MỤC LỤC
Với n =n0∈Nxác định, un0gọi là số phần tử thứ n0 của dãy,un thường là một biểu thức phụ thuộc vào n gọi là phần tử tổng quát của dãy,chẳng hạn cho các. Định lí : (Định lí Bônzanô – Vâyơxtrase),(Bolzano -Weierstrass): Từ mọi dãy (un) bị chặn đều có thể lấy ra một dãy con hội tụ.
Bằng định nghĩa hãy chứng minh sự hội tụ của các dãy cho bởi số hạng tổng quát tương ứng và tìm giới hạn của chúng. Chứng minh sự hội tụ và xác định giới hạn của các dãy sau cho bởi số hạng tổng quát tương ứng. Chứng minh rằng một dãy đơn điệu có giới hạn nếu nó có một dãy con có giới hạn.
Số T dương bé nhất trong các số τ gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f(x). Thông thường đối số kí hiệu là x, hàm số kí hiệu là y, vậy hàm ngược của là hàm số. Vì thế trên cùng mặt phẳng toạ độ 0xy, đồ thị của hai hàm số và là đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ I và III.
Hàm luỹ thừa với số mũ α ,được kí hiệu là , là ánh xạ từ vào R, xác định như sau. Hàm lôgarit cơ số a, kí hiệu là , là ánh xạ ngược với ánh xạ , như vậy. Các hàm số lượng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã được xét kỹ trong chương trình phổ thông trung học.
Người ta gọi hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, các hàm số lượng giác và các hàm số lượng giác ngược là các hàm số sơ cấp cơ bản. Ánh xạ : được gọi là hàm hữu tỉ khi và chỉ khi tồn tại hai đa thức. Định lí 2: Mọi hàm hữu tỉ thực sự đều có thể phân tích thành tổng hữu hạn các hàm hữu tỉ tối giản.
Định nghĩa: Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và các phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số. Định lí: Để có giới hạn là tại a điều kiện cần và đủ là mọi dãy trong X hội tụ về a thì. Hàm liên tục trên khoảng mở (a,b) và liên tục trái tại b,liên tục phải tại a nói rằng nó liên tục trên [a,b].
Hệ quả: Nếu tăng (giảm) ở lân cận điểm a khi đó liên tục tại a khi và chỉ khi. Nêu các định nghĩa về hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn.Các hàm số tuần hoàn và đồng thời là chẵn; lẻ có tồn tại không?. Trong trường hợp hàm số không có giới hạn hữu hạn, các phép tính đó còn đúng không?.
Chứng minh rằng mỗi phương trình đại số bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực. *Chứng minh hàm số liên tục và bị chặn trên R nhưng không liên tục đều trên R. *Chứng minh rằng nếu hàm đơn điệu bị chặn và liên tục trên thì liên tục đều trên.
Các định lý về giá trị trung bình được hiểu theo nghĩa sau đây : với những điều kiện nhất định của hàm số f(x) thì trong khoảng hở (a,b) tồn tại điểmξ nào đó, kéo theo giá trị f'(ξ), giá trị này có tính chất đặc biệt gọi chung là giỏ trị trung bỡnh. Mỗi định lý đều có thể minh hoạ hình học để kiểm tra lại kiến thức về tính chất của hàm số: hàm số liên tục, hàm số khả vi. Phân biệt công thức số gia hữu hạn và công thức số gia của hàm số biểu diễn nhờ vào vi phân của hàm số.
Trong mục thứ năm những ứng dụng trực tiếp các định lý về giá trị trung bình và đạo hàm cấp cao được đưa ra. Trước hết cần phân biệt các khái niệm: đa thức Taylor, công thức Taylor của hàm số tại lân cận x0. Lưu ý rằng bản thân tính đơn điệu hay cực trị của hàm số được mô tả không bắt buộc hàm số phải khả vi.
Tuy nhiên nhận biết các tính chất của hàm số sẽ đơn giản rất nhiều khi biết rằng hàm số khả vi. Trong mục thứ bảy người học phải phân biệt được khái niệm cực đại, cực tiểu với khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số. Trường hợp tập xác định không phải đoạn kín phải để ý đến giá trị của nó ở sát biên mới giải quyết được bài toán.
Trong mục thứ tỏm khỏi niệm hàm lồi, lừm được đưa ra một cỏch chớnh xác nhờ vào bất đẳng thức toán học liên quan đến giá trị hàm số. Đặc biệt hàm khả vi đến cấp hai thì chỉ để ý đến tính đổi dấu của đạo hàm cấp hai mà thôi. Trong mục cuối cùng người học phải nắm vững sơ đồ tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Vì cực trị có tính địa phương nên các điểm tại đó hàm đạt GTBN, GTLN chỉ có thể là hoặc các điểm tại đó hàm số không khả vi hoặc các điểm làm đạo hàm triệt tiêu hoặc các điểm a,b. Tìm miền xác định f (nếu như chưa cho) và các tính chất đặc biệt của hàm số như: chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có). Vì sao nói rằng điều kiện liên tục của hàm số chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ của hàm khả vi?.
Nếu một trong các điều kiện của định lý Rolle không thoả mãn thì có tồn tại giá trị trung bình không?. Nếu một trong các điều kiện của định lý Largrange không thoả mãn thì có tồn tại giá trị trung bình không?.