23 Chơng 3 Chơng 3Chơng 3 Chơng 3 Toán tử và hệ hàm Toán tử và hệ hàmToán tử và hệ hàm Toán tử và hệ hàm 3.1. 3.1.3.1. 3.1. Toán tử Toán tửToán tử Toán tử Do hệ lợng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên ngời ta không thể biểu diễn các đại lợng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thờng nh trong cơ học cổ điển mà phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả bản chất của hệ lợng tử. Một trong những công cụ ấy là toán tử tác dụng lên hàm sóng. 3.1.1. Định nghĩa: Toán tử là một phép toán khi ta tác dụng lên một hàm thì cho ra một hàm mới. Thực hiện các phép toán đợc qui ớc trong toán tử A đối với hàm số x đứng sau nó ta nhận đợc hàm mới x . Hay nói cách khác x là kết quả của sự tác động toán tử A lên hàm số x . Kí hiệu: A x = x (3.1) Ví dụ: Toán tử A hàm số hàm mới nhân với a x ax d/ dx x 4 + 5 4x 3 Toán tử A = nhân với a có nghĩa là thực hiện phép nhân a vào hàm số đứng sau nó. A = d/ dx nghĩa là lấy đạo hàm theo x hàm số đứng sau nó. Ngời ta thờng kí hiệu các toán tử: A , B , C . 3.1.2. Các phép toán về toán tử a. Phép cộng của hai toán tử A và B: Tổng các toán tử A và B là toán tử C ( C = A + B ) sao cho khi C tác dụng lên hàm u (tuỳ ý) thì bằng A + B tác dụng lên hàm u đó. A + B = C nếu C u = A u + B u Ví dụ: A = x; B = d/ dx ; u = U (x) C = x + d /dx C u = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u b. Tích các toán tử: Tích hai toán tử A và B là toán tử C hay C ' sao cho: 24 C = A . B C u = A [ B u] C = B . A C u = B [ A u] Ví dụ: A = x , B = d /dx C u = A [ B u] = x.du /dx C u = B [ A u] = d/dx (x.u) = x. du/dx + u C u Nếu A . B B . A thì ta nói hai toán tử A , B không giao hoán với nhau, ta gọi [ A , B ] = A . B - B . A là giao hoán tử của hai toán tử A và B . Nếu A . B = B . A thì ta nói hai toán tử A và B giao hoán. [ A , B ] = A . B - B . A = 0 b. Luỹ thừa của toán tử: Luỹ thừa của toán tử A đợc định nghĩa:  2 u = (Â.Â)u =  (Âu) Vậy  2 = Â. là  tác dụng liên tiếp hai lần. Ví dụ:  = dx d , u(x) = x 4  2 u = dx d (du/dx) = dx d (4x 3 ) = 12x 2 3.2. 3.2.3.2. 3.2. Toán tử tuyến tính Toán tử tuyến tínhToán tử tuyến tính Toán tử tuyến tính 3.2.1. Định nghĩa: Toán tử L đợc gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn biểu thức sau: L (au + bv) = a L u + b L v (3.2) u,v: hàm ; a,b: các hằng số bất kì Ví dụ: toán tử dx d của hàm f(x) theo x là toán tử tuyến tính vì: dx d (af 1 (x) + bf 2 (x)) = a. dx d f 1 (x) + b. dx d f 2 (x) Một số toán tử tuyến tính nh: toán tử nhân (với một số, một hàm số) +Toán tử , vi phân: dx d , 2 2 dx d . 25 +Toán tử Laplace: = 2 2 2 2 2 2 zyx + + +Toán tử Napla: zyx + + = +Toán tử Hamilton H = - m 2 2 + U(x,y,z) Các toán tử không tuyến tính: , ( ) m (m 1); 3.2.2. Tính chất của toán tử tuyến tính Nếu hai toán tử A , B là toán tử tuyến tính (t 4 ) thì tổ hợp tuyến tính của chúng là toán tử tuyến tính và tích của chúng nhân với một số cũng là toán tử tuyến tính. A , B : t 4 thì (a. A + b. B ) : t 4 (c. A . B , d. B A ) : t 4 3.2.3. Hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính a. Định nghĩa: a. Định nghĩa: a. Định nghĩa: a. Định nghĩa: Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính L lên một hàm u bằng chính hàm u đó nhân với tham số L nào đó, thì ta gọi u là hàm riêng và L là trị riêng của toán tử L : L u = Lu (3.3) u là hàm riêng của L , còn L là trị riêng của L ứng với hàm riêng u. Vd: dx d (e ax ) = a. e ax hàm u(x) = e ax là hàm riêng của toán tử dx d , còn a là trị riêng của toán tử và ứng với hàm riêng e ax Phơng trình (3.3) đợc gọi là phơng trình hàm riêng- trị riêng của toán tử L . b. b.b. b. Trị riêng Trị riêngTrị riêng Trị riêng không suy biến không suy biến không suy biến không suy biến và suy biến và suy biến và suy biến và suy biến Một toán tử tuyến tính L có thể tồn tại nhiều hàm riêng và trị riêng khác nhau. Tập hợp các trị riêng của L gọi là phổ các trị riêng. Phổ các trị riêng có thể là liên tục hoặc gián đoạn, hoặc một phần gián đoạn một phần liên tục. 26 - Nếu ứng với mỗi hàm riêng u chỉ có một trị riêng L thì ngời ta nói trị riêng đó là không suy biến. - Nếu ứng với một trị riêng L ta có k hàm riêng u thì ta nói trị riêng L suy biến k lần hay suy biến bậc k. Ví dụ: L u 1 = Lu 1 L u 2 = Lu 2 L u k = Lu k L là trị riêng suy biến bậc k 3.2.4. Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính a. Định lí 1: a. Định lí 1:a. Định lí 1: a. Định lí 1: Nếu u n là hàm riêng của toán tử tuyến tính L ứng với trị riêng L n và a là một hằng số tuỳ ý 0 thì au n cũng là hàm riêng của L ứng với trị riêng L n . L u n = L n u n (3.4) L (a.u n ) = L n (a.u n ) (3.5) b. Định lí 2: b. Định lí 2:b. Định lí 2: b. Định lí 2: Nếu L n là trị riêng suy biến bậc k của toán tử L : L u 1 = L n u 1 L u 2 = L n u 2 L u k = L n u k thì tổ hợp tuyến tính của k hàm riêng đó cũng là hàm riêng của L ứng với trị riêng L n . L (c 1 u 1 + c 2 u 2 + . + c k u k ) = L n (c 1 u 1 + c 2 u 2 + . + c k u k ) (3.6) c. Định lí 3: c. Định lí 3:c. Định lí 3: c. Định lí 3: Điều kiện cần và đủ để hai toán tử A và B có chung hàm riêng là chúng phải giao hoán với nhau. A u = Au B v = Bu [ A , B ] = 0 u =v 3.3. 3.3.3.3. 3.3. Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm 3.3.1. Hệ hàm trực giao: Hệ hàm u, v, w . đợc gọi là hệ hàm trực giao nếu tích phân của một hàm nào đó với liên hợp phức của một hàm khác luôn bằng 0 trong toàn phạm vi biến đổi của hàm số. u.v * dx = 0, u.w * dx = 0 , v.w * dx = 0 3.3.2. Hàm chuẩn hoá: Hàm đợc gọi là hàm chuẩn hoá nếu * dx = 1. 27 hay 2 dx = 1 (3.7) cha chuẩn hoá: 2 dx = N ( N 1) Để có đợc hàm chuẩn hoá, ngời ta chia phơng trình này cho N: N 1 2 dx N 1 * dx = 1 N 1 ) ( N 1 * ) dx = 1 Hàm = N 1 là hàm chuẩn hoá; N 1 là thừa số chuẩn hoá. 3.3.3. Hệ hàm trực chuẩn 1 , 2 , ., m , ., n gọi là hệ hàm trực chuẩn nếu nó chuẩn hoá và trực giao với nhau từng đôi một. m * n dx = 1 : nếu m = n (3.8) = 0 : nếu m n 3.3.4. Hệ hàm đầy đủ: Hệ hàm 1 , 2 , ., m , ., n đợc gọi là hệ hàm đầy đủ, nếu hàm bất kì có thể khai triển thành chuỗi tuyến tính của hệ hàm ấy. = C 1 1 + C 2 2 + . + C m m + . + C n n = C i i (3.9) C i : hệ số khai triển chuỗi Nếu hệ hàm đầy đủ cũng là hệ hàm trực giao thì ta có thể xác định đợc hệ số khai triển chuỗi. Ví dụ: Muốn xác định C m thì ta nhân phơng trình với m * và lấy m * dx = C 1 m * 1 dx + C 2 m * 2 dx + . + C m m * m dx + . + C n m * n dx = dx dx C m m m * * Nếu hệ hàm đầy đủ thoả mãn tính chất chuẩn hoá thì: C m = m * dx 3.3.5. Hàm đều hoà (hàm đều đặn) 28 Hàm đợc gọi là hàm đều hoà nếu nó đơn trị, hữu hạn và liên tục trong phạm vi biến đổi của biến số. 3.4. Toán t 3.4. Toán t3.4. Toán t 3.4. Toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermit ử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermitử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermit ử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermite ee e) )) ) 3.4.1. Định nghĩa: Toán tử L đợc gọi là toán tử Hermit nếu nó thoả mãn hệ thức sau: + v * L u dx = + u. L * v * dx (3.10) u,v là các hàm bất kì, bằng 0 ở + và - u * , v * , L * là liên hợp phức của u,v, L Các toán tử Hermit: L = x; L = U(x,y,z); L = -i (toán tử động lợng p x ) L = 2 2 2 2 2 2 zyx + + ; L = - m 2 2 + U(x,y,z) L = - m 2 2 3.4.2. Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử Hermit a. Định lí 1: a. Định lí 1:a. Định lí 1: a. Định lí 1: Trị riêng của toán tử Hermit là trị thực: L n = L n * Thật vậy, nếu L là toán tử tuyến tính Hermit và L n là trị riêng của L thì ta có: L n = L n n (1) và n * L n d = n L * n d (2) (1) * L n = n * L n n n * L n d = n * L n d = L n n * n d (3) Lấy liên hợp phức của (1): L n * n = L n * n * (4) (4) nhân với n và lấy ta đợc: n L n * n * d = n L n * n * d = L n * n * n d (5) 29 từ (2) (3) Và (5) suy ra: L n n * n d = L n * n n * d hay L n 2 d = L n * 2 d L n = L n * Vậy trị riêng của toán tử Hermit là trị thực b. Định lí 2: b. Định lí 2:b. Định lí 2: b. Định lí 2: Tập hợp tất cả các hàm riêng khác nhau của một toán tử Hermit có phổ trị riêng gián đoạn làm thành một hàm trực giao. L n = L n n (1) L m = L m m (2) (L n L m ) n * L n d = n L * n * d (3) Từ (1) nhân m * rồi lấy ta đợc m * L n d = m * L n n d m * L n d = L n m * n d (4) Lấy liên hợp phức (2) rồi nhân với n , sau đó lấy tích phân ta đợc: n L * m * d = L m * m * n d = L m n m * d (5) Từ (3) so sánh (4) và (5) ta đợc: L n m * n d = L m n m * d (L n - L m ) m * n d = 0 m * n d = 0 đó là điều phải chứng minh. 3.4.2. Tính chất của toán tử tuyến tính Hermit - Nếu L là toán tử tuyến tính Hermit thì L .a (a 0) cũng là toán tử tuyến tính Hermit. Ví dụ: Toán tử i. dx d là toán tử tuyến tính Hermit thì -i dx d cũng là toán tử tuyến tính Hermit. - Nếu A và B là toán tử tuyến tính Hermit thì giao hoán tử A . B = B . A cũng là toán tử tuyến tính Hermit. 30 - Toán tử A và B là Hermit thì tổng hoặc hiệu của chúng cũng là toán tử tuyến tính Hermit. - Nếu A và B là các toán tử Hermit thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng là toán tử tuyến tính Hermit. - Nếu n không phải là hàm riêng của toán tử Hermite L, nghĩa là L n L n n thì ngời ta gọi giá trị L n thu đợc là giá trị trung bình hay kì vọng toán học của L và đợc biểu diễn nh sau: n L = d dL nn nn * * n L thu đợc cũng là trị thực. Thông qua các thuộc tính quan trọng của toán tử tuyến tính Hermite ta thấy rằng chỉ có loại toán tử này mới đủ khả năng biểu diễn bản chất của các đại lợng vật lý của hệ lợng tử. Và đó cũng là lý do tại sao toán tử Hermite là công cụ toán học trong cơ học lợng tử. Câu hỏi và bài tập Câu hỏi và bài tậpCâu hỏi và bài tập Câu hỏi và bài tập 1. 1.1. 1. Toán tử là gì? Thế nào là toán tử tuyến tính? 2. 2.2. 2. Cho biết điều kiện để hai toán tử A và B đợc gọi là giao hoán với nhau. 3. 3.3. 3. Cho biết định nghĩa về phơng trình hàm riêng - trị riêng của toán tử. 4. 4.4. 4. Cho biết định nghĩa về toán tử Hermit. 5. 5.5. 5. Toán tử Hermit có những tính chất gì? Chứng minh. 6. 6.6. 6. Hãy xác định hàm g(x) thu đợc khi cho toán tử U tác dụng lên hàm f(x) trong các trờng hợp dới đây: a) 2 )(; x exfxu == b) u = dx d ; f(x) = 2 x e c) u = i (toán tử nghịch đảo); f(x) = x 2 - 3x + 5 7. 7.7. 7. Cho toán tử x = x; toán tử dx du u = và hàm số f(x) = 2 x e . Hãy thực hiện phép giao hoán tử [ x , u ]. Từ kết quả thu đợc cho biết nhận xét. 8. 8.8. 8. Hãy chứng minh hàm (x) = 8.e 4x là hàm riêng của toán tử dx d . Cho biết trị riêng thu đợc bằng bao nhiêu? 9. 9.9. 9. Hãy chứng minh những hàm sau đây hàm nào là hàm riêng của toán tử dx d : 31 a) e ikx b) coskx c) k d) kx e) 2 a e 10. 10.10. 10. Cho toán tử x = x và u = dx d , hãy xác định hàm sóng mới thu đợc khi thực hiện phép nhân toán tử cho các trờng hợp sau: a) x . u b) u . x biết hàm f(x) = 2 x e 11. 11.11. 11. Hãy chứng minh các trị riêng của toán tử Hermite đều là những tri thực. 12. 12.12. 12. Hãy chứng minh những hàm riêng của một toán tử Hermite A ứng với nhữhg trị riêng khác nhau sẽ lập thành một hệ hàm trực giao. 13. 13.13. 13. Hãy chứng minh rằng hàm (x) = 8.e 4x là hàm riêng của toán tử d/dx. Cho biết trị riêng thu đợc bằng bao nhiêu? 14. 14.14. 14. Cho toán tử 2 2 2 dx d xh = hãy chứng minh hàm số f(x) = 2/ 2 x e là hàm riêng của toán tử h và cho biết trị riêng tơng ứng bằng bao nhiêu? . 23 Chơng 3 Chơng 3Chơng 3 Chơng 3 Toán tử và hệ hàm Toán tử và hệ hàmToán tử và hệ hàm Toán tử và hệ hàm 3. 1. 3. 1 .3. 1. 3. 1. Toán tử Toán tửToán tử Toán tử . dx d (4x 3 ) = 12x 2 3. 2. 3. 2 .3. 2. 3. 2. Toán tử tuyến tính Toán tử tuyến tínhToán tử tuyến tính Toán tử tuyến tính 3. 2.1. Định nghĩa: Toán tử L đợc gọi là toán tử tuyến tính. B ] = 0 u =v 3. 3. 3. 3 .3. 3. 3. 3. Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm Một số khái niệm về các hệ hàm 3. 3.1. Hệ hàm trực giao: