Cực trị hình học

Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG Phần 1: Vận dụng quan hệ đường xiên – đường vuông góc ; đường xiên – hình chiếu và qui tắc các điểm (bất đẳng thức tam giác) o0o Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn ,đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. a) Chứng minh : AM AH.≥ b) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài ngắn nhất. Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC),đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. a) Chứng minh: AM AB≤ . b) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất. Bài 1 (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC),đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. a) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất. b) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất. Bài 2 (8): Cho tam giác ABC có AB 6cm;AC 8cm;BC 10cm= = = và đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC, kẻ ME AB⊥ tại E và MF AC ⊥ tại F. a) Chứng minh: ABC∆ vng tại A và tính AH. b) Chứng minh: tứ giác AEMF là hình chữ nhật và EF AM= . c) Chứng minh: EF AH≥ . d) Tìm vị trí của điểm M để EF có độ dài nhỏ nhất. Bài 3 (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động trên nửa đường tròn, kẻ MH vng góc với AB tại H. a) Chứng minh: MH R. ≤ b) Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất. c) Tìm vị trí của điểm M để AMB S ∆ đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngồi đường tròn. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C. Gọi I là trung điểm BC. a) Chứng minh: AB AC 2.AI+ = và AI AO.≤ b) Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất. 1 Cöïc trò hình hoïc Bài 4 (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M di động trên nửa đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D, cắt By tại E. a) Chứng minh: DE AD BE= + và DE AB≥ . b) Chứng minh: tam giác DOE vuông tại O và 2 AD.BE R= . c) Tìm vị trí của điểm M để AD BE+ đạt giá trị nhỏ nhất. d) Tìm vị trí của điểm M để ABED S đạt giá trị nhỏ nhất. e) Tìm vị trí của điểm M để ODE S ∆ đạt giá trị nhỏ nhất. f) Tìm vị trí của điểm M để OD.OE đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5 (8): Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC < ) và đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại I và K. a) Chứng minh: BI CK BC.+ ≤ b) Tìm vị trí của điểm M để BI CK+ đạt giá trị lớn nhất. Bài 6 (8): Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC < ) và đường cao AH. Điểm M di động trên cạnh BC. a) Chứng minh: AH AM AC.≤ ≤ b) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất. c) Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài lớn nhất. Bài 7 (8): Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC < ) có đường cao AH và BL. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BI và CK lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại I và K. a) Chứng minh: ABC 2S BI CK AM ∆ + = b) Chứng minh: AH AM AC.≤ ≤ c) Chứng minh: BL BI CK BC. ≤ + ≤ d) Tìm vị trí của điểm M để BI CK+ đạt giá trị nhỏ nhất. e) Tìm vị trí của điểm M để BI CK + đạt giá trị lớn nhất. Bài 8 (8): Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC> ) có đường cao AH và CK. Điểm M di động trên cạnh BC. Kẻ BD và CE lần lượt vuông góc với đường thẳng AM tại D và E. 2 Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG a) Chứng minh: ABC 2S BD CE AM ∆ + = b) Chứng minh: AH AM AB.≤ ≤ c) Chứng minh: CK BD CE BC. ≤ + ≤ d) Tìm vị trí của điểm M để BD CE+ đạt giá trị nhỏ nhất. e) Tìm vị trí của điểm M để BD CE + đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng d quay quanh điểm A nhưng không cắt các cạnh của hình bình hành. Kẻ 1 1 1 1 BB ,CC ,DD ,OO lần lượt vuông góc với đường thẳng d tại 1 1 1 1 B ,C ,D ,O . a) Chứng minh: 1 1 1 1 BB CC DD 4.OO .+ + = b) Tìm vị trí của đường thẳng d để 1 1 1 BB CC DD+ + đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD và một điểm I cố định nằm ngoài hình bình hành. Đường thẳng d quay quanh điểm I nhưng không cắt các cạnh của hình bình hành. Kẻ 1 1 1 1 1 AA ,BB ,CC ,DD ,OO lần lượt vuông góc với đường thẳng d tại 1 1 1 1 1 A ,B ,C ,D ,O . a) Chứng minh: 1 1 1 1 1 AA BB CC DD 4.OO .+ + + = b) Tìm vị trí của đường thẳng d để 1 1 1 1 1 AA BB CC DD OO+ + + + đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Điểm M di động trên nửa đường tròn, qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi C và D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy. a) Chứng minh: AC BD 2R.+ = b) Chứng minh: CD 2R. ≤ c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho đường tròn (O) và dây cung AB không qua tâm O. Điểm M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn. Gọi C và D lần lượt là hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy. a) Chứng minh: 0 CD AB≤ ≤ . 3 Cực trò hình học b) Tìm vị trí của điểm M để CD có độ dài lớn nhất. c) Tìm vị trí của điểm M để CD có độ dài nhỏ nhất. Bài (8): Cho đường tròn (O) và dây cung AB khơng qua tâm O. Điểm M di động trên cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn. Gọi I là trung điểm của AB.Kẻ AC,BD,IE lần lượt vng góc với tiếp tuyến ấy tại C,D,I. a) Chứng minh: 0 CD AB≤ ≤ . b) Chứng minh: IE IM R OI. ≤ ≤ + c) Tìm vị trí của điểm M để ACDB S đạt giá trị lớn nhất. d) Tìm vị trí của điểm M để ACDB S đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngồi đường tròn. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B và C. Gọi I là trung điểm BC. b) Chứng minh: AB AC 2.AI+ = và AI AO.≤ c) Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất. Qui tắc các điểm Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là đường thẳng d cố định. Điểm M di động trên đường thẳng d. a) Chứng minh: MA MB AB.+ ≥ b) Tìm vị trí của điểm M để MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho A và B là hai điểm cố định cùng nằm ở một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d cố định. Điểm M di động trên đường thẳng d.Gọi C là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d. a) Chứng minh: MA MB BC + ≥ . b) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho điểm A cố định nằm trong góc xOy cố định. Gọi B và C lần lượt là các điểm đối xứng của A qua các tia Ox và Oy. Điểm M di động trên Ox, điểm N di động trên Oy.Kí hiệu: MN P Α là chu vi tam giác AMN. a) Chứng minh: MN P BM MN NC Α = + + . 4 Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG b) Chứng minh: MN P BC. Α ≥ c) Tìm vị trí của điểm M và điểm N để chu vi tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, C là điểm cố định nằm giữa A và O. Điểm M di động trên đường tròn (O). a) Chứng minh: R OC CM R OC.− ≤ ≤ + b) Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài lớn nhất. c) Tìm vị trí của điểm M để CM có độ dài nhỏ nhất. Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) ngoài nhau. Gọi P,Q,R,S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OO’ với (O) và (O’) (theo thứ tự P,O,Q,R,O’,S). Điểm A di động trên (O), điểm B di động trên (O’). a) Chứng minh: AB R OO' Rsuyra AB PS.≤ + + ≤ b) Chứng minh: AB OO' R R 'suy ra AB QR.≥ − − ≥ c) Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài lớn nhất. d) Tìm vị trí của điểm A và điểm B để AB có độ dài nhỏ nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm. Điểm M di động trên cung lớn AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AB. a) Chứng minh: MH MI R OI. ≤ ≤ + b) Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất. c) Tìm vị trí của điểm M để AMB S ∆ đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB không qua tâm. Điểm M di động trên cung nhỏ AB, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AB và K là giao điểm của OM và AB. a) Chứng minh: MH MK R OI.≤ ≤ − b) Tìm vị trí của điểm M để MH có độ dài lớn nhất. c) Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho hình vuông ABCD . M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ giác MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA. Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn QM,MP,PN. a) Chứng minh: ( ) QM MN NP PQ 2 AH HI IK KC+ + + = + + + 5 Cực trò hình học b) Chứng minh: QM MN NP PQ 2AC.+ + + ≥ c) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất. Bài (8): Cho hình vng ABCD cạnh a. M,N,P,Q là bốn đỉnh của tứ giác MNPQ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA. a) Chứng minh: QM MN NP PQ 2 2.a.+ + + ≥ b) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất. Bài (8): Cho hình chữ nhật ABCD. D,E,G,H là bốn đỉnh của tứ giác DEGH lần lượt di động trên các cạnh AB,BC,CD,DA. a) Chứng minh: DE EG GH HD 2.AC.+ + + ≥ b) Tìm điều kiện của tứ giác DEGH để tứ giác DEGH có chu vi nhỏ nhất. Bài (8): Cho tam giác ABC có µ ( ) 0 A 120< và một điểm M nằm trong tam giác.Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ là đường thẳng AM dựng tam giác đều AMD và trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ là đường thẳng AC dựng tam giác đều ACE. a) Chứng minh: MC DE. = b) Chứng minh: MA MB MC BE.+ + ≥ c) Tìm vị trí của điểm M để MA MB MC + + đạt giá trị nhỏ nhất. o0o Vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn. *** Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di động trên đường tròn. Tìm vị trí của điểm M để độ dài AM đạt giá trị lớn nhất. 6 Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD vuông góc với AB. Tìm điều kiện của dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định. CD là dây cung di động nhưng luôn vuông góc với AB. Tìm điều kiện của dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn tâm O và dây cung AC cố định. Điểm B di động trên cung lớn AB, điểm D di động trên cung nhỏ AB . Tìm vị trí các điểm B và D để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và hai dây cung AC và BD vuông góc với nhau. Tìm điều kiện của hai dây cung AB và CD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) và tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho MD MB.= a) Chứng minh: BMD∆ là tam giác đều và MB MC MA. + = b) Tìm vị trí của điểm M để MA MB MC+ + đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C di động trên nửa đường tròn. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho CD CB. = a) Tính · ADB và chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định. b) Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để AD đạt giá trị lớn nhất. c) Tìm vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB R 3= cố định. Điểm C di động trên cung lớn AB. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho CD CB.= a) Tính · ACB và · ADB 7 Cöïc trò hình hoïc b) Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định. c) Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để AD đạt giá trị lớn nhất. d) Tìm vị trí của điểm C trên cung lớn AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB R 3= cố định. Điểm C di động trên cung nhỏ AB. Gọi D là điểm trên tia đối tia CA sao cho CD CB.= a) Tính · ACB và · ADB b) Chứng minh: điểm D di động trên một cung tròn cố định. c) Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để AD đạt giá trị lớn nhất. d) Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định. Gọi C là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Điểm M di động trên cung lớn AB. a) Chứng minh: MA.CB MB.CA MC.AB + = (đẳng thức Ptolémée). b) Tìm vị trí của điểm M để MA MB+ đạt giá trị lớn nhất. c) Tìm vị trí của điểm M để MA MB MC+ + đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho đường tròn (O;R) và tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. a) Chứng minh: AB.CD AD.BC AC.BD. + = (đẳng thức Ptolémée). b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để AB.CD AD.BC+ đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Kẻ đường kính BC của (O) và đường kính BD của (O’). Một đường thẳng quay quanh A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N. a) Chứng minh: A,C,D thẳng hàng. b) Chứng Vminh: hai tam giác BMN và BCD đồng dạng. c) Tìm vị trí của đường thẳng d để chu vi tam giác BMN đạt giá trị lớn nhất. 8 Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG Vận dụng bất đẳng thức đại số *** Bài (*): Chứng minh các bất đẳng thức đại số sau và tìm dấu bằng xảy ra: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b 4ab.+ ≥ + ≥ với mọi a,b. b) x y 2 xy+ ≥ với x 0;y 0.≥ ≥ c) ( ) 2 2 a b a b 2 a b+ ≤ + ≤ + với mọi a,b. d) x y 2 y x + ≥ với x.y 0.> e) x y z 3 y z x + + ≥ với x, y,z 0.> f) 1 1 4 x y x y + ≥ + với x 0,y 0.> > g) 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + với x, y,z 0.> h) 3 x y z 3 x.y.z+ + > với x, y,z 0.> Bài (8): Cho đoạn thẳng AB 20= và điểm M di động trên đoạn AB. a) Chứng minh: MA.MB 100. ≤ b) Tìm vị trí của điểm M để MA.MB đạt giá trị lớn nhất. c) Chứng minh: 2 2 200 MA MB 400≤ + ≤ . d) Tìm vị trí của điểm M để 2 2 MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất. e) Tìm vị trí của điểm M để 2 2 MA MB+ đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho đoạn thẳng AB 2= và điểm M di động trên đoạn AB ( ) M A;M B≠ ≠ . a) Chứng minh: 1 1 4 MA MB AB + ≥ . 9 Cöïc trò hình hoïc b) Tìm vị trí của điểm M để 1 1 MA MB + đạt giá trị giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho đoạn thẳng AB và điểm M di động trên đoạn AB ( ) M A;M B≠ ≠ . a) Chứng minh: MA MB 2 MB MA + ≥ . b) Tìm vị trí của điểm M để MA MB MB MA + đạt giá trị giá trị nhỏ nhất. Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động trên nửa đường tròn. a) Chứng minh: 2 2 2 MA MB 4R .+ = b) Chứng minh: MA MB 2 2.R+ ≤ c) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Điểm M di động trên nửa đường tròn. a) Chứng minh: 2 2 2 MA MB 4R .+ = b) Chứng minh: MA 3.MB 4R+ ≤ . c) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất. Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M di động trên nửa đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D, cắt By tại E. a) Chứng minh: 2 AD.BE R= . b) Chứng minh: AD BE 2R.+ ≥ c) Tìm vị trí của điểm M để AD BE+ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho góc · 0 xOy 90= .Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA OB 2a + = (không đổi). a) Chứng minh: AB 2.a≥ 10 [...]... đường tròn (O) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC b) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC Bài (9): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M,N,PQ là các đỉnh của tứ giác MNPQ lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA AB2 a) Chứng minh: MA 2 + MB2 ≥ 2 b) Chứng minh: MN 2 + NP 2 + PQ 2 + QM 2 ≥ AC 2 c) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tổng bình phương các cạnh đạt giá trị nhỏ nhất Bài (9): Cho... để chu vi tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất 13 e) Chứng minh: S ≤ Cự c trò hình họ c Bài (8): Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M,N sao cho chu vi tam giác AMN là 2a Đặt AM = x;AN = y a) Chứng minh: x + y + x 2 + y 2 = 2a ( ) 2 b) Chứng minh: xy ≤ a 2 2 − 2 c) Tìm vị trí của các điểm M và N để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất Bài (8): Cho tam... + MC 1 1 4 + ≥ b) Chứng minh: MB MC MA 1 1 1 + + c) Tìm vị trí của điểm M để tổng S = đạt giá MA MB MC trị nhỏ nhất Bài (9): Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O;R) và điểm M di động trên đường tròn.Tìm vị trí của điểm M để: a) MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất 1 1 1 + + b) đạt giá trị nhỏ nhất MA MB MC Bài (9): Cho tam giác ABC có diện tích là S, nửa chu vi là p và I là tâm đường tròn... b) Tìm vị trí của điểm A và điểm B để chu vi tam giác AOB đạt giá trị nhỏ nhất Bài (9): Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định Điểm M di động trên cung lớn AB Gọi H là trực tâm và K là chân đường cao vẽ từ đỉnh M của tam giác AMB a) Chứng minh: MK.HK = KA.KB AB2 b) Chứng minh: KA.KB ≤ 4 c) Tìm vị trí của điểm M để MK.HK đạt giá trị lớn nhất Bài (8): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M thuộc... S AD S AO S2 + S3 OD OE OF AO BO CO + + = 1 và + + = 2 b) Chứng minh: AD BE CF AD BE CF AO BO CO + + ≥ 6 Dấu “=” xảy ra khi nào? c) Chứng minh: OD OE OF 2 2 2 c) Chứng minh: BD + CE + AF ≥ 11 Cự c trò hình họ c AD BE CF + + ≥ 9 Dấu “=” xảy ra khi nào? OD OE OF AO BO CO ≥ 8 Dấu “=” xảy ra khi nào? e) Chứng minh: OD OE OF AD BE CF ≥ 27 Dấu “=” xảy ra khi nào? f) Chứng minh: OD OE OF AD BE CF 9 + +... BD 2 + CE 2 + AF2 = CD2 + AE 2 + BF2 = AM 2 + BM 2 + CM 2 − MD2 + ME 2 + MF2 ( ) ( b) Chứng minh: BD 2 + CD 2 ≥ ) BC2 2 ( ) 1 AB2 + BC2 + CA 2 4 d) Tìm vị trí của điểm M để BD 2 + CE 2 + AF2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài (8): Cho tam giác nhọn ABC và điểm O nằm trong tam giác Các đường thẳng AO,BO,CO lần lượt cắt các cạnh BC,CA,AB tại D,E,F Đặt S∆BOC = S1 ,S∆COA = S2 ,S∆AOB = S3 ,S∆ABC = S OD S1 AO S2... x, ME = y, MF = z a) Chứng minh: xa + by + cz = 2S∆ABC a b c 2 b) Chứng minh:  + + ÷( ax + by + cz ) ≥ ( a + b + c ) Dấu x y z “=” xảy ra khi nào? a b c c) Tìm vị trí của điểm M để + + đạt giá trị nhỏ nhất x y z Bài tổng hợp 14 Trường ngoại ngữ và bồi dưỡng văn hóa Thăng Tiến – THĂNG LONG 15 . đạt giá trị nhỏ nhất. d) Tìm vị trí của điểm M để ABED S đạt giá trị nhỏ nhất. e) Tìm vị trí của điểm M để ODE S ∆ đạt giá trị nhỏ nhất. f) Tìm vị trí của điểm M để OD.OE đạt giá trị nhỏ. IK KC+ + + = + + + 5 Cực trò hình học b) Chứng minh: QM MN NP PQ 2AC.+ + + ≥ c) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất. Bài (8): Cho hình vng ABCD cạnh a. M,N,P,Q. thẳng d để 1 1 1 BB CC DD+ + đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD và một điểm I cố định nằm ngoài hình bình hành. Đường thẳng d quay