Cực trị hình học

b Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất.. b Chứng minh: PΑMN≥BC.c Tìm vị trí của điểm M và điểm N để chu vi tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất.. Tìm vị trí các

Phần 1:

Vận dụng quan hệ đường xiên – đường vuông góc ;

đường xiên – hình chiếu và qui tắc các điểm (bất đẳng thức tam giác)

-o0o -Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn ,đường cao AH Điểm M di động

trên cạnh BC

a) Chứng minh : AM AH.≥

b) Tìm vị trí của điểm M để AM cĩ độ dài ngắn nhất

Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC),đường cao AH Điểm M

di động trên cạnh BC

a) Chứng minh: AM AB≤

b) Tìm vị trí của điểm M để AM cĩ độ dài lớn nhất

Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC),đường cao AH Điểm M

di động trên cạnh BC

a) Tìm vị trí của điểm M để AM cĩ độ dài nhỏ nhất

b) Tìm vị trí của điểm M để AM cĩ độ dài lớn nhất

Bài 2 (8): Cho tam giác ABC cĩ AB 6 cm; AC 8cm; BC 10cm= = = và đường cao AH Điểm M di động trên cạnh BC, kẻ ME⊥ABtại E và

MF⊥ACtại F

a) Chứng minh: ABC∆ vuơng tại A và tính AH

b) Chứng minh: tứ giác AEMF là hình chữ nhật và EF AM= c) Chứng minh: EF AH≥

d) Tìm vị trí của điểm M để EF cĩ độ dài nhỏ nhất

Bài 3 (9): Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Điểm M di động

trên nửa đường trịn, kẻ MH vuơng gĩc với AB tại H

a) Chứng minh: MH R.≤

b) Tìm vị trí của điểm M để MH cĩ độ dài lớn nhất

c) Tìm vị trí của điểm M để S∆AMBđạt giá trị lớn nhất.

Bài (9): Cho đường trịn (O;R) và điểm A cố định nằm ngồi đường

trịn Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C Gọi I là trung điểm BC

a) Chứng minh: AB AC 2.AI+ = và AI AO.≤

b) Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất

Bài 4 (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M di

động trên nửa đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn

và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D, cắt By tại E

a) Chứng minh: DE AD BE= + và DE AB≥

b) Chứng minh: tam giác DOE vuông tại O và AD.BE R= 2 c) Tìm vị trí của điểm M để AD BE+ đạt giá trị nhỏ nhất d) Tìm vị trí của điểm M để SABED đạt giá trị nhỏ nhất.

e) Tìm vị trí của điểm M để S∆ODE đạt giá trị nhỏ nhất.

f) Tìm vị trí của điểm M để OD.OE đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB AC< ) và đường cao AH Điểm M di động trên cạnh BC Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại I và K

a) Chứng minh: BI CK BC.+ ≤

b) Tìm vị trí của điểm M để BI CK+ đạt giá trị lớn nhất

Bài 6 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB AC< ) và đường cao AH Điểm M di động trên cạnh BC

a) Chứng minh: AH AM AC.≤ ≤

b) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất

c) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất

Bài 7 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB AC< ) có đường cao AH và

BL Điểm M di động trên cạnh BC Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại I và K

a) Chứng minh: BI CK 2S ABC

AM

∆

+ = b) Chứng minh: AH AM AC.≤ ≤

c) Chứng minh: BL BI CK BC.≤ + ≤

d) Tìm vị trí của điểm M để BI CK+ đạt giá trị nhỏ nhất e) Tìm vị trí của điểm M để BI CK+ đạt giá trị lớn nhất

Bài 8 (8): Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC> ) có đường cao AH và

CK Điểm M di động trên cạnh BC Kẻ BD và CE lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại D và E

2

a) Chứng minh: BD CE 2S ABC

AM

∆

+ = b) Chứng minh: AH AM AB.≤ ≤

c) Chứng minh: CK BD CE BC.≤ + ≤

d) Tìm vị trí của điểm M để BD CE+ đạt giá trị nhỏ nhất e) Tìm vị trí của điểm M để BD CE+ đạt giá trị lớn nhất

Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo

AC và BD Đường thẳng d quay quanh điểm A nhưng không cắt các cạnh của hình bình hành Kẻ BB ,CC ,DD ,OO lần lượt vuông góc 1 1 1 1

với đường thẳng d tại B ,C ,D ,O 1 1 1 1

a) Chứng minh: BB1+CC1+DD1=4.OO 1

b) Tìm vị trí của đường thẳng d để BB1+CC1+DD1đạt giá trị

lớn nhất

Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo

AC và BD và một điểm I cố định nằm ngoài hình bình hành Đường thẳng d quay quanh điểm I nhưng không cắt các cạnh của hình bình hành Kẻ AA ,BB ,CC , DD ,OO lần lượt vuông góc với đường thẳng 1 1 1 1 1

d tại A , B ,C ,D ,O 1 1 1 1 1

a) Chứng minh: AA1+BB1+CC1+DD1=4.OO 1

b) Tìm vị trí của đường thẳng d để

AA +BB +CC +DD +OO đạt giá trị lớn nhất

Bài (8): Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R Điểm M di động

trên nửa đường tròn, qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn Gọi C và

D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy

a) Chứng minh: AC BD 2R.+ =

b) Chứng minh: CD 2R.≤

c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị lớn nhất

Bài (8): Cho đường tròn (O) và dây cung AB không qua tâm O Điểm

M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn Gọi

C và D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy

a) Chứng minh: 0 CD AB≤ ≤

b) Tìm vị trí của điểm M để CD cĩ độ dài lớn nhất.

c) Tìm vị trí của điểm M để CD cĩ độ dài nhỏ nhất

Bài (8): Cho đường trịn (O) và dây cung AB khơng qua tâm O Điểm

M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường trịn Gọi I

là trung điểm của AB.Kẻ AC,BD,IE lần lượt vuơng gĩc với tiếp tuyến

ấy tại C,D,I

a) Chứng minh: 0 CD AB≤ ≤

b) Chứng minh: IE IM R OI.≤ ≤ +

c) Tìm vị trí của điểm M để SACDBđạt giá trị lớn nhất.

d) Tìm vị trí của điểm M để SACDBđạt giá trị nhỏ nhất.

Bài (9): Cho đường trịn (O;R) và điểm A cố định nằm ngồi đường

trịn Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C Gọi I là trung điểm BC

b) Chứng minh: AB AC 2.AI+ = và AI AO.≤

c) Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất

-Qui tắc các

điểm -Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định nằm ở hai nửa mặt phẳng khác

nhau cĩ bờ là đường thẳng d cố định Điểm M di động trên đường thẳng d

a) Chứng minh: MA MB AB.+ ≥

b) Tìm vị trí của điểm M để MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định cùng nằm ở một nửa mặt

phẳng cĩ bờ là đường thẳng d cố định Điểm M di động trên đường thẳng d.Gọi C là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d

a) Chứng minh: MA MB BC+ ≥

b) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài (8): Cho điểm A cố định nằm trong gĩc xOy cố định Gọi B và C

lần lượt là các điểm đối xứng của A qua các tia Ox và Oy Điểm M di động trên Ox, điểm N di động trên Oy.Kí hiệu: PΑMNlà chu vi tam giác

AMN

a) Chứng minh: PΑMN=BM MN NC+ +

4

b) Chứng minh: PΑMN≥BC.

c) Tìm vị trí của điểm M và điểm N để chu vi tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất

Bài (9): Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, C là điểm cố định nằm

giữa A và O Điểm M di động trên đường tròn (O)

a) Chứng minh: R OC CM R OC.− ≤ ≤ +

b) Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài lớn nhất

c) Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài nhỏ nhất

Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) ngoài nhau Gọi P,Q,R,S

lần lượt là giao điểm của đường thẳng OO’ với (O) và (O’) (theo thứ tự P,O,Q,R,O’,S) Điểm A di động trên (O), điểm B di động trên (O’)

a) Chứng minh: AB R OO' R suy ra AB PS.≤ + + ≤

b) Chứng minh: AB OO' R R 'suy ra AB QR.≥ − − ≥

c) Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài lớn nhất d) Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài nhỏ nhất

Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm Điểm

M di động trên cung lớn AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của đoạn AB

a) Chứng minh: MH MI R OI.≤ ≤ +

b) Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất

c) Tìm vị trí của điểm M để S∆AMBđạt giá trị lớn nhất.

Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm Điểm

M di động trên cung nhỏ AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của đoạn AB và K là giao điểm của OM và AB

a) Chứng minh: MH MK R OI.≤ ≤ −

b) Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất

c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất

Bài (8): Cho hình vuông ABCD M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ giác

MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn QM,MP,PN

a) Chứng minh:QM MN NP PQ 2 AH HI IK KC+ + + = ( + + + )

b) Chứng minh: QM MN NP PQ 2AC.+ + + ≥

c) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ cĩ chu

vi nhỏ nhất

Bài (8): Cho hình vuơng ABCD cạnh a M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ

giác MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA

a) Chứng minh: QM MN NP PQ 2 2.a.+ + + ≥

b) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ cĩ chu

vi nhỏ nhất

Bài (8): Cho hình chữ nhật ABCD D,E,G,H là bốn đỉnh của tứ giác

DEGH lần lượt di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA

a) Chứng minh: DE EG GH HD 2.AC.+ + + ≥

b) Tìm điều kiện của tứ giác DEGH để tứ giác DEGH cĩ chu

vi nhỏ nhất

Bài (8): Cho tam giác ABC cĩ µ(A 120< 0) và một điểm M nằm trong tam giác.Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B cĩ bờ là đường thẳng AM dựng tam giác đều AMD và trên nửa mặt phẳng khơng chứa B cĩ bờ là đường thẳng AC dựng tam giác đều ACE

a) Chứng minh: MC DE.=

b) Chứng minh: MA MB MC BE.+ + ≥

c) Tìm vị trí của điểm M để MA MB MC+ + đạt giá trị nhỏ nhất

-o0o -Vận dụng bất đẳng thức trong

đường tròn.

***

Bài (9): Cho đường trịn tâm O đường kính AB và điểm M di động trên

đường trịn Tìm vị trí của điểm M để độ dài AM đạt giá trị lớn nhất

6

Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD vuông

góc với AB Tìm điều kiện của dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định CD là dây

cung di động nhưng luôn vuông góc với AB Tìm điều kiện của dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AC cố định Điểm B di

động trên cung lớn AB, điểm D di động trên cung nhỏ AB Tìm vị trí các điểm B và D để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và hai dây cung AC và BD vuông

góc với nhau Tìm điều kiện của hai dây cung AB và CD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và tứ giác ABCD nội tiếp trong

đường tròn Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Điểm M di

động trên cung nhỏ BC Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho MD MB.=

a) Chứng minh: BMD∆ là tam giác đều và MB MC MA.+ =

b) Tìm vị trí của điểm M để MA MB MC+ + đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C di động

trên nửa đường tròn Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho

CD CB.=

a) Tính ·ADB và chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định

b) Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để AD đạt giá trị lớn nhất

c) Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB R 3= cố định Điểm

C di động trên cung lớn AB Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho

CD CB.=

a) Tính ·ACB và ·ADB

b) Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định c) Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để AD đạt giá trị lớn nhất

d) Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB R 3= cố định Điểm

C di động trên cung nhỏ AB Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho

CD CB.=

a) Tính ·ACB và ·ADB

b) Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định c) Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để AD đạt giá trị lớn nhất

d) Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định Gọi C là điểm

chính giữa cung nhỏ AB Điểm M di động trên cung lớn AB

a) Chứng minh: MA.CB MB.CA MC.AB+ = (đẳng thức Ptolémée)

b) Tìm vị trí của điểm M để MA MB+ đạt giá trị lớn nhất c) Tìm vị trí của điểm M để MA MB MC+ + đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và tứ giác ABCD nội tiếp trong đường

tròn

a) Chứng minh: AB.CD AD.BC AC.BD.+ = (đẳng thức

Ptolémée)

b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để AB.CD AD.BC+ đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B Kẻ

đường kính BC của (O) và đường kính BD của (O’) Một đường thẳng quay quanh A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N

a) Chứng minh: A,C,D thẳng hàng

b) Chứng Vminh: hai tam giác BMN và BCD đồng dạng c) Tìm vị trí của đường thẳng d để chu vi tam giác BMN đạt giá trị lớn nhất

8

Vận dụng bất đẳng thức đại số

***

Bài (*): Chứng minh các bất đẳng thức đại số sau và tìm dấu bằng xảy

ra:

a) ( 2 2) ( )2

2 a +b ≥ +a b ≥4ab với mọi a,b

b) x y 2 xy+ ≥ với x 0; y 0.≥ ≥

c) a b+ ≤ + ≤a b 2 a( 2+b2) với mọi a,b

d) x y 2

y x+ ≥ với x.y 0.>

e) x y z 3

y z+ + ≥x với x, y,z 0.>

f) 1 1 4

x+ ≥y x y

+ với x 0, y 0.> >

g) 1 1 1 9

x+ + ≥y z x y z

+ + với x, y,z 0.>

h) x y z 3 x.y.z+ + > 3 với x, y,z 0.>

Bài (8): Cho đoạn thẳng AB 20= và điểm M di động trên đoạn AB

a) Chứng minh: MA.MB 100.≤

b) Tìm vị trí của điểm M để MA.MB đạt giá trị lớn nhất c) Chứng minh: 200 MA≤ 2+MB2≤400

d) Tìm vị trí của điểm M để MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất e) Tìm vị trí của điểm M để MA2+MB2 đạt giá trị lớn nhất

Bài (8): Cho đoạn thẳng AB 2= và điểm M di động trên đoạn AB

(M A;M B≠ ≠ )

a) Chứng minh: 1 1 4

MA MB+ ≥ AB

b) Tìm vị trí của điểm M để 1 1

MA MB+ đạt giá trị giá trị nhỏ nhất

Bài (8): Cho đoạn thẳng AB và điểm M di động trên đoạn AB

(M A;M B≠ ≠ )

a) Chứng minh: MA MB 2

MB MA+ ≥ b) Tìm vị trí của điểm M để MA MB

MB MA+ đạt giá trị giá trị nhỏ nhất

Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Điểm M di động

trên nửa đường tròn

a) Chứng minh: MA2+MB2 =4R 2

b) Chứng minh: MA MB 2 2.R+ ≤

c) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Điểm M di động

trên nửa đường tròn

a) Chứng minh: MA2+MB2 =4R 2

b) Chứng minh: MA+ 3.MB 4R≤

c) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất

Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M di động

trên nửa đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D, cắt By tại E

a) Chứng minh:AD.BE R= 2

b) Chứng minh: AD BE 2R.+ ≥

c) Tìm vị trí của điểm M để AD BE+ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài (8): Cho góc ·xOy 90= 0.Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA OB 2a+ = (không đổi)

a) Chứng minh: AB≥ 2.a

10

b) Tìm vị trí của điểm A và điểm B để chu vi tam giác AOB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài (9): Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định Điểm M di động

trên cung lớn AB Gọi H là trực tâm và K là chân đường cao vẽ từ đỉnh

M của tam giác AMB

a) Chứng minh: MK.HK KA.KB.=

b) Chứng minh: KA.KB AB2

4

≤ c) Tìm vị trí của điểm M để MK.HK đạt giá trị lớn nhất

Bài (8): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M thuộc miền

trong tam giác Kẻ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB tại D,E,F

a) Chứng minh: BD2+CE2+AF2=CD2+AE2+BF2

(AM2 BM2 CM2) (MD2 ME2 MF2)

b) Chứng minh: 2 2 BC2

BD CD

2

c) Chứng minh: 2 2 2 1( 2 2 2)

4

d) Tìm vị trí của điểm M để BD2+CE2+AF2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài (8): Cho tam giác nhọn ABC và điểm O nằm trong tam giác Các

đường thẳng AO,BO,CO lần lượt cắt các cạnh BC,CA,AB tại D,E,F Đặt S∆BOC=S ,S1 ∆COA =S ,S2 ∆AOB =S ,S3 ∆ABC =S

+

+ b) Chứng minh: OD OE OF 1

AD BE CF+ + = và AO BO CO 2

AD BE+ + CF = c) Chứng minh: AO BO CO 6

OD OE+ + OF ≥ Dấu “=” xảy ra khi nào?