ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 Môn: Toán 10 Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: Giải các bất phương trình sau: a) 065 2 ≤−+− xx b) 1 32 31 > − − x x c) 123 2 −≤+− xxx Câu 2:Cho 3 1 cossin =− αα . Tính α 2sin và α 2cos Với ∈ 2 ;0 π α Câu 3: Cho 1=+ yx . Chứng minh rằng 4)1)(1( 33 ≤++ yx . Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình 0142 22 =++−+ yxyx a) Xác định tâm và bán kính đường tròn (C) b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d: 0134 =−+ yx ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm 1a Xét 65)( 2 −+−= xxxf có hai nghiệm 2 = x và 3 = x Dựa vào trục số ta có 065 2 ≤−+− xx ⇔ ≥ ≤ 3 2 x x 1.5đ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ] [ ) +∞∪∞−= ;32;S 0,5đ 1b ĐK: 032 ≠− x ⇔ 2 3 ≠x (*) ⇔ 1 32 31 > − − x x ⇔ 01 32 31 >− − − x x ⇔ 0 32 )32(31 > − −−− x xx ⇔ 0 32 54 > − − x x ⇔ ( )( ) 03254 >−− xx 0.5đ Xét ( )( ) 3254)( −−= xxxf có hai nghiệm 2 3 =x và 5 4 =x 0 32 54 > − − x x ⇔ 2 3 5 4 << x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là = 2 3 ; 5 4 S 0.5đ 1c 123 2 −≤+− xxx ⇔ ( ) −≤+− ≥+− 2 2 2 123 023 xxx xx 0.5đ ⇔ ≤+− ≤ ≥ 01 1 2 x x x ⇔ ≥ ≤ ≥ 1 1 2 x x x ⇔ ≥ = 2 1 x x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ ) { } 1;2 ∪+∞=S 0.5đ 2 *) Cho 3 1 cossin =− αα 0.5đ 2 3 Từ 3 1 cossin =− αα ⇒ ( ) 9 1 cossin 2 =− αα ⇒ 9 1 2sin1 =− α ⇒ 9 8 2sin = α Ta có ( ) ( ) αααααα cos.sin4cossinsincos 22 +−=+ 9 17 9 8 .2 9 1 =+= Suy ra: 3 17 sincos ±=+ αα Do ∈ 2 ;0 π α nên 3 17 sincos =+ αα Vậy ααα 22 sincos2cos −= = ( ) ( ) 9 17 3 1 . 3 17 sincos.sincos2cos ==+−= ααααα 0.5đ 3 4)1)(1( 33 ≤++ yx ⇔ 3 3333 ≤++ yxyx (*) Ta có ( ) xyyxxyyxyx 31)(3 3 33 −=+−+=+ (*) ⇔ 331 33 ≤+− yxxy ⇔ 032 33 ≤+−− yxxy ⇔ ( ) 0)2(1 2 ≤−+ xyxy (**) Do ( ) 4 1 4 2 ≤ + ≤ yx xy nên (**) luôn đúng Vây 4)1)(1( 33 ≤++ yx 0.5đ Đẳng thức xảy ra khi =+ −= 1 1 yx xy hay x, y là nghiệm phương trình 01 2 =−− tt ⇔ + = − = 2 51 2 51 t t vậy (x;y) = +− 2 51 ; 2 51 hoặc (x;y) = −+ 2 51 ; 2 51 0.5đ 4a Xác định tâm và bán kính = −= 42 22 B A ⇔ = −= 2 1 B A Vậy tâm I(1; -2) Bán kính 21)2(1 22 =−−+=R 1đ 1đ 4b Do tiếp tuyến vuông góc d: nên tiếp tuyến có dạng ∆ : -3x + 4y + C = 0 Với điều kiện d(I, ∆ ) = R ⇔ 2 5 )2.(41.3 = +−+− C ⇔ 1011 =−C ⇔ = = 21 1 C C 1đ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm -3x + 4y + 1 = 0 và -3x + 4y + 21= 0 1đ (Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa) . và 5 4 =x 0 32 54 > − − x x ⇔ 2 3 5 4 << x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là = 2 3 ; 5 4 S 0.5đ 1c 123 2 −≤+− xxx ⇔ ( ) −≤+− ≥+− 2 2 2 123 023 xxx xx 0.5đ ⇔ ≤+− ≤ ≥ 01 1 2 x x x ⇔ ≥ ≤ ≥ 1 1 2 x x x ⇔ ≥ = 2 1 x x Vậy. tt ⇔ + = − = 2 51 2 51 t t vậy (x;y) = +− 2 51 ; 2 51 hoặc (x;y) = −+ 2 51 ; 2 51 0.5đ 4a Xác định tâm và bán kính = −= 42 22 B A ⇔ = −= 2 1 B A Vậy. 2 Môn: Toán 10 Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: Giải các bất phương trình sau: a) 065 2 ≤−+− xx b) 1 32 31 > − − x x c) 123 2 −≤+− xxx Câu 2: Cho 3 1 cossin =− αα . Tính α 2sin và α 2cos