Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.. Cho hình chóp S.ABCD
Trang 1Giải: a) . = ( ) = sin = 2 3 sin 60 =
√
b) Kẻ ⊥ ,theo định lý 3 đường vuông góc ta có ⊥ → ⊥
√ c) Gọi
, là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, theo sịnh lý hàm sin: =
2 → = Từ O ta kẻ đường thẳng ( )⊥ ( ) → ( ) ∥ → ( ) là trục của
đường tròn ngoại tiếp ABC
ÔN TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ TRÒN XOAY.
1 Cho hình chóp SABC có = 2 , = 3 , = 60 , ⊥ ( ), =
a) Tính thể tích hình chóp b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
Trong mặt phẳng (SA;d) kẻ đường trung trực của SA cắt (d) tại I Lúc đó I là tâm mặt cầu ngaọi tiếp hình chóp SABC Bán
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và = 60 , hợp với đáy (ABCD) một góc 60 , = = và
khoảng cách từ tâm của hình thoi ABC đến SB bằng a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD
Cách 2: (trả lời tại lớp)
3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A = √3, = 3 Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC ĐS: = √
3a 2a
a
r1
(d)
B
S
O H
K
(d)
R
R S.ACD =IG
OH=a
600
600
O
B
C
S
G
G'
H
Giải: Gọi G là hình chiếu của S lên (ABCD), do SA=SB=SC nên G là trọng tâm tam giác
ABC, theo giả thiết suy ra ABC đều Kẻ OH, GK vuông góc với SB, theo giả thiết ta
Lưu ý mặt cầu ngoại chóp S.ACD chính là mặt cầu ngoại chóp S.ACDG vì ACD đều nên
đường tròn ngoại tiếp ACD cũng chính là đường tròn ngoại tiếp ADCG
Gọi G’ là tâm đường tròn đáy ACD suy ra G’ là trọng tâm Từ G’ kẻ ( ) ⊥ ( ), (d) là trục đường tròn (ACD) → ( ) ∥ Trong mặt phẳng ( ; ) kẻ đường trung trực của SG cắt (d) tại I Điểm I chính là tâm mặt cầu ngoại chóp S.ACD hay mặt cầu ngoại chóp
Trang 2Giải: a) . = . = . = ( ) = √ = √ b) Cách 1: Từ G kẻ đường thẳng song song với AB, lúc đó mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC chính là
mặt phẳng (A’B’EF) Gọi I là giao điểm của B’F vớí CC’, theo định lý về 3 giao tuyến thì ta suy ra A’E đi qua I Ta có ∆ ~∆ ; mặt khác = 2 → = 2 = 2 → = 3 Ta
.
= . .
3 √ = √ Cách 2: ’ ’ = . + . Mặt khác : .
.
= . .
.
= . .
⊥ ( ), H là trung điểm của AB Giả thiết chóp có 3 mặt
bên là 3 tam giác vuông a) . b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópi đáy ĐS: = √
5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, ⊥ ( ), H là trung điểm của AB Giả thiết SC nghiêng đều
trên mặt đáy và mặt bên (SAB) a) . b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐS: = √
6 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a a) Tính thể tích khối tứ diện ’ ’
b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F Tính thể tích hình chóp ’ ’
7 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm của BC a) Tính thể tích tứ
diện ADMN b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành 2 khối đa diện Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A,
(H’) là khối đa diện còn lại Tính tỉ số ( )/ ( )
8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
a a
2a
B
B'
I
H
G
E
F
a
J
P
B
A
C D C'
B'
I
K
M
N
điểm = ∩ ; = ∩ ; = ∩ ; = ∩ ′ ′ Từ định lý Talet và tính chất đồng dạng của 2 tam giác ta suy ra: = = ; = = ì =
. = . .
. = . .
. = = 2 = → ( )= ậ ươ −
Trang 3Giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) Ta có
( ) ⊥ ( ) → ∈ Mặt khác ∆ đều nên H là trung điểm của AB a)
. = ( ) = √ = √ b) Từ O kẻ đường thẳng (d) vuông góc với
(ABCD), lúc đó (d) là trục đường tròn ngoại tiếp ABCD, suy ra( )∥ Trong tam giác ASB gọi G là trọng tâm của tam giác ASB suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ Từ
G kẻ đường thẳng (∆) ⊥ ( ) → (∆) ∥ → (∆) là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ Trong mặt phẳng ( ) ≡ ( ; ) gọi = ( ) ∩ (∆) → I cách đều S,A,B,C,D hay I chính
là tâm mặt cầu cần tìm Bán kính mặt cầu:
9 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có = , ( ); ( ) = 60 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
Mặt khác theo định lý Talet: = = ; = √ ; = + = Do đó: =
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = √3 Tính thể tích khối chóp
S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a
11 Cho tứ diện ABCD có = = = ; = 2 ; = 2 ; = (I,J là trung điểm của AB và CD) Tính thể
tích tứ diện ABCD , Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
R
R=IB
O
S
H
G
I
R
B
A'
B'
C'
G
I D
H
G
E
a a
a 3
H
S
M
N
K
Giải: Gọi D là trung điểm của BC, ta có: ⊥ → ⊥ → = 60 Ta có
√
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra: ∥ ′ → ⊥ ( ) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I là giao điểm của GH với trung trực của AG với trung trực của AG trong mặt phẳng (AGH) Gọi E là trung điểm AG, ta có tứ giác AEHI nội tiếp được đường tròn nên = → = = . =
= → . = ( ) = √ * ( ; ) =? Trong hình vuông
Mặt khác ⊥ → ⊥ ( ) Từ H kẻ ⊥ → ⊥ → ( ; ) =
Trang 4Giải: Đặt = → tan = ; tan = → tan = tan( + ) =
. = ; mà tan = tan 45 = 1 → = 1 → 4 − 3 = 8 ↔
4 − 8 − 3 = 0 ↔ = 1 +√ → = = 1 +√ → . =
− ( ) = 1 +√ 2 = 1 +√ Dựng trục đường tròn đáy (d) qua
O và vuông góc với (ABCD) Suy ra ( ) ∥ , SA, SC cùng nằm trong 1 mặt phẳng với (d)
Trong tam giác SAC, kẻ đường trung trực (d’) của SC cắt (d) tại I, lúc đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, suy ra I cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆ Bán kính R của mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ Theo định lý hàm sin ta
Giải: Kẻ AH vuông góc với (ABC) suy ra H thuộc AC Từ H kẻ HK vuông góc với
AB tại K Ta suy ra ≤ → ′ > ′ → < < Ta có ′ là góc giữa mặt phẳng ( ) và (ABC), theo giả thiết ta suy ra ′ = , ′ = 60
√3 cot → = √ − 3 cot = √1 − 3 cot → ( ) → =?
12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, = , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy Tính thể tích khối chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ĐS: = √
13 *Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có = 2 , = Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và = Tính thể tích
khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a ĐS: ( ; ) =
14 Cho hình vuông ABCD cạnh √2 Lấy H thuộc đoạn AC và = Vẽ ⊥ ( ), trên Hx lấy S sao cho
= 45 Tính . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD ĐS: = 1 +√ , = √2
82 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có cạnh huyền = , mặt bên là
hình thoi nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC) và góc ′ = Biết góc giữa mặt phẳng ( ) và (ABC)
bằng a) CMR: < < b) Tính . theo a và
15 Cho ∆ có = 3 ; = 2 ; = 60 trên đường thẳng (∆) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm
S sao cho = và vẽ ⊥ ; ⊥ a) Tính thể tích của S.AHK, b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
SAHK c) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABC d) CMR A, H, K, B, C cùng nằm trên một mặt cầu, tính bán
kính mặt cầu này ĐS: d) = √
R
IJ=c
B
A
C
D J
I
O
x
d' d
R
R (SAC) =R S.ABCD
a 2
a 2
45 0
O
D
A
C
B
S
H I
a
C
A'
C'
B'
H
K
⊥ → ⊥ ( ) → = ( ) = = Theo trên suy ra Ị
là đường trung trực của AB và CD, Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD suy ra
= = = , suy ra tâm O thuộc IJ Đặt = → = = + = +
Trang 516 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh = ; = √2, = ; ⊥ ( ) Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM với AC a) CMR: ( ) ⊥ ( ) b) Tính c) ( ; )
17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh ; là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD CMR:a) ⊥ b) Tính c) Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC d) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABO (với O là tâm ABCD)
18 Một hình trụ có bán kính đáy = 53 Khoảng cách giữa 2 đáy là ℎ = 56 Một thiết diện song song với trục là
hình vuông Tính khoảng cách từ trục đến thiết diện
19 Một hình trụ có bán kính đáy = 70 Khoảng cách giữa 2 đáy là ℎ = 20 Một hình vuông không song song
với trục có đỉnh lần lượt ở trên 2 đường tròn đáy Hãy tính diện tích hình vuông đó
20 Một hình trụ tròn xoay, một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp trong hình trụ có đỉnh lần lượt ở trên 2 đường tròn đáy
Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy của hình trụ góc 45 Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ
Giải: (sử dụng hình vẽ bài trên) Gọi OO’ là trục của hình trụ Vẽ ⊥ ; ′ ⊥ , suy ra E, F là trung điểm của AB
và CD Suy ra ⊥ → ′ chính là góc giữa mặt phẳng (ABCD) và đáy Theo giả thiết ta có: ′ = 45 → =
=
√ → ℎ = =
√ → bán kính đáy = = √ + =
√ + = Thể tích hình trụ:
= ℎ = .√ Diện tích xung quanh hình trụ là: = 2 ℎ = √
K
S
B
C D
A
M
P
O
O'
A'
A
B
B'
H
O
A
C
B E
F
Giải: a) Gọi H là trung điểm AD, suy ra ⊥ → ⊥ ( ) Giả thiết suy ra Ta có: AN và HB cắt nhau tại trung điểm K mỗi đường, suy ra ∥ → ⊥
( ) → ⊥ Mặt khác trong hình vuông ABCD ta dễ chứng minh được
c) = d) =
√
Giải: Gọi thiết diện song song với trục hình trụ là hình vuông ABB’A’, OO’ là trục của hình trụ
Ta có khoảng cách từ O đến ( ) Kẽ ⊥ → ⊥ ( ) → = ( ; ( ) Mà = √ − = √53 − 28 = 45 Vậy khoảng cách giữa trục OO’
đến mặt phẳng thiết diện là 45 cm
Giải: Gọi thiết diện là hình vuông ABCD, OO’ là trục của hình trụ Vẽ ⊥ ; ′ ⊥ , suy ra E, F là trung điểm của AB và CD Mặt khác = → = → EF cắt OO’ tại trung điểm I của mỗi đường Gọi x là cạnh hình vuông, ta có: = + ↔ =
− 100 Mặt khác: = − = 4900 − Do đó ta có phương trình: − 100 =
4900 − ↔ = 100 Vậy diện tích thiết diện là = = 10000
Trang 6Giải: Kẻ A’H vuông góc với (ABCD) vì ( ) ⊥ ( ) và ′ nhọn suy ra
H thuộc cạnh AD Ta cũng suy ra ′ là góc giữa AA’ với mặt phẳng (ABCD)→
′ = 60 → = √ → = → là trung điểm của AD Ta có =
2 ( ; ( ) = 2 = √3
21 Một hình trụ tròn xoay, có bán kính đáy R và chiều cao ℎ = √3 Cho 2 điểm A, B lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy
sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30 a) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ b) Xác định đường
vuông góc chung MN của AB và trục OO’, tìm quĩ tích của N c) CMR thể tích của tứ diện ABOO’ không đổi
22 Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh bằng a, góc của đường sinh và đáy bằng a) Tính thể tích và diện tích
xung quanh của hình nón b) Một mặt phẳng (P) qua đỉnh S của hình nón và hợp với đáy một góc bằng 60 , mặt phẳng (P)
cắt mặt nón theo giao tuyến SA, SB Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt (P)
23 Cho hình hộp ′ ′ ′ ′, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=b, cạnh bên ′ hợp với đáy (ABCD) một
góc bằng 60 , mặt bên (AA’D’D) là hình thoi có góc ′ nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD)
Tính thể tích khối tứ diện ′ ′ và ( ; )
B
A
A'
O'
O
H
I
60 0
α
A
S
B O
H
a b
b
60 0
A
D
A'
D'
C' B'
H
K
Giải: a) Kẽ đường sinh AA’, ta có ∥ → ( ; ) = ′ = 30 Kẽ ′ ⊥ ′ →
là trung điểm của A’B Mà ta có: ⊥ → ⊥ ( ) Tam giác vuông → = tan ′ = √
√ = Tam giác vuông → = √ − = √ Vì ∥
→ ∥ ( ) → ( ; ) = ( ; ( )) = ( ; ( )) = = √
b) Kẽ như hình vẽ ta dễ suy ra rằng MN là đoạn vuông góc chung của AB và trục OO’ Quỹ tích
của N là đường tròn tâm M trung điểm của OO’ bán kính = √ , đường tròn này nằm trong mặt
phẳng qua M và vuông góc với OO’
Giải: Ta có = , gọi I là trung điểm AB thì ⊥ ; ⊥ → = ( ); ( đá ) =
60 Ta có: = = cos ; ℎ = = sin → = ℎ = cos sin ;
= = cos ; = cos 60 = √ sin → = = √ sin Mà
= 2 = 2√ − = 3 (3 cos − sin ) = √ √4 cos − 1 → ( ) = = √4 cos − 1 sin Vẽ OH vuông góc SI cắt SI tại H, vì ⊥ ( ) → ( ) ⊥ ( ) → ⊥ ( ), suy ra ; ( ) = = sin 60 = sin
