SỞ GD & ĐT ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT TRƯỜNG THPT TÂN LÂM 1 MÔN TOÁN Khóa ngày 04 – 05 - 2010 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau: 1. 2 1 lim x +3 -2 x -1 x → 2. 3 2 lim (21x -12x +9x -11) x →−∞ Câu II (1,0 điểm) Cho hàm số : 2 1 khi 1 ( ) 5 6 1 khi 1 x x f x x x m x + ≠ − = − − − = − (m là tham số) Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại 1x = − . Câu III (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 y ( ) x – 3x 4f x = = − + có đồ thị (C). 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 2 0 x = − 2. Tìm phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua điểm P(1,0). Câu IV (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD ⊥ , góc SBA bằng 30 0 . 1. Chứng minh SBC là tam giác vuông. 2. Chứng minh ( ) ( )SAB SAD ⊥ 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB. 4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAN), (SAM). Câu V (1,0 điểm) Cho phương trình : ( ) 4 2009 5 1 32 0m m x x + + + − = (m là tham số) Chứng minh phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m. _ HẾT _ 1 SỞ GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II TRƯỜNG THPT TÂN LÂM MÔN TOÁN LỚP 11 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) CÂU Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM I 2 điểm 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 lim lim 1 1 3 2 x x x x x x x x → → + − + + + − = − − + + 0,50 ( ) ( ) 2 1 2 1 lim 1 3 2 x x x x → − = − + + 0,25 2 1 1 1 lim 2 3 2 x x x → + = = + + 0,25 2 3 2 3 2 3 12 9 11 lim (21 12 9 11) lim (21 ) x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − + − = − + − 0,25 Vì 3 lim x x →−∞ =−∞ 0,25 và 2 3 12 9 11 lim (21 ) 21 0 x x x x →−∞ − + − = > 0,25 3 2 3 12 9 11 lim (21 ) x x x x x →−∞ ⇒ − + − =− ∞ ;Vậy: 3 2 lim (21 12 9 11) x x x x →−∞ − + − =−∞ 0,25 II 1 điểm 2 1 1 lim 5 6 x x x x →− + − − 1 1 lim ( 1)( 6) x x x x →− + = + − 1 1 lim 6 x x →− = − 1 7 = − 0,50 (Hàm số f liên tục tại x = -1) 1 lim ( ) ( 1) x f x f →− ⇔ = − 0,25 1 1 7 m − = − 6 7 m ⇔ = 0,25 III 2 điểm 1 Tập xác định : D = R 'y = -3x 2 – 6x . 0,25 0 1x = − ⇒ 3 2 0 y (-1) – 3(-1) 4 = − + =2 0,25 2 ' 3( 1) 6( 1)y = − − − − =3 0,25 Phương trình tiếp tuyến là: 2 3( 1) 3 5y x y x − = + ⇔ = + 0,25 2 Gọi d là đường thẳng đi qua P(1 , 0 ) có hệ số góc k Khi đó d có phương trình : y – 0 = k ( x – 1 ) ⇔ y = k ( x – 1 ) ( d tiếp xúc (C) ) ⇔ =−− −=+−− kxx xkxx 63 )1(43 2 23 hệ có nghiệm 0,25 2 Thế (2) vào (1) ta được : 2x 3 - 6x +4 = 0 ⇔ −= = 2 1 x x 0,25 Với x = 1 ⇒ k = -9. Ta có phương trình tiếp tuyến : y = -9x + 9 . 0,25 Với x = -2 ⇒ k = 0 . Ta có phương trình tiếp tuyến : y = 0 . 0,25 IV 4 điểm H N M C A B S 0,50 1 ( ) ( ) SA ABCD SA BC BC AB BC SAB BC SB ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 Suy ra tam giác SBC là tam giác vuông tại B. 0,50 2 ( ) AB SA AB SAD AB AD ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ 0,50 mà ( ) ( ) ( ) AB SAB SAB SAD ⊂ ⇒ ⊥ 0,50 3 Trong mặt phẳng (SAD), kẻ AH vuông góc với SD. Ta có ( )SA SAD SA AH ⊥ ⇒ ⊥ Suy ra: ( , )d AB SD AH = 0,25 Trong tam giác SAB, ta có: 0 tan( ) .tan30 3 SA a SBA SA AB AB = ⇒ = = Trong tam giác SAD, ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 4 AH AD SA a a a = + = + = 2 a AH⇒ = 0,25 3 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là a/2. 0,25 4 d) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAN SAM SA SA ABCD ABCD SAN AN ABCD ABM AM ⊥ = ⊥ ∩ = ∩ = Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAN) và (SAM) là góc giữa hai đường thẳng AM và AN. 0,25 5 2 a AM AN = = 2 2 2 DB a MN = = 0.25 Trong tam giác AMN: 2 2 2 AN 4 ˆ osMAN= 2 . 5 4 ˆ arccos 5 AM MN c AM AN MAN + − = ⇒ = Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAN) và (SAM) bằng arccos(4/5). 0.25 V 1 điểm Hàm số ( ) 4 2009 5 ( ) 1 32f x m m x x = + + + − là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ , do đó nó liên tục trên đoạn [ ] 0 ; 2 . 0,25 (0) 32 0f = − < ; 0,25 ( ) 2 2 4 2009 2009 2 1 1 1 (2) 1 2 2 0, 2 2 2 f m m m m m = + + = − + + + > ∀ ∈ ÷ ÷ ¡ 0,25 Suy ra (0) (2) 0,f f m < ∀ ∈ ¡ nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) nên nó luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m. 0,25 4 S GD & T KIM TRA HC K II LP 11 THPT TRNG THPT TN LM 2 MễN TON Khúa ngy 04 05 - 2010 Thi gian lm bi: 90 phỳt (khụng k thi gian giao ) A. PHN BT BUC :(7,0 im-Dnh cho tt c thớ sinh) Cõu 1:(2,0 im).Tớnh cỏc gii hn sau: 2 2 1 3 2 . lim ; 1 x x x a x đ - + + - ( ) 2 . lim 4 . x b x x x đ- Ơ - + Cõu 2: (1,0 im). Cho hm s 2 2 ; ( 2) 2 ( ) 1 ; ( 2) 4 x x x f x mx x ỡ ù + - ù ù > ù ù - = ớ ù ù + Ê ù ù ù ợ Xỏc nh m hm s ( )f x liờn tc trờn R. Cõu 3:(2,0 im). Cho hm s 3 3 8y x x= - + .Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s trong cỏc trng hp sau: a/ Ti tip im ( ) 0 1;6M . b/ Bit tip tuyn i qua im ( ) 0; 8A - . Cõu 4: (1,0 im). Cho hm s: 2 1 ( ) sin2 2 f x x x x= + - .Tớnh ( )f x  v 6 f p ổ ử ữ ỗ  ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Cõu 5: (1,0 im). Cho t din S.ABC cú ABC l tam giỏc u cnh a; ( ) SA ABC^ , 3 2 a SA = . Xỏc nh v tớnh gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABC). B.PHN T CHN: (3,0 im) (Thớ sinh c chn mt trong hai phn sau õy). THEO CHNG TRèNH CHUN: Cõu 6a. (1,0 im). Chng minh rng phng trỡnh sau cú ớt nht hai nghim: 3 2 2 5 1 0x x x- + + = Cõu 7a. (2,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc vi ỏy, 2SA a= a/ Chng minh: ( ) ( ) SCD SAD^ b/ Tớnh ( ) ( ) , .d A SCD THEO CHNG TRèNH NNG CAO: Cõu 6b. (1,0 im) Cho 3 2 1 2 6 8 3 y x x x= - - - . Gii bt phng trỡnh ' 0y Ê . Cõu 7b. (2,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, ( ) SA ABCD^ , 3SA a= a/ Chng minh: ( ) ( ) SBC SAB^ b/ Tớnh ( ) ( ) , .d A SBC HT 5 P N THI HC K 2-TON K11 A. PHN BT BUC :(7,0 im-Dnh cho tt c thớ sinh) CU NI DUNG IM Tớnh cỏc gii hn sau: Cõu 1: (2,0 im). 2 2 1 1 3 2 ( 1)( 2) . lim lim ( 1)( 1) 1 1 2 x x x x x x a x x x đ - đ - + + + + = + - - = - 0.5 0.5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 . lim 4 lim 4 4 lim 4 4 lim 2 4 1 1 x x x x x x x b x x x x x x x x x x x x x đ- Ơ đ- Ơ đ- Ơ đ- Ơ - - - + = - - - = - - - = = ổ ử ữ ỗ ữ ỗ - - + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0,25 0.25 0.5 Cõu 2: (1,0 im). Cho hm s 2 2 ; ( 2) 2 ( ) 1 ; ( 2) 4 x x x f x mx x ỡ ù + - ù ù > ù ù - = ớ ù ù + Ê ù ù ù ợ Xỏc nh m hm s ( )f x liờn tc trờn R +V i 0 2:x > 0 0 0 0 0 2 2 2 2 lim ( ) lim ( ) 2 2 x x x x x x f x f x x x đ đ + - + - = = = - - ; hm s liờn tc +Vi 0 2:x < 0 0 0 0 1 lim ( ) lim( ) ( ) 4 x x x x f x mx f x đ đ = + = ; hm s liờn tc . +Khi x= 2, ta cú: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 1 lim ( ) lim lim 2 4 2 2 2 x x x x x f x x x x + + + đ đ đ + - + - = = = - - + + + 2 1 lim ( ) 2 4 x f x m - đ = + + 1 (2) 2 4 f m= + + hm s liờn tc ti 0 2x = thỡ: 2 2 lim ( ) lim ( ) (2) x x f x f x f + - đ đ = = 0.25 0.25 0.25 6 1 1 2 4 4 0 m m = + Û = 0,25 Câu 3:(2,0 điểm). Cho hàm số 3 3 8y x x= - + .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong các trường hợp sau: a/ Tại tiếp điểm ( ) 0 1;6M . PTTT có dạng: 0 0 0 '( )( )y f x x x y= - + Ta có: 2 '( ) 3 3f x x= - Ta có: 0 '( ) (1) 0f x f ¢ = = Vậy tiếp tuyến cần tìm: 6y = b/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 0; 8A - . Gọi pttt: 0 0 ( )y k x x y= - + ; hay: ( 0) 8y k x= - - ; với 2 '( ) 3 3k f x x= = - Ta có: 3 2 3 3 8 (3 3)( 0) 8 2 16 2 x x x x x x - + = - - - Û = Û = Suy ra: 2 '( ) 3 3 9k f x x= = - = Vậy PTTT là: 9 8y x= - 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4: (1,0 điểm). Cho hàm số: 2 1 sin2 2 y x x x= + - .Tính ' y và '' 6 y p æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø . ' 2cos2 1 " 4sin2 1. y x x y x = + - = - + " 4sin 1 2 3 1 6 3 y p p æ ö ÷ ç ÷ = - + = - + ç ÷ ç ÷ ç è ø 0.5 0.25 0.25 Câu 5: (1,0 điểm). Gọi I trung điểm BC,ta có: AI ⊥ BC Chứng minh: SI ⊥ BC và((SBC),(ABC))=(AI,SI) 0.25 0.25 7 0 60 3 3 2 . 2 3 tan =⇒ === ∧ ∧ SIA a a AI SA SIA 0.25 0.25 B.PHẦN TỰ CHỌN: (3,0 điểm) (Thí sinh được chọn một trong hai phần sau đây). Câu 6a (1,0 điểm). THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN: + f(0) . f(1) = -1 < 0 + f(2) . f(3) = -13 < 0 Kết luận: pt có hai nghiệm thuộc (0;1) và (2.3) 0.25 0.25 0,5 Câu 7a (2,0 điểm) a/ Chứng minh: ( ) ( ) SCD SAD^ . ( ) CD AD CD SAD CD SA ü ï ^ ï Þ ^ ý ï ^ ï þ Mà CD ⊂ (SCD) ( ) ( )SCD SADÞ ^ b/Theo câu a/ : ( ) ( ) ( ) ( ) SCD SAD SCD SAD SD ü ï ^ ï ï ý ï Ç = ï ï þ Dựng ( )AH SD AH SCD^ Þ ^ . Vậy ( ) ( ) ,d A SCD AH= +Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 6 3 AH SA AD a a a AH = + = + Þ = 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 8 THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO: Câu 6b (1,0 điểm) +Ta có: y' = x 2 – 4x – 6 2 ' 0 4 6 0 2 10 2 10 y x x x ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + 0.25 0.25 0.5 Câu 7b: (2,0 điểm) a/ Chứng minh: ( ) ( ) SBC SAB^ . ( ) BC AB BC SAB BC SA ü ï ^ ï Þ ^ ý ï ^ ï þ Mà BC ⊂ (SBC) ( ) ( )SBC SABÞ ^ b/ ( ) ( ) ( ) ( ) SBC SAB SBC SAB SB ü ï ^ ï ï ý ï Ç = ï ï þ Suy ra kẻ: ( )AK SB AK SBC^ Þ ^ . Vậy ( ) ( ) ,d A SBC AK= +Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 AK SA AB a a a AK = + = + Þ = 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 9 HẾT 10 . + 0,50 ( ) ( ) 2 1 2 1 lim 1 3 2 x x x x → − = − + + 0 ,25 2 1 1 1 lim 2 3 2 x x x → + = = + + 0 ,25 2 3 2 3 2 3 12 9 11 lim (21 12 9 11) lim (21 ) x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − + − = − + − 0 ,25 Vì 3 lim x x →−∞ =−∞ 0 ,25 và 2. 3 lim x x →−∞ =−∞ 0 ,25 và 2 3 12 9 11 lim (21 ) 21 0 x x x x →−∞ − + − = > 0 ,25 3 2 3 12 9 11 lim (21 ) x x x x x →−∞ ⇒ − + − =− ∞ ;Vậy: 3 2 lim (21 12 9 11) x x x x →−∞ − + − =−∞ 0 ,25 II 1 điểm 2 1 1 lim 5. + + 2 1 lim ( ) 2 4 x f x m - đ = + + 1 (2) 2 4 f m= + + hm s liờn tc ti 0 2x = thỡ: 2 2 lim ( ) lim ( ) (2) x x f x f x f + - đ đ = = 0 .25 0 .25 0 .25 6 1 1 2 4 4 0 m m = + Û = 0 ,25 Câu 3: (2, 0 điểm). Cho