Toán 10 Tích vô hướng của 2 vecto

Trong đó C’,D’ là hình chiếu của C và D trên đờng thẳng chứa véc tơABuuur.. Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD.. b BD vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC

Vấn đề 1: tính tích vô hớng của hai véc tơ

Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ ABuuur vàCDuuur, ta có :

ABuuur.CDuuur=ABuuur.C Duuuuur' '=AB CD.

Trong đó C’,D’ là hình chiếu của C và D trên đờng thẳng chứa véc tơABuuur

Phơng pháp 4

Sử dụng biểu thức tọa độ.

Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC tại A,Â= 120 , AB=AC=a,

I là tâm đờng tròn nội tiếp

a) tính ABuuur.CAuur; ABuuur.IHuur

b) tính ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur+CAuur.ABuuur

b) ABuuur+BCuuur+CAuur=0r(ABuuur+BCuuur+CAuur)2=0

AB2+BC2+CA2+2(ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur+CAuur ABuuur)=0

ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur+CAuur.ABuuur= 52

2

a

-Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c, CA=b

a) tính ABuuur.ACuuur theo a, b, c

b) suy ra ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur+CAuur.ABuuur

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos(AGuuur,BCuuur)

A D

I

B C

b) Từ (1) : CAuur.ABuuur=1

2 (a2-b2-c2)Tơng tự: ABuuur.BCuuur=1

AGuuur.BCuuur=1

3(ABuuur+ACuuur).(ACuuur-ABuuur)=1

3(b2-c2) (2)Thay (2) vào (1) : Cos(AGuuur,BCuuur)=

a) Tính các tích vô hớng ABuuur.CDuuur, BDuuur.BCuuur và ACuuur.BDuuur

b) Gọi I là trung điểm của CD, tính AIuur.BDuuur Suy ra góc của AI và BD

Giải :

a) BAuuur là hình chiếu của CDuuur lên đờng

thẳng chứa BAuuur

Ta có ABuuur.CDuuur=ABuuur.BAuuur=-ABuuur2=-4a2

BDuuur.BCuuur=BHuuur.BCuuur=a.3a=3a2

ACuuur BDuuur=(ABuuur+BCuuur).BDuuur=ABuuur.BAuuur+BCuuur.BDuuur

=-4a2+3a2=-a2

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur Vậy AIuur.BDuuur=1

2(a2+3a2-4a2)=0  AI  BD

Bài tập :

1.Cho tam giác vuông cân ABC, AB=AC=a

Tính ABuuur.ACuuur; ACuuur.CBuuur

2.Cho tam giác ABC có AB=4, BC=7, ca=9.

a) Tính BCuuur2 rồi suy ra ABuuur.ACuuur và tính cosÂ

b) Tính CAuur.CBuuur

c) Gọi I là trung điểm của AC Tính CIuur.CBuuur

3.Cho tam giác ABC có BC=4 , CA=3, AB=2.

a) Tính ABuuur.ACuuur suy ra cosÂ

b) G là trọng tâm tam giác ABC Tính AGuuur.BCuuur

c) Tính GAGA GB GCuuuruuur. +uuur uuur. +GC GAuuur uuur.

d) AD là phân giác trong của góc BAC (DBC)

Tính ADuuur theo ABuuur vàACuuur suy ra : AD

3

p

a) Tính BC, AM (M là trung điểm của BC)

b) Tính IJ trong đó I, J xác định bởi :

5 Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a

Hãy tính AB trong các trờng hợp sau :

a) ACuuur ABuuur=a2

b) ACuuur.BDuuur=-a

c) IC IDuur uur. =a2 (I là trung điểm của AB)

6 Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và B

với AD=2a , AB=BC =a

a) Tính ACuuur.BDuuur

b) Suy ra hình chiếu A Cuuuuur' ' của ACuuur lên BDuuur

7 Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ; Mlà trung điểm của BC Biêt rằng :

AMuuuur.BCuuur= 2

2

a Tính AB, AC

8 Cho các véc tơ a br,r biết rằng 2a br- r = 3 Tính a br.r ?

9.Cho tam giác ABC với BN vàCP là các trung tuyến

Biết BNuuur.CPuuur=x ; BNuuur.CAuur=y ; CPuuur.ABuuur=z (x, y, z R)

Hãy tính 3 cạnh AB, BC, CA theo x, y, z

10 Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a

Lấy M, N, P lần lợt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=a, CN=2a, AP=x (0<x<3a)

a) Tính AMuuuur theo ABuuur và ACuuur

ACuuur.BDuuur=(ABuuur+BCuuur)(BAuuur+ADuuur)=-ABuuur2+BCuuur.ADuuur=-x2+2a2

Mặt khác theo định lý hình chiếu : ACuuur.BDuuur=A Cuuuuur' '.BDuuur=A Cuuuuur' ' BDuuur

)=x5ABuuur.ACuuur-2ABuuur2-2ACuuur2=4x

Đặt ABuuur.ACuuur=t; AB=c; AC=b Ta đợc : 5t-2c2-2b2=4x

Tơng tự : BNuuur.CAuur=y -b2+2t=2y

CPuuur.ABuuur=z-c2+2t=2z

Giải hệ

2 2

Chứng minh hai véc tơ vuông góc

Thiết lập điều kiện vuông góc

Phơng pháp :

 sử dụng 3 quy tắc nh ở vấn đề 1

 Về độ dài , chú ý rằng : AB2=ABuuur2=((OA OBuuur uuur- ) 2 với O là một điểm tùy ý

 Để chứng minh hai véc tơ aur và brvuông góc ta chứng minh aur.br=0

Để thiết lập điều kiện vuông góc giữa chúng ta sử dụng mệnh đề :

aur  br  aur.br=0

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC , G là trọng tâm , Chứng minh rằng :

a) MAuuur.BCuuur +MBuuur.CAuur +MCuuuur.ABuuur=0

b) MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2, với M là một điểm tùy ý

Suy ra vị trí của M để MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

a) MAuuur.BCuuur=MAuuur.(MCuuuur-MBuuur)=MAuuur.MCuuuur-MAuuur.MBuuur

A

H

B M C

A B O

D C

Tơng tự: MBuuur.CAuur=MBuuur.MAuuur-MBuuur.MCuuuur

MCuuuur.ABuuur=MCuuuur.MBuuur-MCuuuur.MAuuur

Từ đó MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng B

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác.Chứng minh rằng :

a) MHuuuur.MAuuur=1

4BC2 b) MA2+MH2=AH2+ 1

Giải :

a) Ta có : 4MHuuuur.MAuuur= -4MHuuuur.AMuuuur=

-2MHuuuur.(ABuuur+ACuuur)=2MHuuuur.BAuuur+2MHuuuur.CAuur=

=2(MCuuuur+CHuuur).BAuuur+2(MBuuur+BHuuur)CAuur

=2MCuuuur.BAuuur+2MBuuur.CAuur=2MCuuuur.(BAuuur-CAuur)=BCuuur.BCuuur

Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD M là một điểm tùy ý Chứng minh :

a) MAuuur+MCuuuur=MBuuur+MDuuur

b) MAuuur.MCuuuur=MBuuur.MDuuur

Ta có : MAuuur+MCuuuur=2MOuuur

MBuuur+MDuuur=2MOuuur

Vậy MAuuur+MCuuuur=MBuuur+MDuuur

b) MAuuur.MCuuuur=(OAuuur-OMuuur).(OCuuur-OMuuur )=(MOuuur+OAuuur).(MOuuur-OAuuur)=MO2-OA2

MBuuur.MDuuur=(OBuuur-OMuuur).(ODuuur-OMuuur)=(MOuuur+OBuuur).(MOuuur-OBuuur)=MO2-OA2

c) Theo câu a) : MAuuur+MCuuuur=MBuuur+MDuuur(MAuuur+MCuuuur)2=(MBuuur+MDuuur)2

 MA2+MC2+2MAuuur.MCuuuur=MB2+MD2+2MBuuur.MDuuur

 MA2+MC2=MB2+MD2 (theo câu b)

Bài tập :

1 Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đờng chéo.

a) Chứng minh : 2ACuuur.BDuuur=AB2-BC2+CD2-DA2

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đờng chéo vuông góc là :

AB2+CD2=BC2+DA2

c) Chứng minh : AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4EF2

2 Cho bốn điểm A, B, C và M tùy ý Chứng minh hệ thức :

a) MAuuur.BCuuur+MBuuur.CAuur+MCuuuur.ABuuur=0

b) áp dụng: chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy

3 Cho tam giác ABC cân tại A, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp

Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD

Chứng minh rằng OE vuông góc với CD

4 Cho đờng tròn (O, R) Chứng minh điều kiện cần và đủ

để AM là tiếp tuyến với đờng tròn tại M là:

OAuuur.OMuuur=R2

5 Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O,

đờng kính AB=2R Gọi I là giao điểm

của hai đờng thẳng AM và BN

a) chứng minh : AMuuuur.AIuur=ABuuur AIuur; BNuuur.BIuur= BAuuur.BIuur

b) Tính AMuuuur.AIuur+ BNuuur.BIuur theo R

6 Cho tam giác ABC , trung tuyến AM, đờng cao AH

B O A

A

E D

O

B C

7 Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b

Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:

a)AC vuông góc với BD

b) BD vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC

8 Cho tam giác ABC và hai trung tuyến BM, CN Đặt BC=a, CA=b,AB=c

Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c khi BMvuông góc với CN

9 Cho hình thang vuông ABCD , đờng cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b

Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho :

a) CI vuông góc với DI (I là trung điểm của AB )

b) BD vuông góc với CI

c) AC vuông góc với DI

d) Trung tuyến BM của tam giác ABC vuông góc với trung tuyến CN của tam giác BCD

10 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi :

ABuuur.ADuuur+BAuuur.BCuuur+CBuuur.CDuuur+DCuuur.DAuuur = 0

Lời giải và đáp số :

3 Giải :

Ta chứng minh OEuuur CDuuur=0

Thật vậy : OEuuur.CDuuur=(AEuuur-AOuuur).(ADuuur-ACuuur)=

3(AD2-AC2)- AOuuur.ADuuur+AOuuur.ACuuur (1)

Thay AOuuur.ACuuur=AFuuur.ACuuur (định lý hình chiếu, với F là trung

điểm của AC)

=1

Và AOuuur.ADuuur=AD2 (định lý hình chiếu)

Vào (1) , ta đợc OEuuur.CDuuur=1

6(AC2- 4AD2)= 0

4 Giải :

Xét điểm M tùy ý(O, R)

OAuuurOMuuurOAuuur.OMuuur=0 (OMuuur +MAuuur).OMuuur=0 OM2+MAuuur

OMuuur=0

OMuuur.AMuuuur=OM2OMuuur.AMuuuur=R2

A a B

h M

D C

A

N M

B N

A B

D C

5 Giải :

a) AMuuuur là hình chiếu của ABuuur trên đờng thẳng AI

Vậy ABuuur.AIuur=AMuuuur.AIuur (định lý hình chiếu)

BNuuur là hình chiếu của BAuuur lên đờng thẳng BI Vậy : BAuuur.BIuur=BNuuur.BIuur

b) AMuuuur.AIuur+ BNuuur.BIuur=ABuuur.AIuur+ BAuuur.BIuur=ABuuur.(AIuur-BIuur)=ABuuur2=4R2

7 Giải :

a) Ta chứng minh : ACuuur.BDuuur=0

ACuuur.BDuuur=ACuuur.(ADuuur-ABuuur)=ACuuur ADuuur-ACuuur.ABuuur (1)

Mà ACuuur.ADuuur=ADuuur.ADuuur=h2

Và ACuuur.ABuuur=DCuuur.ABuuur=b.a (định lý hình chiếu)

Do đó (1) trở thành : ACuuur.BDuuur=h2-ab

Mà BDuuur.ABuuur=BAuuur.ABuuur=-AB2=-a2

Và BDuuur.ACuuur=h2-ab (kết quả trên)

 ABuuur.ACuuur -BAuuur.BCuuur-CBuuur.CAuur-CBuuur2= 0

2h2 = 0 c) 1

2h2-ab = 0

d) h2-2b2+ab = 0

10 Giải :

ABuuur.ADuuur+BAuuur.BCuuur+CBuuur.CDuuur+DCuuur.DAuuur = 0

 (ABuuur.ADuuur+BAuuur.BCuuur) +(CBuuur.CDuuur+DCuuur.DAuuur) = 0

A a D

I N M

B b C

 ABuuur.(ADuuur-BCuuur) -DCuuur.(ADuuur-BCuuur) = 0

 (ADuuur-BCuuur).(ABuuur-DCuuur) = 0  AD BC

AB DC

ờ ờ

ờ

uuur uuurABCD là hình bình hành

Vấn đề 3 : tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức

về tích vô hớng hoặc độ dài.

Phơng pháp :

Có thể sử dụng một trong các cách sau :

 Đa đẳng thức cho trớc về dạng MAuuur.MBuuur=k( A, B :cố định; k : giá ttrị không

Ví dụ 1 : cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa :

a) MAuuur.MBuuur =k (k là giá trị cho trớc) Biện luận

b) MA2 + MAuuur MBuuur = 0

c) 2MB2+MBuuur.MCuuuur = a2 (với a : độ dài cạnh BC)

Giải :

a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB Thế thì :

MAuuur.MBuuur =k  (MIuuur+IAuur).(MIuuur-IAuur) =k

IM2-IA2=k IM2= 2

4

AB

+k Biện luận :

Đặc biệt : nếu k = 0 thì tập hợp M là đờng tròn đờng kính AB

b) MA2 +MAuuur.MBuuur =0  MAuuur.(MAuuur+MBuuur) = 0  MAuuur.MIuuur = 0 

tập hợp M là đờng tròn đờng tròn đờng kính AI

c) 2MB2+MBuuur.MCuuuur =a 2 MBuuur.(2MBuuur+MCuuuur) = a2 (1)

Xét điểm cố định K thỏa mãn : 2KBuuur+KCuuur=0r ,

thế thì 2MBuuur+MCuuuur =2(2MBuuur-MKuuuur) +(MCuuuur-MKuuuur) =0r

(2MBuuur+MCuuuur) = 3MKuuuur

M

A I B

A M

BK

=

2 3

a

 MO2 =

2 3

a

+

2 4

6

13

a

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa :

a) AMuuuur.BCuuur = k (k :số cho trớc )

b) (MAuuur-MBuuur).(2MBuuur-MC) = 0

c) MA2-MB2+CA2-CB2 = 0

d) MAuuur.MBuuur-MAuuur MC=MC2-MB2+BC2

e) 3MA2-2MB2-MC2 = 0

Giải :

a) Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của A và M lên BC

áp dụng định lý hình chiếu , ta có : AMuuuur.BCuuur = HK .BC =k

là một đờng thẳng vuông góc với BC tại K

b) Xét điểm cố định I thỏa : 2IB  IC=0r 2MBuuur-MC=MI

Vậy (MAuuur-MBuuur).(2MBuuur-MC ) = 0 BA. MI =0 

MI  BA 

Tập hợp M là một đờng thẳng vuông góc với AB tại điểm cố định I

Chú ý : điểm I thỏa :aIBuur+ bICuur = 0r (với +ạ 0 ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự của hai điểm B, C ứng với hai hệ số , , trong đó +ạ 0.( trong câu b) : =2,  =-1)

c) MA2-MB2 +CA2-CB2 =0

 (MAuuur-MBuuur).(MAuuur+MBuuur) +(CAuur+CBuuur).(CAuur-CBuuur) =0

 2BA.(MIuuur + CIuur) = 0 (1)

Dựng véc tơ IJuur=CIuur, thế thì

A M

G

B G’ H C

A

B C

-v r

(1)  BA MJ.uuur = 0 Điểm J cố định

Vậy tập hợp M là một đờng thẳng qua J

Và vuông góc với AB

d) MAuuur.MBuuur-MAuuur MC =MC2-MB2+BC2

 MAuuur.MBuuur-MAuuur MC+MB2-MC2=BC2

MAuuur.(MBuuur-MC)+(MBuuur+MC).(MBuuur-MC)=BC2

(MBuuur-MC).(MAuuur+MBuuur+MC) = BC2

3CBuuur.MC=BC2 (1) (G là trọng tâm tam giác ABC)

Gọi G’ và H thứ tự là hình chiếu của G và M lên BC

MA2 =(MOuuur+OAuuur)2 = MO2+OA2+2MOuuur.OAuuur

MB2 =(MOuuur+OBuuur)2 = MO2+OB2+2MOuuur.OBuuur

MC2 = (MOuuur+OCuuur)2 = MO2+OC2+2MOuuur.OCuuur

Do đó :

3MA2-2MB2-MC2=2MOuuur.(3OAuuur-2OBuuur-OCuuur)+

+3OA2-2OB2+OC2 (1)

Mà OA=OB=OC=R3OA2-2OB2+OC2=0

Và 3OAuuur-2OBuuur-OCuuur=3OAuuur-2(OAuuur+ABuuur)-(OAuuur+ACuuur)=

= -(2ABuuur+ACuuur) là một véc tơ cố địnhv r

Nên : 3MA2-2MB2-MC2= 0  2MOuuur v r=0

Vậy : tập hợp M là một đờng thẳng đi qua O và vuông góc với vec-tơ v r

Bài tập :

1 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

a) MBuuur.MCuuuur-MBuuur.MGuuur =AB2 (G là trọng tâm)

b) (2MAuuur- 3MBuuur).(MAuuur+2MBuuur) = 0

2 Cho tam giác ABC vuông tại A BC = 6a Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

(MBuuur + MCuuuur).(MAuuur+MBuuur+MCuuuur) = a2

3 Cho đoạn thẳng AB=2a có I là trung điểm

a) P là một điểm bất kỳ Tính PAuuur.PBuuur theo PI và a.

b) Tìm tập hợp điểm M thỏa MAuuur MBuuur = a2

4 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa :

ABuuur.AMuuuur= ABuuur.ACuuur

5.Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

một trong các hệ thức sau :

a) MAuuur.MBuuur = MAuuur.MCuuuur

b) MAuuur2+MAuuur.MBuuur+MAuuur.MCuuuur=0

c) MAuuur2 = MBuuur.MCuuuur

6 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

a) a.MA2 +b.MB2 =k(a+ ạb 0)

b) a MA2 +b MB2 +g MC2 =k(a+ + ạb g 0)

7 Cho ABCD là hình bình hành Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

MA2+MB2+MC2+MD2=k2 ,với kR

8 cho tam giác ABC , góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp các điểm M

di động trong góc BÂC, sao cho :

AB.AH AC AK =AI2 (1)

Trong đó H, K thứ tự là các hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC

9 Cho tứ giác ABCD I, J thứ tự là trung điểm của AB, CD

Tìm tập hợp các điểm M

sao cho :

MAuuur.MBuuur+MCuuuur.MDuuur=21IJ2 (1)

10 Cho tam giác ABC I là trung điểm của AB J là điểm thỏa mãn:

J Auur+3J Buur-2J Cuur=0r

a) Chứng minh BCIJ là hình bình hành

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

MAuuur.MCuuuur+3MBuuur.MCuuuur= 2MCuuuur2

b) Tập hợp M là đờng tròn đờng kính IJ

2 đs : Gọi O là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác , I là trung điểm của

C

A d B

b) Sử dụng kết quả câu a) , ta tính đợc IM=a 2

Vậy tập hợp M là đờng tròn (I,R= a 2)

a) tập hợp M là đờng thẳng (d) qua A và vuông góc với BC

b) Ta chứng minh MAuuur.MGuuur=0. Tập hợp M là dờng tròn đờng kính AG

với G là trọng tâm của tam giác ABC

c) Gọi I là trung điểm của BC và J là trung điểm của AI

uuur uur uuur uur

uuur uur uur

Vậy:

2 0 2

B I C

C

A d B

biểu thức (1) dẫn đến kết quả : k0=

2

AB ab

-Tùy theo k k0

+ + nhỏ hơn,bằng, hay lớn hơn 0

Sử dụng định lý hình chiếu, đa (1) về dạng :

AIuur2=ABuuur.AHuuur+ACuuur.AKuuur =ABuuur.AMuuuur+ACuuur.AMuuuur

=(ABuuur+ACuuur).AMuuuur=2AIuur.AMuuuur (2)

Gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M lên AI, thì :

(2) AIuur2=2AIuur.AMuuuur0 2

AM = M0 là trung điểm của đoạn AI

Vậy tập hợp M là một đoạn thẳng vuông góc với AI tại M0 là trung điểm của AI

Và nằm trong tam giác ABC

9.Giải :

(1)  4MAuuur.MBuuur+4MCuuuur.MDuuur=2IJ2

 (MAuuur+MBuuur)2-(MAuuur-MBuuur)2+(MCuuuur+MDuuur)2-(MCuuuur-MDuuur)2=2IJ2

 4MI2-AB2+4MJ2-CD2=2IJ2

A K

H M 0

M

B I C

B I A O

D J C