Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 3 docx

Toán tửToán tửToán tử Do hệ lượng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên người ta không thể biểu diễn các đại lượng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thường

Chương 3 Chương 3 Toán tử và hệ hàm Toán tử và hệ hàm

3.1

3.1 Toán tửToán tửToán tử

Do hệ lượng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên người ta không thể biểu diễn các đại lượng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thường như trong cơ học cổ điển mà phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả bản chất của hệ lượng tử Một trong những công cụ ấy là toán tử tác dụng lên hàm sóng

3.1.1 Định nghĩa: Toán tử là một phép toán khi ta tác dụng lên một hàm thì cho ra một hàm mới

Thực hiện các phép toán được qui ước trong toán tử A đối với hàm số ϕx đứng sau nó ta nhận được hàm mới ψx Hay nói cách khác ψx là kết quả của sự tác động toán

tử A lên hàm số ϕx

Kí hiệu: Aˆ ϕx = ψx (3.1)

Ví dụ: Toán tử A hàm số hàm mới

nhân với a x ax d/ dx x4 + 5 4x3

Toán tử A = nhân với a có nghĩa là thực hiện phép nhân a vào hàm số đứng sau

nó

Aˆ = d/ dx nghĩa là lấy đạo hàm theo x hàm số đứng sau nó Người ta thường kí hiệu các toán tử: Aˆ, Bˆ, Cˆ

3.1.2 Các phép toán về toán tử

a Phép cộng của hai toán tử A và B:

Tổng các toán tử A và B là toán tử C (Cˆ = Aˆ +Bˆ) sao cho khi Cˆ tác dụng lên hàm u (tuỳ ý) thì bằng Aˆ +Bˆ tác dụng lên hàm u đó

Aˆ +Bˆ= Cˆ nếu Cˆu = Aˆu + Bˆu

Ví dụ: Aˆ = x; Bˆ = d/ dx ; u = U (x)

Cˆ= x + d /dx Cˆu = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u

b Tích các toán tử: Tích hai toán tử A và B là toán tử C hay C' sao cho:

Cˆ = Aˆ Bˆ ⇒ Cˆ u = Aˆ[Bˆu]

Cˆ = Bˆ.Aˆ ⇒ Cˆu = Bˆ [Aˆu]

Ví dụ: Aˆ = x , Bˆ = d /dx

Cˆu = Aˆ[Bˆu] = x.du /dx

Cˆu = Bˆ[Aˆu] = d/dx (x.u) = x du/dx + u ≠ Cˆu Nếu Aˆ.Bˆ ≠ Bˆ.Aˆ thì ta nói hai toán tử Aˆ,Bˆ không giao hoán với nhau,

ta gọi [Aˆ,Bˆ] = Aˆ Bˆ- Bˆ Aˆ là giao hoán tử của hai toán tử Aˆ và Bˆ

Nếu Aˆ Bˆ= Bˆ.Aˆ thì ta nói hai toán tử Aˆ và Bˆ giao hoán

[Aˆ,Bˆ] = Aˆ Bˆ- Bˆ Aˆ = 0

b Luỹ thừa của toán tử: Luỹ thừa của toán tử Aˆ đ−ợc định nghĩa:

Â2u = (Â.Â)u =  (Âu) Vậy Â2 = Â. là  tác dụng liên tiếp hai lần

Ví dụ: Â =

dx

d , u(x) = x4

Â2 u =

dx

d (du/dx) =

dx

d (4x3) = 12x2

3.2

3.2 Toán tử tuyến tínhToán tử tuyến tínhToán tử tuyến tính

3.2.1 Định nghĩa: Toán tử Lˆ đ−ợc gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn biểu thức sau:

Lˆ(au + bv) = aLˆu + bLˆv (3.2) u,v: hàm ; a,b: các hằng số bất kì

Ví dụ: toán tử

dx

d của hàm f(x) theo x là toán tử tuyến tính vì:

dx

d (af1(x) + bf2(x)) = a

dx

d f1(x) + b

dx

d f2(x)

Một số toán tử tuyến tính nh−: toán tử nhân (với một số, một hàm số)

+Toán tử ∫ , vi phân: d , d22

+Toán tử Laplace: ∆ = 22 22 22

z y

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

+Toán tử Napla:

z y

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

∇

+Toán tử Hamilton H =

-m

2

2

ℏ ∆ + U(x,y,z) Các toán tử không tuyến tính: , ( )m (m ≠ 1);

3.2.2 Tính chất của toán tử tuyến tính

Nếu hai toán tử Aˆ, Bˆ là toán tử tuyến tính (t4) thì tổ hợp tuyến tính của chúng

là toán tử tuyến tính và tích của chúng nhân với một số cũng là toán tử tuyến tính

Aˆ, Bˆ: t4 thì (a.Aˆ + b.Bˆ ) : t4 (c Aˆ Bˆ, d.Bˆ Aˆ) : t4 3.2.3 Hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính

a Định nghĩa:

a Định nghĩa: Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính Lˆ lên một hàm u bằng chính hàm u đó nhân với tham số L nào đó, thì ta gọi u là hàm riêng và L là trị riêng của toán tử Lˆ:

Lˆu = Lu (3.3)

u là hàm riêng của Lˆ, còn L là trị riêng của Lˆ ứng với hàm riêng u

Vd:

dx

d (eax) = a eax

hàm u(x) = eax là hàm riêng của toán tử

dx

d , còn a là trị riêng của toán tử và ứng với hàm riêng eax

Phương trình (3.3) được gọi là phương trình hàm riêng- trị riêng của toán tử Lˆ b

b Trị riêngTrị riêngTrị riêng không suy biến không suy biến không suy biến và suy biến và suy biến và suy biến

Một toán tử tuyến tính Lˆ có thể tồn tại nhiều hàm riêng và trị riêng khác nhau Tập hợp các trị riêng của Lˆ gọi là phổ các trị riêng Phổ các trị riêng có thể là liên tục hoặc gián đoạn, hoặc một phần gián đoạn một phần liên tục

- Nếu ứng với mỗi hàm riêng u chỉ có một trị riêng L thì người ta nói trị riêng đó

là không suy biến

- Nếu ứng với một trị riêng L ta có k hàm riêng u thì ta nói trị riêng L suy biến k lần hay suy biến bậc k

Ví dụ: Lˆu1 = Lu1

Lˆu2 = Lu2

Lˆuk = Luk

L là trị riêng suy biến bậc k 3.2.4 Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính

a Định lí 1:

a Định lí 1: Nếu un là hàm riêng của toán tử tuyến tính Lˆ ứng với trị riêng Ln và

a là một hằng số tuỳ ý ≠ 0 thì aun cũng là hàm riêng của Lˆ ứng với trị riêng Ln

Lˆ un = Lnun (3.4)

Lˆ (a.un) = Ln(a.un) (3.5)

b Định lí 2:

b Định lí 2: Nếu Ln là trị riêng suy biến bậc k của toán tử Lˆ:

Lˆ u1 = Lnu1

Lˆ u2 = Lnu2

Lˆ uk = Lnuk thì tổ hợp tuyến tính của k hàm riêng đó cũng là hàm riêng của Lˆ ứng với trị riêng Ln

Lˆ(c1u1 + c2u2 + + ckuk) = Ln(c1u1 + c2u2 + + ckuk) (3.6)

c Định lí 3:

c Định lí 3: Điều kiện cần và đủ để hai toán tử Aˆ và Bˆ có chung hàm riêng là chúng phải giao hoán với nhau

Aˆu = Au

Bˆv = Bu
[Aˆ, Bˆ] = 0 ⇔ u =v

3.3

3.3 Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm

3.3.1 Hệ hàm trực giao: Hệ hàm u, v, w được gọi là hệ hàm trực giao nếu tích phân của một hàm nào đó với liên hợp phức của một hàm khác luôn bằng 0 trong toàn phạm

vi biến đổi của hàm số

∫ u.v* dx = 0, ∫ u.w* dx = 0 , ∫ v.w* dx = 0

3.3.2 Hàm chuẩn hoá: Hàm ψ được gọi là hàm chuẩn hoá nếu ∫ ψψ*dx = 1

hay ∫ ψ 2dx = 1 (3.7)

ψ chưa chuẩn hoá: ∫ ψ 2 dx = N ( N ≠ 1)

Để có được hàm ψ chuẩn hoá, người ta chia phương trình này cho N:

∫

N

1 ψ 2 dx ⇒ N1 ∫ ψψ*dx = 1

∫

N

1 ψ ) (

N

1 ψ* ) dx = 1

Hàm ψ =

N

1 ψ là hàm chuẩn hoá;

N

1 là thừa số chuẩn hoá

3.3.3 Hệ hàm trực chuẩn

ψ1, ψ2, ., ψm, , ψn gọi là hệ hàm trực chuẩn nếu nó chuẩn hoá và trực giao với nhau từng đôi một

∫ψm*ψndx = 1 : nếu m = n (3.8) = 0 : nếu m ≠ n

3.3.4 Hệ hàm đầy đủ: Hệ hàm ψ1, ψ2, ., ψm, , ψn được gọi là hệ hàm đầy đủ, nếu hàm ψ bất kì có thể khai triển thành chuỗi tuyến tính của hệ hàm ấy

ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + + Cmψm + + Cnψn = ∑ Ciψi (3.9)

Ci : hệ số khai triển chuỗi Nếu hệ hàm đầy đủ cũng là hệ hàm trực giao thì ta có thể xác định được hệ số khai triển chuỗi

Ví dụ: Muốn xác định Cm thì ta nhân phương trình với ψm* và lấy ∫

∫ψm*ψdx = C1 ∫ψm*ψ1dx + C2 ∫ψm*ψ2dx + + Cm ∫ψm*ψmdx + + Cn ∫ψm*ψndx

∫

∫

=

dx

dx C

m

m m

ψ ψ

ψ ψ

*

*

Nếu hệ hàm đầy đủ thoả mãn tính chất chuẩn hoá thì: Cm = ∫ ψm*ψdx

3.3.5 Hàm đều hoà (hàm đều đặn)

Hàm ψ đ−ợc gọi là hàm đều hoà nếu nó đơn trị, hữu hạn và liên tục trong phạm

vi biến đổi của biến số

3.4 Toán t

3.4 Toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermitử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermitử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermiteeee))))

3.4.1 Định nghĩa: Toán tử Lˆ đ−ợc gọi là toán tử Hermit nếu nó thoả mãn hệ thức sau:

∫ +∞

∞

−

v*

Lˆ u dx = +∞∫

∞

−

u Lˆ* v*dx (3.10)

u,v là các hàm bất kì, bằng 0 ở + ∞ và - ∞

u*, v*, Lˆ * là liên hợp phức của u,v, Lˆ

Các toán tử Hermit:

Lˆ = x; Lˆ = U(x,y,z); Lˆ = -i ℏ (toán tử động l−ợng px )

z y

∂ +

∂

∂ +

∂

Lˆ =

-m

2

2

ℏ ∆ + U(x,y,z)

Lˆ =

-m

2

2

ℏ ∆

3.4.2 Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử Hermit

a Định lí 1:

a Định lí 1: Trị riêng của toán tử Hermit là trị thực: Ln = Ln*

Thật vậy, nếu Lˆ là toán tử tuyến tính Hermit và Ln là trị riêng của Lˆ thì ta có:

và ∫ ψn* Lˆ ψn dτ = ∫ ψn Lˆ*ψn dτ (2)

(1)⇒ ψ*

Lˆ ψn = ψn* Lˆnψn ⇒ ∫ ψn* Lˆψn dτ = ∫ ψn* Lˆ ψn dτ = Ln ∫ ψn* ψn dτ (3)

Lấy liên hợp phức của (1): Ln*ψn = Ln*ψn* (4)

(4) nhân với ψn và lấy ∫ ta đ−ợc:

∫ ψn Ln*ψn* dτ = ∫ ψn Ln*ψn* dτ = Ln* ∫ ψn ψ*

từ (2) (3) Và (5) suy ra: Ln∫ ψn*ψn dτ = Ln* ∫ ψn ψn* dτ

hay Ln ∫ ψ 2 dτ = Ln* ∫ ψ 2 dτ

⇒

Ln = Ln* Vậy trị riêng của toán tử Hermit là trị thực

b Định lí 2:

b Định lí 2: Tập hợp tất cả các hàm riêng khác nhau của một toán tử Hermit có phổ trị riêng gián đoạn làm thành một hàm trực giao

Lˆψn = Ln ψn (1)

Lˆψm = Lmψm (2) (Ln ≠ Lm)

∫ ψn* Lˆ ψn dτ = ∫ ψn Lˆ*ψn* dτ (3)

Từ (1) nhân ψm* rồi lấy ∫ ta đ−ợc ∫ ψm* Lˆ ψn dτ = ∫ ψm* Lnψn dτ

⇒ ∫ ψm* Lˆ ψn dτ = Ln ∫ ψm* ψn dτ (4) Lấy liên hợp phức (2) rồi nhân với ψn , sau đó lấy tích phân ta đ−ợc:

∫ ψn Lˆ*ψm* dτ = Lm* ∫ ψm* ψn dτ = Lm ∫ ψnψm* dτ (5)

Từ (3) so sánh (4) và (5) ta đ−ợc:

Ln ∫ ψm* ψn dτ = Lm ∫ ψn ψm* dτ

⇒ (Ln - Lm ) ∫ ψm* ψn dτ = 0

⇒ ∫ ψm* ψn dτ = 0 đó là điều phải chứng minh

3.4.2 Tính chất của toán tử tuyến tính Hermit

- Nếu Lˆ là toán tử tuyến tính Hermit thì Lˆ.a (a ≠ 0) cũng là toán tử tuyến tính Hermit

Ví dụ: Toán tử i

dx

d là toán tử tuyến tính Hermit thì -i

dx

d

ℏ cũng là toán tử tuyến tính Hermit

- Nếu Aˆ và Bˆ là toán tử tuyến tính Hermit thì giao hoán tử Aˆ.Bˆ= Bˆ.Aˆ cũng là toán tử tuyến tính Hermit

- Toán tử A và B là Hermit thì tổng hoặc hiệu của chúng cũng là toán tử tuyến tính Hermit

- Nếu Aˆ và Bˆ là các toán tử Hermit thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng là toán tử tuyến tính Hermit

- Nếu ψn không phải là hàm riêng của toán tử Hermite L, nghĩa là Lˆψn ≠ Lnψn thì người ta gọi giá trị Ln thu được là giá trị trung bình hay kì vọng toán học của Lˆ và

được biểu diễn như sau:

n

∫

∫

τ ψ ψ

τ ψ ψ

d

d L

n n

n n

*

*ˆ

n

L thu được cũng là trị thực

Thông qua các thuộc tính quan trọng của toán tử tuyến tính Hermite ta thấy rằng chỉ có loại toán tử này mới đủ khả năng biểu diễn bản chất của các đại lượng vật lý của

hệ lượng tử Và đó cũng là lý do tại sao toán tử Hermite là công cụ toán học trong cơ học lượng tử

Câu hỏi và bài tập Câu hỏi và bài tập

1 Toán tử là gì? Thế nào là toán tử tuyến tính?

2 Cho biết điều kiện để hai toán tử A và B được gọi là giao hoán với nhau

3 Cho biết định nghĩa về phương trình hàm riêng - trị riêng của toán tử

4 Cho biết định nghĩa về toán tử Hermit

5 Toán tử Hermit có những tính chất gì? Chứng minh

6 Hãy xác định hàm g(x) thu được khi cho toán tử Uˆ tác dụng lên hàm f(x) trong các trường hợp dưới đây:

) (

;

ˆ

e x f

x

b) uˆ =

dx

d ; f(x) = x2

eư

c) uˆ = iˆ (toán tử nghịch đảo); f(x) = x2 - 3x + 5

7 Cho toán tử xˆ = x; toán tử

dx

du

uˆ= và hàm số f(x) = x2

eư Hãy thực hiện phép giao hoán tử [xˆ, uˆ] Từ kết quả thu được cho biết nhận xét

8 Hãy chứng minh hàm ψ(x) = 8.e4x là hàm riêng của toán tử

dx

d Cho biết trị riêng thu được bằng bao nhiêu?

9 Hãy chứng minh những hàm sau đây hàm nào là hàm riêng của toán tử

dx

d :

a) eikx

b) coskx

c) k

d) kx

e) aα 2

eư

10.Cho toán tử xˆ = x và uˆ =

dx

d , hãy xác định hàm sóng mới thu được khi thực hiện phép nhân toán tử cho các trường hợp sau:

a) xˆ.uˆ

b) uˆ.xˆ biết hàm f(x) = x2

eư

11.11.11 Hãy chứng minh các trị riêng của toán tử Hermite đều là những tri thực

12.12.12 Hãy chứng minh những hàm riêng của một toán tử Hermite A ứng với nhữhg trị riêng khác nhau sẽ lập thành một hệ hàm trực giao

13.13.13 Hãy chứng minh rằng hàm ψ(x) = 8.e4x là hàm riêng của toán tử d/dx Cho biết trị riêng thu được bằng bao nhiêu?

14.14.14 Cho toán tử ˆ 2 22

dx

d x

h= ư hãy chứng minh hàm số f(x) = x2 / 2

eư là hàm riêng của toán tử hˆ và cho biết trị riêng tương ứng bằng bao nhiêu?