Các hệ trục tọa độ đã học ở THPT

Các hệ trục tọa độ đã học ở THPT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  KHOA VẬT LÝ MÔN: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI : GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : SINH VIÊN THỰC HIỆN: TSKH LÊ VĂN HOÀNG LÊ NGỌC THẾ QUỲNH NGUYỄN KIẾN TRẠCH Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng Mục lục  I Định nghĩa: II Tọa độ Descartes .4 Giới thiệu sơ lược tiểu sử Descartes: .4 HỆ TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG (2 CHIỀU) a Hệ trục gồm: b Cách xác định tọa độ điểm _ Một vector: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (3 CHIỀU) a Hệ tọa độ gồm b Cách xác định tọa độ điểm – Một vetor: Ứng dụng: III Tọa độ cực .11 Giới thiệu sơ lược hệ tọa độ 11 Cách xác định tọa độ điểm tọa độ cực: 11 Ứng dụng: 12 IV Tọa độ cầu 14 Sơ lược tọa độ cầu .14 Cách dựng mặt cầu : 14 Ứng dụng : .15 V Tọa độ trụ 19 Sơ lược tọa độ trụ : 19 Cách xác định tọa độ điểm tọa độ trụ .19 Ứng dụng : .19 Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :2/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng Lời nói đầu   Tọa độ điểm số thứ tự, đặc trưng cho vị trí điểm đường thẳng, mặt phẳng hay không gian Phương pháp tọa độ để xác định vị trí điểm trước tiên sử dụng thiên văn học địa lí (thơng qua kinh độ, vĩ độ) Phương pháp nhà toán học Pháp R Descartes đưa vào toán học, mở thời kì cho phát triển tốn học Tọa độ điểm luôn gắn liền với hệ tọa độ xác định, bao gồm gốc tọa độ trục tọa độ Tuỳ theo mục đích tính chất việc khảo sát đối tượng hay đối tượng khác, người ta chọn hệ tọa độ khác Trên đường thẳng, tọa độ điểm khoảng cách đại số từ điểm đến điểm cố định gọi gốc tọa độ Trên mặt phẳng thường dùng hệ tọa độ Descartes, tọa độ afin, tọa độ cực Trong không gian thường dùng hệ tọa độ Descartes, tọa độ afin, tọa độ cầu, tọa độ trụ Người ta đưa tọa độ cong vào đường cong mặt cong  Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :3/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng I Định nghĩa: ̠ Tọa Độ điểm số thứ tự, đặc trưng cho vị trí điểm đường thẳng, mặt phẳng hay không gian ̠ Phương pháp TĐ để xác định vị trí điểm trước tiên sử dụng thiên văn học địa lí (thơng qua kinh độ, vĩ độ) Phương pháp nhà toán học Pháp Đêcac (R Descartes) đưa vào tốn học, mở thời kì cho phát triển toán học [x Đêcac (Toạ độ)] ̠ TĐ điểm luôn gắn liền với hệ TĐ xác định, bao gồm gốc TĐ trục TĐ ̠ Tuỳ theo mục đích tính chất việc khảo sát đối tượng hay đối tượng khác, người ta chọn hệ TĐ khác Trên đường thẳng, TĐ điểm khoảng cách đại số từ điểm đến điểm cố định gọi gốc TĐ Trên mặt phẳng thường dùng hệ TĐ Đêcac, TĐ afin, TĐ cực Trong không gian thường dùng hệ TĐ Đêcac, TĐ afin, TĐ cầu, TĐ trụ Người ta đưa TĐ cong vào đường cong mặt cong II Tọa độ Descartes Giới thiệu sơ lược tiểu sử Descartes: ̠ Hệ tọa độ Descartes ý tưởng nhà toán học triết học người Pháp René Descartes thể vào năm 1637 hai viết ông Trong ‘Phương pháp luận’, ông giới thiệu ý tưởng việc xác định vị trí điểm hay vật thể bề mặt cách dùng hai trục giao để đo Cịn ‘La Géométrie’, ơng phát triển sâu khái niệm ̠ Descartes người có cơng hợp đại số hình học Euclide Cơng trình ơng có ảnh hưởng đến phát triển ngành hình học giải tích, tích phân, khoa học đồ HỆ TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG (2 CHIỀU) a Hệ trục gồm: trục vng góc x'Ox y'Oy mà   chọn vectơ đơn vị i , j cho độ dài vector Gốc tọa độ (0,0) Hệ tọa độ Descartes với bốn góc phần tư Các mũi tên hai đầu trục nhằm minh họa trục trải dài vô tận theo hướng mũi tên Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :4/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng b Cách xác định tọa độ điểm _ Một vector:   Điểm màu xanh có tọa độ A = i  j => ta có OA=(2,5)   Điểm màu đỏ có tọa độ B =  i  j   Điểm màu xanh dương có tọa độ C = (1,5)i  (2,5) j => BC = (-1,5-(-3)) + (-2.5-1) Hệ tọa độ Descartes với đường trịn có tâm trùng với gốc tọa độ bán kính Đường trịn có phương trình: x2 + y2 = HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (3 CHIỀU) a Hệ tọa độ gồm Là trục vng góc đơi x'Ox, y'Oy, z'Oz mà chọn    vector đơn vị i , j , k cho độ dài vector Với x'Ox : hoành độ y'Oy : tung độ z'Oz : cao độ b Cách xác định tọa độ điểm – Một vetor: Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :5/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hồng  Khi tồn a có gồm (x,y,z) cho :     a  xi  yj  zk Tương tự cách xác định hệ tọa độ mặt phẳng ta có : P=    (5)i  (5) j  7k Tương tự ta có : OP =(-5,-5,7)    Q = 3i  j  5k OQ = (3,0,5) QP = (-5-3,-5-0,7-5) Ứng dụng: Hệ tọa độ mặt phẳng (2 chiều) ̠ Hệ tọa độ mặt phẳng (2 chiều) ứng dụng toán học , vật lý … , khảo sát tính chất chuyển động vật ,thể thay đổi giá trị đại lượng hay đặc trưng cho dại lượng …một số ví dụ cụ thể ̠ Đồ thị thể quãng đường mà vật khoảng thời gian t chuyển động rơi tự có phương trình : S  g t Dựa vào đồ thị , ta cịn tìm quãng đường mà vật dược khoảng thời gian ta xét : t S  g *t2 / 2 19.6 78.4 176.4 313.6 Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :6/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng S 350 300 250 200 150 100 50 t 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 ̠ Hay nhìn vào đồ thị thể mối quan hệ vận tốc thời gian ta nhận biết loại chuyển động ,… Như với chuyển động rơi tự ( chuyển dộng nhanh dần đều) ta có phương trình : v  gt Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :7/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng v 350 300 250 200 150 100 50 t -2 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 ̠ Hay ta có phương trình quĩ đạo vật x  y  a (a= số ) ta kết luận quĩ đạo chuyển động ̠ Ta dùng đồ thị oxy để xác định diện tích giới hạn đường cho trước , ví dụ tìm diện tích giới hạn : y=-x+2 (x-1)2 + y 2= Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :8/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng y x -1 Hệ tọa độ không gian (3 chiều) ̠ Áp dụng để giải tập tích phân Ví dụ : Cho miền Ω giới hạn mặt: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z = Viết tích phân bội I  f (x, y, z)dxdydz  Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :9/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hồng Giải : a) Hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy miền D1= { (x, y) :  x  ;  y  –x} x Giới hạn  : z    y Giới hạn  : z  2 x Vậy : I   dx  dy 0 x y 1  2  f ( x, y, z )dz ̠ Ngoài hệ tọa độ không gian (3 chiều) ứng dụng nhiều sống ,như kiến trúc , thể tọa độ vật khơng gian,… Tịa nhà đài truyền hình Trung Quốc (CCTV) có chiều cao lệch với trục OZ có 60 Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :10/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng III Tọa độ cực Giới thiệu sơ lược hệ tọa độ ̠ Trong toán học, hệ tọa độ cực hệ tọa độ hai chiều điểm mặt phẳng biểu diễn góc khoảng cách Hệ tọa độ cực hữu ích trường hợp quan hệ hai điểm dễ viết dạng góc khoảng cách Trong hệ tọa độ thông thường hệ tọa độ Descartes, quan hệ biểu diễn dạng cơng thức lượng giác ̠ Khái niệm góc bán kính người xưa sử dụng từ kỷ thứ trước Công nguyên Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 trCN) lập bảng hàm dây cung cho biết chiều dài dây cung cho góc Có tài liệu cho ơng sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí thiên hà ̠ Trên mặt phẳng cho điểm O gọi gốc tọa độ nửa đường thẳng Ox gọi trục tọa độ Cách xác định tọa độ điểm tọa độ cực: ̠  Tọa độ cực điểm M mặt phẳng cặp số (r ,  ) xác định sau: r  khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O     2  góc (Ox,OM) ̠ Tọa độ cực liên hệ với tọa độ Descartes vng góc tương ứng cơng thức sau:  x  r sin    y  r cos  Vì ta đưa tọa độ Descartes bình phương x, y cộng lại ta x2  y2  r2 Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :11/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hồng Ứng dụng: ̠ Có thể ứng dụng để xác định tọa độ điểm mặt phẳng cặp số (r, ) ̠ Trong số trường hợp , chuyển sang tọa độ cực phép tính tích phân đơn giản cận lẫn cơng thức tính tích phân Tìm diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tia qua tọa độ cực đường cong ( ý đường qua tọa độ cực cắt đường cong khơng q điểm)  Với hình bên ta có S   r ( ) d 2 ̠ Tương tự , ta tìm diện tích phần giới hạn cách vẽ hình phần diện tích cần tìm ̠ Một số phương trình tiêu biểu tọa độ cực r(t)=1+cos t 0.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 -0.5 -1 Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :12/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng Đường Archimède r  a (a  1) r(t)=t 10 -12 -10 -8 -6 -4 -2 10 12 -2 -4 -6 -8 Đường hoa hồng cánh r  a sin 2 (a  1) 1.2 r(t)=sin 2t 0.8 0.6 0.4 0.2 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :13/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng IV Tọa độ cầu Sơ lược tọa độ cầu Cho hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz ̠ Tọa độ cầu điểm M không gian ba số (r , ,  ) xác định sau:   r  khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O      góc (Oz,OM)     2 góc (Ox,OM) với M’ hình chiếu vng góc điểm M xuống mặt phẳng Oxy  ̠ Tọa độ cầu liên hệ với tọa độ Descartes vng góc sau:  x  r sin  cos   y  r sin  sin   z  r cos   Cách dựng mặt cầu : ̠ Cho điểm O cố định không gian, tập hợp tất điểm không gian cách điểm O đoạn R tạo thành mặt cầu gọi mặt cầu tâm O bán kính R Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :14/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng Ứng dụng : ̠ Cũng phần trên, tọa độ cầu sử dụng hình học giải tốn diện tích, tích phân Trong hình học : ̠ Ta xác định điểm dựa vào cách thông số điểm ̠ Tích phân : dùng để giải tốn mà x,y,z có tính chất đối xứng với Ví dụ : tính I   ( x  y  z )dxdydz với  miền giới hạn hai mặt  cầu : x2+y2+z2=1 ; x2+y2+z2=4 Giải : Chuyển sang tọa độ cầu ta có : Miền  xác định  r  2;0     ;    2 I   r sin  drd d  Vậy : 2 I   d   sin  d   r dr  0 124 Trong thiên văn học: ̠ Hệ tọa độ thiên văn hệ tọa độ mặt cầu dùng để xác định vị trí biểu kiến thiên thể thiên cầu Hệ tọa độ thiên văn thiên thể không xác định khoảng cách đến người quan sát mà xác định hướng quan sát thiên cầu ̠ Có nhiều loại hệ tọa độ thiên văn khác nhau, phân biệt đặt tên theo mặt phẳng tham chiếu hay trục hệ tọa độ Mặt phẳng tham chiếu cắt thiên cầu đường tròn lớn nhất, chia thiên cầu thành hai nửa ̠ Các hệ tọa độ thiên văn: Hệ tọa độ chân trời Có mặt phẳng tham chiếu mặt phẳng chân trời, vị trí người quan sát Hệ toạ độ chân trời có giá trị tương vị trí quan sát thời điểm khác vị trí khác nhau, người quan sát có góc quan sát khác với thiên thể thân thiên cầu liên tục chuyển động ngày (nhật động) Vì lí này, hệ toạ độ có giá trị dùng quan sát nghiên cứu trực tiếp, giúp ích việc xác định vị trí mặt đất Hệ tọa độ xích đạo Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :15/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng Mặt phẳng tham chiếu mặt phẳng xích đạo Trái Đất Hiện hệ toạ độ sử dụng rộng rãi thiên văn học quan sát vật lí thiên thể đại Ưu điểm lớn xác với vị trí thời gian, khơng phụ thuộc vị trí người quan sát thời điểm quan sát Hệ toạ độ sử dụng nhièu việc xác định xác vị trí ngơi thiền ccầu, từ lập đồ chi tiết bầu trời có có mặt ngơi sao, chịm thiên hà với độ xác tương đối cao Ngoài ra, người ta dùng hệ toạ độ để xác định tính tốn vị trí chuyển động thiên thể hệ mặt Trời vệ tinh nhân tạo Trái đất Hệ tọa độ hoàng đạo Mặt phẳng tham chiếu mặt phẳng hoàng đạo Mặt phẳng hoàng đạo mặt phẳng quỹ đạo Trái Đất quay quanh Mặt Trời Hình chiếu mặt phẳng quỹ đạo Trái Đất lên thiên cầu vẽ thành đường hồng đạo Đó đường biểu kiến mà Mặt Trời thiên cầu suốt năm Hệ tọa độ thuận tiện xác định vị trí hành tinh thiên thể Hệ Mặt Trời Các hành tinh có có mặt phẳng quỹ đạo gần với mặt phẳng hồng đạo nên có hồng vĩ khơng lớn (trường hợp Diêm Vương Tinh lớn không q 17,2°) Hệ toạ độ có độ xác cao khơng có tính tương đối thay đổi vị trí thời điểm quan sát Nó sử dụng rộng rãi xác định vị trí thiên thể hệ Mặt Trời Ngồi có mặt danh mục, đồ cổ để xác định vị trí ngơi thiên cầu Tuy nhiên, khơng cịn ứng dụng phổ biến hệ toạ độ xích đạo Hệ tọa độ thiên hà Mặt phẳng tham chiếu mặt phẳng Ngân Hà Hệ tọa độ siêu thiên hà Tọa độ địa lý ̠ Hệ tọa độ địa lý cho phép tất điểm trái đất xác định ba tọa độ hệ tọa độ cầu tương ứng với trục quay Trái đất Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :16/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng ̠ Dựa theo lý thuyết người Babylon cổ đại, nhà hiền triết địa lý học tiếng người Hy Lạp Ptolemy mở rộng, đường tròn đầy đủ chia thành 360 độ (360°) ̠ Vĩ độ (ký hiệu: φ) điểm mặt trái đất góc tạo thành đường thẳng đứng (phương dây dọi, có đỉnh nằm tâm hệ tọa độ-chính trọng tâm địa cầu) điểm mặt phẳng tạo xích đạo Đường tạo điểm có vĩ độ gọi vĩ tuyến, chúng đường tròn đồng tâm bề mặt trái đất Mỗi cực 90 độ: cực bắc 90° B; cực nam 90° N Vĩ tuyến 0° định đường xích đạo, đường thẳng tưởng tượng chia địa cầu thành Bán cầu bắc Bán cầu nam ̠ Kinh độ (ký hiệu: λ) điểm bề mặt trái đất góc tạo mặt phẳng kinh tuyến qua điểm mặt phẳng kinh tuyến gốc( theo định nghĩa, đường thẳng qua Đài Thiên văn Hoàng gia Greenwich (gần London Liên hiệp Vương quốc Anh Bắc Ireland) đường tham chiếu có kinh độ 0° tồn giới (hay cịn gọi kinh tuyến gốc) , kinh tuyến đối cực Greenwich có kinh độ 180°T hay 180°Đ).Kinh độ kinh độ đơng tây, có đỉnh tâm hệ tọa độ, tạo thành từ điểm bề mặt trái đất mặt phẳng tạo đường thẳng ngẫu nhiên nối hai cực bắc nam địa lý Những đường thẳng tạo điểm có kinh độ gọi kinh tuyến Tất kinh tuyến nửa đường trịn, khơng song song với nhau: chúng hội tụ hai cực bắc nam Các kinh độ có giá trị từ 0o đến 180o phía đơng kinh tuyến gốc gọi kinh tuyến Đơng, phía tây kinh tuyến gốc gọi kinh tuyến Tây ̠ Bằng cách phối hợp hai góc này, ta xác định vị trí nằm ngang điểm Trái đất Ví dụ : Tọa độ địa lý Hà Nội: vĩ độ 21o Bắc, kinh độ 105o50' Đông Baltimore, Maryland (ở Hoa Kỳ) có vĩ độ 39,3° Bắc, kinh độ 76,6° Tây Hay vector vẽ từ tâm trái đất đến điểm 39,3° phía bắc xích đạo 76,6° phía tây đường Greenwich qua Baltimore ̠ "Mạng" vĩ độ/kinh độ hay gọi lưới địa lý Cũng có lưới ngang bổ sung (có nghĩa lưới dịch chuyển góc 90°, cho địa cực trở thành đường xích đạo ngang) Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :17/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng ̠ Từ trước đến nay, độ chia thành phút (1 phần 60 độ, ký hiệu ′ "m") giây (1 phần 60 phút, ký hiệu ″ "s") Có nhiều viết độ, tất chúng xuất theo thứ tự Vĩ độ - Kinh độ N: cực Bắc S: cực Nam O: tâm Trái Đất Ogm: mặt phẳng xích đạo; GgSN: mặt phẳng kinh tuyến qua thành phố Greenwich; NMmS: mặt phẳng kinh tuyến qua điểm M; OM: đường thẳng đứng qua điểm M : vĩ độ M, : kinh độ M ̠ CHIỀU THỨ BA: ĐỘ CAO, CHIỀU CAO VÀ CHIỀU SÂU : Để xác định hồn tồn vị trí nằm trên, phía trái đất, ta cần phải xác định độ cao điểm, định nghĩa vị trí điểm theo chiều thẳng đứng so với trung tâm hệ thống tham chiếu vài định nghĩa bề mặt trái đất Điều mô tả theo thuật ngữ khoảng cách theo chiều thẳng đứng đến trái đất bên dưới, nhưng, nhập nhằng chữ "bề mặt" "chiều thẳng đứng", thường mơ tả phổ biến cách so sánh với mốc định nghĩa xác mặt nước biển trung bình (chính xác geoid, mặt trọng trường không đổi) Khoảng cách đến trung tâm trái đất dùng cho vị trí sâu nơi khơng gian Những thuật ngữ khác dùng tương ứng với khoảng điểm từ mặt đất cột mốc khác độ cao, chiều cao, độ sâu ̠ MÚI TOẠ ĐỘ Phần bề mặt Trái Đất hai kinh tuyến có kích thước o 3o Múi toạ độ biểu thị mặt phẳng theo lưới chiếu Gauss Kinh tuyến mặt phẳng trục X Vĩ tuyến mặt phẳng trục Y Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :18/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hoàng Kinh tuyến qua Greenwich kinh tuyến phía tây múi số khơng Số hiệu múi N tăng từ đến 23 từ Tây sang Đông Kinh độ Lo kinh tuyến múi 6o tính theo cơng thức sau: L  N  3 Để thuận tiện lúc sử dụng điểm trắc địa dải 0o30', rìa múi tính toạ độ hai múi Để thành lập đồ tỉ lệ 1:5000 lớn hơn, toạ độ tính múi o Để thành lập đồ địa hình tỉ lệ nhỏ vừa, ta sử dụng toạ độ múi o Lưu ý : điểm trái đất có nhiều toạ độ khác nhau, có nhiều hệ đo đạc mốc tính tốn khác Điều bao gồm khác datum VN2000 WGS84, hay khái niệm Geoid, V Tọa độ trụ Sơ lược tọa độ trụ : Cho hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz ̠ Tọa độ trụ điểm M ba số (r ,  , z ) xác định sau:  r  khoảng cách từ gốc tọa độ O đến hình chiếu vng góc M’ M xuống mặt phẳng Oxy     2 góc (Ox,OM')   z cao độ điểm M Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vng góc cơng thức sau:  x  r sin    y  r cos  z  z  Cách xác định tọa độ điểm tọa độ trụ ̠ Cần có độ cao điểm, phần lại xác dịnh r góc  ta có tọa độ điêm sau : M (r ,  , z ) (Toạ độ trụ điểm M(x,y,z) ba số (r,φ,z), với (r,φ) toạ độ cực hình chiếu M xuống mặt phẳng Oxy (Hình vẽ)) Ứng dụng : Để đưa số phép tính tích phân từ tọa độ Descartes tọa độ trụ để giải toán thuận lợi Ví dụ : I   ( x  y )dxdydz với  miền giới hạn z = x2+y2 , z =  Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :19/22 Giáo viên :TSKH Lê Văn Hồng Giải : Hình chiếu  mặt phẳng Oxy hình trịn x2 + y2  Chuyển sang tọa độ trụ x  r cos  y  r sin  zz  giới hạn    2 ;  r  2; r  z  Vậy : 2 I   r rdrd dz    d     r dr  dz =  0 r2 64 Sinh viên : Lê Ngọc Thế Quỳnh _ Nguyễn Kiến Trạch Trang :20/22 ... biến hệ toạ độ xích đạo Hệ tọa độ thiên hà Mặt phẳng tham chiếu mặt phẳng Ngân Hà Hệ tọa độ siêu thiên hà Tọa độ địa lý ̠ Hệ tọa độ địa lý cho phép tất điểm trái đất xác định ba tọa độ hệ tọa độ. .. Hoàng III Tọa độ cực Giới thiệu sơ lược hệ tọa độ ̠ Trong toán học, hệ tọa độ cực hệ tọa độ hai chiều điểm mặt phẳng biểu diễn góc khoảng cách Hệ tọa độ cực hữu ích trường hợp quan hệ hai điểm... độ, vĩ độ) Phương pháp nhà toán học Pháp R Descartes đưa vào toán học, mở thời kì cho phát triển tốn học Tọa độ điểm ln ln gắn liền với hệ tọa độ xác định, bao gồm gốc tọa độ trục tọa độ Tuỳ