1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TOÁN HỌC 2010 Một số toán viết phương trình tiếp tuyến hàm số MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A, PHẦN THỨ NHẤT I, ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Chúng ta biết rằng: dạy học toán dạy cho người học có lực trí tuệ, lực giúp họ học tập tiếp thu kiến thức tự nhiên xã hội.Vì vậy, dạy toán không đơn dạy cho học sinh nắm kiến thức, định lý toán học.Điều quan trọng dạy cho học sinh có lực, trí tuệ Năng lực hình thành phát triển học tập.Vì cần giúp học sinh phát triển lực trí tuệ chung, bồi dưỡng giới quan vật biện chứng 2.Trong xu chung năm gần đây, viêc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học không giảng lý thuyết, mà luyện tập Luyện tập việc rèn luyện kỹ tính toán, kỹ suy luận cần giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát kiến thức học, xếp kiến thức học cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Có thể nói, toán viết phương trình tiếp tuyến hàm số toán thường gặp kì thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh ĐHCĐ năm gần đây,thế không học sinh lúng túng nhìn thấu đáo vế toán này, em thường không nhận dạng toán chưa có phương pháp giải toán cho dạng toán khả phân tích đề nhiều khó khăn Sở dĩ học sinh chưa làm tập viết phương trình tiếp tuyến hàm số vì: - Thứ nhất: Bài toán viêt phương trình tiếp tuyến trình bày cuối chương trình 11 nên nhiều học sinh quên phương pháp cho toán - Thứ hai: Các em thiếu nhiều tập để rèn luyên kĩ phân tích trình bày toán - Thứ ba: học sinh chưa có phương pháp khái quát toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến hàm số Chính vậy, thúc tìm hiểu viết đề tài “Một số toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ” nhằm giúp em học sinh nắm kiến thức toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, để em có chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp PTTH ĐHCĐ Một số toán viết phương trình tiếp tuyến hàm số II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT: 1.Tiếp tuyến đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x) M(x ; f (x )) (C ) kí hiệu M’(x; f(x)) điểm di chuyển ( C) y f(x) M, M f (x ) O T x0 x x Đường thẳng MM’ cát tuyến ( C) Khi x x M’(x; f(x)) di chuyển ( C) tới M(x ; f (x )) ngược lại Giả sử MM’ có vị trí giới hạn, kí hiệu MT MT gọi tiếp tuyến ( C) M Điểm M gọi tiếp điểm “Sau ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song trùng với oy” Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) Phương trình tiếp tuyến (C) M(x ;y ) (C ) có dạng: , y=f (x ).( x-x ) + y , -Với: f (x ) hệ số góc tiếp tuyến y = f (x ) Định lý 2: Cho hàm số (C) đường thẳng (d) có phương trình: y = f(x) y = kx + b (C) (d) Đường thẳng d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: Một số toán viết phương trình tiếp tuyến hàm số f ( x ) kx b , k f ( x) Khi nghiệm x hệ phương trình hoành độ tiếp điểm B.BÀI TOÁN Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) I Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) (C) M(x ;y ) thuộc đồ thị hàm số ( C ) * Phương pháp: - Viết phương trình tiếp tuyến h/s: y =f(x) M(x ;y ) có dạng: , y= f (x ).( x-x ) + y , -Với: f (x ) hệ số góc tiếp tuyến , , -Tính: f (x) =? → f (x ) =? -Kêt luận:… Nhận xét:+bài toán có phương trình tiếp tuyến Ví dụ 1`( Đề TNTHPT-2007 ) Cho hàm số (C): y = x+1 - Hãy viết phương trình 2x tiếp tuyến với đồ thị (C) A(0;3) Giải Ta có: y’= 1+ (2 x 1) nên y’(0) = Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) A(0;3) có dạng: y = 5(x-0) + hay y = 5x + Ví dụ 2: ( Đề TNTHPT-2006 ) Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C) Giải ’ ” ” Ta có: y =3.x -12x +9 ; y =6x-12 ; y =0 x=2 Với: x = y = y’(2)= -3 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm uốn A(2;2) có dạng: y = -3(x-2) + hay y = -3x + Một số toán viết phương trình tiếp tuyến hàm số II Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) điểm có hoành độ x=x * Phương pháp: -Với: x =x → y =f(x )=? ( dạng trên) - Viết phương trình tiếp tuyến hàm số: y =f(x) điểm có hoành độ x = x có dạng: , y=f (x ).( x-x ) + y Nhận xét:+áp dụng tương tự với tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ: y= y → y =f(x ) →x =? ( toán dạng tiếp tuyến điểm ) Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2008 ) Cho hàm số (C): y = x4-2x2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x= -2 Giải ’ Ta có: y =4x - 4x Với: x = -2 y = y’(-2)= - 24 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(-2;8) có dạng: y = -24( x + ) + hay y = -24x - 40 III.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) có hệ số góc k *Phương pháp: , , -Tính: f (x) =? → f (x ) =? (chứa ẩn x ) , -Hệ số góc tiếp tuyến là: f (x ) = k→ x =? → y =f(x )=? - Viết phương trình tiếp tuyến hàm số:y =f(x) có hệ số góc k có dạng: y=k.( x-x ) + y Nhận xét: , +Số nghiệm x phương trình: f (x ) = k số phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k , +Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = kx +b→ f (x ) = k→ x =? → y =f(x )=? Một số toán viết phương trình tiếp tuyến hàm số , +Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y= kx +b→ f (x )= - )=?→Phương trình tiếp tuyến : y=- +Tiếp tuyến tạo k → x =? k y =f(x (x- x ) + y với chiều dương trục ox góc thì: f ( x ) tan x ? y ? Phương trình tiếp tuyến : y= tan (x- x ) + y ' Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2009 ) 2x Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) ,biết hệ số x2 Cho hàm số (C): y = góc tiếp tuyến -5 Giải Ta có: y’= 5 ( x 2) Ta có hệ số góc tiếp tuyến: 5 = -5 ( x 2) x=1 ( x 2) x=3 -Với x=1 y=-3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(1;-3) có dạng: y = -5( x -1 ) - hay y = -5x + -Với x=3 y=7 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm B( 3;7 ) có dạng: y = -5( x -3 ) +7 hay y = -5x + 22 IV Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) qua điểm A(x ;y ) *Phương pháp: , -Tính : f (x) =? -Gọi đường thẳng qua A(x ;y ) có hệ số góc k→phương trình có dạng: y=k.(x- x )+y -Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số thì: f ( x) k ( x x1 ) y1 k f , ( x) có nghiệm , -Thay (2) vào (1)ta có: f(x) = f (x) (x- x )+ y (3)→x = ? thay vào(2)→k = ? -Kết luận: Một số toán viết phương trình tiếp tuyến hàm số +Nhận xét:-số nghiệm x phương trình(3) số tiếp tuyến đồ thị hàm số qua A(x ;y ) Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2004 ) Cho hàm số (C): y = x -x Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua điểm A(3;0) Giải Ta có: y ’= x2-2x -Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng: y=k.(x- 3)+0 -Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số thì: 1 x x k ( x 3) 3 k x 2x có nghiệm x x ( x x)( x 3) →x=0 x= 3 -Với x=0 thay vào(2)→k = Phương trình tiếp tuyến: y = -Với x= thay vào(2)→ k= Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – -Vậy có hai phương trình tiếp tuyến qua A(3;0) là: y=0 y = 3x – Ví dụ: ( Đề TS ĐH khối A-2009 ) -Thay (2) vào (1)ta có Cho hàm số (C): y = x2 2x Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) ,biết tiếp tuyến cắt trục hoành,trục tung A B cho tam giác AOB cân O Giải Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn*(d)là tiếp tuyến ( C) *(d)cắt ox A cắt oy B *OA=OB Cách 1: Vì (d) cắt ox A nên A(a;0) (d) cắt oy B nên B(0;b) điều kiện: a b Để tam giác AOB cân O OA=OB a b a=b a = -b *Với a = b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: y x 1 a a y=- x +a Một số toán viết phương trình tiếp tuyến hàm số Để (d) tiếp tuyến (C) thì: x2 x x a 1 1 (2 x 3) có nghiệm Từ (2) ta có: x = -2 x = -1 -Với x = -2 thay vào (1) ta có: a = -2 thay vào phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = -x - -Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = (loại) *Với a = -b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: x y 1 a a y=x - a x2 xa 2x Để (d) tiếp tuyến (C) thì: 1 1 ( x 3) Từ (2) suy hệ vô nghiệm có nghiệm Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm (d): y = -x - Cách 2: Vì tam giác AOB cân O nên tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 450 1350 không qua gốc tọa độ O -Tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 450 ta có: tan 45 y ' ( x ) 1 phương trình vô nghiệm (2 x 3) - Tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 1350 ta có: tan 135 y ' ( x ) 1 1 (2 x 3) x = -1 x = -2 (2 x 3) Với x = -1 y Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại qua gốc tọa độ O) Với x = -2 y Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x - Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y= -x - NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện a b để A BO tam giác -Với cách 2: đơn giản xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp tuyến đồ thị hàm số không qua gốc tọa độ O ******************************** Một số toán viết phương trình tiếp tuyến hàm số