Chuyen de rut gon toan 9

Rút gọn biểu thức chứa biến A. lí thuyết. 1) Bài Toán quy đồng mẫu thức các phân thức . Trong chơng trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phơng pháp quy đồng mẩu thức các phân thức nh sau. B ớc 1 . Tìm mẫu thức chung(MTC) Trong bớc này các em cần làm các việc sau: - Phân tích các mẩu thức thành nhân tử. - Lập tích gồm các NTC có số mủ cao nhất và các NT riêng để có MTC. B ớc 2 . Tìm NTP của từng phân thức. (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm đợc chia cho MT riêng của từng phân thức). B ớc 3 . Quy đồng. (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tơng ứng). Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau: a) 1 2 1 x và 1 2 2 1 + xx b) 4 1 x và 44 1 + x x c) x x 2 1 + và 4 1 2 x Giải: a) Đầu tiên ta phải tìm MTC: Ta có: x 2 1 = (x 1)(x + 1) và: x 2 2x + 1 = (x 1) 2 khi phân tích xong ta thấy Nhân tử chung là (x 1), còn nhân tử riêng là (x + 1) MTC là: (x 1) 2 . (x + 1) Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ(NTP) của từng phân thức: Để tìm NTP của phân thức 1 2 1 x ta lấy MTC là (x 1) 2 . (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là (x 2 1) hay (x 1)(x + 1) Vì (x 1) 2 . (x + 1) M (x 1)(x + 1) = x 1 NTP của phân thức 1 2 1 x là: (x 1) Tơng tự, để tìm NTP của phân thức 1 2 2 1 + xx ta lấy MTC là (x 1) 2 . (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là x 2 2x + 1 hay (x 1) 2 Vì (x 1) 2 . (x + 1) M (x 1) 2 = x + 1 NTP của phân thức 1 2 2 1 + xx là: (x + 1) Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho. - Để quy phụ của nó là (x 1). Tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 11 1 22 11 ++ == xx x xxx Tơng tự: ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 2 222 11 + + == + xx x xxx b) Ta có: x 4 = ( x ) 2 - 2 2 = ( x 2)( x + 2) và: x 4 x + 4 = ( x 2) 2 MTC là: ( x 2) 2 . (x + 2) +) NTP của phân thức 4 1 x là: ( x - 2) 1 +) NTP của phân thức 44 1 + x x là: ( x + 2) 4 1 x = ( ) ( ) 22 1 + xx = ( ) ( ) 22 2 2 + xx x Và 44 1 + x x = ( ) 2 2 1 x = ( ) ( ) 22 2 2 + + xx x c) Tơng tự. B. Các dạng toán liên quan. Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số) Bớc 1. Sử dụng tính chất cbda d c b a == để làm mất mẩu của phơng trình. Bớc 2. Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x. Bớc 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí. Ví dụ: Cho A = 1x x (với x 0 và x 1). Tìm các giá trị của x để: a) A = 2. b) A = 3 2 c) A = 2 1 Giải: Ta có: a) A = 2 1x x = 2 x = 2( x - 1) x = 2 x - 2 2 = 2 x - x x = 2 x = 4 (TMĐK) Vậy với x = 4 thì A =2. b) A = 3 2 1x x = 3 2 3 x = 2( x - 1) 3 x = 2 x - 2 3 x - 2 x = - 2 x = - 2 (VN) Vậy không có giá trị nào của x để A = 3 2 . c) đồng mẩu của phân thức ta lấy tử và mẩucùng nhân với nhân tử A = 2 1 1x x = 2 1 2 x = - ( x - 1) 2 x = - x + 1 2 x + x = 1 3 x = 1 x = 3 1 x = 9 1 (TMĐK) Vậy với x = 9 1 thì A = 2 1 . Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P m, hoặc P m (m là hằng số) Bớc 1. Chuyển m sang vế trái, quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái. Bớc 2. Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có đợc một bất phơng trình đơn giản (không chứa mẩu). Bớc 3. Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x. Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí. 2 Ví dụ: Cho A = 1 1 + x x (với x 0). Tìm các giá trị của x để: a) A > 3 1 . b) A < 5 2 c) A 2 1 Giải: Ta có: a) A > 3 1 1 1 + x x > 3 1 1 1 + x x - 3 1 > 0 )1(3 )1(3 + x x - )1(3 )1( + + x x > 0 )1(3 )1()1(3 + + x xx > 0 )1(3 133 + x xx > 0 )1(3 42 + x x > 0 (*) Vì với điều kiện x 0 thì 3( x + 1) > 0 (*) 2 x - 4 > 0 2 x > 4 x > 2 x > 4 Vậy với x > 0 thì A > 3 1 . b) A < 5 2 1 1 + x x < 5 2 1 1 + x x - 5 2 < 0 )1(5 )1(5 + x x - )1(5 )1(2 + + x x < 0 )1(5 )1(2)1(5 + + x xx < 0 )1(5 2255 + x xx < 0 )1(5 73 + x x < 0 (**) Vì với điều kiện x 0 thì 5( x + 1) > 0 (**) 3 x - 7 < 0 3 x < 7 x < 3 7 x < 9 49 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0 x < 9 49 . Vậy với 0 x < 9 49 thì A < 5 2 . c) A 2 1 1 1 + x x 2 1 1 1 + x x - 2 1 0 )1(2 )1(2 + x x - )1(2 )1( + + x x 0 )1(2 )1()1(2 + + x xx 0 )1(2 122 + x xx 0 )1(2 3 + x x 0 (***) Vì với điều kiện x 0 thì 2( x + 1) > 0 (***) x - 3 0 x 3 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0 x 9. Vậy với 0 x 9 thì A 2 1 . Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số) Bớc 1. Tính P m = ? Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có kết quả so sánh. +) Nếu P m > 0 thì P > m. +) Nếu P m < 0 thì P < m. +) Nếu P m = 0 thì P = m. Ví dụ: Cho P = x x 1 (với x > 0). Hãy so sánh P với 1. Giải: Ta có: P 1 = x x 1 - 1 = x x 1 - x x = x xx )1( = x 1 3 Vì x 1 < 0 P 1 < 0 P < 1. Dạng 4. Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị của x thuộc ĐKXĐ. Bớc 1. Tính P m = ? Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có điều phải chứng minh. +) Nếu P m > 0 thì P > m. +) Nếu P m < 0 thì P < m. +) Nếu P m = 0 thì P = m. Ví dụ: Cho P = x x 1+ (với x > 0). Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0. Giải: Ta có: P 1 = x x 1+ - 1 = x x 1+ - x x = x xx + )1( = x 1 Vì với x > 0 thì x > 0 x 1 > 0 P 1 > 0 P > 1. (đpcm) Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng) Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = m + )(xA n (m, n Z, A(x) là biểu thức chứa x) Bớc 2. Biện luận: Vì m Z nên để P nguyên thì )(xA n phải nguyên, mà )(xA n nguyên thì A(x) phải là ớc của n. Bớc 3. Giải các phơng trình: A(x) = Ư (n) để tìm đợc x. Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí. Ví dụ 1: Cho P = 1 2 + x x (với x 0 và x 1). Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. Giải: Ta có: P = 1 2 + x x = 1 3)1( + x x = 1 1 x x + 1 3 x = 1 + 1 3 x Để P nhận giá trị nguyên thì 1 3 x phải nhận giá trị guyên, mà 1 3 x nguyên thì x - 1 phải là ớc của 3. = = = = 11 11 31 31 x x x x = = = = 0 2 )(2 4 x x VNx x = = = 0 4 16 x x x )( )( )( TMDK TMDK TMDK Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên. Ví dụ 2: Cho M = 2x x (với x 0 và x 4). Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị nguyên dơng. Giải: Ta có: M = 2x x = 2 2)2( + x x = 2 2 x x + 2 2 x = 1 + 2 2 x 4 Để P nhận giá trị nguyên thì 2 2 x phải nhận giá trị guyên, mà 2 2 x nguyên thì x - 2 phải là ớc của 2. = = = = 12 12 22 22 x x x x = = = = 1 3 0 4 x x x x = = = = 1 9 0 16 x x x x )( )( )( )( TMDK TMDK TMDK TMDK Với x = 16 thì M = 216 16 = 24 4 = 2 > 0 (TM) Với x = 0 thì M = 20 0 = 2 0 = 0 (loại) Với x = 9 thì M = 29 9 = 23 3 = 3 > 0 (TM) Với x = 1 thì M = 21 1 = 1 1 = - 1 < 0 (loại) Vậy với x = 16 và x = 9 thì M nhận giá trị nguyên dơng. Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. a) Khái niệm: +) Nếu P(x) m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x). +) Nếu P(x) k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x). b) Cách giải: Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = m + )(xA n (m, n Z, A(x) là biểu thức chứa x) Bớc 2. Biện luận: Trờng hợp 1. n > 0 . +) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất. +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất. (Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì )(xA n phải đạt giá trị lớn nhất tức là A(x) phải đạt giá trị nhỏ nhất. Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì )(xA n phải đạt giá trị nhỏ nhất tức là A(x) phải đạt giá trị lớn nhất). Trờng hợp 2. n < 0 . +) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất. +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Bớc 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của A(x) để có đợc giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P Bớc 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu bằng. Bớc 5. Kết luận. Ví dụ 1: Cho P = 1 3 + + x x (với x 0). Tìm giá trị lớn nhất của P. Giải: Ta có: P = 1 3 + + x x = 1 2)1( + ++ x x = 1 1 + + x x + 1 2 +x = 1 + 1 2 +x Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì x + 1 phải đạt giá trị lớn nhất. 5 Vì: x 0 x + 1 1 Giá trị nhỏ nhất của x + 1 là 1 Giá trị lớn nhất của P là: 1 + 1 2 = 3 Mặt khác: x + 1 = 1 x = 0 x = 0. Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt đợc khi x = 0. Ví dụ 2: Cho M = 1 1 + x x (với x 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Giải: Ta có: M = 1 1 + x x = 1 2)1( + + x x = 1 1 + + x x - 1 2 +x = 1 + 1 2 + x Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì x + 1 phải đạt giá trị nhỏ nhất. Vì: x 0 x + 1 1 Giá trị nhỏ nhất của x + 1 là 1 Giá trị lớn nhất của M là: 1 + 1 2 = - 1 Mặt khác: x + 1 = 1 x = 0 x = 0. Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là - 1, đạt đợc khi x = 0. Dạng 7. Phơng trình dạng ax + b x + c = 0 (1) (a, b, c là các số cho trớc và a 0) a) Cách giải: Bớc 1. Đặt x = y (*) (ĐK: y 0) Để đa phơng trình (1) về dạng phơng trình bậc hai có ẩn là y. a.y 2 + b.y + c = 0 (2) Bớc 2. Giải phơng trình (2) để tìm đợc y. Bớc 3. Thay y vừa tìm đợc vào hệ thức (*) để tìm đợc x. b) Chú ý: +) Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt không âm. Tức là: Phơng trình (2) phải có: > > 0 0 0 a c a b +) Để phơng trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, hoặc phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không, hoặc phải có nghiệm kép không âm. Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp): Trờng hợp 1. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0 Trờng hợp 2. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không: = < > 0 0 0 a c a b Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm: = 0 2 0 a b Ví dụ: Cho phơng trình: x 2(m 1) x + 1 2m = 0 (1) (với m là tham số) 6 a) Giải phơng trình khi m = 2 1 . b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có: 1) Hai nghiệm. 2) Một nghiệm. Giải: Đặt x = y (*) (ĐK: y 0) Khi đó phơng trình (1) trở thành: y 2 2(m 1)y + 1 2m = 0 (2) a) Khi m = 2 1 thì phơng trình (2) trở thành: y 2 + y = 0 y(y + 1) = 0 =+ = 01 0 y y = = 1 0 y y )( )( loai TM Với y = 0 thì x = 0 x = 0 Vậy khi m = 2 1 thì phơng trình có nghiệm là x = 0. b/1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có: > > 0 0 0' a c a b ( ) [ ] > > 021 0)1(2 0)21( 1 2 m m m m > > 12 01 0 2 m m m > 2 1 1 0 m m m (VN) Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình (1) có hai nghiệm. b/2) Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải có: Trờng hợp 1. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0 1 2m < 0 m > 2 1 Trờng hợp 2. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không: = < > 0 0 0 a c a b ( ) [ ] = < > 021 0)1(2 0)21( 1 2 m m m m = < > 12 01 0 2 m m m < 2 1 1 0 m m m 0 2 1 m m Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm: = 0 2 0 a b ( ) [ ] = 0)1( 0)21( 1 2 m m m = 1 0 2 m m = 1 0 m m (VN) Kết hợp cả 3 trờng hợp trên ta đợc với m 0 thì phơng trình (1) sẽ có một nghiệm. C. Bài tập. Bài 1. Cho biểu thức : A = + + xxx 1 1. 1 1 1 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 - 2 2 . 7 c) Tìm các giá trị của x để x.A = 3 8 . Bài 2. Cho biểu thức : B = + + + xx x x x 1 1. 1 1 1 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 2 3 . c) Tìm các giá trị của x để B = 1. Bài 3. ( 2 điểm ) Cho biểu thức : P = ( ) 3 1 4 4 a > 0 ; a 4 4 2 2 a a a a a a + + + a) Rút gọn P . b) Tính giá trị của P với a = 9 Bài 4. Cho biểu thức : Q = x 2 x 2 x 1 . x 1 x 2 x 1 x + + ữ ữ + + , a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên. Bài 5. ( 3 điểm ) Cho biểu thức : 1 2 1 .) 1 1 1 1 ( 2 2 2 + + = x x xx A 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . 2) Rút gọn biểu thức A . 3) Giải phơng trình theo x khi A = 2 x . Bài 6. Cho biểu thức: C = 3 3 4 5 4 2 : 9 3 3 3 3 x x x x x x x x x x + + ữ ữ ữ ữ + a) Rút gọn C. b) Tìm giá trị của x để: CC > c) Tìm giá trị của x để: C 2 = 40C. Bài 7. Cho biểu thức: 4 3 2 4 : 2 2 2 x x x x P x x x x x + = + ữ ữ ữ ữ a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0 c) Tính giá trị nhỏ nhất của P d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn: m( x - 3).P = 12m x - 4 Bài 8. ( 3 điểm ) Cho biểu thức : ++ + + = 1 2 :) 1 1 1 2 ( xx x xxx xx A a) Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của A khi 324 += x Bài 9. ( 3 điểm ) Cho biểu thức : xxxxxx x A ++ + = 2 1 : 1 Rút gọn biểu thức A . Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A . 8 Bài 10. ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : 1 1 1 1 1 A= : 1- x 1 1 1 1x x x x + + ữ ữ + + a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 + c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . Bài 11. ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : A = 1 1 2 : 2 a a a a a a a a a a + + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A . b) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên . Bài 12. ( 2 điểm ) Cho biểu thức : A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a + + + + + + + + a) Rút gọn biểu thức A . b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a . Bài 13. Cho biểu thức 2 3 2 2 4 4 2 2 2 2 ( ) : ( ) x x x x P x x x x x x + + = + + a) Rút gọn P. b) Cho 2 3 11 4 x x = . Hãy tính giá trị của P. Bài 14. Xét biểu thức ( ) 2 2 2 5 1 1 1 1 2 4 1 1 2 4 4 1 : x x A x x x x x = + + + a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị x để A = 2 1 . Bài 15. Cho biểu thức 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ( ) : ( ) x x x P x x x x x + = + + . a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P < 1 với mọi giá trị của x 1. Bài 16. Cho biu thc ( ) ( ) a 3 a 2 a a 1 1 P : a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 + + + = + ữ + + a) Rỳt gn P. b) Tỡm a 1 a 1 1 P 8 + Bài 17. Cho biu thc x 1 2 x P 1 : 1 x 1 x 1 x x x x 1 = + ữ ữ + + a) Tỡm iu kin P cú ngha v rỳt gn P. b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc P x nhn giỏ tr nguyờn. Bài 18. Cho biểu thức: P = + + + 1 1. 1 1 a aa a aa a) Rỳt gn P. b) Tỡm a bit P > 2 . c) Tỡm a bit P = a . 9 Bài 19. Cho biu thc x 1 x 1 8 x x x 3 1 B : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + = ữ ữ + a) Rỳt gn B. b) Tớnh giỏ tr ca B khi x 3 2 2 = + . c) Chng minh rng B 1 vi mi giỏ tr ca x tha món x 0; x 1 . Bài 20. Cho biểu thức: P = + + + 1 1 4 : 1 2 x x x x x x x a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 1 c) Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 21. (2 điểm) Cho biểu thức: ab ba aab b bab a N + + + = (với a, b là hai số dơng khác nhau). a) Rút gọn biểu thức N. b) Tính giá trị của N khi: 526;526 =+= ba . Bài 22. (2 điểm) Cho biểu thức: ( ) .1;0; 1 1 1 1 3 ++ = xx xx x x x M a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm x để M 2. Bài 23. : Cho biểu thức M = 25 25 5 2 1 : 25 3 10 2 5 a a a a a a a a a a + ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn M. b) Tìm giá trị của a để M < 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của M. Bài 24. Cho biểu thức P = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 1 2 1 1 3 1 a a a a a a a + + a) Rút gọn P. b) So sánh P với biểu thức Q = 2 1 1 a a Bài 25. Cho biểu thức A = 3 1 1 1 8 : 1 1 1 1 1 m m m m m m m m m m + ữ ữ ữ ữ + a) Rút gọn A. b) So sánh A với 1. Bài 27. Cho biểu thức P = 3 1 2 : 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x + + + + ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P > 1 c) Tính giá trị của P, biết 2 3x x+ = d) Tìm các giá trị của x để : 10 [...]... x nguyên để P nguyên ; x 2 1 1 x 1 x + c/ Tìm các giá trị của x để P = x 2 x 9 x + 3 2 x +1 x 5 x +6 x 2 3 x a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P . < 0 3 x < 7 x < 3 7 x < 9 49 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0 x < 9 49 . Vậy với 0 x < 9 49 thì A < 5 2 . c) A 2 1 1 1 + x x . = = = = 1 9 0 16 x x x x )( )( )( )( TMDK TMDK TMDK TMDK Với x = 16 thì M = 216 16 = 24 4 = 2 > 0 (TM) Với x = 0 thì M = 20 0 = 2 0 = 0 (loại) Với x = 9 thì M = 29 9 = 23 3 . (***) x - 3 0 x 3 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0 x 9. Vậy với 0 x 9 thì A 2 1 . Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số) Bớc 1. Tính