Nội dung: “Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô hệ lượng tử được đặc trưng bằng một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vào thời gian t và toạ độ q, kí hiệu là hàm ψ q,t
Trang 1Chương 4 Chương 4
Hệ tiê
Hệ tiên đề của cơ học lượng tửn đề của cơ học lượng tửn đề của cơ học lượng tử
4.1 Tiên
4.1 Tiên đề về hàm sóng ( đề về hàm sóng ( đề về hàm sóng (tiên đề 1) tiên đề 1) tiên đề 1) Nguyên lí chồng chất các trạng thái Nguyên lí chồng chất các trạng thái Nguyên lí chồng chất các trạng thái
4.1.1 Hàm sóng
a Nội dung:
a Nội dung: “Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô (hệ lượng tử) được đặc trưng bằng một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vào thời gian t và toạ
độ q, kí hiệu là hàm ψ (q,t); gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ ”
Mọi thông tin về hệ lượng tử chỉ có thể thu được từ hàm sóng mô tả trạng thái cuả hệ
b
b ý ý ý nghĩa vật lí và tính chất của hàm sóngnghĩa vật lí và tính chất của hàm sóngnghĩa vật lí và tính chất của hàm sóng
- Vì hàm sóng ψ (q,t) nói chung là hàm phức nên nó không có ý nghĩa vật lí trực tiếp, mà chỉ có bình phương modun ψ 2 (trị này là thực) của hàm sóng mới có ý nghĩa
là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại toạ độ tương ứng, đó chính là ý nghĩa vật lí của hàm sóng
- Nếu gọi dw là xác suất tìm thấy hạt trong một thể tích dv xung quanh một
điểm nào đó trong không gian thì ta sẽ có: dw = 2
ψ dv Mật độ xác suất ψ 2=
dv
Nếu lấy tích phân của ψ 2 trong toàn không gian ta sẽ có xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian, theo lí thuyết xác suất thì xác suất này bằng 1
ψ dv = 1 (4.2) Biểu thức (4.2) muốn thoả mãn tích phân ∫ψ 2dv phải có giá trị hữu hạn, nghĩa là ψ 0 đủ nhanh ở vô cực.
Đây là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng, hàm ψ(q,t) gọi là hàm đã chuẩn hoá Ngoài ra, hàm ψ(q,t) phải thoả mãn tính chất đơn trị, hữu hạn và liên tục để thảo mãn tính chất của một hàm mật độ vì:
1- Tính đơn trị: Vì 2
ψ biểu thị mật độ xác suất của hạt và xác suất là một đại lượng hoàn toàn xác định nên Ψ phải là một hàm đơn trị của toạ độ, nêú không tại một toạ độ xác định ta sẽ thu được nhiều giá trị xác suất và điều này hoàn toàn không có ý nghĩa vật lý
2- Tính hữu hạn: Vì xác suất là hữu hạn nên hàm sóng Ψ phải hữu hạn tại mọi vị trí 3- Tính liên tục: Vì trạng thái của hệ lượng tử phải biến đổi liên tục trong không gian, nên hàm sóng Ψ mô tả trạng thái của hạt phải là một hàm liên tục
Trang 24.1.2 Nguyên lí chồng chất trạng thái
Trong cơ học lượng tử xuất phát từ bản chất của hàm sóng người ta thừa nhận một nguyên lí, gọi là nguyên lí chồng chất trạng thái Đây là một nguyên lí cơ bản của cơ học lượng tử
“Nếu các hàm ψ1, ψ2, , ψn là các hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ lượng
tử, thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng mô tả được trạng thái của hệ lượng tử đó”
ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + + Cnψn : hàm trạng thái (4.3)
C1 , C2, là những hệ số tuỳ ý
Nguyên lí chồng chất phản ánh tính chất độc lập của một trạng thái này đối với một trạng thaí khác
4.2
4.2 Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)
4.2.1 Nội dung: Tương ứng với mỗi đại lượng vật lí L của hệ lượng tử ở trạng thái ψ
thì có một toán tử Hermit L tương ứng
Giữa các toán tử này có các hệ thức giống như những hệ thức đại lượng vật lí trong cơ học cổ điển
4.2.2 Một toán tử trong cơ học lượng tử tương đương với một đại lượng vật lí trong cơ học cổ điển
a.Toán tử toạ độ: xˆ = x
Một cách tổng quát qˆ(x,y,z) = q( x,y,z)
b.Toán tử xung lượng (động lượng) thành phần
px→
x
i x i
p x
∂
∂
ư
=
∂
∂
ˆ
py→
y
i y i
p y
∂
∂
ư
=
∂
∂
ˆ
pz→
z
i z i
p z
∂
∂
ư
=
∂
∂
ˆ
c Toán tử xung lượng
pˆ= pˆx +pˆy +pˆz
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
(
Trang 3d Toán tử bình phương xung lượng
∆
ư
= + +
2
ˆ ˆ ˆ
z y
x p p p
p
e Toán tử mô men động lượng thành phần
Mx = ypz - zpy→ ˆ ( )
y
z z y i
M x
∂
∂
ư
∂
∂
ư
My = zpx - xpz→ ˆ ( )
z
x x z i
M y
∂
∂
ư
∂
∂
ư
Mz = xpy -ypx→ ˆ ( )
x
y y x i
M z
∂
∂
ư
∂
∂
ư
2 2 2
ˆ
z y
M
f Toán tử thế năng
U(x,y,z) → U(x,y,z)
g Toán tử động năng
T =
2
2
m m
p m
mv T
2 2
ˆ 2
h Toán tử năng lượng (toán tử Hamilton)
E = T + U → Hˆ =Tˆ+Uˆ Thay các giá trị ta được:
) ( 2
m
H =ưℏ ∆+ 4.3 Tiên đề về trị riêng và đại lượng đo được
4.3 Tiên đề về trị riêng và đại lượng đo được
4.3.1 Phổ trị riêng của toán tử Hermite và những giá trị khả dĩ của các đại lượng vật lí tương ứng
Đại lượng vật lí L của một hệ lượng tử ở một thời điểm chỉ có thể nhận những giá trị riêng của toán tử tương ứng Lˆ thoả mãn phương trình trị riêng ở thời điểm t:
Trang 4Lˆ ψn = Lnψn (4.4)
4.3.2 Những giá trị ψ mà ở đó đại lượng vật lí L có giá trị xác định
Nếu hệ lượng tử ở trạng thái ψ mà hàm ψ này đồng nhất với một hàm riêng φk nào đó của toán tử Hermite Lˆ, thì ở trạng thái ψ đó đại lượng vật lí L có giá trị xác
định và bằng trị riêng Lk của toán tử tuyến tính Hermite Lˆ
Những trạng thái ψL mà ở đó một đại lượng vật lí L có giá trị xác định là những trạng thái thoả mãn phương trình trị riêng của toán tử tương ứng Lˆ
LˆψL = LψL
4.3.3 Xác suất để một đại lượng L có một giá trị Li
Nếu hệ lượng tử ở vào trạng thái ψ, mà ψ không trùng với một hàm riêng nào của Lˆ thì đại lượng vật lí L của trạng thái ψ đó không có giá trị xác định Đại lượng L chỉ có thể nhận một trong những giá trị xác định Li của phổ trị riêng của toán tử Lˆ, nhưng không biết chắc là trị nào Vì thế người ta phải xác định L theo định luật xác suất
Xuất phát từ nguyên lí chồng chất trạng thái và tính đầy đủ, trực giao của hệ hàm riêng của toán tử tuyến tính Hermite Lˆ người ta biểu diễn hàm ψ mô tả trạng thái của hệ thành chuỗi tuyến tính theo các hàm riêng
ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + + Cnψn = Ciψi (4.5) Như vậy, trạng thái ψ được xem là sự chồng chất những trạng thái riêng Ui của toán tử Hermite Lˆ Lúc đó ứng với mỗi trạng thái riêng trên, đại lượng vật lí L nhận những giá trị xác định Li là trị riêng tương ứng với hàm riêng Ui
Xác suất để L nhận giá trị Li là W (Li) = 2
i
C
∑ 2
i
C = 1 : điều kiện chuẩn hoá
Với W (Li) là xác suất để đại lượng L nhận một trong những giá trị có thể có của Ln
Từ Lˆ ψn = Lnψn ⇒ ψn* Lˆ ψn = ψn* L ψn = Lnψn*ψn
⇒ Ln = ∫ ψn* Lˆ ψn dτ
∫ ψn*ψn dτ
Thực tế trong cơ học lượng tử ít khi tìm được ψn là một hàm riêng đúng, mà chỉ tìm được hàm riêng gần đúng Do đó trị riêng ψn tìm thấy là trị trung bình:
Trang 5L = ∫ ψn* Lˆ ψn dτ (4.6)
∫ ψn* ψn dτ
Giá trị trung bình này còn gọi là kì vọng của L
4.4 Điều kiện để
4.4 Điều kiện để hai đại lượng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng hai đại lượng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng thái
thái
Ta đã biết, đại lượng vật lí A của trạng thái ψ1 có giá trị xác định nếu ψ1 là hàm riêng của toán tử Aˆ Đại lượng vật lí B của trạng thái ψ 2 có giá trị xác định nếu ψ2 là hàm riêng của Bˆ Do đó, hai đại lượng vật lí A, B của cùng trạng thái ψ sẽ có giá trị xác định đồng thời nếu ψ là hàm riêng chung của hai toán tử Aˆ, Bˆ; khi đó hai toán tử
Aˆ và Bˆ phải giao hoán với nhau Ngược lại, nếu hai toán tử giao hoán thì chúng sẽ có chung hàm riêng và hai đại lượng vật lí tương ứng sẽ có giá trị đồng thời xác định
Vậy: Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng vật lí của hệ lượng tử có trị xác định
đồng thời trong cùng một trạng thái là các toán tử của chúng giao hoán với nhau
• Một số thí dụ:
a Các toán tử giao hoán:
- Toán tử xˆ, yˆ,zˆ giao hoán với nhau từng đôi một
[xˆ,yˆ] = 0; [yˆ,zˆ] = 0; [xˆ,zˆ] = 0
Vậy các toạ độ x, y, z của một hạt có thể nhận đồng thời những giá trị trong cùng một trạng thái
- Toán tử thành phần động lượng px, py, pz giao hoán với nhau từng đôi một, nên
có giá trị đồng thời xác định trong cùng một trạng thái
b- Các toán tử không giao hoán:
- Động lượng và toạ độ: Các toán tử toạ độ và thành phần động lượng tương ứng với toạ độ đó không giao hoán, nên từng đôi một không thể có giá trị xác định đồng thời Nhưng một toán tử toạ độ và toán tử thành phần động lượng ứng với toạ độ khác lại giao hoán Do đó, chúng lại có thể đồng thời xác định trong cùng một trạng thái
-Toán tử thành phần momen động lượng: Toán tử thành phần momen động lượng không giao hoán với nhau từng đôi một Do đó, các thành phần Mx, My, Mz của momen động lượng không thể có những giá trị xác định
[Mˆ x, Mˆ y] = i ħMˆz ; [Mˆ y, Mˆz] = i ħ Mˆ x ; [MˆzMˆx] = i ħMˆy
Tuy nhiên, toán tử bình phương mômen động lượng Mˆ 2 = Mˆ x2 + Mˆ y2 + Mˆ z2
lại giao hoán với mỗi toán tử Mˆ x, Mˆy, Mˆz
[Mˆ 2, Mˆx] = [Mˆ 2,, Mˆ y] = [Mˆ 2, Mˆz] = 0
Trang 6Do đó, Mˆ 2 và thành phần mômen động lượng nào đó là có thể đồng thời xác
định
Ta có: Mˆ2ψ = M 2ψ
Mˆ zψ = Mzψ
Một cách hoàn toàn tương tự chúng ta cũng có thể chứng minh được ba toán tử hình chiếu momen động spin Sx, Sy, Sz ở cùng một trạng thái không giao hoán với nhau từng đôi một Ngược lại, toán tử bình phương momen động spin giao hoán với một trong Sx, Sy, Sz
4.5 Tiên đề về phương trình Schrodinger
4.5 Tiên đề về phương trình Schrodinger Trạng thái dừngTrạng thái dừngTrạng thái dừng
4.5.1 Tiên đề 3 - Phương trình Schodinger tổng quát
Hàm sóng ψ(q,t) mô tả trạng thái của hệ lượng tử biến thiên theo thời gian được xác định bởi phương trình Schrodinger tổng quát:
ψ
ψ
H t
∂
∂
i = ư1 , Hˆ : toán tử Haminton Hˆ = Hˆ (q,t)
ψ : hàm sóng mô tả trạng thái của hệ theo thời gian ψ(q,t) Phương trình (4.7) do Schrodinger đưa ra năm 1926 như một tiên đề, nghĩa là không thể suy ra từ bất kì một nguyên lí nào khác Sự đúng đắn của phương trình chỉ
có thể được khẳng định bằng các kết quả kiểm chứng khi áp dụng cho các hệ lượng tử
cụ thể
Phương trình (4.7) là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất; do đó nếu ψ1
và ψ2 là hai nghiệm độc lập của (4.7) thì mọi tổ hợp tuyến tính ψ = C1ψ1 +C2ψ2 của chúng cũng là nghiệm của phương trình
Nếu ψ là hàm đã chuẩn hoá; ψ1 , ψ2 là trực chuẩn, còn C 1, C2 là những số nói chung phức và không đồng thời bằng không thì:
C 12 + C22 + + Cn2 = 1 Vì vậy, phương trình Schodinger tổng quát cũng thể hiện nguyên lí chồng chất trạng thái trong cơ học lượng tử Do những điều đó, phương trình Schrodinger tổng quát là phương trình gốc và toán tử Haminton là toán tử quan trọng nhất của cơ học lượng tử không tương đối tính
4.5.2 Phương trình Schodinger của các trạng thái dừng
Giả sử hệ lượng tử ở vào một trường thế U không phụ thuộc vào thời gian, chỉ phụ thuộc vào toạ độ Uˆ = U(q), thì Hˆ không phụ thuộc vào thời gian Lúc đó Hˆ chỉ
Trang 7tác động lên phần phụ thuộc toạ độ của hàm ψ (q,t) Do đó, hàm ψ(q,t) tách thành hai phần:
ψ(q,t)= ψ(q).F(t) Thay vào phương trình Schodinger tổng quát:
) ) ( ˆ ) , (
t
q F H t
t q
∂
∂
⇒
) (
) ( )
)
ˆ ) (
q
q t
t
H t
F F
i
ψ
ψ
=
∂
∂ ℏ
(4.9)
Hai vế của đẳng thức (4.9) phụ thuộc vào hai biến số khác nhau, nên hai vế chỉ
có thể bằng nhau khi hai vế phải bằng cùng một hằng số λ nào đó:
λ
=
∂
∂
) (
F F
t
ℏ
λ ψ
ψ
= ) (
) (
ˆ
q q H
Từ (4.11) ⇒ Hˆψ(q) = λψ(q) (4.12)
(4.12) là phương trình hàm riêng trị riêng của Hˆ, mà trị riệng của Hˆ là năng lượng toàn phần E nên λ = E là trị thực
Các hàm ψ(q) là hàm riêng của toán tử Hˆ, nó mô tả những trạng thái năng lượng không biến đổi theo thời gian E = λ = const Trạng thái có E không biến đổi theo thời gian gọi là trạng thái dừng
Phương trình Schodinger cho trạng thái dừng:
Hˆψ(q) = E ψ(q) (4.13)
hay ∆ψ(q) +2m2 (EưU)ψ(q)
Phương trình (4.13) hoặc (4.14) là phương trình quan trọng nhất của cơ học lượng tử Vì hoá học lượng tử chủ yếu nghiên cứu các hệ ở trạng thái dừng
Giải phương trình (4.10)
) (
F F
t ∂
∂ ℏ
= E ta được
Trang 8F(t) = C.e-i Et / h gọi là thừa số đơn sắc hay thừa số pha của hàm sóng
Như vậy: nghiệm tổng quát của phương trình Schrodinger sẽ là:
ψ(q,t) = ψ(q).F(t)
ψ(q,t) = ψ (q) e-iEt / h
⇒
2 2 ) ( 2 )
iEt
q t
ư
ψ
2 ) ( 2 ) (q t ψ q
Phương trình (4.15) cho ta thấy ở trạng thái dừng, mật độ xác suất không phụ thuộc vào thời gian Do đó, khi giải phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng ta
phân tử
4.6 Một số bài toán ứng dụng
4.6 Một số bài toán ứng dụng
4.6.1 Bài toán vi hạt trong hộp thế một chiều
Giả sử có một tiểu phân (hạt) khối lượng m chuyển động trong hộp thế một chiều theo phương x với bề rộng OA = a Trong khoảng 0 ≤ x ≤ a thế năng của hệ không đổi ở những vị trí bên ngoài hộp (x < 0 và x > a) thì có những trường lực làm cho thế năng của hạt tăng vô hạn Nói cách khác chuyển động của hạt bị giới hạn trong hộp:
x
U = Const = 0 với 0 ≤ x ≤ a
U = ∞ với x < 0 và x > a Mô hình này gọi là mô hình hộp thế một chiều, trạng thái của hạt trong hộp thế một chiều là trạng thái dừng
Hạt chuyển động trong thành vách dựng đứng có thể dùng để mô tả electron tự
do trong kim loại hoăc electron không định cư trong các phân tử liên hợp
Ta có phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng:
Trang 9) ( 2
) (q 2m(E U)ψ q
∆
Vì là hộp thế một chiều theo phương x nên: 22
dx
d
=
Suy ra : ψ m Eψ
dx
d
2 2
2
2
ℏ + = 0
Đặt k2=2 2
ℏ
mE ⇒ ψ 2ψ
2
2
k dx
Đây là phương trình vi phân tuyến tính bậc hai có nghiệm tổng quát:
ψ(x) = A coskx + Bsinkx (4.17) Trong đó A, B là các hằng số chưa xác định
Ta có thể xác định A bằng cách để ý tới điều kiện bờ của bài toán (x = 0 và x = a)
Tại các giá trị bờ (x = 0, x = a) hàm sóng phải triệt tiêu, nghĩa là ψ = 0:
ψ(0) = 0 , ψ (a) = 0
* ψ(0) = A cos 0 + Bsin0 = 0 ⇒ A = 0
⇒ ψ(x) = Bsinkx
* ψ(a) = Bsinka = 0 ⇒ sinka = 0 ⇒ ka = nπ ( n: nguyên)
(B không thể bằng 0, vì nếu B = 0 thì ψ(x) bằng 0 với mọi x)
⇒ k =
a
nπ (n = 1,2,3, .)
(n không thể bằng 0, vì n = 0 thì k = 0 và ψ(x) cũng bằng 0 với mọi x Đồng thời
n cũng không nhận giá trị âm, vì khi đó ta có ψ(x) = - Bsinka và mật độ xác suất của hàm sóng ψ 2 vẫn không thay đổi)
⇒ ψ(x) = B sin
a
nπ x
Hằng số B còn lại được xác định bằng điều kiện chuẩn hoá:
Trang 10a
n Sin B dx
0
2 2 0
2
1
ψ
B =
a
2 (thường chọn B dương)
Vậy hàm sóng đã chuẩn hoá: ψn(x) =
a
2sin
a
nπ x
Từ k2 =
ℏ
mE
2 và k =
a
nπ
En = n2 2
2
8ma
h
(4.18) n: số lượng tử ( n = 1,2,3, )
Từ (4.18) ta thấy, hệ chỉ có thể nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, ta nói năng lượng của hạt được lượng tử hoá Như vậy, sự lượng tử hoá của năng lượng được dẫn ra một cách tự nhiên từ yêu cầu hàm sóng phải thoả mãn các điều kiện bờ Đây là
điểm khác biệt của hệ vi mô so với hệ vĩ mô
n = 1 : E1 = 2
2
8ma
h
; ψ1 =
a
2 sin
a
π x (x =0, x = a)
n = 2 : E2 = 4 2
2
8ma
h
= 4E1 ; ψ2 =
a
2 sin 2
a
π x (x = 0, a, a/2)
n = 3 : E3 = 9 2
2
8ma
h
= 9E1 ; ψ3 =
a
2 sin 3
a
π x (0, a, a/3, 2a/3)
Điểm mà tại đó hàm sóng ψ = 0 người ta gọi là điểm nút Trừ những điểm ở thành hộp, ta thấy số điểm nút của hàm sóng phụ thuộc vào n và bằng (n-1)
Giản đồ năng lượng hàm sóng và mật độ xác suất của hạt trong hộp thế một chiều được trình bày ở hình sau:
Có thể rút ra một số đặc điểm về hàm sóng và mức năng lượng của hệ:
- Mỗi hàm sóng ψn(x) có (n-1) điểm nút Số điểm nút tăng theo chiều tăng của mức năng lượng