Sang kien kinh nghiem Toan Hoc (new)

Đề tài: "Một số kinh nghiệm Giải bài toán cực trị đại số" Phần thứ nhất mở đầu I.. Lý do chọn đề tài: Nh chúng ta đã biết, trong toán học nói chung và trong chơng trình toán THCS nói riê

Đề tài:

"Một số kinh nghiệm Giải bài toán cực trị đại số"

Phần thứ nhất

mở đầu

I Lý do chọn đề tài:

Nh chúng ta đã biết, trong toán học nói chung và trong chơng trình toán THCS nói riêng, dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một trong những dạng toán khó, lại hay thờng gặp trong các kì thi của cả GV lẫn HS Mặc dầu vậy, chúng ta vẫn cha có một tài liệu nào có thể cung cấp cho ta đầy đủ những phơng pháp, những dạng toán cơ bản thờng gặp và cũng cha có một phơng pháp tìm cực trị nào tối u cho mọi dạng toán

ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã đợc làm quen với loại toán này với dạng chuyên đề Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với HS

Với những lí do nh vậy, tôi đã tìm hiểu, xây dựng đề tài “Một số kinh

nghiệm giải bài toán cực trị Đại số” Với mong muốn đợc trình bày một vài

kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc

sự đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả

II nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu:

1 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra một số sai lầm thờng mắc phải

- Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải

- Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị

2 Mục đích nghiên cứu:

Tác giả muốn đa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học sinh và

đồng nghiệp có một cách nhìn tổng quát về các cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Thông qua các ví dụ cụ thể ban đọc có thể vận dụng từng phơng pháp nêu trên vào từng bài toán cụ thể

Do việc biến đổi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các bài toán khác nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút ra một công thức, hay phơng pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả bài toán mà chỉ thông qua các bài tập cụ thể để đồng nghiệp và HS có cách nhìn phù hợp khi giải các bài tập tơng tự

III Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu:

*********************************************************************************

1 Đối t ợng nghiên cứu:

- Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9)

2 Ph ơng pháp nghiên cứu:

- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện

- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề

- Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

Phần thứ hai.

nội dung đề tài

I Kiến thức cơ bản:

1 Định nghĩa:

Cho biểu thức đại số F(x,y,…) xác định trên miền D và M m R, 

Ta nói: M là giá trị lớn nhất (hoặc m là giá trị nhỏ nhất) của f(x,y, ) trên

D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:

i) Với mọi x, y,  D thì F(x,y, ) M (hoặcF(x,y, )m ),

ii) Tồn tại x0, y0,  D sao cho F(x0,y0, ) = M (hoặc = m)

2.

Chú ý:

Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa, chú ý đến miền giá trị của biến Rèn những phản xạ sau:

+ Chứng tỏ F(x,y, ) M (hoặc F(x,y, ) m) với mọi x, y, D

+ Chỉ ra sự tồn tại x0, y0,  D để F(x0,y0, ) đạt cực trị

Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhất của A

II Những sai lầm th ờng g ặp khi giải toán cực trị:

1 Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

5 4 4

3

2







x x A

Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất

Ta có: 4x2  4x 5  ( 2x 1 ) 2  4  4 , x

x x

4

3 5 4 4

3

2

2

1 4

3







Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định “ A có

tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà cha đa

ra nhận xét tử mẫu là các số dơng

Ta đa ra một ví dụ:

Xét biểu thức

4

1

2





x B

*********************************************************************************

Với lập luận “phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”, do mẫu nhỏ nhất bằng  4 khi x  0, ta sẽ đi đến:

4

1 maxB 

không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x  3 thì

4

1 5

1



Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên

Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4 2 4 5 ( 2 1 ) 2 4 4











tử và mẫu của A là các số dơng Hoặc từ nhận xét trên suy ra A 0, do đó A

lớn nhất khi và chỉ khi

A

1

nhỏ nhất 4 2 4 5





 x x nhỏ nhất

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: Ax2 y2biết xy 4

Lời giải sai:

Ta có: A x2 y2 2xy







Do đó, A nhỏ nhất x2 y2 2xy





  xy 2

Khi đó 22 22 8







MinA

Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm Ta

mới chứng minh đợc f(x,y) g(x,y), chứ cha chứng minh đợc f(x,y) m với

m là hằng số.

Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng

4

4

2  x

x sẽ suy ra: x2 nhỏ nhất 2 4 4 ( 2 ) 2 0 2















Dẫn đến: Minx2 4 x2

Dễ thấy kết quả đúng phải là: Min 2 0 0





x

Lời giải đúng:

Ta có: ( ) 2 4 2 2 2 2 16











Ta lại có: ( ) 2 0 2 2 2 0











Từ ( 1 ), ( 2 ): 2 ( 2 ) 2 16 2 2 8









x

Vậy MinA 8  x y 2

2 Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: Ax x

Lời giải sai:

4

1 2

1 4

1 4







































A

Vậy

4

1





MinA

******************************************************************************** Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh ,

4

1 ) (x  

f cha chỉ ra trờng hợp

xẩy ra dấu đẳng thức .

4

1 ) (x  

f Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi ,

2

1





x

vô lý

Lời giải đúng:

Để tồn tại x phải có x  0

Do đó Ax x  0

Min A 0  x 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của:

) )(

( (x y y x z x xyz

Với x,y,z 0và xyz 1

Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 2

) (

4ab ab

1 ) (

) (









y z x y z x

1 ) (

) (









z x y z x x

1 ) (

) (









x y z x y x

Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)

1 ) ) )(

(

64xyz xy yx zx 

64

1



MaxA

Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra

dấu đẳng thức Điều kiện để

64

1



Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

3 3

3 ( )( )( )

3 ) ( ) ( ) (

2  xy  yz  zx  xy yz zx ( 2 )

Nhân từng vế ( 1 ) với ( 2 )do 2 vế đều không âm)

3 3

9

2

9















*********************************************************************************

























0 ,

,

1

z y

x

z y

x

y x

z

x z

y

z y

x



















0 ,

,

1 0

z y x

z y

x

z y

x

3

1 9

2 3





















MaxA

III một số ph ơng pháp giải bài toán tìm c ực trị đại số

1 Ph ơng pháp tam thức b ậc hai:

a, Nội dung ph ơng pháp:

Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phơng một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do

b, Ví dụ:

Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai.

Ví dụ: 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 8 1





x x A

2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 4 1





B

3/ Tìm giá trị nếu có của C  3x2  4x1

4/ Cho tam thức bậc hai P ax 2 bx c -Tìm giá trị nhỏ nhất của Pnếu a 0

-Tìm giá trị lớn nhất của Pnếu a 0

HD giải:

Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai

1/ 2 8 1 ( 4 ) 2 15 15















2/ 2 2 4 1 2 ( 1 ) 2 1 1















3/

3

7 3

7 3

2 3 1 4 3

2 2





























C

3

2 3

7

4/

c

ac b a

b x a a

c x a

b x a c bx ax P

4

4 2

2 2 2











































+ Nếu

a

b x a

ac b P a

2 4

4 min

: 0

2













+ Nếu

a

b x a

ac b P a

2 4

4 max

: 0

2













Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:

VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A (x2 x 1 ) 2





 Min x x MinA

Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: B f(x)2k (k N)





VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của Cx(x 3 )(x 4 )(x 7 )

HD: Dùng phơng pháp đổi biến

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số,

có mẫu là tam thức bậc hai.

VD: Tìm giá trị lớn nhất của

5 4 4

3

2







x x M

-Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình

phơng nhị thức.

VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2

2 ) 1 (

1









x

x x P

) 1 (

1 1

1 1











x x

P

1

1





x

4

3 4

3 2

1 1

2 2

























P

1 2

1 4

3









MinP

Cách 2: Viết P dới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:

4

3 1 ( 2

1 4

3 )

1 ( 4

4 4

2

2































x

x x

x x

4

3





MinP

Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các

biến:

VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 3xy x2  y2

Biết x, y là nghiệm của phơng trình: 5x 2y 10

Giải:

Ta có:

2

5 10 10

2

5x y  y  x

) 100 160

59 ( 4









59

160 4

59 2



















*********************************************************************************

25 3481

6400 59

80 4





































59

1600 59

80 4





















59

125 59

80 4

59 59



































59 95 59 80 59

125 max

y

x A

c, Tiểu kết:

Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai

2 Ph ơng pháp miền giá tr ị của hàm số:

a, Nội dung phơng pháp:

Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x)với

.

D

x  Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ

phơng trình (ẩn x ) sau có nghiệm:

0 ) (x y

f  ( 1 )

D

Tuỳ dạng của hệ ( 1 ), ( 2 )mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trờng hợp, điều kiện ấy sẽ đa về dạng ay0 b ( 3 )

Vì y0là một giá trị bất kỳ của f (x)nền từ ( 3 )ta thu đợc: Min f(x) a

và Max f(x) b trong đó x  D.

Nh vậy thực chất của phơng pháp này là đa về phơng trình bậc hai và sử

dụng điều kiện   0

b, Ví dụ:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:

1

1

2 2











x x

x x A

Giải:

Biểu thức A nhận giá trị  khi và chỉ khi phơng trình ẩn x sau đây có nghiệm:

1

1

2 2











x x

x x

a ( 1 )

Do x2 x10 nên ( 1 )  ax2 axax2  x 1

)( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 2 )













+ TH1: Nếu a 1thì ( 2 )có nghiệm x  0

+ TH2: Nếu a 0thì để ( 2 ) có nghiệm, cần và đủ là   0, tức là:

0 ) 1 ( 4 ) 1







a

0 ) 2 2 1 4 )(

2 2 1

0 ) 3 )(

1 3

) 1 ( 3 3

1







Với

3

1



a hoặc a 3 thì nghiệm của ( 2 ) là:

) 1 ( 2

) 1 ( ) 1 ( 2

) 1 (

a

a a

a x















Với

3

1



a thì x  1 , với a 3 thì x  1

Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2 ta có:

1 3

1





MinA , MaxA 3  x  1

Cách khác:

3 1

) 1 ( 2 3 1

2 4 2 3 3 3

2

2 2

2 2





























x x

x x

x

x x x

x

A

1 3

max    

3

1 ) 1 (

3

) 1 ( 2 3

1 ) 1 (

3

) 1 2 ( 2 ) 1 (

3

1 3

3 3

3 3 3

2

2 2

2 2

2 2

2











































x x

x x

x

x x x

x

x x x

x

x x

A

1 3

1







Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dới dạng khác, đó là:

1

1 3

1

2

2













x x

x x

2/ Tìm điều kiện để phơng trình sau có nghiệm (vô nghiệm):

0 1

1

2

2













m x

x

x x

c, Tiểu kết:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức

có thể đa về hàm số bằng phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa về phơng trình

và tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Phơng pháp này có u điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phơng trình

3 Ph ơng pháp sử d ụng các bất đẳng thức quen thuộc:

a Nội dung phơng pháp:

*********************************************************************************

Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số





















M x f D x

D x M x f x

Maxf M

0

0 : (

, ) ( )

(





















m x f D x

D x M x f x

f Min m

0

0 : (

, ) ( )

(

Nh vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x)trên miền D nào đó, ta tiến hành theo hai bớc:

+ Chứng minh một bất đẳng thức

+ Tìm giá trị x 0 Dsao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm đợc trở thành đẳng thức Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản nh Côsi, Trêbsep, Bunhiacôpxki thì các giá trị nh vậy thờng đợc tìm thấy nhờ phần 2 trong cách phát hiện ra dấu đẳng thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp

b, Các bất đẳng thức thờng dùng:

1/ a2 0. Tổng quát a2k  0, k nguyên dơng

Xẩy ra dấu đẳng thức  a 0

2/ 2 0



 a Tổng quát ( a) 2k 0 ,k



Xẩy ra dấu đẳng thức  a 0

3/ a  0 Xẩy ra dấu đẳng thức  a 0

4/  a aa Xẩy ra dấu đẳng thức  a 0

5/ ab a b Xẩy ra dấu đẳng thức  ab 0 (a,bcùng dấu)

a b a  b Xẩy ra dấu đẳng thức  ab 0 (a,bcùng dấu)

abc a b  c Xẩy ra dấu đẳng thức  ab 0 ; bc 0 ;ac 0;

b a ab

b

a    Xẩy ra dấu đẳng thức  a  b

7/   2

a

b b

a

với a, bcùng dấu Xẩy ra dấu đẳng thức  a  b

8/ Bất đẳng thức Côsi:

+ Đối với 2 số dơng a, b bất kỳ

ab b a





2 (hoặc a2 b2  2ab) Xẩy ra dấu đẳng thức  a  b

+ Đối với a1  0 ; i  1 , ,n: n n a a a

n

a a

a

2 2 1 2

1   

9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:

Nếu (a1,a2, a n)và (b1,b2, b n)là những số tuỳ ý, ta có:

) ,

(a 2 a 2  a 2 (b2 b 2 , b 2)  (a b a b  a b )2

Dấu bằng xẩy ra

j

j i

i

b

a b

a



 (với quy ớc rằng nếu a i  0 thì b i  0)

10/ Bất đẳng thức Trêbsép

+ Nếu a1 a2  a n, b1 b2  b n

thì n(a1b1a2b2 a n b n)  (a1a2 a n).(b1b2 b n).

Dấu bằng xẩy ra  a  i a j hoặc b i b j;a i,b j tuỳ ý

+ Nếu a1 a2  a n, b1 b2  b n

thì n(a1b1a2b2 a n b n)  (a1a2 a n).(b1b2 b n).

Dấu bằng xẩy ra  a  i a jhoặc b i b j;a i,b j tuỳ ý

c, Các ví dụ:

VD1: Cho biểu thức xyyzzx 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px4 y4 z4

Giải

áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với (x,y,z)và (y,z,x)

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

) (

1 ) )(

( ) (

1  xyyzzx  x y z y z x   x y z ( 1 )

Mặt khác, đối với ( 1 , 1 , 1 )và 2 , 2 , 2 ),

z y

) (

) 1 1 1 ( ) 1 1

1

( x2  y2  z2 2  2  2  2 2 y4 z4 x4 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )suy ra:

3

1 3

) (

3











Vậy  xyz

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:

a/ A x 1  y 2 biết xy 4

b/

y

y x

x

Giải:

a/ Điều kiện: x 1 ; y 2

Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng: ab ab

2

ở đây lại muốn làm tăng một tổng Ta dùng bất đẳng thức:

) (

2 a2 b2

b

*********************************************************************************



















2 2 2

1 1 1 3

1

z x y

x z x y y x MinP

2 ) 2 1 ( 2 2

1       



 x y x y

A

Cách khác: Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Côsi

b/ Điều kiện: x 1 ; y 2

Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội một tích:

2

b a

ab  

Ta xem các biểu thức: x 1 , y 2 là các tích: x 1  1 (x 1 )

2

) 2 (

2

y

Theo bất đẳng thức Côsi:

2

1 2

1 1 ) 1 (

1 1















x

x x

x x

x

4

2 2 2

2 2 2

2 2 2

) 2 ( 2 2

















y

y y

y y

y





































4

2 2

2

1 1 4

2 2 4

2 2

1

y

x x

x MaxB

VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Ax 2  x 3

Giải:

Ta có: Ax 2  x 3 x 2  3  x  1

3 0

) 3 ( 2 (



Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi x 3  3  x để áp dụng bất

đẳng thức giá trị tuyệt đối

Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.

VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x 1  x 2   x 2000

Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: ab a  b đối với 1000 cặp giá trị tuyệt đối

Ta có: y  (x 1  x 2000 )  (x 2  x 1999 )   (x 999  x 1000 )

1 ; 2000

1999 min

1999 ) 2000 1

1  x  x   y   x

y

2 ; 2000

1997 min

1997 ) 1999 2

2  x x   y   x

y

1 min

1 ) 1000 999

1000  x  x   Y   x

Y

Vậy 1 3 5 1999 1000 2 1000000















y

Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:

1/ Tìm miền giá trị của hàm số:

2004

2

1      



y

2/ Chứng minh bất đẳng thức: