Sáng kiến kinh nghiệm toán học lê hữu trác

LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đổi phương pháp giảng dạy để thích ứng với đổi chương trình sách giáo khoa, theo kịp đổi Bộ giáo dục đào tạo, hưởng ứng phong trào thầy cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo, với dịp nhà trường, cơng đồn phát động thi Sáng kiến kinh nghiệm làm đồ dùng dạy học với kinh nghiệm ỏi tích luỹ năm cơng tác mình, tơi nghiên cứu đề tài giải toán chứa tham số phương pháp ứng dụng đạo hàm Vì thời gian ít, kiến thức có hạn, tài liệu tham khảo không nhiều nên dừng lại mức toán gặp các kỳ thi Trường, Sở Bộ giáo dục đưa ra, tìm hướng giải chung cho tốn Trong q trình nghiên cứu khơng thể tránh sai sót, mong quý đồng nghiệp cho ý kiến góp ý để đề tài phát triển rộng rãi Mọi đóng góp xin gửi địa mail: hothanhlht@gmail.com Cuối xin chúc Ban giám khảo thi gia đình sức khoẻ, hạnh phúc thành đạt Cưmgar, ngày 15 tháng 02 năm 2011 Người viết Phạm Long Hổ I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn vấn đề nghiên cứu Trên thực tế học sinh THPT học nhiều dạng toán PT, BPT hệ PT cụ thể : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy bậc hai, chứa ẩn dấu chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Lớp 11 có PT lượng giác Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ logarit Trong có nhiều dạng tốn cần phải thực phương pháp đặt ẩn phụ tiến hành lời giải hầu hết tốn không chứa tham số Tuy nhiên, đề thi tuyển sinh Đại học đề thi học sinh giỏi thường có tồn đề cập đến PT, BPT chứa tham số tìm GTLN, GTNN mà tiến hành lời giải phải đặt ẩn phụ tìm ĐK ẩn phụ Với gần mười năm làm giáo viên dạy tốn, tơi may mắn tham gia giảng dạy cho nhiều lớp ôn thi Đại học tơi thấy có số vấn đề cần phải giải quyết: Một là: Việc biến đổi PT, BPT đặt ẩn phụ để quy PT cho PT bậc cao học sinh giải nhiều lớp 10 lớp 11, khảo sát hàm số cách ứng dụng đạo hàm đến lớp 12 học nên làm cần phải kết hợp hai việc với học sinh lúng túng nên lời giải nhiều không chặt chẽ Hai là: Khi học sinh làm tập PT, BPT tìm GTLN, GTNN biểu thức có điều kiện mà lời giải có bước đặt ẩn phụ tơi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm: đặt ẩn phụ mà khơng nghĩ đến tìm điều kiện ẩn phụ tìm sai điều kiện nó, tìm xác điều kiện ẩn phụ lập luận PT, BPT theo ẩn phụ lại khơng xét điều kiện ràng buộc nên dẫn đến kết luận khơng xác Ba là: Từ năm 2006, sách giáo khoa khơng nói đến định lý đảo dấu tam thức bậc hai, sách tham khảo xuất trước có nhiều tốn sử dụng định lý để thực việc so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số cho trước nên học sinh đọc sách hoang mang Do đó, người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số tình khơng thể giải đơn theo kiểu tính biệt thức ∆(đenta) Những vấn đề lý để chọn đề tài: Ứng dụng đạo hàm ẩn phụ để tìm tham số tốn phương trình, bất phương trình 2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Làm sáng tỏ liên hệ số nghiệm PT ẩn với số giao điểm hai đồ thị hai hàm số hai vế PT đó, nghiệm PT hồnh độ giao điểm nghĩa từ giao điểm mà chiếu vng góc lên trục hồnh ta tìm nghiệm tương ứng Hai là: Trong giải toán PT, BPT tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức có điều kiện mà phải thực việc đặt ẩn phụ việc tìm điều kiện ẩn phụ cần thiết, việc tìm điều kiện ẩn phụ thực tìm tập giá trị ẩn phụ tập xác định toán cho Sau tìm điều kiện ẩn phụ yêu cầu đề tốn theo ẩn phải quy u cầu tương ứng cho toán theo ẩn phụ điều kiện Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện tốn PT, BPT có tham số tốn tìm GTLN, GTNN có liên quan đến phép đặt ẩn phụ Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng toán PT, BPT tốn tìm GTLN, GTNN đặc biệt toán PT, BPT chứa tham số lời giải có việc đặt ẩn phụ Phạm vi nghiên cứu đề tài tồn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thông đặc biệt phần: PT, BPT, hệ PT quy bậc cao ẩn, PT, BPT chứa ẩn dấu bậc hai chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối, PT lượng giác, PT, BPT mũ logarit Kế hoạch nghiên cứu Trong trình dạy học với trăn trở trình bày phần sở thực tiễn để đưa lý chọn đề tài cho em học sinh từ lớp 10 làm toán PT, BPT quy bậc hai, PT, BPT chứa ẩn dấu bậc hai có liên quan đến tham số đặt ẩn phụ Các em học sinh lớp 11 làm tốn PT lượng giác có liên quan đến tham số, tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức lượng giác nói chung phải đặt ẩn phụ Khi học sinh làm toán mà sau đặt ẩn phụ quy PT bậc hai tính tốn đơn thông qua biệt thức ∆(đenta) sau biến đổi cô lập tham số ta vế hàm số bậc hai ẩn phụ, nhiều em làm khơng xác khơng để ý tìm điều kiện ẩn phụ có tìm điều kiện ẩn phụ tìm khơng xác Với tốn có tham số mà sau đặt ẩn phụ lại quy PT, BPT có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bậc bốn hàm số phân thức học sinh khơng thể giải em chưa học khảo sát loại hàm số Các vướng mắc nói giải toàn diện học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Do đó, từ đầu năm học 2010 – 2011 tơi nghiên cứu đề tài nói thơng qua số tiết tự chọn chủ đề ứng dụng đạo hàm hai lớp 12A3, 12A8 lớp luyện thi đại học từ xây dựng, hồn thiện viết II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận a) Tìm số nghiệm phương trình Xét PT f ( x) = g (m) , (1) Trong x ẩn thực m tham số thực - Số nghiệm PT (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) ( nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thơng qua BBT nó) đường thẳng y = g (m) đường thẳng vng góc với trục Oy điểm có tung độ g ( m) - Các nghiệm x1 , x2 , , xn (nếu có) PT (1) hồnh độ giao điểm b) Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số * Từ việc lập BBT hàm số f ( x) tập xác định ta tìm thấy điểm đồ thị có tung độ lớn ( nhỏ ) giá trị GTLN ( GTNN ) hàm số * Nếu hàm số f ( x) xác định liên tục đoạn [ a; b ] ta tìm GTLN GTNN theo bước sau : - Tìm điểm x1 , x2 , , xn đoạn [ a; b ] mà f ' ( x) = f ' ( x) khơng xác định; - Tính giá trị f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) ; - Số lớn ( bé ) số GTLN (GTNN ) hàm số f ( x) đoạn [ a; b ] c) Tìm tham số tốn bất phương trình Nếu hàm số f ( x) có GTLN GTNN tập xác định D f ( x ) ≥ g ( m) ; BPT : f ( x) ≥ g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D D f ( x) ≤ g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D mDax f ( x) ≤ g (m) ; f ( x) ≥ g (m) có nghiệm x ∈ D mDax f ( x) ≥ g (m) ; f ( x ) ≤ g ( m) f ( x) ≤ g (m) có nghiệm x ∈ D D Trong trường hợp hàm số f ( x) khơng có GTLN GTNN tập D ta phải kết hợp với BBT đồ thị để có kết luận thích hợp Các phương pháp tiến hành Vì hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 12, bắt đầu phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với tiết học tự chọn lồng ghép tập liên quan đến tìm tham số đặt ẩn phụ Nhưng thời gian khơng có nhiều, nhiều học sinh lớp dạy (12A3 12A8) thụ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho số học sinh vài tập để em nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp cho số học sinh lên bảng làm số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi phân tích lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng bài, qua dạng Để cho việc tiếp thu học dễ dàng chia nội dung viết thành bốn phần sau: - Phương trình, bất phương trình bậc cao ẩn - Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu - Phương trình, bất phương trình mũ logarit PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN Bài Tìm tham số a để PT: x − 3x − a = , (1) có ba nghiệm phân biệt có nghiệm bé Giải PT (1) ⇔ x3 − 3x = a , (1a) Yêu cầu đề tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 cho x1 < ≤ x2 < x3 tức đường thẳng y = a phải cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − x ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 < ≤ x2 < x3 x = ' ' Ta có f ( x) = x − x ; f ( x) = ⇔  x =  3 lim f ( x) = lim x 1 − ÷ = −∞ ; x →−∞ x →−∞  x Bảng biến thiên hàm số f ( x) x f ' ( x) -∞ +∞ +∞ + lim f ( x) = +∞ x →+∞ - - -2 −∞ + +∞ f ( x) +∞ -4 Từ BBT suy điều kiện phải tìm −4 < a ≤ −2 Nhận xét: Nghiệm (1a) hoành độ giao điểm đường thẳng y = a với đồ thị hàm số y = f ( x ) tức từ giao điểm ta chiếu vng góc lên trục hồnh suy vị trí nghiệm Bài Biện luận theo m số nghiệm thực PT: x − + 3( x − 1) + m = , (2) Giải Đặt t = x − , ∀x ∈ ¡ ⇒ t ≥ PT (2) trở thành t + 3t + m = ⇔ m = −t − 3t , (2a) Xét hàm số f (t ) = −t − 3t với t ≥ có f ' (t ) = −3t − 6t ≤ 0, ∀t ≥ ; lim f (t ) = −∞ t →+∞ Bảng biến thiên hàm số f (t ) t + - f ' (t ) f (t ) −∞ Từ BBT ta thấy - Nếu m > ⇒ ( 2a) nghiệm t > nên ( 2) vơ nghiệm - Nếu m = ⇒ ( 2a) có nghiệm t = nên ( 2) có nghiệm x = - Nếu m < ⇒ ( 2a) có nghiệm t > nên ( 2) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: - Thay việc khai dấu giá trị tuyệt đối ta thực việc đặt ẩn phụ để có lời giải ngắn gọn - Lưu ý quan hệ số nghiệm theo ẩn t số nghiệm theo ẩn x Bài Tìm tham số a để PT: − x + ax − = m , ( 3) có ba nghiệm phân biệt ∀m ∈ ( −4;0 ) Giải Yêu cầu đề tương đương với ∀m ∈ ( −4;0 ) đường thẳng y = m phải cắt  f CD ≥ đồ thị hàm số y = f ( x ) = − x + ax − ba điểm phân biệt ⇔  (*) f  CT ≤−4 Ta có f ( x) = −3 x + 2ax ; '  x=0 f ( x) = ⇔  2a x =  ' Hàm số có cực đại cực tiểu ≠ 2a ⇔ a ≠ 0, 2a điểm cực trị hàm số ⇒ giá trị cực trị 2a 4a f (0) = −4 f  ÷ = −4   27 x = x = 4a Theo ĐK (*) suy số -4 phải giá trị cực tiểu số − giá trị 27 a cực đại ⇒ − ≥ ⇔ a ≥ 27 2a ≥ Lập Bảng xét dấu f ' ( x) suy x = điểm Thử lại : Khi a ≥ ⇒ 2a cực tiểu , x = điểm cực đại giá trị cực trị thỏa mãn ĐK (*) Vậy ĐK phải tìm a ≥ Tổng quát: Xét hàm số f ( x) = ax + bx + cx + d với a ≠ ' - Hàm số f ( x ) có cực đại cực tiểu PT f ( x) = có hai nghiệm phân biệt - PT f ( x) = g (m) có ba nghiệm phân biệt điều kiện cần đủ f CT ≤ g (m) ≤ f CD Bài Chứng minh ∀a ≠ hệ PT sau có nghiệm nhất:  a2 2 x = y + y   2 y = x + a  x Giải ĐK : x ≠ 0, y ≠  2x2 y = y + a2 (1) Hệ PT cho ⇔  2 (2) 2 y x = x + a Từ (1) ⇒ x y > ⇒ y > ; từ (2) ⇒ y x > ⇒ x > Lấy (1) trừ (2) theo vế ⇒ xy ( x − y ) = y − x ⇔ xy ( x − y ) + ( x − y )( x + y ) = ⇔ ( x − y )(2 xy + x + y ) = ⇔ x − y = ( xy + x + y > ) ⇔ y = x vào (1) Suy x3 = x + a ⇔ x3 − x = a (*) Ta thấy số nghiệm dương PT (*) số nghiệm hệ PT cho Xét hàm số f ( x) = x − x với x ≥ x = ' ' f ( x) = x − x; f ( x) = ⇔  x =  1  lim f ( x) = lim x  − ÷ = +∞ x →+∞ x →+∞ x  Bảng biến thiên x f ' ( x) f ( x) 1/3 - + − 27 Từ BBT suy ∀a ≠ đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ dương suy hệ PT cho có nghiệm Nhận xét: - Khi giải hệ PT đối xứng loại hai có dạng hệ PT (1) (2) nói cách giải truyền thống lấy PT trừ cho để tính ẩn theo ẩn cịn lại sau lại hai PT cho - Hệ PT có lời giải ngắn gọn ta nhận xét tính chất x > 0, y > - Sau biến đổi PT (*) PT bậc ba nên không sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số việc tìm lời giải vơ khó khăn  x − 3x ≤ Bài Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm  3  x − x x − − m − 20m ≥ Giải Hệ cho 0≤ x≤3  ⇔ ⇔ x3 − x x − ≥ m3 + 20m với ĐK x ∈ [ 0;3]  x − x x − ≥ m + 20m Đặt f ( x) = x − x x − Hệ cho có nghiệm BPT f ( x ) ≥ m3 + 20m có nghiệm x ∈ [ 0;3] ⇔ max f ( x ) ≥ m + 20m [ 0;3] - Nếu x ∈ [ 0;2] ⇒ f ( x) = x3 − x(2 − x) = x + x − x ' có f ' ( x) = x + x − ; f ( x) = ⇔ x = x = −2 ( loại ) 40 2 f (0) = 0; f (2) = 8; f  ÷ = − ⇒ max f ( x) = [ 0;2] 27 3 - Nếu x ∈ [ 2;3] ⇒ f ( x) = x3 − x( x − 2) = x − x + x ' có f ( x) = x − x + > 0, ∀x ∈ [ 2;3] f (2) = 8; f (3) = 21 ⇒ max f ( x) = 21 [ 2;3] f ( x ) = 21 nên ta phải có m3 + 20m ≤ 21 ⇔ m ≤ Vậy max [ 0;3] Tóm lại ĐK phải tìm m ≤ Nhận xét: Việc tìm tham số để hệ BPT cho có nghiệm quy tốn tìm tham số để BPT có nghiệm tập cho trước chuyển tốn tìm GTLN GTNN hàm số Bài Tìm tham số m để BPT mx − x + m ≥ , (11) thỏa mãn ∀x Giải 4x 4x BPT (11) ⇔ m( x + 1) ≥ x ⇔ m ≥ (11a) Đặt f ( x) = x +1 x +1 BPT (11) thỏa mãn ∀x BPT (11a) thỏa mãn ∀x ⇔ max f ( x) ≤ m − 12 x 4(1 + x 3)(1 − x 3) ' f ( x) = = Ta có 3 x + ( ) ( x4 + 1) lim f ( x) = lim f ( x) = ⇔ x = ± ; ' x →−∞ x →−∞ x + x = 0; lim f ( x) = x →+∞ Bảng biến thiên x f ' ( x) f ( x) + 0 Từ BBT ⇒ max f ( x) = 27 Vậy ĐK phải tìm m ≥ 27 Nhận xét: Trong đề bậc tham số m nên ta nhóm m làm thừa số chung thực việc chia hai vế cho biểu thức dương để cô lập tham số Bài Tìm tham số m để BPT m x − x + m ≥ 0, (12) thỏa mãn ∀x Giải Đặt t = x ; ∀x ∈ ¡ ⇒ t ≥ Bài tốn trở thành tìm tham số m để f (t ) = m 2t − 2t + m ≥ 0, ∀t ≥ ⇔ f (t ) ≥ [ 0;+∞ ) - Nếu m = ⇒ f (t ) = −2t ≥ 0, ∀t ≥ vô lý suy m = bị loại f ' (t ) = 2m 2t − ; f ' (t ) = ⇔ t = > - Nếu m ≠ 0, m Bảng biến thiên 10 t 0 f ' (t ) + f (t ) m3 − m3 − ; ≥ ⇔ m ≥1 [ 0;+∞ ) m2 m2 Vậy ĐK phải tìm m ≥ Nhận xét: Trong lời giải toán sau đặt ẩn phụ ta hàm số bậc hai khơng cần sử dụng đạo hàm ta lập BBT hàm số Tuy nhiên tơi trình bày để tiện liên hệ với 11 trường hợp không cô lập tham số Bài tập tương tự 1.Tìm tham số a để PT sau có nghiệm nhất: x + ax − = Biện luận theo m số nghiệm PT x + (3 − m) x + − 2m = so sánh nghiệm với số -3 -1 Tìm tham số m để PT sau có ba nghiệm dương phân biệt: x − x + 18mx − 2m = Cho hàm số f ( x) = − x + 3mx − Tìm tham số m để f ( x) ≤ − , ∀x ≥ x Từ BBT suy f (t ) = PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Bài Biện luận theo tham số m số nghiệm PT x + = m x + (1) Giải x+3 = m , (1a) PT (1) ⇔ x2 + x+3 Xét hàm số f ( x) = ¡ x2 + Số nghiệm PT (1) số nghiệm PT (1a) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = m x x2 + − ( x + 3) − 3x ' x + ' f ( x) = = ; f ( x ) = ⇔ x = x2 + ( x + 1) x + 11 lim f ( x) = lim x →−∞ x →−∞ 1+ x − 1+ x = −1 ; lim f ( x) = x →+∞ Bảng biến thiên + x + f ' ( x) f ( x) -1 Từ BBT suy ra:  m > 10 ⇒ PT (1) vô nghiệm - Nếu  m ≤ −   m = 10 ⇒ PT (1) co nghiệm - Nếu  − < m ≤  - Nếu < m < 10 ⇒ PT (1) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: - Với kiến thức học sinh lớp 10 giải tốn theo cách bình phương hai vế phức tạp phải so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số cho trước - Với ứng dụng đạo hàm ta có lời giải rõ ràng - Bài tốn cịn phát biểu theo cách tìm miền giá trị hàm số f ( x) Bài Tìm tham số m để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt : x + mx + = x + , (2) Giải PT (2) ⇔ x + mx + = ( x + 1) ( với ĐK x + ≥ ) ⇔ x + mx + = x + x + ( với x ≥ − ) 2 ⇔ mx = 3x + x − , (2a) Dễ thấy x = khơng thỏa mãn PT (2a) 1 PT (2a) ⇔ m = x + − , (2b) với x ≥ − x ≠ x 12 PT (2) có hai nghiệm thực phân biệt ⇔ PT (2b) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK x ≥ − x ≠ tức đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số   y = f ( x) = 3x + − hai điểm phân biệt tập  − ;0 ÷∪ ( 0; +∞ ) x     f ' ( x) = + > 0, ∀x ∈  − ;0 ÷∪ ( 0; +∞ ) Ta có x   lim f ( x) = +∞ ; lim+ f ( x) = −∞ ; lim f ( x) = +∞ x →+∞ x →0 − x →0 Bảng biến thiên + x + ' f ( x) +∞ f ( x) −∞ Từ BBT suy ĐK phải tìm m ≥ + Nhận xét: Sau biến đổi PT (2) PT (2a) ta thực lời giải theo cách so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số − phức tạp , ứng dụng đạo hàm ta biện luận số nghiệm PT cho Bài Chứng minh ∀m > PT sau có hai nghiệm phân biệt: x + x − = m( x − 2) (3) Giải ( x + x − ) = m( x − 2) 2 ⇔ ( x − ) ( x + ) = m ( x − ) , (3a) PT (3) ⇔  x2 + 2x − ≥  với ĐK x ≤ −4 x ≥ Từ PT (3a) ⇒ m ( x − ) ≥ mà m > ⇒ x ≥ ta cần xét PT (3a) với ĐK x ≥ x=2  ⇔ PT (3a)   m = ( x − ) ( x + ) , (3b) (3b) ⇔ m = x3 + x − 32 Xét hàm số f ( x) = x + x − 32 với x ≥ f ' ( x) = x + 12 x ≥ 0, ∀x ≥ 13 lim f ( x) = +∞ x →+∞ Bảng biến thiên x + f ' ( x) f ( x) Từ BBT suy ∀m > PT (3b) có nghiệm x > ⇒ PT (3) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Sau tìm ĐK x ≥ việc khảo sát hàm số f ( x) dễ dàng chủ yếu dùng đạo hàm nhiên dùng định nghĩa suy tính đồng biến hàm số f ( x) Bài Tìm tham số m để PT sau có nghiệm: + x + − x − (3 + x)(6 − x) = m , (5) Giải ĐK : −3 ≤ x ≤ u2 − Đặt u = + x + − x ⇒ u = + x + − x ⇒ (3 + x )(6 − x ) = Để tìm ĐK u ta xét hàm số u = f ( x) = + x + − x với x ∈ [ −3;6] 1 ' − ; f ' ( x) = ⇔ + x = − x ⇔ x = Có f ( x) = 3+ x 6− x ' f ( x) không xác định điểm x = −3, x = 3 f ( −3) = 3, f (6) = 3, f  ÷= 2 ⇒ max f ( x) = 2, f ( x) = ( [ −3;6] ) [ −3;6] ∀x ∈ [ −3;6] ⇒ u ∈ 3;3  u2 − 9 PT (5) trở thành u − = m ⇔ − u + u + = m , (5a) với u ∈ 3;3  2 PT (5) có nghiệm PT (5a) có nghiệm u ∈ 3;3  Xét hàm số g (u ) = − u + u + đoạn 3;3  2 g ' (u ) = −u + < 0, ∀u ∈ 3;3  ⇒ hàm số g (u ) nghịch biến đoạn 3;3    14 g (3) = 3; g (3 2) = − Vậy ĐK phải tìm − 9 ≤ m ≤ Nhận xét: - Có thể thay tốn tốn BPT tốn tìm GTLN GTNN hàm số vế trái ta có phương pháp giải tương tự - Nếu đề yêu cầu giải PT (5) với m số cụ thể việc tìm điều kiện u khơng cần thiết, ta cần suy điều kiện hiển nhiên sau tìm ẩn phụ u ta cịn phải thay vào bước đặt để tìm ẩn x - Nếu tốn có tham số việc tìm ĐK u khơng thể bỏ qua khơng làm sai Việc tìm ĐK u thực chất việc tìm tập giá trị hàm số f ( x) tập xác định PT cho Bài Tìm tham số m để PT sau có nghiệm: m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x , (6) Giải ĐK : −1 ≤ x ≤ Đặt u = + x − − x  ≤ + x ≤ ∀x ∈ [ −1;1] ⇒  ⇒0≤u≤ 2 − ≤ − − x ≤  Dễ thấy u = x = 0; u = x = ±1 Vậy ∀x ∈ [ −1;1] ⇒ u ∈ 0;  u = ( 1+ x − 1− x 2 ) ⇒ − x4 = − u PT (6) trở thành m(u + 2) = − u + u với ĐK u ∈ 0;  −u + u + ⇔m= , (6a) u+2 PT (6) có nghiệm PT (6a) có nghiệm u ∈ 0;  −u + u + Xét hàm số f (u ) = , với u ∈ 0;  u+2 −u − 4u f ' (u ) = ≤ 0, ∀u ∈ 0;  u + ( ) suy hàm số f (u ) nghịch biến đoạn  0;  f (0) = 1; f ( 2) = Vậy ĐK phải tìm −1 −1 ≤ m ≤ 15 Nhận xét: Lời giải tập có phương pháp việc tìm ĐK ẩn phụ số không dùng đạo hàm mà thực số phép biến đổi kéo theo nên cần phải thấy rõ tập giá trị ẩn phụ TXĐ PT (6) Bài Tìm tham số m để PT sau có nghiệm: x − + m x + = x − 1, (7) Giải x −1 x −1 ĐK: x ≥ , x + > PT (7) ⇔ +m=2 x +1 x +1 x −1 x −1 ⇔3 + m = x +1 x +1 x −1 x −1 ⇒ =t Đặt t = x +1 x +1 x −1 Xét hàm số g ( x) = , với x ≥ x +1 ' g ( x ) = > 0, ∀x ≥ suy hàm số g ( x) đồng biến ∀x ≥ Có ( x + 1) g (1) = 0; lim g ( x) = Như ∀x ≥ ⇒ t ∈ [ 0;1) x →+∞ PT cho trở thành: −3t + 2t = m , (7a) với ĐK t ∈ [ 0;1) PT (7) có nghiệm PT (7a) có nghiệm t ∈ [ 0;1) Xét hàm số f (t ) = −3t + 2t nửa khoảng [ 0;1) f ' (t ) = −6t + ; f ' (t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên t + f ' (t ) f (t ) -1 Từ BBT suy ĐK phải tìm −1 < m ≤ Nhận xét: Trong lời giải việc tìm ĐK t việc khảo sát hàm số f (t ) không thiết phải sử dụng đạo hàm việc ứng dụng đạo hàm làm cho lời giải tự nhiên dễ dàng 16 Bài Tìm tham số m để BPT sau có nghiệm: mx − x − ≤ m + 1, (8) Giải ĐK: x ≥ Đặt t = x − ⇒ t ≥ x = t + BPT (8) trở thành m(t + 3) − t ≤ m + với ĐK t ≥ t +1 ⇔ m(t + 2) ≤ t + ⇔ m ≤ , (8a) với ĐK t ≥ t +2 t +1 Xét hàm số f (t ) = t +2 f (t ) ≥ m Ta thấy BPT (8) có nghiệm ⇔ BPT (8a) có nghiệm t ≥ ⇔ max [ 0;+∞ ) f (t ) = ' −t − 2t + (t + 2) ;  t = −1 + f ' (t ) = ⇔ −t − 2t + = ⇔  t = −1 − Bảng biến thiên t + + f ' (t ) f (t ) 1+ [ 0;+∞ ) 1+ Vậy ĐK phải tìm m ≤ Nhận xét: Với kiến thức lớp 10 học sinh giải tốn thơng qua việc so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số 0, nhiên phức tạp Từ BBT suy max f (t ) =  x + y =3 m Bài Tìm tham số để hệ  có nghiệm thỏa mãn x ≥  x + + y + ≤ m Giải ĐK : x ≥ y ≥ Đặt u = x ⇒ u ≥ 2; v= y ⇒v≥0 u + v = Hệ cho trở thành  2  u + + v + ≤ m Từ (1) ⇒ v = − u vào (2) 17 (1) (2) ⇒ u + + u − 6u + 12 ≤ m, (3)  v≥0  u≥2  ⇒ u ∈ [ 2;3] Vì  u ≥ ⇒  − u ≥ v = − u   Xét hàm số f (u ) = u + + u − 6u + 12 f (u ) ≤ m Vậy hệ cho có nghiệm ⇔ BPT (3) có nghiệm u ∈ [ 2;3] ⇔ [ 2;3] Hàm số f (u ) xác định liên tục đoạn [ 2;3] u u −3 f ' (u ) = + ; 2 u +5 u − 6u + 12 f ' (u ) = ⇔ u u − 6u + 12 = (3 − u ) u + ⇔ u ( u − 6u + 12 ) = ( − u ) ( u + ) với u ∈ [ 2;3]  15 + 135  u1 = ⇔ 2u − 30u + 45 = ⇔   15 − 135 u =  u1 > 3, u2 < nên bị loại f (2) = 5, f (3) = + 14 ⇒ f (u ) = [ 2;3] Vậy ĐK phải tìm m ≥ Nhận xét: - Trong lời giải tốn việc tìm TXĐ cho hàm số f (u ) qua trọng - Đề phát biểu theo kiểu tương tự: Cho số x, y thỏa mãn ĐK x ≥ 4, y ≥ x + y = Hãy tìm GTLN GTNN biểu thức P= x + + y + Bài tập tương tự 1.Tìm tham số m để PT sau có nghiệm: 4 x − 13x + m + x − =  x − x + ≤ 2.Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm:  3 x − mx x + 16 = Hướng dẫn: Hệ cho ⇔ x − mx x + 16 = 0, với x ∈ [ 1;4] Đặt t = x ; ∀x ∈ [ 1;4] ⇒ t ∈ [ 1;2] 3.Tìm tham số m để BPT m( x − x + + 1) + x(2 − x) ≤ 18 có nghiệm x ∈ 0;1 +  4.Tìm tham số m để PT sau có nghiệm: x x + x + 12 = m( − x + − x ) x x + x + 12 đoạn [ 0;4] 5− x + 4− x Hướng dẫn: Khảo sát hàm số f ( x) = Tìm tham số m để BPT: (x + 1) + m ≤ x x + + , thỏa mãn ∀x ∈ [ 0;1] ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ t ∈ 0;  Tìm tham số a để BPT: a x + < x + a nghiệm với x Hướng dẫn : Đặt t = x x + 2, PHẦN III : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT log(mx) = 2, (1) Bài Tìm tham số m để PT sau có nghiệm thực nhất: log( x + 1) Giải  x +1> mx >  x > −1, x ≠     x≠0 ⇔ PT (1) ⇔  x + > 0, x + ≠ ⇔  x2 + 2x + , (1a) log( mx) = 2log( x + 1)  m = x   mx = x + ( )  PT (1) có nghiệm PT (1a) có nghiệm thỏa mãn ĐK x > −1 x ≠ tức đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số x2 + 2x + y = f ( x) = điểm tập ( −1;0 ) ∪ ( 0; +∞ ) x x2 − ' Ta có f ( x) = ; f ' ( x) = ⇔ x = ±1 x lim− f ( x) = −∞; lim+ f ( x) = +∞; lim f ( x) = +∞; x →0 x →+∞ x →0 Bảng biến thiên x f ' ( x) + + f ( x) m < Từ BBT suy ĐK phải tìm  m = Nhận xét: 19 - phát biểu đề theo tổng quát hơn: Biện luận theo tham số m số nghiệm PT cho - Lưu ý nhờ phép biến đổi logic nên PT (1) trở thành PT (1a) với ĐK x > −1 x ≠ Bài Tìm tham số m a để PT sau có nghiệm thực: 2 91+ 1− x − (m + 3)31+ 1− x + 2m + = 0, (2) Giải ĐK: −1 ≤ x ≤ ∀x ∈ [ −1;1] ⇒ ≤ + − x ≤ ⇒ ≤ u ≤ PT (2) trở thành u − (m + 3)u + 2m + = với ĐK u ∈ [ 3;9] ⇔ u − 3u + = m(u − 2) Đặt u = 31+ 1− x ; u − 3u + = m , (2a) với u ∈ [ 3;9] u−2 PT (2) có nghiệm ⇔ PT (2a) có nghiệm u ∈ [ 3;9] u − 3u + Xét hàm số f (u ) = xác định liên tục đoạn [ 3;9] u−2 u − 4u + ' f (u ) = > 0, ∀u ∈ [ 3;9] u − ( ) ⇒ f (u ) hàm số đồng biến đoạn [ 3;9] 55 f (3) = 1; f ( 9) = 55 Vậy ĐK phải tìm ≤ m ≤ Nhận xét: - Đề phát biểu tương tự thay PT BPT - Lưu ý phải tìm ĐK xác ẩn phụ, học sinh thường làm sai bước sai theo nhiều kiểu khác Bài Tìm tham số m để PT (m + 3)16 x + (2m − 1)4 x + m + = 0, (3) có hai nghiệm trái dấu Giải Đặt t = x ⇒ t > ; PT (3) trở thành (m + 3)t + (2m − 1)t + m + = ⇔ m(t + 2t + 1) = −3t + t − ⇔m= −3t + t − ( t + 1) , (3a) với t > Nếu x1 < ⇒ t1 = x1 < 20 Nếu x2 > ⇒ t2 = x2 > Do x1 < < x2 ⇔ < t1 < < t2 Lưu ý với số t > PT t = x có nghiệm ẩn x PT (3) có hai nghiệm trái dấu ⇔ PT (3a) có hai nghiệm t1 , t2 cho < t1 < < t2 tức đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số −3t + t − y = f (t ) = hai điểm với ĐK hoành độ giao điểm thứ (t + 1) thuộc khoảng ( 0;1) hoành độ giao điểm thứ hai khoảng ( 1;+∞ ) −3t + t − Hàm số f (t ) = với ĐK t > (t + 1) −7t + 3 ' ; f ' (t ) = ⇔ t = Có f (t ) = (t + 1) lim f (t ) = −3 t →+∞ Bảng biến thiên t + f ' (t ) −55 100 f (t ) −3 -1 -3 Từ BBT suy ĐK phải tìm −1 < m < − Nhận xét: Nếu sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai lời giải toán gắn gọn sách giáo khoa hành khơng trình bày Nhưng giải theo phương pháp phải tìm ĐK ẩn phụ, mối liên hệ số nghiệm theo ẩn phụ số nghiệm theo ẩn 2 Bài Tìm tham số m để BPT 92 x − x − 2(m − 1)62 x − x + (m + 1)4 x − x ≥ 0, (6) nghiệm ∀x thoả x ≥ Giải x2 − x BPT (6) ⇔  ÷ 4 x2 − x 6 − 2(m − 1)  ÷ 4 x2 − x Đặt t =  ÷ 2 ; x≥ + m +1≥ 1 1   ⇔ x ∈  −∞; −  ∪  ; +∞ ÷ = D 2 2   21 x2 − x Xét g ( x) = t =  ÷ 2 tập D x2 − x 3 g ' ( x) = ( x − 1)  ÷ ln , g ' ( x) = ⇔ x = 2 lim g ( x) = +∞; lim g ( x) = +∞; x →−∞ x →+∞ Bảng biến thiên hàm số g ( x) + x g ' ( x) g ( x) +∞ − + +∞ Từ BBT g ( x) suy ∀x ∈ D ⇒ t ≥ BPT cho trở thành t − 2(m − 1)t + m + ≥ với ĐK t ≥ ⇔ t + 2t + ≥ m(2t − 1) t + 2t + ⇔ ≥ m, (6a) với t ≥ 2t − t + 2t + Xét hàm số f (t ) = nửa khoảng [ 1;+∞ ) 2t − f (t ) ≥ m BPT (6) nghiệm ∀x ∈ D ⇔ BPT (6a) nghiệm ∀t ≥ ⇔ [ 1;+∞ )  t = −1 ' f ( t ) = ⇔ t − t − = ⇔ t=2 ( 2t − 1)  Bảng biến thiên hàm số f (t ) + Ta có f (t ) = ' 2t − 2t − ; t f ' (t ) + f (t ) f (t ) = ⇒ m ≤ Từ BBT suy [ 1;+∞ ) Vậy ĐK phải tìm m ≤ Nhận xét: Việc tìm ĐK ẩn phụ việc tìm tập giá trị hàm số g ( x) tập D 22 2 Bài Tìm tham số m để BPT sau có nghiệm: 2sin x + 3cos x ≥ m.3sin x , (7) Giải 2 PT (7) ⇔ 2sin x + 31−sin x ≥ m.3sin x Đặt t = sin x, ∀x ∈ ¡ ⇒ t ∈ [ 0;1] t 2 Ta BPT + ≥ m.3 ⇔  ÷ + 31−2t ≥ m, (7a) với ĐK t ∈ [ 0;1] 3 t 2 Xét hàm số f (t ) =  ÷ + 31−2t đoạn [ 0;1] 3 Ta thấy BPT (7) có nghiệm ⇔ BPT (7a) có nghiệm t ∈ [ 0;1] ⇔ max f (t ) ≥ m t 1−t t [ 0;1] t 2 Ta có f ' (t ) =  ÷ ln − 2.31−2t ln < 0, ∀t ∈ [ 0;1] 3 f (t ) = ⇒ f (t ) hàm số nghịch biến đoạn [ 0;1] , mà f (0) = ⇒ max [ 0;1] Vậy ĐK phải tìm m ≤ Bài tập tương tự Bện luận theo tham số m số nghiệm PT: e2 x + (3 − m)e x + 2(3 − m) = 2 Giải PT: 3sin x + 3cos x = x + 2− x + Hướng dẫn: Ước lượng hai vế cách sử dụng hàm số BĐT Cơsi Tìm tham số m để BPT sau có nghiệm: x x + x + 12 ≤ m.log (2 + − x ) Hướng dẫn: xét hàm số f ( x) = Tìm tham số m để PT: x x + x + 12 đoạn [ 0;4] log (2 + − x ) log 22 x + log x − = m(log x − 3) có nghiệm thuộc khoẩng [ 32;+∞ ) Tìm tham số m để BPT: (m − 1).4 x + x +1 + m + > thỏa mãn với x Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 23 Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học học sinh đón nhận tốn chứa tham số cách nhẹ nhàn Căn vào kết dạy học trước sau thực đề tài sáng kiến, Đối chiếu so sánh kết làm lớp luyện thi đại học hai lớp lại không tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung trình bày viết giúp em học sinh lớp 12 thấy liên hệ chặt chẽ toán PT, BPT chứa tham số toán khảo sát hàm số đồng thời giúp em có nhìn tồn diện toàn PT, BPT chứa tham số ẩn phụ phạm vi tốn học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ cho em học sinh việc ôn thi vào Đại học III KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 số buổi học nâng cao, chủ yếu hướng dẫn học sinh nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm ẩn phụ để tìm tham số toán PT, BPT giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ số nghiệm PT với số giao điểm đồ thị hai hàm số hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm nhiều tốn tìm tham số, học sinh làm có lập luận chặt chẽ tình tìm tham số đặt ẩn phụ Mặc dù Sách giáo khoa giảm tải nhiều đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên việc dạy ứng dụng đạo hàm tình tìm tham số tốn PT, BPT để học sinh thấy rõ ý nghĩa đạo hàm đồng thời có nhìn tồn diện tốn tìm tham số Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Cưmgar , ngày 15 tháng 02 năm 2011 Ý KIẾN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Tác giả Phạm Long Hổ 24 Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên , Sách giáo khoa Sách tập Đại số , Giải tích lớp 10 , 11 , 12 theo chương trình chuẩn chương trình nâng cao nhà xuất bẩn Giáo Dục; Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường Đai học Cao đẳng từ năm 1996 đến năm 2010 nhà xuất bẩn Hà Nội; Tạp chí tốn học tuổi trẻ; Tài liệu mạng Internet 25 ... Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Làm sáng tỏ liên hệ số nghiệm PT ẩn với số giao điểm hai đồ thị hai hàm số hai vế PT đó, nghiệm PT... x − 3) có nghiệm thuộc khoẩng [ 32;+∞ ) Tìm tham số m để BPT: (m − 1).4 x + x +1 + m + > thỏa mãn với x Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 23 Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm... bắt tình hình tiếp thu học học sinh đón nhận toán chứa tham số cách nhẹ nhàn Căn vào kết dạy học trước sau thực đề tài sáng kiến, Đối chiếu so sánh kết làm lớp luyện thi đại học hai lớp cịn lại