BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 1 Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Góc và cung lượng giác: . Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R và có số đo bằng 360 0 . . Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài bằng 180 R và có số đo 1 0 . . Cung tròn bán kính R có số đo a 0 (0 a 360) thì có độ dài bằng 180 aR . . Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn. . Cung có số đo bằng a 0 ứng với radian công thức đổi đơn vị là: 0 0 180 a . . Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.. y . Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z Ox đến Oy. .Đường tròn lượng giác là đường tròn O x Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một chiều làm chiều dương (+). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(1; 0), B’(0; 1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ. . Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C. . Số đo của góc và cung lượng giác: sđ(Ox, Oy) = a 0 + k360 0 hoặc sđ(Ox, Oy) = + k2. sđAM = a 0 + k360 0 hoặc sđAM = + k2. y B S M P T A’ O Q A x B’ . Hệ thức Salơ: + Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có: sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz). + Với M, N, K tùy ý trên đường tròn lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK. 2. Các công thức lượng giác cơ bản: Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = + k2 (k Z). BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 2 Ta có: . cot , tan , sin , cos BS AT y OP x OQ Nhận xét: 1 cos 1, 1 cos 1. cos( + k2) = cos, sin( + k2) = sin, tan( + k) = tan, cot( + k) = cot . tan = cos sin xác định khi , 2 k cot = sin cos xác định khi k sin = tancos, cos = cotsin, tancot = 1, sin 2 + cos 2 + 1. . sin 1 cot 1 , cos 1 tan 1 2 2 2 2 . Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt: Góc 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 TS . 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan 0 3 3 1 3 3 1 3 3 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 1 3 3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt: . Cung đối nhau: và : cos() = cos, sin() = sin, tan() = tan, cot() = cot. . Cung bù nhau: và : sin( ) = sin, cos( ) = cos, tan( ) = tan, cot( ) = cot. . Cung hơn kém : + và : sin( + ) = sin, cos( ) = cos, tan( + ) = tan, cot + ) = cot. . Cung phụ nhau: 2 và : sin 2 = cos, cos 2 = sin, tan 2 = cot, cot 2 = tan. . Cung hơn kém 2 : 2 + và : sin 2 = cos, cos 2 = sin, tan 2 = cot, cot 2 = tan. BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 3 4. Các công thứ lượng giác khác: . Công thức cộng: cos( + ) = coscos – sinsin, sin( + ) = sincos + cossin. cos(– ) = coscos + sinsin, sin(– ) = sincos – cossin. tan( + ) = tan tan 1 tan tan , tan(– ) = tan tan 1 tan tan . . Công thức nhân đôi: cos2 = cos 2 sin 2 = 2cos 2 1 = 1 – 2sin 2 ; sin2 = 2sincos; tan2 = . tan 1 tan 2 2 . Công thức hạ bậc: sincos = . 2 2 cos 1 sin ; 2 2 cos 1 cos ; 2 sin 2 1 2 2 . Công thức biến đổi tích thành tổng: coscos = ; ) sin( ) sin( 2 1 cos sin ; ) cos( ) cos( 2 1 sinsin = . ) cos( ) cos( 2 1 . Công thức biến đổi tổng thành tích: cos + cos = ; 2 cos 2 cos 2 cos – cos = ; 2 sin 2 sin 2 sin + sin = ; 2 cos 2 sin 2 sin – sin = . 2 sin 2 cos 2 I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho OA OM ( , ) . Giả sử M x y ( ; ) . x OH y OK AT k BS k cos sin sin tan cos 2 cos cot sin Nhận xét: , 1 cos 1; 1 sin 1 CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cosin O cotang sin tang H A M K B S T BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 4 tan xác định khi k k Z , 2 cot xác định khi k k Z , k sin( 2 ) sin k tan( ) tan k cos( 2 ) cos k cot( ) cot 2. Dấu của các giá trị lượng giác 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 4. Hệ thức cơ bản: 2 2 sin cos 1 ; tan .cot 1 ; 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt 0 6 4 3 2 2 3 3 4 3 2 2 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3 –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 –1 0 Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cos + – – + sin + + – – tan + – + – cot + – + – Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cos sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 5 II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi sin2 2sin .cos 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot 2 2cot 1 tan 3. Công thức biến đổi tổng thành tích sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan Góc hơn kém Góc hơn kém 2 sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 Công thức hạ bậc Công thức nhân ba () 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 6 4. Công thức biến đổi tích thành tổng VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sin, tính cos, tan, cot Từ 2 2 sin cos 1 2 cos 1 sin . – Nếu thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 cos 1 sin . – Nếu thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 cos 1 sin . Tính sin tan cos ; 1 cot tan . 2. Cho biết cos, tính sin, tan, cot Từ 2 2 sin cos 1 2 sin 1 cos . – Nếu thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 sin 1 cos . – Nếu thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 sin 1 cos . Tính sin tan cos ; 1 cot tan . cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b b a a b a b sin( ) cot cot sin .sin sin cos 2.sin 2.cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos 4 4 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 7 3. Cho biết tan, tính sin, cos, cot Tính 1 cot tan . Từ 2 2 1 1 tan cos 2 1 cos 1 tan . – Nếu thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 1 cos 1 tan . – Nếu thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 1 cos 1 tan . Tính sin tan .cos . 4. Cho biết cot, tính sin, cos, tan Tính 1 tan cot . Từ 2 2 1 1 cot sin 2 1 sin 1 cot . – Nếu thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 1 sin 1 cot . – Nếu thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 1 sin 1 cot . II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A B A B AB 2 2 2 ( ) 2 A B A B A B 4 4 2 2 2 2 2 ( ) 2 A B A B A AB B 3 3 2 2 ( )( ) A B A B A AB B 3 3 2 2 ( )( ) IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình Đặt t x t 2 sin , 0 1 x t 2 cos . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. Thiết lập phương trình bậc hai: t St P 2 0 với S x y P xy ; . Từ đó tìm x, y. VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết) VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: A B C và A B C 2 2 2 2 VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 8 sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi sin2 2sin .cos 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot 2 2cot 1 tan VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi 1. Công thức biến đổi tổng thành tích 2. Công thức biến đổi tích thành tổng cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b b a a b a b sin( ) cot cot sin .sin Công thức hạ bậc Công thức nhân ba () 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan sin cos 2.sin 2.cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos 4 4 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 9 B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các số do sau: 45 0 , 1200 0 , 830 0 . b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho cung AM có số đo bằng: . 45 ; 4 6 ; 2 3 0 k k k c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b). 2. Xác định điểm cuối M của cung lượng giác biết cos 0,5. Tìm miền giá trị của sin, tan và cot. 3. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin 4 x + cos 4 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x; b) sin 6 x + cos 6 x = 1 – 3sin 2 xcos 2 x; x; tan tanx) 2x tanx)(sin (tan2x d) ; cosx 1 sinx sinx cosx 1 c) 2 ; cos4x 1 2cos4x 6 x cot x tan g) x; tan x sin x sin x cos x cos x cos x sin e) 2 2 4 4 2 2 4 2 2 h) tan 2 x – sin 2 x = tan 2 xsin 2 x; i) cosx. x 3 2 cos 3 2x cos 6 x cos 3 2x sin 4. Rút gọn các biểu thức sau: ; 1 cosx x 2cos 1 cosx cos2x cos3x C ; tanx) x(1 cos cotx) x(1 sin B ; sinx 1 x 2cos A 2 2 2 2 ; cosx 1 cosx 1 cosx 1 cosx 1 E ; x sin cosx) (1 1 sinx cosx 1 D 2 2 ; cos4a cos3a cos2a a cos sin4a sin3a sin2a sina F ; cosb cosa ) )sin(a sin(a G ; cos98 2cos638 ) cos(188 2520 sin 2 tan368 1 H 0 0 0 0 0 . 2 x tan cosx 1 cosx 1 I 2 5. Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna; S 2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna. 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 10 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y: A = cos 2 x + cos 2 (x + a) – 2cosxcosacos(x + a); B = cos 6 x + 2sin 4 xcos 2 x + 3sin 2 xcos 4 x + sin 4 x; 3 3 x cos 6 x cos 4 x cos 3 x cos C ; cos sin 2 1 x cos x sin x cos x sin E ; x 3 2 cos 3 2 x cos x cos D 2 2 2 2 8 8 2 2 2 x x F = 3(sin 8 x – cos 8 x) + 4(cos 6 x – 2sin 6 x) + 6sin 4 x; y xcot cot y xsin sin y sin x cos G 2 2 2 2 2 2 7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x = . 8 sin 8 1 x Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức: A = sin6 0 .sin42 0 .sin66 0 .sin78 0 ; . 7 5 .cos 7 3 .cos 7 cos B 8. a) Cho cosx = . 270 x 108 và 5 3 0 0 Tính sinx, tanx và cotx. b) Biết tan . 2 a m Tính ; sina tana sina tana c) Biết tana + cota = m, , 2 a 0 tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m. d) Cho sina + cosa = m với . 2 m 2 Tính sin2a, sina, cosa. 9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính: . 24 11 .sin 24 7 .sin 24 5 .sin 24 sin B ; 12 5 .cos 12 11 sin A C = cos10 0 .cos50 0 .cos70 0 ; D = cos20 0 .cos40 0 .cos80 0 . E = sin160 0 .cos110 0 + sin250 0 .cos340 0 + tan110 0 .tan340 0 . F = sin10 0 .sin50 0 .sin70 0 ; . 12 5 tan 12 tan G 2 2 H = tan5 0 tan55 0 tan65 0 . H = tan9 0 – tan27 0 – tan63 0 + tan81 0 ; I = cos10 0 cos20 0 cos30 0 . . . cos80 0 . ; 7 3 cos 7 2 cos 7 cos K . 24 sin 24 5 sin 12 7 sin 12 5 cos M 10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC: . 2 A C tan 2 A C tan a c a c ; 2 C B tan 2 C B tan c b c b ; 2 B A tan 2 B A tan b a b a 11. Chứng minh các đẳng thức sau: a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = ; cosc cosa.cosb. c) b sin(a b) a; tana.tan3 a 2a.tan tan 1 a tan 2a tan 2 2 2 2 . b acos cos b) b)sin(a sin(a b tan a tan c) 2 2 2 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 11 cos4x 4 1 4 3 x cos x sin f) ; sina cosa sina cosa sin2a 1 cos2a e) 0; 2 3 cos4x 2 1 2cos2x x 4cos d) 4 4 4 . 8 3 .sin80 .sin40 sin20 h) 0; 9 7 cos 9 5 cos 9 cos g) 0 0 0 12) Chứng minh rằng: a) Nếu 2 1 y) cos(x y) cos(x thì tanxtany = . 3 1 b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các điều kiện 3sin 2 x + 2sin 2 y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì . 2 2y x 13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina; b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana. 14. CMR: trong mọi ABC ta đều có: a) sinA + sinB + sinC = ; 2 C cos 2 B cos 2 A 4cos ; 2 C sin 2 B sin 2 A 4sin 1 cosC cosB cosA b) c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC; d) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 – 2cosAcosBcosC; e) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2cosAcosBcosC; f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C) h) ; 2 C .cot 2 B .cot 2 A cot 2 C cot 2 B cot 2 A cot i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1; 0; 2 B cot a) (c 2 A cot c) (b 2 C cot b) (a k) l) S = 2R 2 sinAsinBsinC; ; 2 C sin 2 B sin 2 A 4Rsin r m) 1; 2 A .tan 2 C tan 2 C .tan 2 B tan 2 B .tan 2 A tan n) ; 2 C .cos 2 B cos 2 A p.sin a o) ; sinC B) sin(A c b a p) 2 2 2 ; 2 C .tan 2 B .tan 2 A p.tan r q) ; 2 A sin 2 C .sin 2 B asin r r) ; 2 C .cos 2 B .cos 2 A 4cos p R s) ; 2 C sin 2 B sin 2 A sin 4R r ) t cosC; cosB cosA R r 1 u) ccosC; bcosB acosA R 2pr v) ; 2 C tan 2 B tan 2 A tan p r 4R w) 0; )cotC b (a )cotB a (c )cotA c (b x) 2 2 2 2 2 2 ; B) 2sin(A )sinAsinB b (a S y) 2 2 . A 2 sin b sin2B a 4 1 S z) 2 2 15. CMR: trong mọi ABC ta đều có: BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 12 3p; c p b p a p p b) ; abc R c b a cotC cotB cotA a) 2 2 2 ; c 1 b 1 a 1 2 c p 1 b p 1 a p 1 c) d) Nếu a 4 = b 4 + c 4 thì 2sin 2 A = tanB.tanC 16. Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau: . c b a c b a a 4 3 sinBsinC c) ; 1 3cosB C) A cos( a a c b a c b b) 2; sinBcosC sinA a) 3 3 3 2 2 3 3 3 ; c b a c b a a 4 1 cosBcosC e) ; a a c b a c b a 2bcosC d) 3 3 3 2 2 3 3 3 C sin B sin A sin R 3 2 S f) 3 3 3 2 ; 8 1 sC cosAcosBco i) ; 2 C 2cot tanB tanA h) ; cosC cosB sinC sinB sinA g) k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; . 3 cosC cosB cosA sinC sinB sinA l) 17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABC vuông là: a) cos2A + cos2B + cos2C = 1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0; c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC. 18. Chứng minh ABC vuông khi: tanA. cosA sinB cosB sinA c) ; b c a 2 B cot b) ; sinBsinC a cosC c cosB b a) . 2 C sin 2 B sin 2 2p h f) sin2B; a 4 1 S e) ; a 2bc C) cos(B d) a 2 2 19. Chứng minh rằng ABC là vuông hoặc cân khi: . a c b C) sin(B b) ; 2 B C tan b c b c a) 2 2 2 20. Chứng minh rằng ABC là cân khi và chỉ khi: BtanC; tan tanC 2tanB b) ; 2 B A b)tan (a b.tanB a.tanA a) 2 B); cot A cot ( 2 1 B sin A sin B cos A cos d) B); tan(A 2 1 cosB cosA sinB sinA c) 2 2 2 2 2 2 ; sinC 2sinAsinB 2 C cot f) ; 2 C sinB)cot (sinA cos B sin cosA A sin e) 2 2 ; 2 B ptan 2 C cot b) (p h) ; 2 A cos 2 B sin 2 B cos 2 A sin g) 3 3 0 A) bsin(C C) asin(B l) btanB); (atanA 2 C tan b a k) ; c 4a c 2a sinB cosB 1 i) 2 2 21. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau: BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 13 a) (b 2 + c 2 )sin(C B) = c 2 – b 2 )sin(C + B); ; tanC tanB C sin B sin b) 2 2 . cos2B 1 C) cos(B 1 2. b c) (b d) ; sinA sinB cosC 2cosB cosC 2cosA c) 2 2 22. CMR: ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C; b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0; c) 2(a 3 + b 3 + c 3 ) = a( 2 + c 2 ) + b(c 2 + a 2 ) + c(a 2 + b 2 ); . 3 h 2 a c b d) a 23. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0; c) a 3 = 3 + c 3 ; d) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B 2; cotB) cotA)(1 (1 f) g) sin 2 A + sin 2 B = 5sin 2 C; h) A, B, C là nghiệm của phương trình: . 3 3 2 2 x tan tanx 24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: . sinx cosx cosx sinx y (ĐH An ninh 1998) 25. CMR: nếu ba góc A, B, C của ABC thỏa điều kiện: sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C thì A, , C đều là ba góc nhọn. (ĐH An ninh 1998) 26. Cho ABC có các góc thỏa 1 2 B tan 2 A tan . CMR: 1. 2 C tan 4 3 (ĐH Bách khoa Hà nội 1998) 27. Cho ABC. CMR: 2b = a + c 3. 2 C cot 2 A cot (ĐH Cần thơ 1998) 29. CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác đều có diện tích lớn nhất. (ĐH Công đoàn 1998) 30. Cho ABC. CMR: . 4S c b a cotC cotB cotA 2 2 2 (ĐH Dược hà nội 1998) 31. Cho ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 3cosA + 2(cosB + cosC). (ĐH Luật Hà nội 1998) 32. Cho ABC. CMR: . c b a sinC B) sin(A 2 2 2 (ĐH Ngoại ngữ 1998) 33. CMR: trong mọi AC ta đều có: . 2 C .cot 2 B .cot 2 A cot 2 C tan 2 B tan 2 A tan 2 1 sinC 1 sinB 1 sinA 1 (ĐH Ngoại thương 1998) BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 14 34. Cho ABC sao cho: 2 sinC sinB sinA a c b 2 2 2 . Tính các góc của ABC. (ĐH Ngoại thương 1998) 35. CMR: trong mọi ABC ta luôn có: . 3 C cos 3 B cos 3 A cos 4 3 8 3 3 C cos 3 B cos 3 A cos 3 3 3 (ĐH Quốc gia Hà nội 1998) 36. a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức: . 2 C sin 1 2 B sin 1 2 A sin 1 cosC 1 cosB 1 cosA 1 CMR: ABC đều. b) ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức: 2cosA sinC sinB . (ĐH An ninh 1999) 37. CMR: điều kiện cần và đủ để ABC đều là có hệ thức: . 3 cotC cotB cotA sinC 1 sinB 1 sinA 1 (ĐH Bách khoa Hà nội 1999). 38. CMR: Điều kiện cần và đủ để ABC vuông là: 1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0. (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999). 39. ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC). CMR: ABC là tam giác đều. (ĐH Dược Hà nội 1999). 40. CMR: nếu ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b) 2 B A tan thì ABC cân. (ĐH Hàng hải 1999). 41. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot 4 a + cot 4 b + 2tan 2 a.tan 2 b + 2. (ĐH Giao thông vận tải 1999). Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 0 sin50 .cos( 300 ) b) B = 0 21 sin215 .tan 7 c) C = 3 2 cot .sin 5 3 d) D = c 4 4 9 os .sin .tan .cot 5 3 3 5 Bài 2. Cho 0 0 0 90 . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 sin( 90 ) b) B = 0 cos( 45 ) c) C = 0 cos(270 ) d) D = 0 cos(2 90 ) Bài 3. Cho 0 2 . Xét d ấu của các biểu thức sau: a) A = cos( ) b) B = tan( ) BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 15 c) C = 2 sin 5 d) D = 3 cos 8 Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = A B C sin sin sin b) B = A B C sin .sin .sin c) C = A B C cos .cos .cos 2 2 2 d) D = A B C tan tan tan 2 2 2 Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: a) a a 0 0 4 cos , 270 360 5 b) 2 cos , 0 2 5 c) a a 5 sin , 13 2 d) 0 0 1 sin , 180 270 3 e) a a 3 tan 3, 2 f) tan 2, 2 g) 0 cot15 2 3 h) 3 cot 3, 2 Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: a) a a A khi a a a a cot tan 3 sin , 0 cot tan 5 2 ĐS: 25 7 b) a a B khi a a a a 2 0 0 8tan 3cot 1 1 sin , 90 180 tan cot 3 ĐS: 8 3 c) a a a a C khi a a a a a 2 2 2 2 sin 2sin .cos 2cos cot 3 2sin 3sin .cos 4cos ĐS: 23 47 d) a a D khi a a a 3 3 sin 5cos tan 2 sin 2cos ĐS: 55 6 e) a a a E khi a a a 3 3 3 8cos 2sin cos tan 2 2cos sin ĐS: 3 2 g) a a G khi a a a cot 3tan 2 cos 2cot tan 3 ĐS: 19 13 h) a a H khi a a a sin cos tan 5 cos sin ĐS: 3 2 Bài 3. Cho a a 5 sin cos 4 . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a a sin .cos b) B a a sin cos c) C a a 3 3 sin cos ĐS: a) 9 32 b) 7 4 c) 41 7 128 Bài 4. Cho a a tan cot 3 . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a a 2 2 tan cot b) B a a tan cot c) C a a 4 4 tan cot ĐS: a) 11 b) 13 c) 33 13 Bài 5. a) Cho x x 4 4 3 3sin cos 4 . Tính A x x 4 4 sin 3cos . ĐS: 7 A 4 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 16 b) Cho x x 4 4 1 3sin cos 2 . Tính B x x 4 4 sin 3cos . ĐS: B = 1 c) Cho x x 4 4 7 4sin 3cos 4 . Tính C x x 4 4 3sin 4cos . ĐS: C C 7 57 4 28 Bài 6. a) Cho x x 1 sin cos 5 . Tính x x x x sin , cos , tan , cot . b) Cho x x tan cot 4 . Tính x x x x sin , cos , tan , cot . ĐS: a) 4 3 4 3 ; ; ; 5 5 3 4 b) 1 2 3 ; ; 2 3; 2 3 2 2 2 3 hoặc 2 3 1 2 3; 2 3; ; 2 2 2 3 Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 b) 7 13 5 10 5 11 16 13 29 31 9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 4 4 3 3 3 3 6 6 4 Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) A x x x cos cos(2 ) cos(3 ) 2 b) B x x x x 7 3 2cos 3cos( ) 5sin cot 2 2 c) C x x x x 3 2sin sin(5 ) sin cos 2 2 2 d) D x x x x 3 3 cos(5 ) sin tan cot(3 ) 2 2 Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) A 0 0 0 0 0 0 sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 ) cot 572 tan( 212 ) ĐS: A = –1 b) B 0 0 0 0 0 sin( 234 ) cos216 .tan36 sin144 cos126 ĐS: B 1 c) C 0 0 0 0 0 cos20 cos40 cos60 ... cos160 cos180 ĐS: C 1 d) D 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180 ĐS: D 9 e) E 0 0 0 0 0 sin20 sin40 sin60 ... sin340 sin360 ĐS: E 0 f) x x x x 0 0 0 0 2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 ) ĐS: F x 1 cos Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x 4 4 2 sin cos 1 2cos b) x x x x 4 4 2 2 sin cos 1 2cos .sin c) x x x x 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cos d) x x x x x x 8 8 2 2 4 4 sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 17 e) x x x x 2 2 2 2 cot cos cos .cot f) x x x x 2 2 2 2 tan sin tan .sin g) x x x x x 1 sin cos tan (1 cos )(1 tan ) h) x x x x x x x x 2 2 sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot i) x x x x x x sin cos 1 2cos 1 cos sin cos 1 k) x x x 2 2 2 1 sin 1 tan 1 sin Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) a b a b a b tan tan tan .tan cot cot b) a a a a a a a a 2 2 sin cos 1 cot sin cos cos sin 1 cot c) a a a a a a 2 2 sin cos 1 sin .cos 1 cot 1 tan d) a a a a a a a a 2 2 sin sin cos sin cos sin cos tan 1 e) a a a a a 2 2 1 cos (1 cos ) 1 2cot sin sin f) a a a a a a a 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot g) a a a a a 2 2 1 sin 1 sin 4tan 1 sin 1 sin h) a b a b a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 tan tan sin sin tan .tan sin .sin i) a a a a a 2 2 6 2 2 sin tan tan cos cot k) a a a a a a a a 3 3 3 3 2 2 tan 1 cot tan cot sin .cos sin cos Bài 3. Cho x a vôùi a b a b a b 4 4 sin cos 1 , , 0. Chứng minh: x x a b a b 8 8 3 3 3 sin cos 1 ( ) . Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) x x x 2 2 2 (1 sin ) cot 1 cot b) x x x x 2 2 (tan cot ) (tan cot ) c) x x x x x x 2 2 2 2 2 2 cos cos .cot sin sin .tan d) x a y a x a y a 2 2 ( .sin .cos ) ( .cos .sin ) e) x x a x 2 2 2 2 sin tan cos cot f) x x x x x x 2 2 4 2 2 4 sin cos cos cos sin sin g) x x x x 2 2 sin (1 cot ) cos (1 tan ) h) x x x x x 1 cos 1 cos ; (0, ) 1 cos 1 cos i) x x x x x 1 sin 1 sin ; ; 1 sin 1 sin 2 2 k) x x x x 2 2 3 cos tan sin ; ; 2 2 Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: a) x x x x 4 4 6 6 3(sin cos ) 2(sin cos ) ĐS: 1 b) x x x x x 8 8 6 6 4 3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin ĐS: 1 c) x x x x 4 4 2 2 (sin cos 1)(tan cot 2) ĐS: –2 d) x x x x x 2 2 2 2 2 cos .cot 3cos cot 2sin ĐS: 2 e) x x x x x 4 4 6 6 4 sin 3cos 1 sin cos 3cos 1 ĐS: 2 3 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 18 f) x x x x x x 2 2 2 2 2 2 tan cos cot sin sin cos ĐS: 2 g) x x x x 6 6 4 4 sin cos 1 sin cos 1 ĐS: 3 2 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) B A C sin sin( ) b) A B C cos( ) cos c) A B C sin cos 2 2 d) B C A C cos( ) cos( 2 ) e) A B C C cos( ) cos2 f) A B C A 3 cos sin2 2 g) A B C C 3 sin cos 2 h) A B C C 2 3 tan cot 2 2 Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: a) 0 0 0 15 ; 75 ; 105 b) 5 7 ; ; 12 12 12 Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 3 tan sin , 3 5 2 ĐS: 38 25 3 11 b) khi 12 3 cos sin , 2 3 13 2 ĐS: (5 12 3) 26 c) a b a b khi a b 1 1 cos( ).cos( ) cos , cos 3 4 ĐS: 119 144 d) a b a b a b sin( ), cos( ), tan( ) khi a b 8 5 sin , tan 17 12 và a, b là các góc nh ọn. ĐS: 21 140 21 ; ; . 221 221 220 e) a b a b tan tan , tan , tan khi a b a b 0 , , 2 4 và a b tan .tan 3 2 2 . Từ đó suy ra a, b . ĐS: 2 2 2 ; a b a b tan tan 2 1, 8 Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: a) A = o o o 2 2 2 sin 20 sin 100 sin 140 ĐS: 3 2 b) B = o o o 2 2 cos 10 cos110 cos 130 ĐS: 3 2 c) C = o o o o o o tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20 ĐS: –3 d) D = o o o o o o tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190 ĐS: –3 e) E = o o o o o cot 225 cot 79 .cot 71 cot 259 cot 251 ĐS: 3 f) F = o o 2 2 cos 75 sin 75 ĐS: 3 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 19 g) G = o 0 1 tan15 1 tan15 ĐS: 3 3 h) H = 0 0 tan15 cot15 ĐS: 4 HD: 0 0 0 0 0 0 40 60 20 ; 80 60 20 ; 0 0 0 0 0 0 50 60 10 ; 70 60 10 Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a) x y x y x y 2 2 sin( ).sin( ) sin sin b) x y x y x y x y 2sin( ) tan tan cos( ) cos( ) c) x x x x x x 2 2 tan .tan tan .tan tan .tan 3 3 3 3 3 d) x x x x 3 2 cos .cos cos .cos (1 3) 3 4 6 4 4 e) o o o o (cos70 cos50 )(cos230 cos290 ) o o o o (cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0 f) x x x x x x 2 2 2 2 tan 2 tan tan .tan3 1 tan 2 .tan Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) a a b khi b a cos a b 2tan tan( ) sin sin . ( ) b) a a b khi b a b 2tan tan( ) 3sin sin(2 ) c) a b khi a b a b 1 tan .tan cos( ) 2cos( ) 3 d) k a b b khi a b k a k 1 tan( ).tan cos( 2 ) cos 1 HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) C A B B A sin sin .cos sin .cos b) C A B A B A B 0 sin tan tan ( , 90 ) cos .cos c) A B C A B C A B C 0 tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 ) d) A B B C C A cot .cot cot .cot cot .cot 1 e) A B B C C A tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 f) A B C A B C cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 g) o C B B C A B A C A cos cos cot cot ( 90 ) sin .cos sin .cos h) A B C A B C A B C A B C cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i) A B C A B C 2 2 2 sin sin sin 1 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180 0 e, f) Sử dụng A B C 0 90 2 2 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 20 g) VT = VP = tanA h) Khai triển A B C cos 2 2 2 i) Khai triển A B C sin 2 2 2 . Chú ý: Từ B C A cos sin 2 2 2 B C A B C cos .cos sin sin .sin 2 2 2 2 2 A B C A A B C 2 sin .cos .cos sin sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2 Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: a) A B C ABC nhoïn tan tan tan 3 3, . b) A B C ABC nhoïn 2 2 2 tan tan tan 9, . c) A B C ABC nhoïn 6 6 6 tan tan tan 81, . d) A B C 2 2 2 tan tan tan 1 2 2 2 e) A B C tan tan tan 3 2 2 2 HD: a, b, c) Sử dụng A B C A B C tan tan tan tan .tan .tan và BĐT Cô–si d) Sử dụng a b c ab bc ca 2 2 2 và A B B C C A tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 e) Khai triển A B C 2 tan tan tan 2 2 2 và sử dụng câu c) Bài 1. Biến đổi thành tổng: a) a b a b 2sin( ).cos( ) b) a b a b 2cos( ).cos( ) c) x x x 4sin3 .sin 2 .cos d) x x x 13 4sin .cos .cos 2 2 e) o o x x sin( 30 ).cos( 30 ) f) 2 sin .sin 5 5 g) x x x 2sin .sin2 .sin3 . h) x x x 8cos .sin2 .sin3 i) x x x sin .sin .cos2 6 6 k) a b b c c a 4cos( ).cos( ).cos( ) Bài 2. Chứng minh: a) x x x x 4cos .cos cos cos3 3 3 b) x x x x 4sin .sin sin sin3 3 3 Áp dụng tính: o o o A sin10 .sin50 .sin70 o o o B cos10 .cos50 .cos70 C 0 0 0 sin20 .sin40 .sin80 D 0 0 0 cos20 .cos40 .cos80 Bài 3. Biến đổi thành tích: a) x 2sin4 2 b) x 2 3 4cos c) x 2 1 3tan d) x x x sin2 sin4 sin6 e) x x 3 4cos4 cos8 f) x x x x sin5 sin6 sin7 sin8 g) x x x 1 sin2 – cos2 – tan2 h) o o x x 2 2 sin ( 90 ) 3cos ( 90 ) BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 21 i) x x x x cos5 cos8 cos9 cos12 k) x x cos sin 1 Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) x x x x A x x x x cos7 cos8 cos9 cos10 sin7 sin8 sin9 sin10 b) x x x B x x x sin2 2sin3 sin4 sin3 2sin4 sin5 c) x x x C x x 2 1 cos cos2 cos3 cos 2cos 1 d) x x x D x x x sin4 sin5 sin6 cos4 cos5 cos6 Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A 2 cos cos 5 5 b) B 7 tan tan 24 24 c) o o o C 2 2 2 sin 70 .sin 50 .sin 10 d) o o o o D 2 2 sin 17 sin 43 sin17 .sin43 e) o o E 1 2sin70 2sin10 f) o o F 1 3 sin10 cos10 g) o o o o o o G tan80 cot10 cot 25 cot 75 tan25 tan75 h) H 0 0 0 0 tan9 tan27 tan63 tan81 ĐS: A 1 2 B 2( 6 3) C 1 64 D 3 4 E = 1 F = 4 G = 1 H = 4 Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 7 13 19 25 sin sin sin sin sin 30 30 30 30 30 ĐS: 1 32 b) o o o o o 16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90 ĐS: 1 c) o o o o cos24 cos48 cos84 cos12 ĐS: 1 2 d) 2 4 6 cos cos cos 7 7 7 ĐS: 1 2 e) 2 3 cos cos cos 7 7 7 ĐS: 1 2 f) 5 7 cos cos cos 9 9 9 ĐS: 0 g) 2 4 6 8 cos cos cos cos 5 5 5 5 ĐS: –1 h) 3 5 7 9 cos cos cos cos cos 11 11 11 11 11 ĐS: 1 2 Bài 7. Chứng minh rằng: a) o o o o tan9 tan27 tan63 tan81 4 b) o o o tan20 tan40 tan80 3 3 c) o o o o tan10 tan50 tan60 tan70 2 3 d) o o o o o 8 3 tan30 tan40 tan50 tan60 .cos20 3 e) o o o o o tan20 tan40 tan80 tan60 8sin40 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 22 f) o o o 6 4 2 tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0 Bài 8. Tính các tổng sau: a) S n k 1 cos cos3 cos5 ... cos(2 1) ( ) b) n S n n n n 2 2 3 ( 1) sin sin sin ... sin . c) n S n n n n 3 3 5 (2 1) cos cos cos ... cos . d) S vôùi a a a a a a a 4 1 1 1 ... , . cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5 e) n S x x x x 5 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 cos cos2 cos3 cos2 ĐS: n S 1 sin2 2sin ; S n 2 cot 2 ; S n 3 cos ; a a S a 4 tan5 tan 1 5 sin ; n x S x 1 5 tan2 tan 2 Bài 9. a) Chứng minh rằng: x x x 3 1 sin (3sin sin3 ) (1) 4 b) Thay n n n n a a a a x vaøo tính S 3 3 1 3 2 (1), sin 3sin ... 3 sin . 3 3 3 3 ĐS: n n n a S a 1 3 sin sin . 4 3 Bài 10. a) Chứng minh rằng: a a a sin2 cos 2sin . b) Tính n n x x x P 2 cos cos ... cos . 2 2 2 ĐS: n n n x P x sin . 2 sin 2 Bài 11. a) Chứng minh rằng: x x x 1 cot cot sin 2 . b) Tính n n S k 1 1 1 1 1 ... (2 ) sin sin2 sin2 ĐS: n S 1 cot cot 2 2 Bài 12. a) Chứng minh rằng: x x x x 2 tan .tan2 tan2 2tan . b) Tính n n n n a a a a a S a 2 2 1 2 2 1 tan .tan 2tan .tan ... 2 tan .tan 2 2 2 2 2 ĐS: n n n a S a tan 2 tan 2 Bài 13. Tính x 2 sin 2 , biết: x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 7 tan cot sin cos ĐS: 8 9 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 23 Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x x cot tan 2tan2 4cot 4 b) x x x x 2 1 2sin 2 1 tan2 1 sin4 1 tan2 c) x x x x 2 6 6 2 1 3tan tan 1 cos cos d) x x x x x x 1 sin2 cos2 tan4 cos4 sin2 cos2 e) x x x x x x tan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6 f) x x x x x sin7 1 2cos2 2cos4 2cos6 sin g) x x x x x x cos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4 Bài 15. a) Cho a b b sin(2 ) 5sin . Ch ứng minh: a b a 2tan( ) 3 tan b) Cho a b a tan( ) 3tan . Chứng minh: a b a b sin(2 2 ) sin2 2sin2 Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) A B C A B C sin sin sin 4cos cos cos 2 2 2 b) A B C A B C cos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2 c) A B C A B C sin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin d) A B C A B C cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos e) A B C A B C 2 2 2 cos cos cos 1 2cos .cos .cos f) A B C A B C 2 2 2 sin sin sin 2 2cos .cos .cos Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết: a) B C vaø B C 1 sin .sin . 3 2 ĐS: B C A , , 2 6 3 b) B C vaø B C 2 1 3 sin .cos . 3 4 ĐS: A B C 5 , , 3 12 4 Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông: a) A B C cos2 cos2 cos2 1 b) A B C tan2 tan2 tan2 0 c) b c a B C B C cos cos sin .sin d) B a c b cot 2 Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân: a) A B a A b B a b tan tan ( ) tan 2 b) B C B C 2 2tan tan tan .tan c) A B A B A B sin sin 1 (tan tan ) cos cos 2 d) C A B C 2sin .sin cot 2 sin Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: a) A B C 3 3 sin sin sin 2 HD: Cộng sin 3 vào VT. b) A B C 3 cos cos cos 2 HD: Cộng cos 3 vào VT. c) A B C tan tan tan 3 3 (với A, B, C nhọn) BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 24 d) A B C 1 cos .cos .cos 8 HD: Biến đổi A B C 1 cos .cos .cos 8 về dạng hằng đẳng thức. Bài 5. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 5 3 cos2 , sin2 , tan2 cos , 13 2 b) khi cos2 , sin2 , tan2 tan 2 c) khi 4 3 sin , cos sin2 , 5 2 2 d) khi 7 cos2 , sin2 , tan2 tan 8 Bài 6. Tính giá trị của biểu thức sau: a) o o o o A cos20 .cos40 .cos60 .cos80 ĐS: 1 16 b) o o o B sin10 .sin50 .sin70 ĐS: 1 8 c) C 4 5 cos .cos .cos 7 7 7 ĐS: 1 8 d) D 0 0 0 cos10 .cos50 .cos70 ĐS: 3 8 e) o o o o E sin6 .sin42 .sin66 .sin78 ĐS: 1 16 f) G 2 4 8 16 32 cos .cos .cos .cos .cos 31 31 31 31 31 ĐS: 1 32 h) o o o o o H sin5 .sin15 .sin25 .... sin75 .sin85 ĐS: 2 512 i) I 0 0 0 0 0 cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80 ĐS: 3 256 k) K 96 3sin .cos .cos cos cos 48 48 24 12 6 ĐS: 9 l) L 2 3 4 5 6 7 cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15 ĐS: 1 128 m) M sin .cos .cos 16 16 8 ĐS: 2 8 Bài 7. Chứng minh rằng: a) n n n a a a a a P a 2 3 sin cos cos cos ... cos 2 2 2 2 2 .sin 2 b) n n Q n n n 2 1 cos .cos ... cos 2 1 2 1 2 1 2 c) n R n n n 2 4 2 1 cos .cos ... cos 2 1 2 1 2 1 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 25 Bài 8. Chứng minh các hệ thức sau: a) x x 4 4 3 1 sin cos cos4 4 4 b) x x x 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8 c) x x x x x 3 3 1 sin .cos cos .sin sin4 4 d) x x x x 6 6 2 1 sin cos cos (sin 4) 2 2 4 e) x x 2 1 sin 2sin 4 2 f) x x x 2 2 1 sin 1 2cot .cos 4 4 g) x x x 1 cos 2 tan . 1 4 2 sin 2 h) x x x 1 sin2 tan 4 cos2 i) x x x cos cot 1 sin 4 2 k) x x x x x x 2 2 2 2 tan 2 tan tan .tan3 1 tan .tan 2 l) x x x tan cot 2cot m) x x x 2 cot tan sin2 n) x x vôùi x 1 1 1 1 1 1 cos cos , 0 . 2 2 2 2 2 2 8 2 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x x x x x 2 2 4 4 2 2 4 sin cos cos tan cos sin sin b) x x x x x 2 (tan2 tan )(sin2 tan ) tan c) x x x x 2 2 6 2cos4 tan cot 1 cos4 d) x x x x x x 1 cos 1 cos 4cot 1 cos 1 cos sin e) x x x x x x 2 2 sin cos 1 sin .cos 1 cot 1 tan f) x x x 0 0 cos cos(120 ) cos(120 ) 0 g) x x x x x 2 cos 2cos 4 tan 2sin 2 sin 4 h) x x x x x 2 2 2 2 3 cot cot 2 2 8 3 cos .cos . 1 cot 2 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 26 i) x x x x 6 6 2 1 cos sin cos2 1 sin 2 4 k) x x x x 4 4 cos sin sin2 2 cos 2 4 Bài 10. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) x x x x 4 4 6 6 3(sin cos ) 2(sin cos ) b) x x x x x x 6 4 2 2 4 4 cos 2sin cos 3sin cos sin c) x x x x 3 cos .cos cos .cos 3 4 6 4 d) x x x 2 2 2 2 2 cos cos cos 3 3 Bài 11. a) Chứng minh: 1 cot cot 2 sin2 . b) Chứng minh: x x x x x x 1 1 1 1 cot cot16 sin2 sin4 sin8 sin16 . Bài 12. a) Chứng minh: tan cot 2cot 2 . b) Chứng minh: n n n n x x x x x 2 2 1 1 1 1 tan tan ... tan cot cot 2 2 2 2 2 2 2 2 . Bài 13. a) Chứng minh: x x x 2 2 2 1 4 1 4cos sin 2 4sin . b) Chứng minh: n n n n x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... sin 4cos 4 cos 4 cos 4 sin 2 2 2 2 . Bài 14. a) Chứng minh: x x x 3 1 sin (3sin sin3 ) 4 . b) Chứng minh: n n n n x x x x x 3 3 1 3 2 1 sin 3sin ... 3 sin 3 sin sin 3 4 3 3 3 . Bài 15. a) Chứng minh: 1 tan2 1 cos2 tan . b) Chứng minh: n n x x x 2 1 1 1 tan2 1 1 ... 1 cos2 tan cos2 cos2 . Bài 16. a) Chứng minh: sin2 cos 2sin . b) Chứng minh: n n n x x x x x 2 sin cos .cos ...cos 2 2 2 2 sin 2 . BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 27 Bài 17. Đơn giản các biểu thức sau: a) o o o o o o o o o A tan3 .tan17 .tan23 .tan37 .tan43 .tan57 .tan63 .tan77 .tan83 b) B 2 4 6 8 cos cos cos cos 5 5 5 5 c) C 11 5 sin .cos 12 12 d) D 5 7 11 sin .sin .sin .sin 24 24 24 24 HD: a) o A tan27 . Sử dụng x x x x 0 0 tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3 . b) B = –1 c) C 1 3 2 4 d) D 1 16 Bài 18. Chứng minh: a) 2 3 1 cos cos cos 7 7 7 2 b) o o 3 2 8sin 18 8sin 18 1 c) 8 4tan 2tan tan cot 8 16 32 32 d) o o 1 1 4 3 cos290 3.sin250 e) o o o o o 8 3 tan30 tan40 tan50 tan60 cos20 3 f) o o o o o 3 1 cos12 cos18 4cos15 .cos21 .cos24 2 g) o o o o tan20 tan40 3.tan20 .tan40 3 h) 3 9 1 cos cos ... cos 11 11 11 2 i) 2 4 10 1 cos cos ... cos 11 11 11 2 Bài 19. a) Chứng minh: x x x x x 1 sin .cos .cos2 .cos4 sin8 8 . b) Áp dụng tính: A 0 0 0 0 sin6 .sin42 .sin66 .sin78 , B 3 5 cos .cos .cos 7 7 7 . Bài 20. a) Chứng minh: x x x 4 3 1 1 sin cos2 cos4 8 2 8 . b) Áp dụng tính: S 4 4 4 4 3 5 7 sin sin sin sin 16 16 16 16 . ĐS: S 3 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Trần Duy Tiến Sưu tầm 28 Bài 21. a) Chứng minh: x x x 1 cos2 tan sin2 . b) Áp dụng tính: S 2 2 2 3 5 tan tan tan 12 12 12 . Bài 22. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: a) 0 0 sin18 , cos18 b) A 2 0 2 0 0 0 cos 18 .sin 36 cos36 .sin18 c) B 2 0 2 0 sin 24 sin 6 d) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin2 .sin18 .sin22 .sin38 .sin42 .sin58 .sin62 .sin78 .sin82 HD: a) 0 5 1 sin18 4 . Chú ý: 0 0 sin54 cos36 0 0 sin(3.18 ) cos(2.18 ) b) A 1 16 c) B 5 1 4 d) C 5 1 1024 . Sử dụng: x x x x 0 0 1 sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3 4 Bài 23. Chứng minh rằng: a) Nếu a b cos( ) 0 thì a b a sin( 2 ) sin . b) Nếu a b b sin(2 ) 3sin thì a b a tan( ) 2tan . Bài 24. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: a) b B c C a B C cos cos cos( ) b) S R A B C 2 2 sin .sin .sin c) S R a A b B c C 2 ( cos cos cos ) d) A B C r R 4 sin sin sin 2 2 2 Bài 25. Chứng minh rằng: a) Nếu B C A B C sin sin sin cos cos thì tam giác ABC vuông tại A. b) Nếu B B C C 2 2 tan sin tan sin thì tam giác ABC vuông hoặc cân. c) Nếu B A C sin 2cos sin thì tam giác ABC cân.
Trang 1Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Góc và cung lượng giác:
* Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R và có số đo bằng 3600
* Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ
* Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn
* Cung có số đo bằng a0 ứng với radian công thức đổi đơn vị là:
0 0
180
a
* Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R. y
* Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này
là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z
Ox đến Oy
*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x
Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một
chiều làm chiều dương (+)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ
* Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là
cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C
* Số đo của góc và cung lượng giác:
sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = + k2
sđAM = a0 + k3600 hoặc sđAM = + k2
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz)
+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK
2 Các công thức lượng giác cơ bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = + k2 (k Z)
Trang 2BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
Ta có: cosOQx, sinOPy, tan AT, cot BS
k
.sin
1cot
1,cos
1tan
2 2
3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau: - và :
cos(-) = cos, sin(-) = - sin, tan(-) = - tan, cot(-) = - cot
+ và :
sin = cos, cos = - sin, tan = - cot, cot = - tan
Trang 34 Các công thứ lượng giác khác:
* Công thức cộng:
cos( + ) = coscos – sinsin, sin( + ) = sincos + cossin cos(– ) = coscos + sinsin, sin(– ) = sincos – cossin tan( + ) =
tantan
tantan
* Công thức nhân đôi:
cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 – 2sin2;
sin2 = 2sincos; tan2 =
tan1
tan2
;2
2cos1cos
;2sin2
* Công thức biến đổi tích thành tổng:
2
1cossin
;)cos(
)cos(
2
2
sin2sin
2
2
sin2cos
2
I Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1 Định nghĩa các giá trị lượng giác
sintan
coscot
Trang 4BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
tan xác định khi k ,k Z
2
cot xác định khi k ,kZ
sin(k2 ) sin tan(k )tan
cos(k2 ) cos cot(k )cot
2 Dấu của các giá trị lượng giác
3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
3
32
1
12
cos() cos sin( )sin sin cos
Trang 5II Công thức lượng giác
1 Công thức cộng
2 Công thức nhân đôi
sin22sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 2
3 Công thức biến đổi tổng thành tích
sin(a b )sin cosa bsin cosb a
sin(a b ) sin cosa bsin cosb a
cos(a b ) cos cosa bsin sina b
cos(a b ) cos cosa bsin sina b
tan tantan( )
2
1 cos2cos
2
1 cos2tan
3 2
sin3 3sin 4sincos3 4cos 3cos
3tan tantan3
Trang 6BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
4 Công thức biến đổi tích thành tổng
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết
I Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1 Cho biết sin , tính cos , tan , cot
Từ sin2cos21 cos 1 sin 2
– Nếu thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos 1 sin 2 – Nếu thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos 1 sin 2
2 Cho biết cos , tính sin , tan , cot
Từ sin2cos21 sin 1 cos 2
– Nếu thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin 1 cos 2 – Nếu thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin 1 cos 2
21sin cos sin( ) sin( )
Trang 73 Cho biết tan , tính sin , cos , cot
Tính sintan cos
4 Cho biết cot , tính sin , cos , tan
II Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A2B2 (A B )22AB A4B4(A2B2 2) 2A B2 2
A3B3(A B A )( 2AB B 2) A3B3(A B A )( 2AB B 2)
IV Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình
Đặt tsin2x, 0 t 1 cos2xt Thế vào giả thiết, tìm được t
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính
Thiết lập phương trình bậc hai: t2StP0 với S x y P ; xy Từ đó tìm x, y
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết)
VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
Trang 8BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
sin(a b )sin cosa b sin cosb a
sin(a b )sin cosa bsin cosb a
cos(a b )cos cosa bsin sina b
cos(a b ) cos cosa b sin sina b
tan tantan( )
sin22sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 2
VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1 Công thức biến đổi tổng thành tích
2 Công thức biến đổi tích thành tổng
cos cos 2cos cos
2
1 cos2cos
2
1 cos2tan
3 2
sin3 3sin 4sincos3 4cos 3cos
3tan tantan3
Trang 9 c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b)
2 Xác định điểm cuối M của cung lượng giác biết cos 0,5 Tìm miền giá trị của sin, tan và cot
3 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x; b) sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x;
x;
tan tanx)-2x tanx)(sin-
(tan2x d)
;cosx1
sinxsinx
2cos4x 6
x cot
x tang) x;
tanxsin
x sin-
x cos
xcos
x cosxsin
4 2
x cos32x
x 2cos
1cosx cos2x cos3x
C
; tanx)x(1coscotx)x(1sinB
;sinx
1-
x 2cos
cosx-1cosx1E
; xsin
cosx)-(11sinx
cosx1
cos2aa
cos
sin4asin3a
sin2asina
)-)sin(asin(a
)cos(-1882520
sin2tan368
1
0 0
cosx1
5 Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + + sinna;
S2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + + cosna
1
21
21sin cos sin( ) sin( )
Trang 10BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
6 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:
A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);
B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x;
3
3
x cos6
x cos4
x cos3-
x cos
x sinE
; x-3
2cos3
2
x cos
x cos
8 8 2
2 2
x x
ysin-
x cos
2 2
3.cos7cos
sina-tana
c) Biết tana + cota = m, ,
2a
11.sin24
7.sin24
5.sin24sinB
;12
5.cos12
11sin
C = cos100.cos500.cos700; D = cos200.cos400.cos800
E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400
F = sin100.sin500.sin700;
12
5 tan12 tan
H = tan50tan550tan650
H = tan90 – tan270 – tan630 + tan810; I = cos100cos200cos300 cos800
;7
3cos7
2cos-7cos
5sin12
7sin12
5cos
10 Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
.2
ACtan2
A-Ctanac
a-c
;2
CBtan2
C-Btancb
c-b
;2
B
A tan2
B-
A tanba
b-a
c)bsin(a
b) tana.tan3a;
a2a.tan tan
-1
a tan-2atan
2 2
2 2
bacoscos
b)-b)sin(asin(a
b tan-a tan
Trang 11cos4x 4
14
3
x cos
x sinf)
;sinacosa
sina-cosasin2a1
cos2ae)
0;
2
3-cos4x2
1-2cos2x -
x4cos
3.sin80.sin40sin20h) 0;
9
7cos9
5cos9
y)cos(x
điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì
22y
13 CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana
14 CMR: trong mọi ABC ta đều có:
a) sinA + sinB + sinC = ;
2
Ccos2
Bcos2
A4cos
;2
Csin2
Bsin2
A4sin1cosCcosBcosA
c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
d) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC;
e) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC;
f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)
2
C.cot2
B.cot2
Acot2
Ccot2
Bcot2
Acotc)-(b2
Ccotb)
-(a
;2
Csin2
Bsin2
A4Rsin
r
2
A.tan2
C tan2
C.tan2
B tan2
B.tan2
A tan
;2
C.cos2
Bcos
2
Ap.sina
sinC
B)-sin(A c
b-a p) 2
2 2
2
C.tan2
B.tan2
Ap.tan
r q)
;2
Asin
2
C.sin2
Basin
B.cos2
A4cos
pR
2
Csin2
Bsin2
Asin4R
r )
cosC;
cosBcosA R
r1
R
2pr
;2
C tan2
B tan2
A tanp
r4R
w) x) (b2-c2)cotA (c2-a2)cotB(a2-b2)cotC0;
;B)-2sin(A
)sinAsinBb
(aS
-y)
2 2
4
1S
15 CMR: trong mọi ABC ta đều có:
Trang 12BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
; b) p p-a p-b p-c 3p;
abc
RcbacotCcotBcotA
a)
2 2 2
1b
1a
12c-p
1b-p
1a
d) Nếu a4 = b4 + c4 thì 2sin2A = tanB.tanC
16 Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
.c-b-a
c-baa
4
3sinBsinC
c)
;13cosBC)
A cos(
aa-cb
a-cb b)2;
c-b-aa
4
1cosBcosC
e)
;aa-cb
a-cb
a2bcosC
2 2
3 3 3
;8
1sCcosAcosBco
i)
;2
C2cot tanB tanA h)
;cosCcosB
sinCsinBsinA
sinCsinBsinA
17 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
18 Chứng minh ABC vuông khi:
tanA
cosAsinB
cosBsinA c)
;b
ca2
Bcot b)
;sinBsinC
acosC
ccosB
Csin2
Bsin22ph f) sin2B;
a4
1Se)
;a
2bcC)-cos(B
19 Chứng minh rằng ABC là vuông hoặc cân khi:
a
c-bC)-sin(B b)
;2
B-C tanbc
b-c
2 2
;2
B
A b)tan(a
b.tanBa.tanA
1Bsin
A sin
Bcos
A cos d) B);
tan(A 2
1cosBcosA
sinBsinA
2 2
2 2
2sinAsinB2
Ccot f)
;2
CsinB)cot(sinA
cos
BsincosA
Asin
e)
2 2
;2
Bptan2
Ccotb)-(p h)
;2
Acos2
Bsin2
Bcos2
asin(B l) btanB);
-(atanA 2
C tanba k)
;c-4a
c2asinB
Trang 13a) (b2 + c2)sin(C - B) = c2 – b2)sin(C + B); ;
tanC
tanBC
sin
Bsin b) 2
2
.cos2B-1
C)-cos(B-12
b
c)-(b d)
;sinA
sinBcosC2cosB
cosC2cosA
22 CMR: ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C;
b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0;
c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2); h 3
2
acb d) a
23 Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0;
c) a3 = 3 + c3; d) sin2A + sin2B + sin2C 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B
2;
cotB)cotA)(1
(1
f) g) sin2A + sin2B = 5sin2C;
h) A, B, C là nghiệm của phương trình:
3
322
x tan-tanx
24 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y sinx cosxcosx sinx
(ĐH An ninh 1998)
25 CMR: nếu ba góc A, B, C của ABC thỏa điều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì A, , C đều là ba góc nhọn (ĐH An ninh 1998)
26 Cho ABC có các góc thỏa 1
2
B tan2
A
2
C tan4
Acot (ĐH Cần thơ 1998)
29 CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác
đều có diện tích lớn nhất (ĐH Công đoàn 1998)
30 Cho ABC CMR:
4S
cbacotCcotBcotA
2 2 2
31 Cho ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = 3cosA + 2(cosB + cosC) (ĐH Luật Hà nội 1998)
32 Cho ABC CMR:
c
b-asinC
B)-sin(A
2
2 2
(ĐH Ngoại ngữ 1998)
33 CMR: trong mọi AC ta đều có:
2
C.cot2
B.cot2
Acot2
C tan2
B tan2
Atan2
1sinC
1sinB
1sinA
Trang 14BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
2sinCsinBsinA
ac
Ccos3
Bcos 3
Acos4
38
33
Ccos3
Bcos3
(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
36 a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:
.2
Csin12
Bsin12
Asin
1cosC
1cosB
1cosA
37 CMR: điều kiện cần và đủ để ABC đều là có hệ thức:
cotA cotB cotC 3.-
sinC
1sinB
1sinA
38 CMR: Điều kiện cần và đủ để ABC vuông là:
1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0 (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999)
39 ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC)
CMR: ABC là tam giác đều (ĐH Dược Hà nội 1999)
40 CMR: nếu ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b)
2
B
A tan thì ABC cân
(ĐH Hàng hải 1999)
41 Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot4a + cot4b + 2tan2a.tan2b + 2
(ĐH Giao thông vận tải 1999)
Bài 1 Xác định dấu của các biểu thức sau:
Trang 15Bài 4 Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sinAsinBsinC b) B = sin sin sinA B C
ĐS: 556
32
Bài 3 Cho sina cosa 5
4
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) Asin cosa a b) Bsinacosa c) Csin3acos3a
ĐS: a) 9
74
128
Bài 4 Cho tanacota3 Tính giá trị các biểu thức sau:
a) Atan2acot2a b) Btanacota c) Ctan4acot4a
Trang 16BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
b) Cho 3sin4x cos4x 1
Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau:
a) A cos x cos(2 x) cos(3 x)
c) Ccos200cos400cos600 cos160 0cos1800 ĐS: C 1
d) Dcos 102 0cos 202 0cos 302 0 cos 180 2 0 ĐS: D9
e) Esin200sin 400sin600 sin340 0sin3600 ĐS: E0
f) 2sin(7900x) cos(1260 0x) tan(630 0x).tan(12600x) ĐS: F 1 cosx
Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4xcos4x 1 2cos2x
b) sin4xcos4x 1 2cos2x.sin2x
c) sin6xcos6x 1 3sin2x.cos2x
Trang 17e) cot2xcos2x cos2x.cot2x
f) tan2xsin2xtan2x.sin2x
g) 1 sin xcosxtanx (1 cos )(1 tan ) x x
h) sin2x.tanxcos2x.cotx2sin cosx x tanxcotx
sin cos 1 2 cos
1 cos sin cos 1
2
2 2
sin cos cos sin 1 cot
tan tan sin sin
Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:
a) (1 sin 2x) cot2x 1 cot2x b) (tanxcot )x2(tanxcot )x2
cos cos cot
sin sin tan
Bài 5 Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a) 3(sin4xcos4x) 2(sin 6xcos6x) ĐS: 1
b) 3(sin8xcos8x) 4(cos 6x2sin6x) 6sin 4x ĐS: 1
c) (sin4xcos4x1)(tan2xcot2x2) ĐS: –2
Trang 18BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) sinBsin(A C ) b) cos(A B ) cosC
Bài 2 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) tan khi sin 3,
Bài 3 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A = sin 202 osin 1002 osin 1402 o ĐS: 3
2b) B = cos 102 ocos110ocos 1302 o ĐS: 3
2c) C = tan20 tan80o otan80 tan140o otan140 tan20o o ĐS: –3
d) D = tan10 tan70o otan70 tan130o otan130 tan190o o ĐS: –3
Trang 19Bài 4 Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin(xy).sin(x y )sin2xsin2y
2sin( )tan tan
1 tan 2 tan
Bài 5 Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a) 2 tanatan(a b khi ) sinbsin a cos a b( )
b) 2 tanatan(a b khi ) 3sinbsin(2a b )
c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2cos(a b)
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) sinCsin cosA Bsin cosB A
c) tanAtanBtanCtan tan tanA B C A B C( , , 90 )0
d) cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1
Trang 20BÀI ƠN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
Bài 7 Cho tam giác A, B, C Chứng minh:
a) tanAtanBtanC 3 3, ABC nhọn
b) tan2Atan2Btan2C 9, ABC nhọn
c) tan6Atan6Btan6C 81, ABC nhọn
Bài 1 Biến đổi thành tổng:
a) 2sin(a b ).cos(a b ) b) 2 cos(a b ).cos(a b )
x
134sin cos cos
g) 2sin sin 2 sin3 x x x h) 8cos sin 2 sin3x x x
i) sin x sin x cos2x
Asin10 sin50 sin70 B cos10 cos50 cos70o o o
Csin20 sin 40 sin800 0 0 Dcos20 cos40 cos800 0 0
Bài 3 Biến đổi thành tích:
a) 2sin 4x 2 b) 3 4cos 2x
c) 1 3tan 2x d) sin2xsin 4xsin6x
e) 3 4 cos4 xcos8x f) sin5xsin6xsin 7xsin8x