sáng kiến kinh nghiệm toán học: tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

 A.LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các , các phần tử của một Môn toán này có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lí thống kê nên có nhều vấn đề rất sâu phải có trình độ cao. Tuy nhiên, với trình độ phổ thông cơ sở vẫn có thể tiếp cận và ứng dụng giải nhiều bài toán rất hay gặp trong thực tế cũng như các đề thi ( Thi HSG, thi tuyển sinh ). Đối với bộ môn tin học trong khi lập trình chúng ta thường xuyên phải làm các thao tác sắp xếp, phân hoạch, lấp tập con thành tập hợp lớn hơn … trên một tập hợp các phần tử hữu hạn và rời rạc nghĩa là thường xuyên đụng chạm đến khái niệm của giải tích và tổ hợp đó là :    B.PHẠM VI MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ   !"#$%& -Do đặc thù của học sinh THCS còn hạn chế về kiến thức toán học và kỹ thuật lập trình và khả năng bản thân còn có nhiều hạn chế, nên chuyên đề chỉ nêu được một số thuật giải mẫu và các ví dụ minh hoạ về “ tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị ”mà qua quá trình học tập giảng dạy tôi đã sưu tầm và tích lũy được . ' (%)*+"#$%& -Giúp học sinh hiểu được các khái niệm về tổ hoán vị, chỉnh hợp ,tổ hợp và các 1 thuật toán, cách cài đặt chương trình . -Giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức hơn, phát huy vai trò tích cực trong học tập của học sinh. Khắc sâu những kiến thức cơ bản, học sinh biết áp dụng , tìm tòi, khám phá không ngừng năng cao chất lượng bồi dưỡng HSG và học bộ môn tin học trong nhà trường . ,-./0 A. CƠ SỞ LÝ LUẬN Thông qua chuyên đề này học sinh biết vận dụng và được cung cấp các kiến thức cần thiết về phương pháp sử dụng các thuật toán về tổ hợp và kỹ thuật lập trình cơ bản những kinh nghiệm cụ thể trong qua trình tìm tòi lời giải, giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo. B.CÁC KHÁI NIỆM  1.1!!2 : 3)4( Có 3 học sinh An (A), Bình (B)và Chính (C) ngồi cùng bàn học. Nếu mỗi tuần một lần thay đổi vị trí ngồi giữa 3 người thì sau bao nhiêu tuần họ lại vế vị \ trí ban đầu? . 56 566565 566556 2 .!7! : Gọi Vị trí ngồi ban đầu là Ao = (A,B,C) “ B ngồi giữa ;A bên phải; C bên trái ”. Các tuần tiếp theo các thay đổi có thể là: A1 = (A, C, B) ; A2 = (B, A, C) ; A3 = (B, C, A), A4 = (C, A, B), A5 = (C, B, A). Vậy sau 8"9 họ lại vế vị trí ban đầu . :;< : cách giải trên là cách liệt kê; muốn khẳng định kết quả, ta phải chứng minh rằng không còn cách sắp xếp nào khác. Tuy nhiên nếu với số cho lớn thì các liệt kê không ổn, dễ bỏ sót. * ="#>" Mỗi người nếu ngồi đầu bàn thì chỉ có 2 cách thay đổi vị tri, vậy có 3 người thì sẽ có 2 x 3 = 6 cách thay đổi vị trị. Đầu bài trên hỏi sau mấy tuần quay về vị trí ban đầu thi kết qurả phải là 6 – 1 = 5 (tuần) :?!$2@!>A"#B Nếu mỗi lần “+#%!C)” là một Hoán vị của tập hợp {A; B; C}. P = {A, B, C} thì tập hợp này có tất cả 6 Hoán vị . Cho tập hợp có phần tử ( ). Mỗi thay đổi vị trí sắp xếp phần tử này theo một thứ tự nhất định, ta được một  các phần tử của tập . 'DE >) Số các Hoán vị của một tập hợp có phần tử là: 6F! !G+ Một đoàn khách du lịch dự định đến tham quan điểm du lịch và ở Hà Nội. Họ đi tham quan theo thứ tự nào đó, chẳng hạn : . Như vậy mỗi cách họ chọn thứ tự tham quan là một Hoán vị của tập . Do vậy đoàn khách có tất cả cách chọn. ( Như bài này rõ ràng cách liệt kê thô sơ khõ lòng giải quyết được) 3 Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử để được sắp theo một trật tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần  +1!!2 & 3)4( : Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu . Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự cầu thủ trong số cầu thủ của đội để tham gia đá. Hỏi mỗi đội bóng có bao nhiêu phương án chọn ? .!7! Ta có thể chọn trong cầu thủ để đá quả đầu tiên. Tiếp theo có cách chọn cầu thủ đá quả thứ hai, rồi cách chọn cầu thủ đá quả thứ ba, cách chọn cầu thủ đá quả thứ tư và cuối cùng có cách chọn cầu thủ đá quả thứ năm. Theo quy tắc nhân, mỗi đội sẽ có: cách chọn. Mỗi danh sách có xếp thứ tự cầu thủ được gọi là một chỉnh hợp chập của cầu thủ *HI" Cho tập gồm phần tử và số nguyên , . Mỗi lần lấy ra phần tử của và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một Chỉnh hợp chập của phần tử thuộc . *;<: Hai Chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần tử của Chỉnh hợp này không là phần tử của Chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của Chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau. 4 JDE Trong ví dụ trên, tính số phương án huấn luyện viên lập danh sách cầu thủ là : KLMNO88PPK (cách chọn.) >) Số các Chỉnh hợp chập của một tập hợp có phần tử (1 )k n≤ ≤ là: ! .( 1).( 2) ( 1) (1) ( )! k n n A n n n n k n k = − − − + = − với quy ước Ta quy ước: 0 1 n A = , do đó công thức (1) đúng với mọi số nguyên thỏa mãn : 0 k n ≤ ≤ QAMột  của một tập phần tử chính là một  chập của phần tử đó . Do đó : ! n n n A p n = =  :1!!2 :Cho tập A có n phần tử và số nguyên với . Mỗi tập con của có phần tử gọi là một Tổ hợp chập của phần tử của ( gọi tắt là Tổ hợp chập của ) Như vậy, lập một Tổ hợp chập của chính là lấy ra phần tử của mà không quan tâm đến thứ tự. * DE >) Số các Tổ hợp chập của một tập hợp có phần tử ( ) là: ! (2) ! !( )! k n k n A n C k k n k = = − Với quy ước: 0 1 n C = thì (2) cũng sẽ đúng với mọi số nguyên thỏa mãn :6F! R" 5 Trong lớp học có học sinh nam và học sinh nữ. Mỗi tuần Thầy giáo cần học sinh nam và học sinh nữ đi tham gia 1 sinh hoạt ngoại khóa của trường. Hỏi có bao nhiêu cách? .!7! Ta có: cách chọn học sinh nam trong số học sinh nam và có cách chọn HS nữ trong số HS nữ. Theo quy tắc nhân, số cách chọn cần tìm là: PMP8P88O''KPPN8 (cách chọn) P+!)STJ7*+ k n C : )S Cho các số nguyên U thỏa mãn ( .) Khi đó: k n k n n C C − = )S' Cho các số nguyên n, k thỏa mãn . Khi đó: 1 1 k k k n n n C C C − + = + 86F!VF 6F!: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào ngồi quanh 2 bàn tròn sao cho bàn thứ nhất có 6 bạn, bàn thứ hai có 4 bạn? Chú ý rằng 2 cách xếp n người cụ thể vào ngồi quanh một bàn tròn được coi là như nhau nếu người ngồi bên trái mỗi người trong 2 cách xếp là giống nhau. W@H4RH!7! 6 Chia là ba bước. Bước 1: chọn nhóm 6 người (hoặc 4 người). Có cách. Bước 2: Xếp người vào bàn tròn vị trí. cách. Bước 3: Xếp người vào bàn tròn có vị trí. cách. Áp dụng quy tắc nhân, tính kết quả. 6F!' Một người dùng ổ khóa số gồm 3 vòng số, mỗi vòng có 10 chữ số từ 0 đên 9. Hỏi người đó có bao nhiêu cách đặt mật mã ( số để khóa chỉ người đó biết ) cho ổ khóa ? VD2: Hoán vị của 3 phần tử : 1 2 3 Hoán vị thứ nhất : 1 2 3 Hoán vị thứ 2 : 1 3 2 Hoán vị thứ 3: 2 1 3 Hoán vị thứ 4: 2 3 1 Hoán vị thứ 5: 3 1 2 Hoán vị thứ 6: 3 2 1 -Số các hoán vị khác nhau của n phần tử là: XYZX6Y[X\6]^[._   Bài toán:Tìm các hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên . • Thuật toán : - Ta đặt một mảng A[1 n] để chứa các hoán vị tìmđược - Mảng B[1 n] of boolean để làm cờ với ý nghĩa b[i] cho ta biết số i đã được chọn vào hoán vị hay chưa . Thuật toán được lập theo kiểu đệ quy với hai thủ tục :PRINT và FINT (I: BYTE). Thủ tục print in hoán vị tìm được. procedure Print; 7 var i:longint; begin inc(dem); for i:=1 to n do write(g,A[i],' ');writeln(g); end; - Thủ tục FIND(i:Byte) giúp tìm phần tử thứ i trong hoán vị và được gọi một cách đệ quy. Cơ chế của nó hoạt độn như sau Procedure FIND(i:byte); Var j: byte; Begin If i>n then print Else Begin For J:=1 to n do If b[i] then Begin A[i]:=j; B[j]:=false; Find(i+1); B[j]:= true; End; End; End; ……………………………………………………. 8 Ví dụ: n =3 F(1) 1 2 3 F(2) F(2) F(2) 2 3 1 3 1 2 F(3) F(3) F(3) F(3) F(3) F(3) 3 2 3 1 2 1 P(1 2 3) P(1 3 2) P(2 1 3) P(2 3 1) P(312 ) P(3 2 1) Program HoanVi; uses crt; const n=5; var A,S:array[1 100]of integer; B:array[1 100]of boolean; i,dem:integer; g:text; procedure Print; var i:longint; begin inc(dem); 9 for i:=1 to n do write(g,A[i],' ');writeln(g); end; procedure Find(i:longint); var j:longint; begin if i>n then print else begin for j:=1 to n do if B[j] then begin A[i]:=j; B[j]:=false; find(i+1); B[ j]:=true; end; end; end; BEGIN clrscr; assign(g,'ra.out'); REWRITE(G); for i:=1 to n do B[i]:=true; Find(1); close(g); END. *Bài tập áp dụng: 6F!P$`!>aWTHCb%c>F6?P5D 10 [...]... Một hoán vị của dãy số là một cách sắp xếp khác các số hạng của dãy Hãy liệt kê tất cả các hoán vị của dãy đã cho thoả mãn: giữa hai phần tử bất kỳ M và N trong hoán vị đó, không tồn tại phần tử P nào của hoán vị để:2P = M + N *Thuật toán : + một vòng lặp từ lớn đến nhỏ, với mỗi số nếu không phải là nguyên tố thì đổi ra xâu + Đưa dãy A vào hoán vị , + Kiểm tra hoán vị nào thỏa mãn điều kiện bài toán. .. trình giải các bài toán sau đây: Bài 1: Xếp lại dãy số Cho dãy số nguyên dương đôi một khác nhau: a 1, a2, , an Một hoán vị của dãy số là một cách sắp xếp khác các số hạng của dãy Hãy liệt kê tất cả các hoán vị của dãy đã cho thoả mãn: giữa hai phần tử bất kỳ M và N trong hoán vị đó, không tồn tại phần tử P nào của hoán vị để:2P = M + N 13 Ví dụ: Với dãy: 11, 22, 33, 44 thì Hoán vị 33 11 22 44 là thoả... môn tin học trong nhà trường ngày một cao hơn các bài tập toán tin cũng ngày ngày một khó thêm với những yêu cầu nhanh hơn dữ liệu lớn hơn, thuật toán khó hơn … 25 Nhưng với đối tượng là học sinh THCS Chuyên đề: Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị ” giúp học sinh có thêm một kiến thức cơ bản để có thể chủ động hơn tự tin hơn trong việc lĩnh hội, tìm tòi kiến thức nó phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học... B[j]:=1; end; end; end; BEGIN clrscr; writeln('Nhap r=');readln(r); dem:=0; for i:=1 to n do B[i]:=1; Find(1); end 3 Tổ hợp: Bài toán: Tìm các tổ hợp n chập r của các số số tự nhiên từ 1 đến n *Thuật toán1 : 22 - Tương tự như thuật toán chỉnh hợp n chập r nhưng ở đay chỉ cần chọn 1 chỉnh hợp có thứ tự tăng -Thủ tục FIND cải tiến như sau procedure Find(i:byte); var j:byte; begin if i>r then print else... ',dem,'to hop'); readln END 24 Các bài toán luyện tập : Bài toán1 : Viết chương trình tìm tất cả các hoán vị của chữ COMPUTER Bài toán2 : Viết chương trình tìm tất cả các tập con của tập hợp n số tự nhiên đầu tiên Bài toán 3 : Cho dãy số nguyên A , A2 , , An và số nguyên M Hãy tìm 1 dãy con Ai1 , Ai 2 , , Aik sao cho Ai1 + Ai 2 + + Aik = M (1 . khóa ? VD2: Hoán vị của 3 phần tử : 1 2 3 Hoán vị thứ nhất : 1 2 3 Hoán vị thứ 2 : 1 3 2 Hoán vị thứ 3: 2 1 3 Hoán vị thứ 4: 2 3 1  Hoán vị thứ 5: 3 1 2 Hoán vị thứ 6: 3. tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị ”mà qua quá trình học tập giảng dạy tôi đã sưu tầm và tích lũy được . ' (%)*+"#$%& -Giúp học sinh hiểu được các khái niệm về tổ hoán vị, .  A.LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp