính giới hạn hàm số Chính chúng tơi trình bày tỉ mỉ hai chương đầu tài liệu để người học tự đọc có kiến thức vững vàng để đọc tiếp chương sau Trong trình tự đọc học qua mạng, tuỳ theo khả tiếp thu, học viên cần nhớ định lý bỏ qua phần chứng minh Giới thiệu môn học Nhân tác giả lưu ý bậc trung học phổ thông nước ta, chương trình tốn bao hàm kiến thức vi, tích phân Tuy nhiên nội dung mang tính chất giới thiệu lượng thời gian hạn chế, cấu tạo chương trình Vì không tự đọc cách nghiêm túc định nghĩa, định lý nắm cách hời hợt gặp khó khăn việc giải tập toán cao cấp Sách gồm chương tương ứng với học phần gồm 60 đến 75 tiết: Chương I: Giới hạn dãy số Chương II: Hàm số biến số Chương III: Phép tính vi phân hàm số biến số Chương IV: Phép tính tích phân Chương V: Lý thuyết chuỗi MỤC ĐÍCH MƠN HỌC Học phần cung cấp kiến thức phép tính vi, tích phân hàm số biến, số thực phép tính vi phân hàm nhiều biến số Nội dung học phần tuân thủ theo quy định học phần Toán cao cấp A1 Bộ GD-ĐT dành cho Trường thuộc khối ngành công nghệ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MƠN HỌC Để học tốt mơn học này, sinh viên cần lưu ý vấn đề sau : 1- Thu thập đầy đủ tài liệu : ◊ Bài giảng: Toán cao cấp A1.Vũ Gia Tê, Nguyễn Phi Nga, Học viện Công nghệ BCVT, 2005 ◊ Sách hướng dẫn học tập tập: Toán cao cấp A1 Vũ Gia Tê, Nguyễn Phi Nga, Học viện Công nghệ BCVT, 2005 ◊ Bài giảng điện tử: Toán cao cấp A1 Học viện Cơng nghệ BCVT, 2005 Nếu có điều kiện, sinh viên nên tham khảo thêm: Các tài liệu tham khảo mục Tài liệu tham khảo cuối sách Giới thiệu môn học 2- Đặt mục tiêu, thời hạn cho thân: Đặt mục mục tiêu tạm thời thời hạn cho thân, cố gắng thực chúng Cùng với lịch học, lịch hướng dẫn Học viện môn học môn học khác, sinh viên nên tự đặt cho kế hoạch học tập cho riêng Lịch học mơ tả tuần học (tự học) kỳ học đánh dấu số lượng công việc cần làm Đánh dấu ngày sinh viên phải thi sát hạch, nộp luận, kiểm tra, liên hệ với giảng viên Xây dựng mục tiêu chương trình nghiên cứu Biết rõ thời gian nghiên cứu bắt đầu nghiên cứu thử thực hiện, cố định thời gian hàng tuần Suy nghĩ thời lượng thời gian nghiên cứu để “Tiết kiệm thời gian” “Nếu bạn nhiều nghiên cứu”, bạn nên xem lại kế hoạch thời gian 3- Nghiên cứu nắm kiến thức đề cốt lõi: Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước nghiên cứu giảng môn học tài liệu tham khảo khác Nên nhớ việc học thông qua đọc tài liệu việc đơn giản so với việc truy cập mạng Internet hay sử dụng hình thức học tập khác Hãy sử dụng thói quen sử dụng bút đánh dấu dòng (highline maker) để đánh dấu đề mục nội dung, công thức quan trọng tài liệu 4- Tham gia đầy đủ buổi hướng dẫn học tập: Thông qua buổi hướng dẫn học tập này, giảng viên giúp sinh viên nắm nội dung tổng thể môn học giải đáp thắc mắc; đồng thời sinh viên trao đổi, thảo luận sinh viên khác lớp Thời gian bố trí cho buổi hướng dẫn khơng nhiều, đừng bỏ qua buổi hướng dẫn lên kế hoạch 5- Chủ động liên hệ với bạn học giảng viên: Cách đơn giản tham dự diễn đàn học tập mạng Internet Hệ thống quản lý học tập (LMS) cung cấp môi trường học tập suốt 24 giờ/ngày ngày/tuần Nếu khơng có điều kiện truy nhập Internet, sinh viên cần chủ động sử dụng sử dụng dịch vụ bưu phương thức truyền thông khác (điện thoại, fax, ) để trao đổi thông tin học tập Giới thiệu môn học 6- Tự ghi chép lại ý chính: Nếu đọc khơng khó cho việc ghi nhớ Việc ghi chép lại hoạt động tái kiến thức, kinh nghiệm cho thấy giúp ích nhiều cho việc hình thành thói quen tự học tư nghiên cứu 7- Trả lời câu hỏi ôn tập sau chương, Cuối chương, sinh viên cần tự trả lời tất câu hỏi Hãy cố gắng vạch ý trả lời chính, bước phát triển thành câu trả lời hoàn thiện Đối với tập, sinh viên nên tự giải trước tham khảo hướng dẫn, đáp án Đừng ngại ngần việc liên hệ với bạn học giảng viên để nhận trợ giúp Nên nhớ thói quen đọc ghi chép chìa khố cho thành công việc tự học! Chương 1: Giới hạn dãy số CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 MỤC ĐÍCH Trong nhiều vấn đề lý thuyết thực tế, người ta phải xét đại lượng mà trình biến thiên đại lượng lấy giá trị gần đến số a Trong trình này, ta gọi đại lượng xét dần đến a hay có giới hạn a Như đại lượng có giới hạn a đạt giá trị a khơng đạt giá trị a, điều trình tìm giới hạn khơng cần quan tâm đến Ví dụ: Gọi x biên độ lắc tắt dần Rõ ràng q trình dao động, biên độ giảm dần tới thực tế sau khoảng thời gian xác định lắc dừng lại, ta nói x có giới hạn q trình thời gian trơi Xét dãy số (un) có dạng un = n n +1 Quá trình n tăng lên un tăng dần số gần Nói dãy số có giới hạn n tăng lên vô Giới hạn khái niệm khó tốn học Khái niệm giới hạn cho từ “gần”, để mơ tả định tính Cịn định nghĩa xác cho cụm từ “ bé ε ” “lớn M” để mô tả định lượng giới thiệu chương Khi hiểu khái niệm giới hạn dễ dàng hiểu khái niệm đạo hàm, tích phân Bởi phép tốn xuất phát từ phép tính giới hạn Trong mục thứ cần hiểu vai trò thực số vơ tỉ Nhờ tính chất đầy tập số thực mà người ta biểu diễn tập số thực trục số gọi trục thực nói tất số thực lấp đầy trục số Nói khác có tương ứng 1-1 số thực điểm trục số Cũng nên nhận xét tập Q khơng có tính đầy Học viên cần nắm khái niệm trị tuyệt đối số thực phép tính Trong mục thứ hai cần hiểu vai trò số phức mặt lý thuyết ứng dụng sau kỹ thuật Thực chất số phức z tương ứng 1-1 với cặp có thứ tự số thực (x,y) Cần phải nắm vững khái niệm Chương 1: Giới hạn dãy số modul acgumen số phức dạng biểu diễn số phức: dạng đại số, dạng lượng giác, dạng hàm mũ Từ làm thơng thạo phép tính tập C, đặc biệt dùng công thức Moivre ứng dụng vào lượng giác Trong mục thứ ba cần nắm vững khái niệm hội tụ, có giới hạn phân kỳ dãy số Nắm vững tính chất: bị chặn, không bị chặn, đơn điệu dãy số Nhờ vào tính chất mà thiết lập điều kiện cần, điều kiện đủ để dãy số có giới hạn Khái niệm dãy dãy số khái niệm khó Người học phải đọc kỹ định nghĩa cố gắng hình dung để hiểu rõ khái niệm Đôi hội tụ hay phân kỳ dãy số nhận biết nhờ vào tính chất vài dãy Đặc biệt phải nắm khái niệm hai dãy kề để từ có khái niệm đoạn lồng dùng chứng minh định lý Bolzano-Weierstrass 1.2 TĨM TẮT NỘI DUNG 1.2.1 Số thực a Các tính chất tập số thực Tất số hữu tỉ số vô tỉ tạo thành tập hợp số thực Kí hiệu tập số thực R Tập số vơ tỉ R\Q Tính chất 1: Tập R truờng giao hoán với hai phép cộng nhân: (R, + , ) ∀a, b ∈ R, a + b ∈ R, a.b ∈ R ∀a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c), (a.b)c = a (bc) ∀a, b ∈ R, a + b = b + a, ab = ba R có phần tử trung hoà phép cộng phép nhân ∀a ∈ R , a + = + a = a a.1 = 1.a = a Phân phối phép cộng ∀a, b, c ∈ R, a (b + c) = ab + ac (b + c ) a = ba + ca Tồn phần tử đối phép cộng ∀a ∈ R, ∃( − a ), a + ( − a ) = Tồn phần tử nghịch đảo phép nhân Chương 1: Giới hạn dãy số ∀a ∈ R * , R * = R \ {0}, ∃a −1 , a.a −1 = Tính chất 2: Tập R xếp thứ tự tồn phần đóng kín số thực dương ∀a, b ∈ R, a < b a = b a > b ∀a, b, c ∈ R, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀a, b ∈ R, c ∈ R+ , a ≤ b ⇒ ac ≤ bc ∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+ , ab ∈ R+ Tính chất 3: Tập R đầy theo nghĩa sau đây: Mọi tập X không rỗng R bị chặn R có cận thuộc R tập không rỗng X R bị chặn R có cận thuộc R b Tập số thực mở rộng Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu − ∞ + ∞ Tập số thực mở rộng kí hiệu R R = R ∪ {− ∞,+∞}, phép toán + , quan hệ thứ tự định nghĩa sau: ∀x ∈ R x + (−∞ ) = (−∞) + x = −∞ ( +∞) + (+∞ ) = +∞ x + ( +∞ ) = ( +∞) + x = +∞ ( −∞) + (−∞ ) = −∞ * * ∀x ∈ R+ , R+ = {x ∈ R, x > 0} x(+∞ ) = (+∞ ) x = +∞ x(−∞ ) = (−∞ ) x = −∞ * * ∀x ∈ R− , R− = {x ∈ R, x < 0} x( +∞ ) = (+∞ ) x = −∞ x(−∞ ) = (−∞ ) x = +∞ ( +∞ )(+∞) = (−∞ )(−∞) = +∞ (+∞ )(−∞) = (−∞ )(+∞) = −∞ ∀x ∈ R − ∞ < x < +∞ − ∞ ≤ −∞ + ∞ ≤ +∞ c Các khoảng số thực Cho a, b ∈ R a ≤ b Trong R có chín loại khoảng sau đây: Chương 1: Giới hạn dãy số [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} gọi đoạn hay khoảng đóng bị chặn [a, b ) = {x ∈ R; a ≤ x < b} gọi khoảng nửa đóng nửa mở (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} [a,+∞ ) = {x ∈ R; a ≤ x} (− ∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a} (a, b ) = {x ∈ R; a < x < b} gọi khoảng mở (a,+∞ ) = {x ∈ R; a < x} (− ∞, a ) = {x ∈ R; x < a} Các số thực a,b gọi mút khoảng d Giá trị tuyệt đối số thực Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số thực x, kí hiệu x số thực không âm xác định sau ⎧ ⎪x ⎪ x =⎨ ⎪− x ⎪ ⎩ x ≥ x ≤ Tính chất ∀x ∈ R, x = Max( x,− x) x = ⇔ x = ∀x, y ∈ R, xy = x y ∀n ∈ N , n 10 i =1 ∀x1 , x , x3 , K , x n ∈ R, ∏ xi = ∏ xi ∀x ∈ R, x n = x ∀x ∈ R * , n i =1 * 1 = x x n Chương 1: Giới hạn dãy số ∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + y ∀n ∈ N * , ∀x1 , x ,K , x n ∈ R, n n i =1 i =1 ∑ xi ≤ ∑ xi ∀x, y ∈ R, Max( x, y ) = Min( x, y ) = (x + y + x − y ) (x + y − x − y ) ∀x, y ∈ R, x − y ≤ x− y e Khoảng cách thông thường R Định nghĩa: Khoảng cách R ánh xạ d : R× R → R ( x, y ) a x− y Đó hình ảnh trực quan khoảng cách điểm x y đường thẳng trục số thực R Tính chất d (x, y ) = ⇔ x = y ∀x, y ∈ R, d ( x, y ) = d ( y , x ) ∀x, y, z ∈ R, d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) ∀x, y, z ∈ R, d (x, y ) − d (x, z ) ≤ d ( y, z ) 1.2.2 Số phức a Định nghĩa: Cho (x, y ) ∈ R ,một số biểu diễn dạng z=x+iy,trong i = −1 gọi số phức.Tập số phức kí hiệu C Gọi x phần thực z, kí hiệu Rez =x y phần ảo z,kí hiệu Imz =y Gọi mơđun z,kí hiệu z xác định số thực không âm z = x2 + y2 = r ≥ 11 Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số hàm khả vi, điều kiện nhận biết đơn giản nhiều Đặc biệt hàm khả vi đến cấp hai để ý đến tính đổi dấu đạo hàm cấp hai mà Người học ý đến điều kiện đủ để tìm điểm uốn hàm khả vi đến cấp hai Trong mục thứ chín cho cách tìm tiệm cận đường cong Nên nhớ khơng thể có tiệm cận ngang tiệm cận xiên phía Để nhận biết tiệm cận đứng phải tìm cực điểm hàm số Để học tốt phần phải nắm cách khử dạng bất định ∞ ,∞ − ∞ ∞ Trong mục cuối người học phải nắm vững sơ đồ tổng quát để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Đây dịp vận dụng tự kiểm tra kiến thức học phần 3.2 TÓM TẮT NỘI DUNG 3.2.1 Đạo hàm a Đạo hàm điểm Định nghĩa đạo hàm điểm a ∈ X ,a + h ∈ X , f ∈ RX Cho lim hữu hạn h→0 f Nói khả vi a tồn giới hạn f (a + h) − f (a ) h df (a ) f ' ( a ) hay dx Giới hạn thường kí hiệu gọi đạo hàm f a Tỉ số đối số f ( a + h ) − f ( a ) Δf ( a ) = Δx h gọi tỉ số số gia hàm số số gia Định nghĩa đạo hàm phía Cho a ∈ X , a + h ∈ X Nói lim hạn hữu hạn h→0+ Cho hạn hữu hạn a ∈ X ,a + h ∈ X f p ' (a) Nói lim h→0− khả vi phải a tồn giới f ( a + h) − f ( a ) h Giới hạn kí hiệu f , gọi đạo hàm phải f f a khả vi trái a tồn giới f ( a + h) − f ( a ) h 55 Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số f t ' (a) Giới hạn kí hiệu , gọi đạo hàm trái f a b Các phép tính đại số hàm khả vi điểm Định lí 1: Cho f +g ∀λ ∈ R , λ f f g f g khả vi a khả vi a khả vi a (λf )' (a) = λ f ' (a) ( f g )' (a ) = f ' (a ).g ( a ) + f (a ).g ' (a ) khả vi a Nếu ( f + g )' ( a ) = f ' (a ) + g ' ( a ) g (a) ≠ ' f g khả vi a ⎛f ⎞ f ' (a ).g (a ) − f (a ).g ' (a ) ⎜ ⎟ (a) = ⎜g⎟ g (a) ⎝ ⎠ Định lí 2: (Đạo hàm hàm hợp) Cho a ∈ X , f : X → R, g : Y → R với f ( X ) ⊂ Y Nếu f khả vi a g khả vi f (a ) hàm hợp gof khả vi a ( gof )' (a) = g ' ( f (a)) f ' (a) Định lí 3: (Đạo hàm hàm ngược) Giả sử f : X → R đơn điệu ngặt liên tục X khả vi a ∈ X f ' (a) ≠ Khi hàm ngược ( f ) ( f (a) ) = −1 ' f f −1 : f (X ) → R f (a ) khả vi f ' (a) c Đạo hàm khoảng (ánh xạ đạo hàm) Định nghĩa: Cho Kí hiệu ánh xạ f ∈ RX khả vi điểm x ∈ (a, b) ⊆ R f ': ( a , b ) → R x a f ' ( x) f (x ) ánh xạ đạo hàm hay đạo hàm f ' ( x) hay df ( x ), ∀x ∈ ( a, b) dx Cũng nói f (x ) (a,b) thường kí hiệu khả vi ( a, b) ⊆ X Các tính chất Định lí 1: Cho f ,g : X → R ∀λ ∈ R , λ f 56 f +g f g khả vi khả vi X khả vi khả vi X X X , (tức ( f + g )' = f '+ g ' (λf )' = λf ' ( f g )' = f ' g + fg ' ( a, b) = X ) Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số g ( x) ≠ X Định lí 2: Cho f ∈ R f ( X ) gof khả vi X X Định lí 3: Cho f ' ( x) ≠ X f ∈ RX f −1 f g ' khả vi g ∈ RY Nếu f X ⎛f ⎞ f ' g − fg ' ⎜ ⎟ = ⎜g⎟ g2 ⎝ ⎠ khả vi X g khả vi ( gof )' = ( g ' of ) f ' đơn điệu ngặt khả vi f (X ) X ( f −1 )' = , khả vi X f' 3.2.2 Vi phân hàm số a Định nghĩa vi phân điểm X Cho f ∈ R , f khả vi a ∈ X Vi phân f a kí hiệu df (a ) = f ' ( a ).h với h ∈ R định công thức Vậy df (a ) df (a ) xác hàm tuyến tính h Xét hàm số f ( x) = x R , f ' ( x) = 1, ∀x ∈ R Từ thường kí hiệu Định lí : Nếu f , g ∈ RX dx = 1.h df ( a ) = f ' ( a ).dx khả vi a ∈ X d ( f + g )(a ) = df ( a ) + dg ( a ) d (λf )( a ) = λdf ( a ) d ( f g )(a ) = f ( a ) dg ( a ) + g (a )df ( a ) ⎛f⎞ d ⎜ ⎟(a) = ( g (a)df (a) − f (a)dg (a) ) ⎜g⎟ g (a ) ⎝ ⎠ với λ ∈ R g (a) ≠ b Vi phân khoảng Cho f ∈ R khả vi (a, b) ⊆ X Vi phân hàm số xác định theo công thức df ( x) = f ' ( x).h với x ∈ (a, b) X ( a, b) Tương tự định lí trên, ta nhận định lí sau Định lí: Nếu thức sau f ,g khả vi trên khoảng thoả mãn d ( f + g )( x ) = df ( x) + dg ( x ) ( a, b) d (λf )( x ) = λdf ( x ) 57 Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số d ( f g )( x ) = f ( x ) dg ( x ) + g ( x ) df ( x ) ⎛f⎞ d ⎜ ⎟( x) = ( g ( x)df ( x) − f ( x)dg ( x) ) ⎜g⎟ g ( x) ⎝ ⎠ g ( x) ≠ 3.2.3 Đạo hàm vi phân cấp cao a Đạo hàm cấp cao Định nghĩa Cho f khả vi X , f ' ( x) khả vi a ∈ X nói f có đạo hàm cấp a kí hiệu đạo hàm f " ( a ) Tương tự đạo hàm f (x ) cấp n f ( n −1) ( x) đạo hàm hàm a tồn f ( n ) (a ) a, kí hiệu f (x ) Nói f ( n ) ( x) Nói n lần X X khả vi đến cấp n (hay n lần) n ∈ N* , f (x ) f ( n ) ( x) X đạo hàm khả vi vô hạn lần f f ( n−1) ( x) f (x ) X , ∀n ∈ N Sau thường kí hiệu (0) khả vi ( x) = f ( x) Định lí Cho λ ∈ R, n ∈ N thức sau : ( f + g) (n) * , f , g ∈ RX khả vi n lần X , có hệ X = f (n) + g (n) (n) (n) (λf ) = λf n ( fg )( n ) = ∑ Cnk f ( k ) g ( n − k ) k =0 g ( x) ≠ X gọi cơng thức Leibnitz f g khả vi n lần X b Vi phân cấp cao Định nghĩa Nếu f khả vi đến cấp n a ∈ X biểu thức phân cấp n a kí hiệu d f (a ) = f n 58 (n) (a)dx n n d f (a ) Vậy f ( n ) (a ).h n d f (a) = f n (n) gọi vi (a )h n hay Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số f Nếu X khả vi đến cấp n kí hiệu d f ( x), x ∈ X n vi phân cấp n X f X xác định theo công thức sau ∀x ∈ X , d n f ( x) = f ( n ) ( x )h n = f ( n ) ( x )dx n Định lí: Nếu f ,g khả vi đến cấp n X d n ( f + g) = d n f + d ng Với λ ∈ R, d n ( λf ) = λd n f n k d n ( f g ) = ∑ Cn d k f d n − k g k =0 Nếu g ( x) ≠ f g có vi phân đến cấp n c Lớp hàm Định nghĩa f Cho n ∈ N , Ta nói f khả vi n lần X f (n) Cn thuộc lớp liên tục X (kí hiệu f ∈ Cn ) Nói f ∈ C∞ X f khả vi vơ hạn lần Nói f ∈ C0 X f liên tục X X Định lí f , g ∈ Cn Định lí 1: Nếu ( f + g) ∈ Cn λf X X ∈ Cn X ,λ ∈ R fg ∈ C n X X f ∈ Cn g Định lí 2: Cho Cn gof ∈ C n f ∈ RX g ( x) ≠ ∀x ∈ X g ∈ RY , f (X ) ⊂ Y Nếu f g thuộc lớp X 59 Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số 3.2.4 Các định lý giá trị trung bình a Định lí Phéc ma (Fermat) Điểm cực trị hàm số Cho f ∈ RX tồn Ω δ (a) ⊂ Gọi hàm số đạt cực trị địa phương a ∈ X X, để ∀x ∈ Ω δ (a ) thoả mãn f ( x) − f (a ) ≥ f ( x) − f (a ) ≤ Trường hợp thứ xảy nói f đạt cực tiểu địa phương a, trường hợp sau nói f đạt cực đại địa phương a Nếu có f ( x) − f (a ) > trị địa phương ngặt a f ( x) − f (a ) < nói hàm số đạt cực Định lí Fermat Định lí: Nếu f (x ) khả vi a đạt cực trị địa phương a f ' (a) = b Định lí Rơn (Rolle) Định lí: Cho f ∈ R [a , b ] thoả mãn f liên tục [a,b] f khả vi (a,b) f ( a ) = f (b ) tồn c ∈ ( a, b) cho f ' (c ) = c Định lí số gia hữu hạn (định lí Lagơrăng (Lagrange)) Định lí: Cho f ∈ R [a , b ] thoả mãn: Liên tục [a,b] Khả vi (a,b), tồn c ∈ ( a, b) cho f ( b ) − f ( a ) = (b − a ) f ' ( c ) d Định lí số gia hữu hạn suy rộng (Định lí Cơsi(Cauchy)) Định lí: Cho f , g ∈ R [a , b ] thoả mãn: liên tục [a,b] f ,g khả vi (a,b) 60 f ,g g ' ( x ) ≠ ∀x ∈ ( a , b ) Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số c ∈ ( a, b ) Khi tồn cho f (b) − f (a ) f ' (c ) = g (b) − g (a ) g ' (c) 3.2.5 Ứng dụng định lý giá trị trung bình a Cơng thức Taylo(Taylor), công thức Maclôranh(McLaurin) Định nghĩa Cho hàm f khả vi đến cấp (n+1) a ∈ X tức a có đạo hàm cấp n+1 a Gọi đa thức mãn điều kiện Pn( k ) (a) = f ( k ) (a) Pn (x) với f ∈ Cn lân cận deg Pn ( x) ≤ n thoả k = 0, n đa thức Taylor f ( x) lân cận điểm a, phần qui khai triển hữu hạn bậc n a f ( x) Nếu a = Pn (x) f (x ) gọi đa thức McLaurin Định lí Nếu Pn (x) f ( x) đa thức Taylor Pn ( x) = f (a) + có dạng lân cận a f ' (a) f ( n ) (a ) ( x − a) + + ( x − a) n 1! n! Công thức Taylor Cho Pn (x) đa thức Taylor rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) Gọi f (x ) lân cận a phần dư Taylor bậc n a f ( x) Gọi công thức n f ( x) = ∑ k =0 f ( k ) (a ) f ( n +1) (a + θ ( x − a)) ( x − a)k + ( x − a) n +1 k! (n + 1)! bậc n , hay khai triển hữu hạn bậc n hàm n f ( x) = ∑ f ( x) công thức Taylor lân cận a f ( k ) (0) k f ( n +1) (θx) n +1 x + x k! (n + 1)! k =0 Gọi công thức McLaurin bậc n, hay khai triển hữu hạn bậc n f ( x) công thức lân cận Công thức McLaurin hàm thường dùng f ( x) = e x , ∀x ∈ R 61 Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số Ta thấy f ∈ C∞ R f ( k ) (0) = ∀k ∈ N xk + 0( x n ) k = k! n Suy ex = ∑ f ∈ C∞ f ( x ) = sin x, ∀x ∈ R, k = 2m π⎞ kπ ⎧0 , ⎛ f ( k ) ( x) = sin⎜ x + k ⎟ ⇒ f ( k ) (0) = sin =⎨ 2⎠ ⎩(−1) m , k = 2m + ⎝ sin x = n ∑ (−1)m m=0 Tương tự n ∑ (−1)m m =0 x2m + 0( x n +1 ) (2m)! f ( x) = (1 + x)α , α ∈ R, x ∈ X cos x = x m +1 + 0( x n + ) (2m + 1)! , X phụ thuộc α Với x lân cận f ∈ C∞ f ( k ) ( x) = α (α − 1) (α − k + 1)(1 + x)α − k f ( k ) (0) = α (α − 1) (α − k + 1) n Suy k =1 f ( x ) = ln(1 + x) , f ( n +1) ( x) = (−1) n ln(1 + x) = x − α (α − 1) (α − k + 1) k! (1 + x)α = + ∑ lân cận x k + 0( x n ) f ∈ C∞ n! ⇒ f ( n +1) (0) = (−1) n n! ( x + 1) n +1 x2 xn + + (−1) n −1 + 0( x n ) n f ( x ) = arctgx , ∀x ∈ R nÕu k = 2m ⎧0 f ∈ C ∞ , f ( k ) (0) = ⎨ m −1 ⎩(−1) (2m − 2)!, nÕu k = 2m + Vậy 62 x3 x5 (−1) m −1 m −1 x arctgx = x − + + + + 0( x m ) 2m − f ( x) = tgx, f ∈ C∞ lân cận Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số Ta biểu diễn x3 x5 + sin x 3! 5! = x + x + 0( x ) tgx = = x2 x4 cos x 1− + 2! 4! x− b Qui tắc Lôpitan (L’Hospital) Cho a ∈ X , f , g ∈ RX thoả mãn điều kiện sau: liên tục a khả vi lân cận Ω δ (a ) \ {a} g ' ( x) ≠ lim x→a Khi ∀x ∈ Ω δ (a ) \ {a} f ' ( x) =l g ' ( x) lim x→a f ( x) − f (a) =l g ( x) − g (a) 3.2.6 Sự biến thiên hàm số a Tính đơn điệu hàm khả vi Định lí 1: Cho f ∈ R [a , b ] thỏa mãn: f liên tục đoạn [a,b] f khả vi khoảng (a,b) f ' ( x) = 0, ∀x ∈ ( a, b) f(x) khơng đổi [a,b] Định lí 2: Cho f liên tục [a,b], khả vi (a,b) Để f tăng [a,b] cần đủ f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) Định lí 3: Cho f liên tục [a,b], khả vi (a,b) Để f tăng ngặt [a,b], điều kiện cần đủ a f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( a, b) b Tập {x ∈ (a, b), f ' ( x) = 0} không chứa khoảng có phần khơng rỗng b Điều kiện hàm số đạt cực trị Định lí 1: Cho f ∈ R Nếu tồn lân cận Ω δ (a ) ⊂ X ( a − δ , a ) f ' ( x ) ≤ ( a + δ , a ) f có cực đại a X f ' ( x) ≥ 63 Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số Định lí 2: Cho f ∈Cn lân cận Ω δ (a ) thỏa mãn điều kiện: f ' (a ) = = f ( n −1) (a ) = 0, f ( n ) (a ) ≠ Khi đó: a f (n) Nếu n chẵn f(x) đạt cực trị a: đạt cực tiểu (a) > , b đạt cực đại f ( n ) (a) < Nếu n lẻ f(x) khơng đạt cực trị a 3.2.7 Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé Bài toán: Cho hàm số f (x) xác định tập X Tìm giá trị bé (GTBN) , giá trị lớn (GTLN) hàm số tập Nói hàm f (x) đạt GTBN m x1 ∈ X : m = f ( x1 ) ≤ f ( x), ∀x ∈ X Nói hàm f ( x) đạt GTLN M x ∈ X khi: M = f ( x ) ≥ f ( x), ∀x ∈ X a Hàm liên tục đoạn kín [a,b] Theo tính chất liên tục hàm số đoạn kín tồn m,M Theo định lý Fermat hàm khả vi x0 đạt cực trị f’(x0)=0 Vì cực trị có tính địa phương nên điểm hàm đạt GTBN, GTLN điểm hàm số không khả vi điểm làm đạo hàm triệt tiêu điểm a,b Từ quy tắc tìm m, M tương ứng x1, x2 sau: Tìm giá trị f(a), f(b) Tìm giá trị hàm số điểm hàm số không khả vi Tìm giá trị hàm số điểm làm triệt tiêu đạo hàm f’(x) So sánh giá trị tìm để tìm giá trị bé nhất, m, tìm giá trị lớn nhất, M b Hàm liên tục khoảng mở, khoảng vô hạn Trong trường hợp này, thay tính f(a), f(b), ta tìm giới hạn hàm số x dần tới a, dần đến b, dần đến ∞ Tuy nhiên phải xem xét hàm số có đạt giới hạn khơng Các bước thực hiệm mục 64 Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số 3.2.8 Hàm lồi a Khái niệm hàm lồi, hàm lõm điểm uốn Định nghĩa f :X →R Ánh xạ gọi lồi ∀x1 , x ∈ X , ∀λ ∈ [0,1], f (λx1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) Nói f lõm –f lồi Cho f ∈ R Giả sử X = [a, b] ∪ [b, c] mà f lồi (lõm) [a,b], f lõm (lồi) [b,c] Khi điểm U(b,f(b)) gọi điểm uốn đồ thị Cf hàm số Như điểm uốn điểm phân biệt cung lồi cung lõm đồ thị hàm số X Định lí 1: Để f lồi X điều kiện cần đủ ∀a ∈ X , tỷ số gia a f tăng X \ {a} , tức τ a ( x) = f ( x) − f (a) x−a tăng X \ {a} Định lí : ( Bất đẳng thức Jensen) Nếu n ∑λ k =1 k =1 f ∈RX lồi , cho ⎛ ⎞ f ⎜ ∑ λk xk ⎟ ≤ ∑ λk f ( xk ) ⎝ k =1 ⎠ k =1 n n có n ∈ N * , x , x , , x n ∈ X ; λ1 , λ , , λ n ∈ [0,1] b Điều kiện hàm lồi Định lí 1: Giả sử f lồi X f khả vi phải trái điểm X ∀a, b, c ∈ X cho a