Biên sọan - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HOÏC 10 – Chöông II Email: tranhung18102000@yahoo.com § !"#$ %&'()*+,-. . /01. . 2 3'%4#5678 •Định nghĩa Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = α và M( x ; y) 9sin gócα là y; ký hiệu sinα = y 9cos gócα là x; ký hiệu cosα = x 9tang gócα là y x ( x ≠ 0); ký hiệu tan α = y x 9cotang gócα là x y ( y ≠ 0); ký hiệu cot α = x y • Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt • Hai góc bù nhau: sin( 180 0 - ∝) = sin∝ cos ( 180 0 -∝) = - cos∝ tan (180 0 -∝) = - tan∝ (∝ ≠ 90 0 ) cot ( 180 0 -∝) = - cot∝ ( 0 <∝< 180 0 ) 3(:; (<=: Tính giá trị biểu thức: a) A = ( 2sin 30 0 + cos 135 0 – 3 tan 150 0 )( cos 180 0 -cot 60 0 ) b) B = sin 2 90 0 + cos 2 120 0 - cos 2 0 0 - tan 2 60 0 + cot 2 135 0 (<=> Đơn gian các biểu thức: a) A= Sin 100 0 + sin 80 0 + cos 16 0 + cos 164 0 b) B= 2 Sin (180 0 - ∝) cot∝ - cos(180 0 - ∝) tan ∝ cot(180 0 - ∝) . (Với 0 0 < ∝<90 0 ) (<=? : a) Chứng minh rằng sin 2 x +cos 2 x = 1 ( 0 0 ≤ x ≤ 180 0 ) b) Tính sinx khi cosx = 3 5 c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx = 2 3 d) Chứng minh rằng 1 + tan 2 x = 2 1 cos x ( Với x ≠ 90 0 ) e) Chứng minh rằng 1 + cot 2 x = 2 1 sin x ( Với 0 0 < x < 1800 0 ) (<=@ : Tính giá trị biểu thức: A = cos 0 0 + cos10 0 + cos20 0 + . . . . . . + cos 170 0 B= cos 2 120 0 - sin 2 150 0 +2 tan135 0 (<=A: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B = 0 c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0 (<=B: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa a) AB uur và AC uur b) AB uur và BC uur c) AG uuur và BC uur d) GB uur và GC uur c) uuur GA và AC uur α 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 Sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 Cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 Cot α 3 1 3 3 0 Biên sọan - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HOÏC 10 – Chöông II Email: tranhung18102000@yahoo.com C>3>D 3'%4#5678 • Cho OA uuur = a r và OB uur = b r . Khi đó góc AOB là góc giũa 2 vectơ a r và b r Ký hiệu ( a r ; b r ) - Nếu a r = 0 r hoặc b r = 0 r thì góc ( a r ; b r ) tùy ý - Nếu ( a r ; b r ) = 90 0 ta ký hiệu a r ⊥ b r • ),cos(. bababa = + Bình phương vô hướng a r 2 = a r 2 . •EFGHIJKF Cho ∀ a b c ; ∀ k ∈R a . b = b . a a . b = 0 <=> a ⊥ b (k a , b = k ( a b ) a ( b ± c ) = a b ± a c •;JLFFMNOPJ/=QO/R=ST=OPJ/UJV Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi, luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B. Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O) P M/(O) = MO 2 – R 2 = .MA MB uuur uuur Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì P M/(O) = MT 2 •(=QHJWFJXY/PFMNJLFSZT Cho a r = (x, y) , b r = (x', y') ; M(x M , y M ), N(x N , y N ); ta có 1) a r . b r = x.x' + y.y' 2) | a r | = 22 + yx 3) cos ( a r , b r ) = 2222 '+'.+ '+' yxyx yyxx 4) a r ⊥ b r ⇔ xx' + yy' = 0 5) MN = | MN uuuur | = 22 )_(+)_( NMNM yyxx (3 L[\: Cho a r = (1, 2), b r = (-1, m) a) Tìm m để a r , b r vuông góc b) Tính độ dài a r , b r ; tìm m để | a r | = | b r | L[\>: cho đều ABC cạnh a và trọng tâm G; tính : AB . AC ; AC . CB ; AG . AB ; GB . GC ; BG . AG ; GA . BC L[\?: Trong Mp Oxy cho 2 điểm M(-2;2), N(4,1) a) Tìm trên trục Ox điểm P cách đều 2 điểm M, N b) Tính cos của góc MON 3 (:; (<=: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1). a) Chứng minh rằng tam giác vuông b) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác (<=> Cho a r =(-2; 3) ; b r =( 4 ; 1) a) Tính cosin góc hợp bởi a r và b r ; a r và i r ; a r và j r ; a r + b r và a r - b r b) Tìm số m và n sao cho m a r +n b r vuông góc a r + b r c) Tìm d r biết a r . d r = 4 và b r . d r = - 2 (<=?: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành c) Tìm điểm M ∈ trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B d) Tam giác ABC là tam giác gì ? e) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC (<=@: Cho ∆ABC có AB = 7, AC = 5, Â = 120 0 Biên sọan - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HOÏC 10 – Chöông II Email: tranhung18102000@yahoo.com a) Tính AB . AC , AB . BC uuur b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC) (<=A Cho 4 điểm bất kỳ A,B,C.D: Chứng minh rằng: DA uuur BC uuur + DB uuur CA uuur + DC uuur AB uuur = 0 Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy” (<=B Cho ABC có 3 trung tuyến AD, BE,CF; CMR: BC uuur AD uuur + CA uuur BE uuur + AB uuur CF uuur =0 (<=]: Cho ABC có AC= b, AB= c, góc BAC = ∝ và AD là phân giác của góc BAC ( D thuộc cạnh BC) a) Hãy biểu thị AD uuur qua AB uuur , AC uuur b) Tính độ dài đoạn AD (<=1 Từ điển M ở ngoài (O) vẽ các tuyến MAB với (O) (A,B ∈ (O)) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của đường tròn (O) cắt nhau tại I, IO ∩ AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần lượt cắt AB tại C; cắt đường tròn (O) tại E, F. Chứng minh : a) MA.MB MC.MD= uuuur uuur uuur uuuur b) OF 2 = OH.OM uuur uuuur c) IE.IF IC.IH= uur uur uur uur d) P M/(ICD) + P I/(MCH) = IM 2 ( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: ∆ : ICD, MCH) (<=^.Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi MA.MB MC.MD= uuuur uuur uuur uuuur (<=.. Cho 4 điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5). Chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn (<=:. Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D. (<=>: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11. Qua I vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD a) Cho IA = 12, tính IB b) Cho CD = 1; tính IC ; ID (<=?: Điểm I nằm trong (O;R), qua I vẽ 2 dây AB và CD. Tính IC ; ID a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32 b) IA =12 ; IB = 18 ; IC 3 ID 8 = (<=@: Cho (O;20) và điểm M sao cho: OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB . Cho AB = 5 a) Tính MT ; MA ; MB b) Đường tròn ngoại tiếp ∆AOB cắt MO tại E. Tính OE (<=A: Cho (O;30); I ở ngoài đường tròn , vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT. Đường thẳng IO cắt đường tròn tại E và F . Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64. Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF (<=B:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. M là 1 điểm trên cạnh AB kéo dài. Qua M lần lượt vẽ 2 tiếp tuyến MT, MT’, 2 cát tuyến MCD, MC’D’ đối với (O) và (O’). Chứng minh rằng: MT = MT’ và CDD’C’ nội tiếp (<=]: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm M (không ở trên đường BC kéo dài). Chứng minh: Đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM) (<=1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm M ở ngoài (O) sao cho MA = 3 2 R . Từ M vẽ tiếp tuyến MT a) Tính MT theo R b) Gọi TH là đường cao trong ∆TMO. Chứng minh rằng : 3MH MO = 3MA MB c) Tính ℘ H/(O) d) Vẽ cát tuyến MCD. Chứng minh: Tứ giác CDOH nội tiếp e) AD và BC cắt nhau tại N. CMR : AN AD3 + BN BC3 = 4R 2 (<=^: M là 1 diểm trên nửa đường tròn đường kính AB . H là hình chiếu của M xuống AB . Đường tròn đườg kính MH cắt MA ; MB tại P,Q và cắt nửa đường tròn tại E a) CMR tứ giác APQB nội tiếp b) CMR 3 đường AB ; PQ ; ME đồng quy (<=>. : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngoài (O), AB = 6 ; AC = 5. AC , AB cắt (O) tại D và E a) Tính AO , AE , AD b) Qua A vẽ AH ⊥BC và cắt (O) tại F ; K. Lấy M ∈ (O). Gọi BM∩AH = I ; CM∩AH = J c) Chứng minh rằng 3IF IK = 3IH IJ Biên sọan - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HOÏC 10 – Chöông II Email: tranhung18102000@yahoo.com §?3_#$!`% * Định lí hàm số côsin: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2bccos A;b c a 2ca cos B;c a b 2ab cosC= + − = + − = + − * Định lý hàm số sin: a b c 2R sin A sin B sinC = = = * Định lý đường trung tuyến: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c m ;m ;m 2 4 2 4 2 4 + + + = − = − = − * Công thức tính diện tích: a b c 1 1 1 1 1 1 S ah ;S bh ;S ch S absin C bcsin A ca sin B 2 2 2 2 2 2 = = = = = = abc S ; S pr; S p(p a)(p b)(p c) 4R = = = − − − Bài tập: (<=: Cho tam giác ABC. Tính đường cao vẽ từ A và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết: a) CA = 8, AB = 5 ; µ 0 A 60= b) BC = 21 ; CA = 17 ; AB = 8 (<=>: Tính các cạnh và diện tích tam giác ABC biết: µ 0 a 2 3;b 2;C 30= = = (<=?: Cho tam giác ABC có a = 5; b = 6; c = 7. Tính diện tích S, các đường cao và các bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. (<=@: Cho tam giác ABC có 2 trung tuyến BM = 6; CN = 9 hợp với nhau một góc 120 0 . Tính các cạnh của tam giác. (<=A: Cho tam giác ABC có a = 5; b = 5; c = 3. Trên đọan AB, BC lấy lần lượt các điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 3. Tính MK (<=B: Cho tam giác ABC với c = 2, b = 3, a = 4, M là trung điểm của AB. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. (<=]: Cho tam giác ABC có c = 3; b = 4 và S = 3 3 . Tính a. (<=1: Cho tam giác ABC có góc B = 60 0 , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI. (<=^: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD. a) Chứng minh: AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4IJ 2 b) Suy ra điều kiện cần và đủ để một tứ giác là một hình bình hành. (<=.: Trong tam giác ABC. Chứng minh: a) S = 2R 2 sinAsinBsinC b) S = Rr(sinA + sinB + sinC) (<=: Cho tam giác ABC thỏa: a = 2bccosC. Chứng minh tam giác ABC cân. (<=>: Trong tam giác ABC, chứng minh rằng: 2 2 2 (a b c )R cot a cot B cot C abc + + + + = (<=?: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM 13= , độ dài cạnh BC = 6 và góc B= 60 0 . Tính độ dài cạnh c và các bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác đó. (<=@: Cho tam giác ABC với các trung tuyến BB’ và CC’ vuông góc với nhau tại trọng tâm G của tam giác đó. Chứng minh rằng: a) 2 2 2 2 2a 2c b BG 9 + − = b) 2 2 2 2 2a 2b c CG 9 + − = c) b 2 + c 2 = 5a 2 . lượng giác của các góc đặc biệt • Hai góc bù nhau: sin( 180 0 - ∝) = sin∝ cos ( 180 0 - ) = - cos∝ tan (180 0 - ) = - tan∝ (∝ ≠ 90 0 ) cot ( 180 0 - ) = - cot∝ ( 0 <∝< 180 0 ) 3(:; (<=:. tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác (<=> Cho a r = (-2 ; 3) ; b r =( 4 ; 1) a) Tính cosin góc hợp bởi a r và b r ; a r và i r ; a r và j r ; a r + b r và. a r - b r b) Tìm số m và n sao cho m a r +n b r vuông góc a r + b r c) Tìm d r biết a r . d r = 4 và b r . d r = - 2 (<=?: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2 ) a)