Đề thi vào 10 Chuyên HÀ NAM - Môn TOÁN ( Đề Chuyên)

Chứng minh ABH’C nội tiếp b Chứng minh các tiếp tuyến với đờng tròn đờng kính BC tại K và I và AH đồng quy.. BF, BD lần lợt cắt nhau tại E và H a Chứng minh: BC2 = BE.BF và tứ giác EHDE

Trang 1

Sở giáo dục - đào tạo

hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 1999-2000

Môn : Toán chuyên

(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 đ):

Rút gọn biểu thức: A = 2x 12x 9  2x 12x 9

Bài 2: (2,0 đ)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 2x2 và điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng 2 Tìm tọa độ điểm M trên phần đồ thị của (P) từ O đến A sao cho diện tích tam giác OAM đạt giá trị lớn nhất

Bài 3: (2,0 đ) : Giải hệ phơng trình:



























) 1 (

2

) 1

( 2

.

) 1 (

2

) 1 (

2

1 1

2 00 0

19 99

3 3

2

2 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

Bài 4 (2,0 đ) :

Cho đờng tròn (O) đờng kính AH I, K là 2 điểm thuộc 2 nửa đờng tròn khác phía

đối với AH sao cho AI, AK kéo dài cắt HK, HI lần lợt tại B, C

a) Lấy H’ đối xứng với H qua BC Chứng minh ABH’C nội tiếp

b) Chứng minh các tiếp tuyến với đờng tròn đờng kính BC tại K và I và AH đồng quy

Bài 5 (2,0 đ)

Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, bán kính OC  AB Vẽ đờng tròn tâm O đờng kính OC Dựng đờng tròn tâm K tiếp xúc trong với nửa đờng tròn (O), tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I) và tiếp xúc với đoạn thẳng OB

Bài 1 (2,0 đ):

a) Tính:

3 2 2

3 2 3

2 2

3 2





b) Cho hàm số: y = f(x) =  3  5x 3  5x , tính x0 biết [f(x0)]2 = 8+2 15

Trang 2

Bài 2 (2,0 đ) Cho phơng trình ẩn x tham số m  R:

m

x

x x

x











3

1 ) 3 ( 4 ) 1 )(

3 (

a) Giải phơng trình với m = -3

b) Giải và biện luận phơng trình theo tham số m

Bài 3 (2,0 đ)

Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD, F là một điểm trên đờng tròn sao cho BF và BD khác phía nhau đối với OB BF, BD lần lợt cắt nhau tại

E và H

a) Chứng minh: BC2 = BE.BF và tứ giác EHDE nội tiếp đợc đờng tròn

b) Gọi J là điểm đối xứng của B qua O, AJ cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHD tại K Chứng minh góc AHK = 900

c) N là một điểm trên đờng tròn (O), (N khác B), NC cắt AD tại Q Tìm tập hợp tâm

đờng tròn ngoại tiếp tam giác NBQ khi điểm N chuyển động trên đờng tròn (O)

Bài 4 (4,0 đ) Cho tam giác ABC với phân giác trong AD Lấy E, F nằm giữa A, D (theo

thứ tự A, E, F, D) sao cho góc ABE = góc CBF Chứng minh: góc BCF = góc ACE

Câu 1: (2,0 đ): Cho biểu thức: Q= 2 1

1

2











x

x x x

x

x x

, với x > 0

a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tìm x để Q = 2

c) Với 0 < x < 1 tính Q + Q

Câu 2: (2,0 đ): Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm A(1; 4)

a) Viết phơng trình đờng thẳng (D) qua A với hệ số góc k (k  R) Chứng minh đ-ờng thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

b) Tìm k để (D) cắt (P) tại 2 điểm M, N sao cho:

+) Tổng các tung độ của các giao điểm đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 3

+) MA = 2AN, (Trong đó M là điểm có hoành độ âm, N là điểm có hoành độ

d-ơng)

Câu 3: (2,0 đ) :

a) Tìm những giá trị x  0 thỏa mãn: x(x 1 )  x(x 2 )  2 x(x 3 )

b) Cho x > 0, y > 0, x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:





























 12 2 12 2

y x

x y A

Câu 4(3,0 đ): Cho đoạn thẳng AB và 1 điểm M trên AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ

AB vẽ 2 hình vuông AMED và BMCF Các đờng tròn ngoại tiếp 2 hình vuông này cắt nhau tại 2 điểm M, N

a) Chứng minh đờng thẳng AN đi qua C và đờng thẳng BE đi qua N

b) Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên AB

c) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng O1O2 khi M chuyển động trên AB (O1,

O2 là tâm của 2 hình vuông nói trên)

Bài 5 (1,0 đ) Chứng minh có hay không một điểm P nằm trong tam giác có 3 cạnh là 5;

12; 13 mà khoảng cách từ P đến mỗi cạnh của tam giác đều nhỏ hơn 2

Câu 1: (2,5 đ) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phơng trình: x2 + x -1 = 0

a) Chứng minh: S = (x110 + x210) + (x1 + x2 ) - (x1 + x2 ) = 0

b) Tính A =x1 +x2

Câu 2: (2,5 đ): Cho 2 phơng trình: x2 + (m+1)x +1 = 0 (1) và x2 + x +m +1 = 0 (2) , (m

là tham số)

a) Tìm những giá trị của m để tổng các bình phơng các nghiệm của phơng trình (1)

đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tìm những giá trị của m để 2 phơng trình đã cho tơng đơng

Câu 3: (2,0 đ):

a) Giải hệ phơng trình: 











8 4

3 3 2 2

y x y x

b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x1 +x2 +x3 + +x144=2015

Câu 4: (3,0 đ): Cho góc xOy, các đờng tròn (O1; R1), (O2; R2) không cắt nhau lần lợt tiếp xúc với Ox tại M1, M2, tiếp xúc với Oy tại N1, N2

Trang 4

a) Tiếp tuyến chung trong của các đờng tròn tâm O1, O2 cắt O1O2 tại K Chứng minh: OO1.KO2 = OO2.KO1

b) Đờng thẳng M1N2 cắt đờng tròn tâm O1 tại P, cắt đờng tròn tâm O2 tại Q Chứng minh: M1P = N2Q

c) Tìm tập hợp các điểm I nằm trong góc xOy sao cho tổng diện tích các tam giác

IN1N2, IOM1 bằng N1N2.OM1

Bài 1: (2,0 đ):

1) Chứng minh rằng: 3 182  33125  3 182  33125  7

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2

) 2004 (

) 2003 (x  x

Bài 2 (2,0 đ):

1) Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: 0

14 5

3 5 2 ) 2 3 (

2

2 2













x x

a a x a

2) Cho x, y là 2 số thỏa mãn các điều kiện sau: 

















0 4

2

0 2

2

0 2

2

x y

y x

,

Chứng minh rằng: x2 + y2 

5 4

Bài 3 (2,5 đ)

1) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x4-2y4-x2y2-4x2-7y2-5=0

2) Giải hệ phơng trình: 













) 1 ( 5 1

16 4

2 2

3 3

x y

y x

Bài 4 (3,5 đ) Gọi O là tâm, r là bán kính đờng tròn nội tiếp, AD là đờng cao (D thuộc

BC) là đờng cao xuất phát từ A của tam giác ABC, kéo dài AO cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F

1) Chứng minh tam giác FBO cân

2) Gọi M là trung điểm của BC, đờng thẳng MO cắt đờng cao AD tại Chứng minh AE = r

Trang 5

hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học :2004-2005

Bài 1 (1,5 đ) Rút gọn biểu thức:

13 7 13 7

7 4 7 4 11 6 11 6













Bài 2 (2,5 đ): Cho phơng trình: 1

1

2

2 2

2







x

b x

a (1), (a, b là 2 số thực khác 0, x là ẩn)

1) Chứng minh phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt

2) Với b = 1, kí hiệu 4 nghiệm của phơng trình là x1, x2, x3, x4 và đợc sắp xếp nh vậy theo thứ tự tăng dần, tìm a để x2-x1 = x3 - x2 = x4 - x3

Bài 3 (1,5 đ): Tìm mọi giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức:

10

3

2 1 3 1 4 1

x y

y

Bài 4 (3,0 đ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O), điểm B’ đối xứng với C

qua AB, điểm C’ đối xứng với B qua AC, H là giao điểm của BC’ và CB’

1) Kí hiệu O1, O2 lần lợt là tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABB’, HAC Chứng minh: O1O2 // BC

2) Đờng thẳng AH cắt đờng thẳng BC tại D Chứng minh: BD.CD = AD.HD 3) Chứng minh 3 đờng thẳng AO, BB’, CC’ đồng quy

Bài 5 (1,5 đ) Cho tam giác ABC cố định, lần lợt lấy trên các cạnh AB, BC, CA các

điểm M, N, P sao cho: k

PA

CP NC

BN MB

AM



 , (k > 0) Tìm k để diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 6

Bài 1 (2,5 đ): Giải các phơng trình sau:

1) (1 - x - 2x2)2 - 4x3(x + 1) + 7x +1 = 0

2) 2 2 3 2 2 2 5











 x x x x



























6 5

2 3

2 2

3 :

1

x x

x

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm m để có giá trị x thỏa mãn: A( x 1 ) m(x 1 )  2

Bài 3 (2,0 đ).

1) Cho x, y, z là các số dơng Chứng minh: ( )

8

3

2 2 2

z y x y x

z x z

y z y

x







2) Gọi ,  là 2 nghiệm phân biệt của phơng trình x2 + x +k + 1 = 0

Đặt















n n n

a với n là số tự nhiên Tìm k để a9a10 - a8a11 = 1

Bài 4 (3,5 đ): Cho 2 điểm A, B và (AB) là đờng tròn đờng kính AB Điểm M trên đờng

tròn (AB), (M khác A, B) Trên tia MA lấy C sao cho MC = MB Gọi MH là đ ờng cao của tam giác MAB (H thuộc AB)

1) Tìm K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MAB Chứng minh ACIB là tứ giác nội tiếp Tìm quỹ tích điểm I khi M di chuyển trên (AB)

3) Gọi r, r1, r2 lần lợt là bán kính đờng tròn nội tiếp các tam giác MAB, HAM, HBM Tìm vị trí của M để tổng r + r1 + r2 đạt giá trị lớn nhất

Bài 1 (2,0 đ) :

1) Tính: 6  2 4  2 3  2 1  4  2 3

Trang 7

2) Cho a = 1 - 5, b = 1 + 5 Tính a3 + b3

Bài 2 (2,0 đ):

1) Giải phơng trình : (x – 1)3 + (x + 2)3 = 8x3 + 1

2) Cho hệ phơng trình:















) 2 ( 0 4 4 3

) 1 ( 81 697

2 2

4 4

y x xy y x

y x

a Nếu có x, y thỏa mãn (2), chứng minh: 1  y  7/3

b Giải hệ phơng trình đã cho

Bài 3 (2,0 đ ):

1) Cho a, b, c là độ dai 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh: a2

+ b2 + c2 + 2abc < 2

2) Cho x, y, z là các số thực dơng có tích xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x3(y1z) y3(x1z) z3(x1y)

Bài 4 (3,0 đ) Từ điểm C nằm ngoài đờng tròn (O1) kẻ tiếp tuyến CM, CN và cát tuyến CAB với đờng tròn (O1) (M, N là các tiếp điểm, A nằm giữa C và B)

1) Chứng minh AM.BN = AN.BM

2) Vẽ đờng tròn (O2) đi qua A, B (2 điểm O1, O2 khác phía đối với đờng thẳng AB) Các đờng thẳng AM, AN cắt đờng tròn (O2) lần lợt ở P, Q (P, Q khác A) Chứng minh đờng thẳng MN đi qua trung điểm I của PQ

Bài 5 (1,0 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng phân giác trong góc B cắt cạnh AC

tại D, biết BD = 7, CD = 15 Tính độ dài AD

Bài 1 (3,0 điểm)

1 Trên mặt phẳng toạ độ O xy cho ba điểm A( 2; -3), B( -2; 1) , C (4;-1)

a, Chứng minh tam giác ABC vuông

b, Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm C cắt trục õ tại điểm M và cắt trục O y tại điểm N thoả mãn diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác OMN

2 Tìm các giá trị các số thực a, b để đa thức 3x3 +ax2+bx a +4 chia hết cho đa thức

x2- 2x +3

Bài 2 (2.5 điểm)

Trang 8

1, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2  12x  9 4x2  4x 1

2, Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình x2 2x + 1 -m= 0(m là tham số) Tính giá trị của biểu thức P = 3x1x2  3x2x1 theo tham số m

Bài 3 (3.5 điểm)

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC Tiếp tuyến tại B của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt tiếp tuyến tại diềm C của đờng tròn ngoại tiếp ABM tại

điểm D

a, Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp

b, Gọi K là giao điểm của tia AM với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, chứng minh KD//BC

c, Gọi E là điểm đối xứng với điểm D qua đờng thẳng BC Chứng minh 3 điểm M,

A, E thẳng hàng

Bài 4( 1,0 điểm)

Cho f(x) = ax2 +bx +c với a, b, clà các số nguyên và akhác 0 Biềt f(0) và f(10 là các số

lẻ, chứng minh rằng phơng trình f(x) = o không có nghiệm là số nguyên

Trang 9

sở giáo dục - đào tạo

hà nam

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên

Năm học 2008 - 2009

Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Bài 1 (2,0 điểm)

1) Giải ph ơng trình: x2 2x x 1 5 0  

P



Bài 2 (2,0 điểm)

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ ờng thẳng ( ) : ym 3 x 2 1 m     

và parabol (P): y x2

a) Với m 2 tìm giao điểm của ( ) và (P)

b) Tìm m để ( ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục Oy

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Cho x, y là các số d ơng thoả mãn: 2x3y 7 Tìm giá trị bé nhất của

x y 2) Tìm tất cả các số nguyên d ơng n để giá trị của biểu thức:

A = n2009  n2008  1 là hợp số

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho  ABC vuông tại A nội tiếp trong đ ờng tròn (O), đ ờng cao AH Gọi các điểm I, O1, O2 lần l ợt là tâm đ ờng tròn nội tiếp của các tam giác ABC, AHB, AHC; đ ờng thẳng CO2 cắt AO1 tại K

a) Chứng minh tứ giác AKHC là tứ giác nội tiếp

b) Đ ờng thẳng O1O2 cắt các cạnh AB, AC lần l ợt tại M và N Chứng minh: AM = AN

c) Khi hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A di chuyển trên đ ờng tròn (O) Tìm

vị trí của A để đoạn O1O2 lớn nhất

Bài 5 (1,0 điểm)

Tìm m để hệ ph ơng trình có một nghiệm (x; y) duy nhất

2

x 2 x 2 3 x 3 0





 - Hết -

Đề chính thức

Trang 10

sở giáo dục - đào tạo

hà nam kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Năm học 2008-2009

hớng dẫn chấm môn thi toán: đề chuyên

Bài 1(2,0điểm)

1)(1,0 điểm)  x 1 2  x 1 6 0  

Đặt t = x 1 0 ta có p/t: t2  t 6 0   t 3 hoặc t = -2 (loại)

0,50

2) (1,0điểm)

P



0,50

1



7

Bài 2(2,0điểm)

a)(1,0 điểm) Với m 2 đờng thẳng ( ) có p/t: y 2 3 x 2 1     2 0,25 p/t: x2  2 3 x 2 1     2  x2  2 3 x 2 1     2 0 0,25

    p/t có 2 nghiệm là x = 2 và x 1  2 0,25

Vậy ( ) cắt (P) tại 2 điểm: (2; 4) ; (1  2; 2 2 3) 0,25

b)(1,0 điểm)

Xét p/t: x2 m 3 x 2 1 m       x2 m 3 x 2 1 m       (*)0

0,25

( ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục Oy

 (*) có 2 nghiệm x ;x1 2 phân biệt và x x1 2 0

0,25

2



 



m 1





 





 m <-1 hoặc -1<m1 0,50

Bài 3(2,0điểm)

1)(1,0 điểm) Q = 8 3

x   y  

có 8

0

x  và 2x > 0 

8 2x 8

x   ;

3 0

y  và 3y > 0 

3 3y 6

y  

0,50

dấu “=” xảy ra khi 8/x=2x và 3/y = 3y  x = 2 và y = 1

2)(1,0 điểm) Với n = 1 ta có A = 3 không là hợp số 0,25 Với n >1 khi đó A = (n2009  n )2 n2008  n(n2  n 1)

= n (n )2 3 669  1n (n ) 3 669  1  n2  n 1

0,25

có ak bk (a b)(ak 1 a b abk 2 k 1 b )k

n3  1 (n 1)(n  2  n 1)

Do đó A = (n2 + n +1) f(n) với f(n) là đa thức của n

0,25

Với  n N và n >1  n2 + n +1 >1, f(n) > 1 và là các số nguyên dơng

Trang 11

k/l: Giá trị thoả mãn của n là: n nguyên dơng và n >1.

Bài 4(3,0 điểm)

a) (1,0 điểm) Có góc AEC = gócABE + gócBAE 0,25 = gócHAC + gócHAE = gócEAC 0,25

Do đó CAE cân đỉnh C mà CK là đờng phân giác của góc C  CK AE 0,25

Có gócAHC = gócAKC = 900  AKHC là tứ giác nội tiếp 025

b) (1,0 điểm) có CI  AE  O2I  AO1 , tơng tự có O1I  AO2 0,25 Vậy I là trực tâm AO1O2  AI  O1O2 0,25 AMN có AI  MN và góc MAI = góc IAN ( cùng bằng 450 )

c) (1,0 điểm) KAO2 vuông đỉnh K mà góc KAO2 = 450 vậy KAO2 vuông

cân đỉnh K  KA = KO2

Gọi D là giao điểm của AI với đờng tròn (O) Ta có AI  O1O2

 góc KO1O2 = góc O2ID

 góc KO1O2 = góc KIA  AKI =  O2KO1  AI = O2O1 0,50

có gócDIB = gócBAD + gócABI = góc CBD + gócCBI = góc DBI

BD cho trớc nên O1O2 lớn nhất khiAD lớn nhất

Bài 4(1,0 điểm)

+ Xét p/t: x 2 x 2 3 x 3 0       x 2 1 x 3 0     0,25 Với x ta có p/t: 1 x 2 x 4 0   

Đặt t x 2 0 có p/t: t2  t 6 0  t 2 hoặc t = -3 (loại)  x 2 0,25 Với    ta có p/t: 2 x 1  x 2 x 2 0    Đặt t x 2 0 có p/t:

2

t  t 4 0  1 17

t

2



  (loại) hoặc t= 1 17

2



2

1 17

2

(loại) k/l: Phơng trình có 1 nghiệm x = 2

0,25

+ Hệ đã cho có một nghiệm (x; y) duy nhất

C

A I

D

K M

N

E H •O

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	458 KB